指数函数与对数函数
1．在下列区间中，函数的一个零点所在的区间为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的解析式，利用零点的存在定理，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，函数，
可得，所以，
结合零点的存在定理，可得函数的一个零点所在的区间为.故选：B.
2．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据的定义域、零点确定正确选项.
【详解】由于，所以的定义域是，由此排除AB选项，
由解得，即是的唯一零点，由此排除D选项，
所以正确的选项为C.故选：C
3．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元）、种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与各自的投入资金，（单位：万元）满足，．设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），每年两个大棚的总收入为（单位：万元），则总收入的最大值为（ ）
A．282万元 B．228万元 C．283万元 D．229万元
【答案】A
【分析】由题意可知解析式，换元，令，得
，继而求其最大值.
【详解】由题意可知甲大棚的投入资金为x（单位：万元），乙大棚的投入资金为200-x（单位：万元），
所以，
由可得，
令，则，
，
所以当，即时总收人最大，最大收入为282万元．故选：A．
4．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数与幂函数的单调性比大小.
【详解】由，，又函数在是上单调递增，
所以，即，
又，，且函数在上单调递增，
所以，即，
综上所述，故选：B.
5．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先判断函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果.
【详解】函数有意义，则，即，即函数的定义域为.
，∴为偶函数，图像关于y轴对称，故排除A，C；
当时，，故排除B；故选：D
6．函数的零点所在区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可.
【详解】由题设，是定义域在上连续不断的递增函数,
又，，
由零点存在定理可知,零点所在区间为.故选:.
7．已知函数,则（ ）
A．是偶函数,且在是单调递增
B．是奇函数,且在是单调递增
C．是偶函数,且在是单调递减
D．是奇函数,且在是单调递减
【答案】B
【分析】根据的解析式得到解析式,判断单调性奇偶性即可得出选项.
【详解】解:由题知,则,
将代替代入可得:
,
,
,
故为奇函数,
,
单调递增,
单调递增,
故在上单调递增.故选:B
8．若，，，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用指对数互化及对数的性质判断的大小及范围，讨论，结合对数的性质确定其范围，即可得答案.
【详解】由，
而：当时不满足；当时不满足，
所以.
综上，. 故选：A
9．若函数（， 且）在上单调递减， 则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题知，再解不等式即可得答案.
【详解】解：因为函数（， 且）在上单调递减，
所以 ，解得，
所以，的取值范围为 故选：D
10．(多选)函数，且，则（ ）
A．的值域为 B．不等式的解集为
C． D．
【答案】CD
【分析】作出函数的图像，即可看出函数的值域；求出时的解，即可根据图像写出不等式的解集；令，根据函数的零点即可求出零点的关系和取值范围，从而判断各选项的正误.
【详解】解：作出函数的图像如下图所示：
可知函数的值域为，A选项错误；
当时，有或，解得，，，
所以，不等式的解集为，B选项错误；
令，由图可知a，b关于对称，
所以，即，C选项正确；
因为有三个零点，所以，而，
所以，D选项正确；故选：CD.
11．(多选)若函数 的图像经过点 ， 则（ ）
A． B． 在 上单调递减
C． 的最大值为 81 D． 的最小值为
【答案】AC
【分析】利用函数经过点,可求出,再应用函数性质每个选项分别判断即可.
【详解】对于:由题意得 ， 得 ,故正确;
对于:令函数 ， 则该函数在上单调递减，在 上单调递增．
因为 是减函数， 所以在上单调递增， 在 上单调递减， 故错误;
对于:因为在上单调递增， 在 上单调递减,
所以 ,无最小值．故正确, 错误; 故选:.
12．(多选)若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
①，都有；
②，且，都有.则以下四个函数中不是“优美函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】由题意，“优美函数”为奇函数且为减函数，根据奇函数的定义及基本初等函数的单调性，对各选项逐一分析即可得答案.
【详解】解：由题意，“优美函数”为奇函数且为减函数.
对A：函数的定义域为R，因为，所以，
所以函数为奇函数，又函数为减函数，所以函数为“优美函数”；
对B：函数的定义域为R，因为，所以，
所以函数为奇函数，又函数为减函数，所以函数为“优美函数”；
对C：函数的定义域为R，因为，所以，
所以函数不是奇函数，所以函数不是“优美函数”；
对D：函数的定义域为R，因为，所以，
所以函数为奇函数，
又在上单调递增，所以由奇函数的性质有在R上单调递增，
所以函数不是“优美函数”；故选：CD.
13．函数图象所过定点坐标为__________.
【答案】
【分析】令，即可得出定点坐标.
【详解】令，得，因为，所以定点坐标为，故答案为：
14．求的值为___________.
【答案】
【分析】由指数与对数的运算性质、对数恒等式、对数的换底公式进行运算即可.
【详解】原式
.故答案为：.
15．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为____________.
【答案】
【分析】求出定点，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】对于函数，令，可得，则，
故函数的图象恒过定点，
因为点在直线上，则，可得，
因为、，所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.
16．函数的定义域为________
【答案】
【分析】由题知，再解不等式即可得答案.
【详解】解：要使函数有意义，则需满足，解得且．
所以，函数的定义域为.故答案为：
17．（1）计算；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由指数幂的运算性质及根式与有理数指数幂关系化简求值；
（2）利用转化求值即可.
【详解】（1）；
（2）.
18．重庆市巴蜀中学黄花园校区计划利用操场一角的空地建一栋艺术楼，该艺术楼的正面外墙设计为钢琴的造型，背面靠石壁，主体部分可近似看成一个高12米，地面面积为200平方米的长方体.现考虑后期外墙的处理费用，由于楼体前面墙面造型复杂，费用为每平方米元，左、右两面墙面费用为每平方米元，楼体背面靠石壁需要防潮处理，费用为每平方米元，其他部分费用忽略不计.由于造型的要求前面墙面的长度不得少于20米，设楼体的左、右两面墙的长度为米，外墙处理的总费用为元.
(1)求关于的函数并求该函数的定义域；
(2)当左、右两面墙的长度为多少米时，外墙处理的总费用最低？若，则该最低费用为多少万元？
【答案】(1)，定义域为
(2)当为米时，总费用最低；当时，最低费用为万元.
【分析】（1）将所有费用相加来求得总费用的解析式，并根据建筑要求的求得定义域.
（2）利用函数的单调性求得总费用最低时的值.当时，最低费用为万元.
【详解】（1）依题意，前面墙面的长度为米，则，解得.
，
且定义域为.
（2）构造函数，
任取，
，
其中，
所以，
所以在上递减，最小值为.
所以当米时，取得最小值为，
若，则最小费用为元，即万元.指数函数与对数函数
1．在下列区间中，函数的一个零点所在的区间为（ ）．
A． B． C． D．
2．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元）、种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与各自的投入资金，（单位：万元）满足，．设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），每年两个大棚的总收入为（单位：万元），则总收入的最大值为（ ）
A．282万元 B．228万元 C．283万元 D．229万元
4．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的零点所在区间为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数,则（ ）
A．是偶函数,且在是单调递增
B．是奇函数,且在是单调递增
C．是偶函数,且在是单调递减
D．是奇函数,且在是单调递减
8．若，，，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．若函数（， 且）在上单调递减， 则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．(多选)函数，且，则（ ）
A．的值域为 B．不等式的解集为
C． D．
11．(多选)若函数 的图像经过点 ， 则（ ）
A． B． 在 上单调递减
C． 的最大值为 81 D． 的最小值为
12．(多选)若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
①，都有；
②，且，都有.则以下四个函数中不是“优美函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
13．函数图象所过定点坐标为__________.
14．求的值为___________.
15．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为____________.
16．函数的定义域为________
17．（1）计算；
（2）若，求的值．
18．重庆市巴蜀中学黄花园校区计划利用操场一角的空地建一栋艺术楼，该艺术楼的正面外墙设计为钢琴的造型，背面靠石壁，主体部分可近似看成一个高12米，地面面积为200平方米的长方体.现考虑后期外墙的处理费用，由于楼体前面墙面造型复杂，费用为每平方米元，左、右两面墙面费用为每平方米元，楼体背面靠石壁需要防潮处理，费用为每平方米元，其他部分费用忽略不计.由于造型的要求前面墙面的长度不得少于20米，设楼体的左、右两面墙的长度为米，外墙处理的总费用为元.
(1)求关于的函数并求该函数的定义域；
(2)当左、右两面墙的长度为多少米时，外墙处理的总费用最低？若，则该最低费用为多少万元？
