第四章 指数函数与对数函数 单元检测（含答案）

第四章 指数函数与对数函数单元检测
一、单选题
1．已知函数为奇函数，且时，，则
A． B． C． D．
2．已知关于x的不等式，则该不等式的解集为（ ）
A．[4，＋∞) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4) D．(－4，1]
3．设函数，若，则的取值范围为
A． B． C． D．
4．已知 是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在内恒为正值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（ ）．
A． B． C． D．3
7．设函数，若关于x的方程有4个不等实根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度（单位：%）随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为70．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（取，，，）（ ）
A．1.525小时 B．1.675小时 C．1.725小时 D．1.875小时
二、多选题
9．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，，，下列关于这三个函数的描述中，当在上逐渐增大时，下列说法正确的是（ ）
A．的增长速度越来越快 B．的增长速度越来越快
C．的增长速度一直快于 D．的增长速度有时慢于
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的单调增区间为
B．的值域为
C．的图像关于x＝1对称
D．不等式的解集为
12．下列说法正确的是（ ）
A．任取，都有
B．函数的最大值为1
C．函数（且）的图象经过定点
D．在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称
三、填空题
13．若，则的值为________.
14．若4x＋2x＋1＋m>1对一切实数x成立，则实数m的取值范围是__________．
15．已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________.
16．已知 ，方程与的根分别为，若，则的取值范围为___________．
四、解答题
17．计算
(1)；
(2)．
18．已知函数.
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)当时，求的最小值.
19．已知函数
(1)证明：当时，至少有一个零点．
(2)当时，关于x的方程在上没有实数解，求m的取值范围．
20．已知函数.
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)判断在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明.
21．已知函数
(1)若时，求该函数的值域；
(2)若对恒成立，求的取值范围.
22．对于函数，若在定义域内存在两个不同的实数x，满足，则称为“类指数函数”．
(1)已知函数，试判断是否为“类指数函数”，并说明理由；
(2)若为“类指数函数”，求a的取值范围．
答案
1．C
2．B
3．A
4．D
5．C
6．B
7．A
8．D
9．AD
10．BD
11．ABCD
12．BC
13．1
14．[1，＋∞)
15．
16．
17．（1）
（2）
18．（1），
故或，解得或，即不等式的解集为.
（2）设，，故，，
设，对称轴，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，
综上所述：，
19．（1）当时，
因为，
根据零点存在性定理，可知在上至少一个零点.
（2）当时，于x的方程变为：
又因为函数上单调递减，所以的值域为
方程在上没有实数解，则
20．（1）函数为奇函数，理由如下：
函数的定义域为，
对任意的，
所以是奇函数；
（2）在区间上的单调递减，理由如下：
对任意，且，
，
因为在单调递增，且，所以，
所以，
所以在区间上的单调递减.
21．（1）由题知，，，
令，
，
，
，
所以该函数的值域为.
（2）同（1）令，
，即恒成立，
，
，易知其在上单调递增，
，
，
的取值范围为.
22．（1）若函数为“类指数函数”，则在定义域内存在两个不同的实数x满足方程，.
由于函数与在R上均单调递增，所以在R上均单调递增，至多有一个零点，所以不是 “类指数函数”.
（2）若函数为“类指数函数”，则方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，
整理得，
设，则方程有两个不等的正根，
，由，解得或；
由，解得；由，解得.
所以.
故a的取值范围．