高二年级上 数学第六章不等式教学教案-人教版[上学期]

第六章 不等式
一、知识框架
二、重点难点
重点：实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系，不等式的8条性质；用作差法解答不等式问题；5个基本不等式；不等式的证明方法；各种不等式的解法，不等式的同解变形；
难点: 对不等式8条性质的正确运用；领悟作商法适合的题型；正确运用不等式的性质和5个基本不等式证明简单的不等式；证明方法所适用的题型；解各种不等式；分类讨论“标准”的确定；用分类讨论思想解不等式；
三、知识点解析
1、不等式的性质
（1）的大小顺序（实数的顺序性）与实数的运算性质之间的关系：
1）设，则①；②；③；
2）设，则①；②；③；
（2）不等式的概念：
1）不等式的定义：用不等号（）表示不等关系的式子叫做不等式，分为严格不等式和非严格不等式；
2）同向、异向不等式：与叫做同向不等式，与叫做异向不等式；
3）不等式的解集：使成立的的集合，叫做的解集；
4）同解不等式：若与（或）的解集相等，则与（或）叫做同解不等式；
5）不等式的同解变形：一个不等式变形为与它同解的不等式，这样的变形成为不等式的同解变形；
6）证明不等式；
7）解不等式；
（3）不等式的基本性质：①（对称性）；②（传递性）；③（可加性）；④；⑤（可乘性）；⑥；⑦；⑧；
2、不等式的证明
1）算术平均数与集合平均数：几个基本不等式（见下表）；
2）不等式的证明：下表是不等式证明的理论体系：
3、不等式的解法
（1）不等式解法的理论体系见下表：
（2）有理不等式：
1）一元不等式：
2）分式不等式：不等式与不等式组或同解；不等式与不等式组或同解。
（3）无理不等式：与或同解；与同解；与同解；
（4）指数不等式：时，与同解；时，与同解；
（5）对数不等式：时，与同解；时，与同解；
（6）含绝对值得不等式：，，；
4、不等式的应用
四、例题
1、不等式的性质
例1 比较与的大小。
分析 作差比较。
解 ，
。
例2 已知，比较与的大小。
分析 作差比较。
解 ，由，得，从而。
思考 当去掉条件时，则大小关系如何？
例3 设，且，比较与的大小。
分析 作差比较。
解 ，
当时，，，则，；
当时，，，则，。
总结 比较两个实数(代数式)大小的思维过程是：作差→变形→判断符号→结论。
例4 判断下列各命题的真假，说明理由：(1)如果，那么；(2)如果，那么；(3)如果，那么。
分析 判断一个命题的真假的方法是：如果判定是真命题，则必须给出它的证明；如果判定是假命题，只要举出一个反例即可。
解 根据不等式的性质可判定如下：真命题是(1)、(3)．假命题是(2)。
例5 回答下列问题：
(1)如果，，能否断定与谁大谁小？举例说明；
(2)如果，，能否断定与谁大谁小？举例说明．
分析 解答本题的方法是：如果作肯定回答，则必须给出它的证明；如果作否定回答，则必须举出反例。
解 (1)不能断定；(2)不能断定．举例略．
注意 本例举例要举出3个例子，使得两代数式的值能体现出大于、小于、相等三种情况．
例7 已知，，求证。
解 由知，则知，，。
2、不等式的证明
例1 已知是正数，且，求证。
证明 ，。
说明 本题条件下可证明。
例2 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？
解 设从出发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，
则： 可得：
∴
∵S, m, n都是正数，且m n， ∴t1 t2 < 0 即：t1 < t2，从而，甲先到到达指定地点。
例3 设a, b R+，求证：
证明 作商：
当a = b时，；
　 当a > b > 0时，；
当b > a > 0时， 。
∴ 。
同理可证。
例4 求证
证明 因为都是正数，所以为了证明，只需证明，展开得 ，即 。因为成立，所以 成立，即证明了。
例5 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
分析 当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为L的正方形边长为，截面积为.所以本题只需证明。
说明 对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的。
例6 已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：
证一 即：；
证二 由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设，
则。
例7 若，求证：
证 设，
则
小结 若0≤x≤1，则可令x = sin ()或x = sin2 ()。
若，则可令x = cos , y = sin ()。
若，则可令x = sec, y = tan ()。
若x≥1，则可令x = sec ()。
若xR，则可令x = tan ()。
例8 证明：在是增函数。
证 设2≤x1∵x2 x1 > 0, x1 + x2 4 > 0 ∴。
又∵y1 > 0， ∴y1 > y2 ∴在是增函数。
例9 设a, b, c R，
1 求证：，
2 求证：
证 1 ∵ ∴ ∴
2 同理：，
三式相加：
例10 a , b, cR＋, 求证：1 ，2 ，3 。
证 1 法一：, , 两式相乘即得。
法二：左边≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9。
2 ∵，
，两式相乘即得。
3 由上题：， ∴，
即：
3、不等式的解法
例1 解关于x的不等式
解 将原不等式展开，整理得：
讨论 当时，；
当时，若≥0时；若<0时；
当时，。
例2 解关于x的不等式
解 原不等式可以化为：。
若即则或；
若即则，；
若即则或。
例3 关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集。
解 由题设且， ，从而 可以变形为，即： ∴。
例4 关于x的不等式 对于恒成立，求a的取值范围．
解：当时不合，也不合，
∴必有： 。
例5 若函数的定义域为R，求实数k的取值范围。
解 显然k=0时满足 而k<0时不满足，∴k的取值范围是[0,1]。
例6 解不等式
略解一（分析法），
或，。
解二 （列表法）原不等式可化为列表
注意 按根的由小到大排列
解三 （标根法）作数轴；标根；画曲线，定解
小结：在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的列表法和标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式，其中最值得推荐的是“标根法”
例7 解不等式
解 原不等式化为 , ∴原不等式的解为。
例8 解不等式
解 ∵恒成立，∴原不等式等价于 即。
例9 解不等式
解 原不等式等价于且 ，∴原不等式的解为。
例10 解不等式
解 原不等式等价于
即：，，
，
∴。
例11 解不等式
解 原不等式等价于，∴原不等式的解为：。
例12 k为何值时，下式恒成立：
解 原不等式可化为：，而，
∴原不等式等价于，由得1例13 解不等式
解 ∵根式有意义 ∴必须有：
又有 ∵ 原不等式可化为，两边平方得：，解之：。
∴。
例14 解不等式
解 原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：
Ⅰ： Ⅱ：
解Ⅰ： 解Ⅱ：。
∴原不等式的解集为。
例15 解不等式
解 原不等式等价于。
例16 解不等式
解 要使不等式有意义必须：，
原不等式可变形为 ，因为两边均为非负。∴ 即。∵x+1≥0，∴不等式的解为2x+1≥0，即 。
例17 解不等式
解 要使不等式有意义必须：，因为不等式两边均为非负，两边平方得：，即>x。因为两边非负，再次平方：，解之0综合 得：原不等式的解集为0例18 解不等式
解 定义域 x-1≥0，x≥1，原不等式可化为：，两边立方并整理得：，在此条件下两边再平方, 整理得：。解之并联系定义域得原不等式的解为。
例19 解不等式
解 原不等式可化为：，∵底数，∴，整理得：，解之，不等式的解集为。
例20 解不等式
解 原不等式可化为：，即：，解之： 或，∴x>2或，∴不等式的解集为。
例21 解不等式
解 原不等式等价于 或，解之得：，∴原不等式的解集为。
4、不等式的应用
例1 证明下列各题：
⑴
证 ∵ ∴，，于是。
⑵若上题改成，结果将如何？
解 ∵ ，于是，从而。
⑶若 则
解：若则显然有；若异号或一个为0则；∴。
例2．若，则为何值时有最小值，最小值为几？
解 ∵ ∴ ，
∴=，当且仅当即时。
例3 求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？
解 ，当且仅当即时。
例4 若，求的最值
解：，
∵，∴，。
从而 ，即。
例5 设且，求的最大值
解 ∵ ∴
又，∴，即。
例6 已知且，求的最小值
解 ，
当且仅当即时。
例7 将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？
解 设剪去的小正方形的边长为，则其容积为，
，
当且仅当即时取“=”，即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为。
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