第四章 指数函数与对数函数 章末复习（含答案）

第四章 指数函数与对数函数 章末复习
一、知识网络
题型归类练
题型一 指数、对数运算
1、化简(log43+log8 3)(log32+log92)=(　　 )
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】本题考查利用换底公式进行运算.
原式=( )( )=( )( )=( )× ×(1+ )× .
2、已知lg2=a，10b=3，则log318等于（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】lg2=a，lg3=b，log318= .
3、log29·log34·log45·log52=　　　　;
【答案】2
【解析】原式=2log23·2log32·log25·log52=2.
4、若4x=9y=6，则_________.
【答案】2
【解析】4x=9y=6，两边取以6为底的对数，得xlog64＝ylog69＝1，
∴ ＝log64， ＝log69，故 ＝log64＋log69＝ .
5、求值：________.
【答案】
【解析】
，
6、当时，=___________.
【答案】
【解析】由 ，
则 ，
7、若a>0，且ax=3，ay=5，则=　　　　.
【答案】9
【解析】本题考查指数的乘法运算. = = = .
8、已知=3(x>0)，求的值.
【答案】
【解析】本题考查指数的平方运算.
∵ =3，∴( )2=x+x-1+2=9，即x+x-1=7，x2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47，
∴ .
9、化简：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）2.
【解析】（1）原式
（2）
感悟提升：
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．
对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
题型二、指数函数、对数函数的性质及其应用
1、已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|1<2x<8},则
A. A∩B=(2,3) B. A∩B=(0,3)
C. A∪B=(-∞,3) D. A∪B=(-1,3)
【答案】D
【解析】本题考查集合的表示方法及交、并运算,考查简单的一元二次不等式和指数不等式的求解,解一元二次不等式x2-x-2<0,得到集合A,解指数不等式1<2x<8,得到集合B,再分别计算A∩B和A∪B即可得解.
A={x|x2-x-2<0}=(-1,2),B={x|1<2x<8}=(0,3),所以A∩B=(0,2),A∪B=(-1,3),
2、设集合A={x|(x-1)(3-x)≥0},集合B={x|()x-1>1},则A∪B=
A. {x|x≤1} B. {x|x≤3} C. {x|1≤x≤3} D. {1}
【答案】B
【解析】先化简集合A,B,再计算A∪B即可.
由(x-1)(3-x)≥0 1≤x≤3,于是A={x|1≤x≤3}.
由()x-1>1 x-1<0 x<1,则B={x|x<1},那么A∪B={x|x≤3}.
3、已知f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是
A. (0,3) B. (1,3) C. (1,+∞) D. [,3)
【答案】D
【解析】由题意得解得≤a<3
4、下图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系为
A. aC. 1【答案】B
【解析】由题图可知③④的底数必大于1,①②的底数必小于1.过点(1,0)作直线x=1(图略),在第一象限内分别与各曲线相交,由图象可知15、已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对数函数的单调性可比较 、 与 的大小关系，由此可得出结论.
，即 .
6、函数f(x)=loga(x+2)-2(a>0且a≠1)的图象必经过定点(　　 )
A. (1，0) B. (1，-2) C. (-1，-2) D. (-1，-1)
【答案】C
【解析】本题考查对数函数的图象.令x=-1，则loga(x+2)=0，此时f(-1)=-2，
7、函数f(x)=lg(x-1)+的定义域为(　　)
A. (1，4] B. (1，4) C. [1，4] D. [1，4)
【答案】A
【解析】本题考查求与对数有关的函数的定义域.由 ，解得18、函数f(x)=的定义域为(　　)
A. (1，+∞) B. [2，+∞) C. [1，2) D. (1，2]
【答案】D
【解析】由题意得 解得19、若函数f(x)=lo(x2+2a-1)的值域为R,则a的取值范围为
A. (-∞,] B. (-∞,) C. [,+∞) D. (,+∞)
【答案】A
【解析】依题意可得y=x2+2a-1要取遍所有正数,则2a-1≤0,即a≤.
10、已知函数，（且）的图像恒过点，则点的坐标是___________.
【答案】
【解析】当 ，即 时， ，故 过定点 ，
∴ 的坐标是 .
11、已知函数y=(m2+m-2)x是指数函数,则实数m的取值范围为　　　　.
【答案】(-∞,-)∪(-,-2)∪(1,)∪(,+∞)
【解析】依题意得
∴
∴m<-2或m>1且m≠-且m≠.
故实数m的取值范围是(-∞,-)∪(-,-2)∪(1,)∪(,+∞).
12、函数y=的定义域是　　　　.
【答案】(,1]
【解析】由lo(2x-1)≥0得0<2x-1≤1,解得13、已知函数.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1） ；（2）奇函数；证明见解析；（3） .
【解析】（1）要使 有意义，则 ，解得： .
∴ 的定义域为 .
（2） 为奇函数，证明如下：
由（1）知： 且 ，
∴ 为奇函数，得证.
（3）∵ 在 内是增函数，由 ，
∴ ，解得 ，
∴不等式 的解集是 .
14、已知函数，则（ ）
A. B. 的最小值为2
C. 为偶函数 D. 在 上单调递增
【答案】BC
【解析】A： ，错误；
B：令 ，则 当且仅当 ，即 时取等号，正确；
C： 且 ， 为偶函数，正确；
D：由B，若 ， ，则 在 上递减，在 上递增，所以 在 上递减， 上递增，错误；
感悟提升：
方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根；大小比较问题可直接利用单调性和中间值解决．
题型三 函数的零点与方程的根
1、方程的根所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 ，可知函数 为 上的增函数，
由于 ， ，
由零点存在定理可知，方程 的根所在区间是 .
2、已知函数f(x)与g(x)都是定义在R上的函数，它们的图像是连续曲线，且函数关系满足f(x)+g(x)=x2-3x，根据所给数表，则可以判断g(x)的一个零点一定在区间(　　)内.
x -2 -1 0 1 2
f(x) 12.2 5.4 1.2 -1.3 -3.1
A. (-2，-1) B. (-1，0) C. (0，1) D. (1，2)
【答案】D
【解析】本题考查根据函数值判断函数零点所在区间.由已知得g(x)=x2-3x-f(x)，其对应函数值表如下：
x -2 -1 0 1 2
g(x) -2.2 -1.4 -1.2 -0.7 1.1
由函数g(x)的函数值表可知g(1)·g(2)=-0.7×1.1=-0.77<0，所以g(x)的一个零点一定在区间(1，2)内.
3、已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　).
A. 1 B. 1，4 C. 4 D. 0
【答案】B
【解析】当x≤1时，令f(x)=2x-2=0，解得x=1；
当x>1时，令f(x)=log2x-2=0，解得x=4.
综上，函数f(x)的零点为1，4.
4、函数在区间[1，3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为 (　　)
A. 　　 B.
C. 　　 D.
【答案】C
【解析】本题考查利用二分法判断函数的零点所在的区间. ， ，
= = = = ，
= = - = > = ，
因此，函数f(x)的零点在区间 内.
5、已知函数f(x)=，g(x)=f(x)+4，则函数g(x)的所有零点构成的集合是　　　　.
【答案】{-1，2}
【解析】本题考查分段函数的零点问题.当x≥1时，g(x)=f(x)+4= -6+4，令g(x)=0，得x=2；当x<1时，g(x)=x2-5+4=x2-1，令g(x)=0，得x=-1或x=1(舍去).故g(x)的零点为-1和2.
6、用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为　　　　.
【答案】
【解析】本题考查二分法求方程的近似解，以及方程的根与函数的零点之间的关系.令f(x)=x3-2x-1，
则f(1)=-2<0，f(2)=3>0， ，
由 知根所在区间为 .
感悟提升：
(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．第四章 指数函数与对数函数 章末复习
一、知识网络
题型归类练
题型一 指数、对数运算
1、化简(log43+log8 3)(log32+log92)=(　　 )
A. B. C. 1 D. 2
2、已知lg2=a，10b=3，则log318等于（　　）
A. B. C. D.
3、log29·log34·log45·log52=　　　　;
4、若4x=9y=6，则_________.
5、求值：________.
6、当时，=___________.
7、若a>0，且ax=3，ay=5，则=　　　　.
8、已知=3(x>0)，求的值.
9、化简：
（1）
（2）
感悟提升：
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．
对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
题型二、指数函数、对数函数的性质及其应用
1、已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|1<2x<8},则
A. A∩B=(2,3) B. A∩B=(0,3)
C. A∪B=(-∞,3) D. A∪B=(-1,3)
A={x|x2-x-2<0}=(-1,2),B={x|1<2x<8}=(0,3),所以A∩B=(0,2),A∪B=(-1,3),
2、设集合A={x|(x-1)(3-x)≥0},集合B={x|()x-1>1},则A∪B=
A. {x|x≤1} B. {x|x≤3} C. {x|1≤x≤3} D. {1}
3、已知f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是 A. (0,3) B. (1,3) C. (1,+∞) D. [,3)
4、下图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系为
A. aC. 15、已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
6、函数f(x)=loga(x+2)-2(a>0且a≠1)的图象必经过定点(　　 )
A. (1，0) B. (1，-2) C. (-1，-2) D. (-1，-1)
7、函数f(x)=lg(x-1)+的定义域为(　　)
A. (1，4] B. (1，4) C. [1，4] D. [1，4)
8、函数f(x)=的定义域为(　　)
A. (1，+∞) B. [2，+∞) C. [1，2) D. (1，2]
9、若函数f(x)=lo(x2+2a-1)的值域为R,则a的取值范围为
A. (-∞,] B. (-∞,) C. [,+∞) D. (,+∞)
10、已知函数，（且）的图像恒过点，则点的坐标是___________.
11、已知函数y=(m2+m-2)x是指数函数,则实数m的取值范围为　　　　.
12、函数y=的定义域是　　　　.
13、已知函数.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式的解集.
14、已知函数，则（ ）
A. B. 的最小值为2
C. 为偶函数 D. 在 上单调递增
感悟提升：
方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根；大小比较问题可直接利用单调性和中间值解决．
题型三 函数的零点与方程的根
1、方程的根所在区间是（ ）
A. B. C. D.
2、已知函数f(x)与g(x)都是定义在R上的函数，它们的图像是连续曲线，且函数关系满足f(x)+g(x)=x2-3x，根据所给数表，则可以判断g(x)的一个零点一定在区间(　　)内.
x -2 -1 0 1 2
f(x) 12.2 5.4 1.2 -1.3 -3.1
A. (-2，-1) B. (-1，0) C. (0，1) D. (1，2)
3、已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　).
A. 1 B. 1，4 C. 4 D. 0
4、函数在区间[1，3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为 (　　) A. 　 　 B.
C. 　　 D.
5、已知函数f(x)=，g(x)=f(x)+4，则函数g(x)的所有零点构成的集合是　　　　.
6、用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为　　　　.
感悟提升：
(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．