指数函数与对数函数
1．已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的单调性以及中介值“0”或“1”，比较即可.
【详解】因为在上单调递减，
又，
所以，
因为在上单调递增，
又，
所以，
因为，
所以，
所以，故选：B.
2．若,则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由换底公式将表示为,再将代入,再用指数的运算法则写为底数为5的式子,再用对数恒等式计算出结果即可.
【详解】解:由题知,,
.故选：A
3．的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据根式的运算求得正确答案.
【详解】.故选：C
4．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解即可.
【详解】因为，，.故.故选：A.
5．函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出的奇偶性，排除AC，再代入特殊值，排除D，选出正确答案.
【详解】定义域为R，
且，
故为偶函数，关于y轴对称，AC错误；
，，故B正确，D错误.故选：B.
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】时，有，则有；
时，有，即，不一定满足，
所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A
7．已知函数，则的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称
【答案】A
【分析】求出以及的表达式，根据函数的对称性，即可判断各项，得到结果.
【详解】对于A项，由已知可得，，
所以的图象关于直线对称，故A项正确；
对于B项，因为，则，故B项错误；
对于C项，，则，故C错误；
对于D项，因为，则，故D错误.故选:A.
【点睛】设的定义域为.
对于，若恒成立，则的图象关于直线对称；
对于，若恒成立，则的图象关于点对称.
8．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯80°C的热水降至75°C大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75°C降至45°C大约还需要（参考数据：）（ ）
A．10分钟 B．9分钟 C．8分钟 D．7分钟
【答案】A
【分析】根据题目所给的函数模型，代入数据可计算得出的值，利用参考数据即可计算得出结果.
【详解】将所给数据代入得，，
即，所以
当水温从75°C降至45°C时，满足，
可得，即分钟.故选：A.
9．(多选)下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据对数的运算法则及对数恒等式,换底公式即可选出选项.
【详解】解:由题,关于选项A:
,
故选项A正确;
根据对数恒等式可知,选项B正确;
关于选项C:
,
故选项C错误;
根据换底公式可得:
,故选项D正确.故选:ABD
10．(多选)已知，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】结合指数函数、对数函数的图像按和分类讨论．
【详解】由，，且，，
所以过点，
而过点；
选项A，B：由图可知单调递增，则此时，
所以有，故在单调递增，
故A选项错误，选项B正确；
选项C，D：由图可知单调递减，则此时，
所以有，故在单调递减，
故C选项不正确，选项D正确；故选：BD.
11．下列运算中正确的是（ ）
A． B．当
C．若，则 D．
【答案】BD
【分析】根据对数以及指数幂的运算性质即可根据选项逐一求解.
【详解】对于A; ,故A错误，
对于B; 当，故B正确，
对于C;由于，所以，，所以，故C错误，
对于D; ，故D正确，故选：BD
12．(多选)已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的单调增区间为
B．的值域为
C．的图像关于x＝1对称
D．不等式的解集为
【答案】ABCD
【分析】先求出定义域，对四个选项一一验证：对于A：直接求出的单调增区间，即可判断；对于B：直接求出的值域；对于C：由的图像的对称性即可判断；对于D：直接解不等式不等式.
【详解】函数的定义域需满足，解得：或，即定义域为.
对于A：要求的单调增区间，只需，解得：.即的单调增区间为.故A正确；
对于B：因为，而在上的值域为，所以的值域为.故B正确.
对于C：因为的图像关于x＝1对称，所以的图像关于x＝1对称.故C正确.
对于D：不等式可化为，即，
解得：.故D正确.故选：ABCD
13．____________．
【答案】5
【分析】根据指数幂运算公式和对数运算性质计算即可.
【详解】．故答案为：5．
14．请写出同时满足下列两个条件的函数___________.
（1）在定义域内单调递增，（2）
【答案】(答案不唯一例：)
【分析】根据指数函数的性质结合条件即得.
【详解】因为函数的定义域为R，函数在R上单调递增，
又，，
所以，
所以函数满足题意.故答案为；.
15．将化简为有理数指数幂的形式_______________.
【答案】
【分析】将根式化成指数幂，结合指数幂的公式求解即可.
【详解】.故答案为：
16．设函数，方程有四个不相等的实根，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】当时，，所以在与上的图像关于对称.
作出图象如下图所示，不防令，
可得且
所以，
所以.
因为，令，则原式化为.
因为其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增
所以
所以的取值范围是.故答案为：．
【点睛】关键点睛：根据函数的对称性，作出函数的图象，结合函数的图象有，化简，利用换元法和二次函数的性质求解是解答的关键.
17．已知函数，其中
(1)若的最小值为，求的值；
(2)若存在，使成立，求的取值范围．
【答案】(1)； (2)
【分析】（1）将函数解析式变形为，结合可求得实数的值；
（2）令，，由可得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为，，
当时，即当时，函数取得最小值，即，解得.
（2）解：令，则，由可得，
令，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以，，.
18．已知函数（，且）．
(1)判断的奇偶性，并证明你的结论．
(2)当（其中，且m为常数）时，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
(3)当时，解不等式．
【答案】(1)为奇函数，理由见解析；(2)答案见解析；(3)
【分析】（1）先求出定义域，再判断出，故为奇函数；
（2）分与两种情况，结合复合函数单调性得到的单调性，从而得到结论；
（3）由奇偶性和单调性解不等式，得到不等式组，求出解集.
【详解】（1）为奇函数，理由如下：
令，解得：，故的定义域为，
又，故为奇函数，
（2）由（1）可知：，时，，
当时，单调递减，
而在，上单调递减，
故在，上单调递增，所以不存在最小值，
当时，单调递增，
此时在，上单调递减，
所以存在最小值，最小值为，
综上：当时，不存在最小值，
当时，存在最小值，最小值为.
（3）当时，
故在上单调递增，
因为为奇函数，
所以，
故，解得：，综上：不等式的解集为.
19．如图， 病人服下一粒某种退烧药后， 每毫升血液中含药量 (微克) 与时间 (小时)之间的关满足： 前 5 个小时按函数 递增， 后 5 个小时 随着时间 变化的图像是一条线段．
(1)求 关于 的函数关系式；
(2)已知每毫升血液中含药量不低于 3 微克时有治疗效果， 含药量低于 3 微克时无治疗效果， 试问病人服下一粒该退烧药后有治疗效果的时间为多少小时？
【答案】(1)；(2) 小时
【分析】(1)根据图像中特殊点,求出函数的解析式即可.
(2)根据题意构造不等式,分段求解即可.
【详解】（1）由图可得,函数过点,可得 ， 得 ．
当 时， 设 ，
由图可得 得 所以 ．
故
（2）由题意得 或 得 或 ， 即 ．
故病人服下一粒该退烧药后有治疗效果的时间为 小时．指数函数与对数函数
1．已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．若,则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
4．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数，则的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称
8．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯80°C的热水降至75°C大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75°C降至45°C大约还需要（参考数据：）（ ）
A．10分钟 B．9分钟 C．8分钟 D．7分钟
9．(多选)下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．(多选)已知，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列运算中正确的是（ ）
A． B．当
C．若，则 D．
12．(多选)已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的单调增区间为
B．的值域为
C．的图像关于x＝1对称
D．不等式的解集为
13．____________．
14．请写出同时满足下列两个条件的函数___________.
（1）在定义域内单调递增，（2）
15．将化简为有理数指数幂的形式_______________.
16．设函数，方程有四个不相等的实根，则的取值范围是___________.
17．已知函数，其中
(1)若的最小值为，求的值；
(2)若存在，使成立，求的取值范围．
18．已知函数（，且）．
(1)判断的奇偶性，并证明你的结论．
(2)当（其中，且m为常数）时，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
(3)当时，解不等式．
19．如图， 病人服下一粒某种退烧药后， 每毫升血液中含药量 (微克) 与时间 (小时)之间的关满足： 前 5 个小时按函数 递增， 后 5 个小时 随着时间 变化的图像是一条线段．
(1)求 关于 的函数关系式；
(2)已知每毫升血液中含药量不低于 3 微克时有治疗效果， 含药量低于 3 微克时无治疗效果， 试问病人服下一粒该退烧药后有治疗效果的时间为多少小时？
