4.4 对数函数专项练习
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
3．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知a＝log37，b=，c＝，则（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．b＞c＞a
6．已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
9．若函数（， 且）在上单调递减， 则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数则的值为（ ）
A．24 B．16 C．12 D．8
11．（多选）若，则（ ）
A． B． C． D．
12．（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．函数且的图象经过定点
C．幂函数在上单调递增，则的值为
D．函数的单调递增区间是
13．（多选）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的定义域是 B．是偶函数
C．在区间上是增函数 D．的图象关于直线对称
14．已知函数且.
(1)当，求函数的单调区间；
(2)若函数的定义域为，求的取值范围；
(3)若函数的值域为，求的值.
15．已知，
(1)用定义证明在单调递增；
(2)解不等式．
16．已知函数
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)若，求的取值范围.4.4 对数函数专项练习
1．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】函数的定义域满足，解得答案.
【详解】的定义域满足：，解得.故选：B
2．已知函数的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由幂函数、指数函数、对数函数性质确定函数图象对应的函数式，确定的范围后，再确定，，的范围，从而得它们的大小关系．
【详解】由图象知最上方的图象是的图象，过点的是的图象，过点的是的图象，
因此，，，，，，即，故选：C．
3．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，分别限定的取值范围即可比较出大小.
【详解】设函数，又因为底数，所以函数为单调递增；
所以，即；
设函数，又因为底数，所以函数为单调递增；
所以即；
设函数，又因为底数，所以函数为单调递减；
所以即
综上可知，；故选：B.
4．已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用1作为中间量，结合指数函数，对数函数单调性，可比较与大小.利用对数函数单调性，可比较与大小.
【详解】设，，则在上单调递减，
在上单调递减.
又，
则，即.故选：B
5．已知a＝log37，b=，c＝，则（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．b＞c＞a
【答案】B
【分析】根据对数的运算和对数函数的性质即可求解.
【详解】因为，所以，
又，
因为，所以，也即，
所以，故选：B.
6．已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】函数满足，则有，，再利用函数在上单调递增比较大小.
【详解】函数满足，所以有：
，
，
函数满足在上单调递增，由，
所以，即，故选：A
7．已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析可知，、、同号，分、、和、、两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】且、、均为不等于的正实数，
则与同号，与同号，从而、、同号.
①若、、，则、、均为负数，
，可得，，可得，此时；
②若、、，则、、均为正数，
，可得，，可得，此时.
综上所述，.故选：D.
8．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递减区间.
【详解】对于函数，，解得或，
所以，函数的定义域为.
内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
外层函数为增函数，
因此，函数的单调递减区间为.故选：A.
9．若函数（， 且）在上单调递减， 则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题知，再解不等式即可得答案.
【详解】解：因为函数（， 且）在上单调递减，
所以 ，解得，
所以，的取值范围为， 故选：D
10．已知函数则的值为（ ）
A．24 B．16
C．12 D．8
【答案】A
【分析】由题知，进而，再结合已知求解即可.
【详解】解：因为，
所以.故选：A
11．（多选）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据对数函数的单调性，结合不等式的性质以及指数函数的单调性，即可判断和选择.
【详解】是上的单调增函数，故由，可得；
对A：因为，则，A正确；
对B：因为，因为，故，即，B正确；
对C：当时，满足，但，不满足，C错误；
对D：是上的单调减函数，又，故，D正确；故选：ABD.
12．（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．函数且的图象经过定点
C．幂函数在上单调递增，则的值为
D．函数的单调递增区间是
【答案】ABC
【分析】A.由全称量词命题的否定是存在量词命题判断；B.令求解判断；C.根据是幂函数求得m，再根据单调性判断； D.利用对数复合函数的单调性判断.
【详解】A.命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，即“，”，故正确；
B.因为函数且，令得 ，此时 的图象经过定点，故正确；
C. 因为是幂函数，所以，即 ，解得 或 ，当时，在上单调递减，当 时，在上单调递增，故正确；
D.令，得 或，所以函数的定义域为，
又在上递增，在上递增，所以的单调递增区间是，
故选：ABC
13．（多选）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的定义域是 B．是偶函数
C．在区间上是增函数 D．的图象关于直线对称
【答案】BCD
【分析】对于A，直接由真数大于零可求出函数的定义域，对于B，由偶函数的定义求解判断，对于C，根据复合函数单调性的判断方法求解，对于D，通过比较与的关系判断.
【详解】对于A，由题意可得函数，
由可得，故函数定义域为，故A错误；
对于B，的定义域为，
设，所以，
即是偶函数，故B正确：
对于C，
令，可得，
当时，是减函数，外层函数也是减函数，
所以函数在区间上是增函数，故C正确；
对于D, ，得的图象关于
直线对称，故D正确.故选：BCD.
14．已知函数且.
(1)当，求函数的单调区间；
(2)若函数的定义域为，求的取值范围；
(3)若函数的值域为，求的值.
【答案】(1)减区间为，增区间为；(2)或；(3).
【分析】（1）由题可得函数的定义域，然后根据复合函数的单调性即得；
（2）由题可得恒成立，然后根据二次函数的性质结合条件即得；
（3）根据对数函数及二次函数的性质结合条件可得的值域为，进而可得，即得.
【详解】（1）当时，，
由，可得，或，
所以的定义域为，
令，则在上单调递减，在上单调递增，
又在单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
即函数的减区间为，增区间为；
（2）若函数的定义域为，则恒成立，
所以，即，
又且，
或；
（3）令，则，
又，
因为函数的值域为，则，
所以的值域为，
所以，即，
所以或(舍去)，即的值为2.
15．已知，
(1)用定义证明在单调递增；
(2)解不等式．
【答案】(1)证明见解析； (2)
【分析】(1) 设任意且，作差，整理变形，比较与零的大小关系即可证明；
(2)将不等式等价转化，也即，根据（1）的结论列出不等式组，解之即可求解.
【详解】（1）设任意且，
则，
因为，所以，因为，则，所以，
所以，即，
也即，又因为，
故函数在单调递增.
（2）因为不等式可化为
，也即，
因为函数，故，
由（1）知：函数在单调递增，
则有，解得：，所以原不等式的解集为.
16．已知函数
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)若，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)偶函数，证明见解析；(3)或.
【详解】（1）由对数的性质知：，即，
∴的定义域为.
（2）由，结合（1）所得的定义域，∴偶函数.
（3）∵，
∴是[0,3上的减函数，又是偶函数.
∴，解得：或.
