(共20张PPT)
几何体的三视图
视图：
当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图，视图可以看作物体在某一方向光线下的正投影.
对于同一个物体，如果从不同方向观察，所得到的视图可能不同.
什么是视图
三视图的定义：如左图，我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对着我们的平面叫做正面，下方的平面叫做水平面，右边的平面叫做侧面.
在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；
在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图.
在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图；
能不能通过视图的定义来得到三视图的定义
你能画出这个长方体的三视图吗
高
长
高
宽
长
宽
①确定主视图的位置，画出主视图；
②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”；
注意：为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴.
三视图的画法：
视图与三视图
【例1】画出如图所示的几何体的主视图、左视图和俯视图．
分析：
长对正；
宽相等；
高平齐.
解：
主视图：
方法小结：主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．画三视图时还要注意“长对正、宽相等、高平齐”．
俯视图
左视图
由三视图确定几何体的表面积
【例2】如图，是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积是( ).
分析：
解：
方法小结：通过三视图推断几何体是由哪几部分组成，区分三视图中各个数据，最后利用常见几何体的各部分面积公式进行求解即可.
A．7πcm2
B．(
+2)πcm2
C．6πcm2
D．(
+5)πcm2
这个几何体由一个圆锥和一个圆柱组成
圆锥侧面积+圆柱侧面积+底面圆的面积
由题意可知，上面的圆锥体的底面直径为2cm，高为cm，
所以母线长度为,
圆柱体的底面直径为2cm，高为2cm，
该几何体的表面积＝S圆柱底面积+S圆柱侧面积+S圆锥侧面积
＝π×+2π×1×2+ ×2π×1×2
＝7π.
A
【例3】如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝a2，S左＝a2+a，则S俯＝( ) A．a2+a B．2a2 C．a2+2a+1 D．2a2+a
分析：
左视图和主视图宽为a，且面积已知
求出长和宽
即可求出俯视图的面积
×高，
解：
方法小结：通过主视图和左视图的面积一一推出俯视图的长和宽，代入公式求面积即可.
因为高为a，所以长，
宽×高，
因为高为a，所以宽1，
宽×长.
A
根据三视图确定几何体的体积
【例4】如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积是多少？
分析：
体积公式是底面积×高
割补法求
底面积
用公式求出
体积即可
方法小结：通过三视图确定几何体的形状，根据三视图上的数据确定求体积所需数据，代入公式求体积即可.
几何体是
六棱柱
观察三视图知：该几何体为六棱柱，
底面正六边形的边长为6，棱柱的高为2，
解：
如图，将底面正六边形分割为一个矩形和两个全等三角形，
三角形的高为3，易得三角形的底边长为，
∴正六边形的面积，
∴六棱柱的体积 ，
答：该几何体的体积为 .
【例5】如图，是一个几何体的二视图，求该几何体的体积．(π取3.14)
分析：
用体积公式求体积即可
解：
由俯视图和正视图可得，该几何体由一个圆柱和一个四棱柱组成，
方法小结：通过三视图推断出几何体是由哪两个部分组成，再通过三视图的数据确定几何体求体积所需的数据，代入公式求体积即可．
俯视图是正方形中含一个圆
该几何体是一个圆柱一个四棱柱组成
∴,
∴,
∴,
所以几何体的体积为40048立方厘米.
20cm
25cm
40cm
32cm
30cm
给出1-2个三视图确定其他三视图
【例6】如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是( ).
分析：
根据俯视图确定这个几何体的行数列数和层数
左视图需要看几何体的层数和行数
注意最高层即可
解：
1
3
1
1
2
A.
C.
B.
D.
1
3
1
1
2
行数
第1行
第2行
列数
第1列
第2列
第3列
层数有三层
所以左视图总共有两行，
第一行层数最高两层，
第二行层数最高三层，
D
方法小结：清楚三视图的定义，通过已知的视图去确定其他视图的关键信息，甚至可以还原原立体图形，然后再去画出其他三视图.
确定小正方体的数目
【例7】一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则需要构成这样的几何体最多能有小正方体的个数为( ).
分析：
由主视图可得几何体有三层
由俯视图可以看出第一层有四个
分别推断第二层第三
层最多多少个即可
解：
由俯视图可得第一层有2+24个小正方体，如图，
主视图
俯视图
A．8 B．9 C．10 D．11
2
2
第二层最多应该有2+24 个，如图，
2
2
第三层最多应该有2个，如图，
2
所以最多应该有个.
方法小结：俯视图小正方形的个数即为最底层的小正方体的个数，主视图第二层和第三层小正方形的可能的最多个数即为其余层数小正方体的最多个数．
C
【例8】在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体，如图所示．
(1)这个几何体由 个小正方体组成，请画出这个几何体的三视图；
(2)如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 个正方体只有一个面是黄色，有 个正方体只有两个面是黄色，有 个正方体只有三个面是黄色；
分析：
从左到右一一数过去即
可得到小正方体个数
根据三视图的画法作图
喷漆的只有前后
左右上五个面
解：
10
(1)第一列有6个小正方体，第二列有2个小正方体，第三列有2个小正方体，所以一共有10个小正方体.
主视图：
左视图：
俯视图：
(2)为方便数，我们给几何体标上行列层，如图所示，
第一列
第二列
第三列
第一行
第二行
第三行
第一层
第二层
第三层
只有一个面是黄色的有：第三层第一列第二行，
只有两个面是黄色的有：第三层第一列第一行，第三层第二列第一行,
只有三个面是黄色的有：第二层第一列第一行，第三层第三列第一行,第三层第二列第二行.
1
2
3
【例8】在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体，如图所示．
(3)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加几个小正方体．这时如果要重新给这个几何体表面喷上红漆，需要喷漆的面积比原几何体增加还是减少了？增加或减少了多少cm2？
分析：
分别从主视图左视图和俯视图去观察增加小正方体
分别计算出原来和现在需
要喷漆的面积作差即可
解：
(3)如图所示，最多增加4个小正方体，
原来需要喷漆的面积为(6+6+6+6+6+2)，
现在需要喷漆的面积为(6+6+6+6+6+6)，
所以增加了
所以最多可以添加4个小正方体，需要喷漆的面积比原几何体增加400平方厘米.
方法小结：本题要求熟练掌握三视图的性质，并且拥有一定的空间想象能力，通过小正方体堆叠的方式能够知道小正方体的个数.
几何体的三视图
视图
三视图
三视图的画法
当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图，视图可以看作物体在某一方向光线下的正投影.对于同一个物体，如果从不同方向观察，所得到的视图可能不同.
一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；
在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；
在侧面内得到点的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.
①确定主视图的位置，画出主视图；
②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”；
④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴.
熟练掌握三视图的性质，并且拥有一定的空间想象能力，通过小正方体堆叠的方式能够知道小正方体的个数.
几何体的三视图相关题型方
法总结
根据三视图确定几何体的表面积
视图与三视图
给出1-2个三视图确定其他三视图
根据三视图确定几何体的体积
确定小正方体的个数
主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．画三视图时还要注意“长对正、宽相等、高平齐”．
会通过三视图推断出几何体是由哪几部分组成，区分三视图中各个数据，然后用公式求面积即可.
根据两个视图确定另外一个视图，需要根据两个视图还原出原几何体的形状，再去画出第三个视图即可，画第三个视图的时候切记三视图的画法“长对正、宽相等、高平齐”.
通过三视图推断出几何体是由哪几个部分组成，再通过三视图的数据确定几何体求体积所需的数据，代入公式求体积即可.
再 见(共19张PPT)
投影中的作图、计算与应用
投影概念与数学模型
1.中心投影
2.平行投影
3.正投影
光线从一点发出
光线平行
垂直于投影面
太阳光是平行光
平行光
数学模型
光线
物体
物影
杆影
标杆
F
B
A
D
C
E
光线
△ABF
△CDE
∽
平行投影模型
中心投影模型
灯杆
杆影1
光线
杆影2
△EFH
△ABH
∽
A
C
G
E
H
F
D
B
光线
杆1
杆2
△CDG
△ABG
∽
利用平行投影作图
【例1】已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，某一时刻AB在阳光下的投影为BC，请你在图中画出此时DE在阳光下的投影.
F
E
C
B
A
D
解：如下图：
分析：
连线
平移
交影
作投影
找点
关键点:
一.点与它的影子确定光线；
二.平移光线确定影子.
利用中心投影作图
【例2】如图是两根标杆及它们在灯光下的影子(红色部分)．请在图中画出光源的位置(用点P表示)；并在图中画出人在此光源下的影子．(用线段GH表示)
P
H
分析：
找点
画线
交影
找影子
“交”光源
解：如下图：
关键点：
一.点与它的影子确定光线；
二.两光线交点确定光源；
三.两点画线交影子.
连线
利用平行投影计算影长与物高
【例3】小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度. 如图，她在地面上竖直立起一根2米长的标杆CD，某一时刻测得其影长DE=1.2米，此时旗杆AB在阳光下的投影BF＝4.8米，AB BD，CD BD.请你根据相关信息，求旗杆AB的高.
平行光
D
△ABF
解：
C
E
△CDE
B
如图可知：
AB=8
所以
F
A
分析：
列比例式计算
确定光线
构造相似三角形
关键点：
一.找到光线确定投影模型；
二. 构造相似三角形.
所以
所以
答： 旗杆AB的高为8米
4.8
1.2
2
【例4】如图，阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1m长的影子如图所示，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE＝3.9m，窗口底边离地面的距离BC＝1.2m，试求窗口的高度(即AB的值).
C
△AEC
∽
△BDC
解：如图可知:
AB=1.4
即：
D
E
A
B
分析：
确定光线
构造相似三角形
列式计算
找投影“点”
关键点：
一.找光线确定投影模型；
二.构造相似三角形.
∴
∴
答：窗口高度为1.4米.
2.1
3.9
1.2
利用中心投影计算影长与物高
【例5】如图，晚上，小亮在斜坡上散步，发现路灯C刚好在斜坡边缘正上方，想利用投影测量路灯C距离地面的高度CD. 已知小亮站在E点，影长0.8米，若小亮身高1.6米，E点到斜坡上边缘距离2.4米，求路灯高.
B
A
F
E
G
D
C
△FEG
△CDG
∽
解：如图可知：
所以CD=6.4米
分析：
构造相似三角形
列式计算
确定光源
确定物与影子，找到光线
总结：确定投影面与影子是解题的关键.
，
即
答：路灯高6.4米.
2.4
1.6
.0.8
【例6】如图，王华（图中蓝色线段）晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1m，继续往前走3m到达E处时，测得影子EF的长为2m，已知王华的身高是1.5m，那么路灯A的高度AB为多少米
C
B
E
F
D
G
H
A
解：如图由题意知：
设AB为x，CB为y
△ABD
△GCD
∽
△EFH
△BFA
即：路灯A的高度AB为6米.
分析：
列方程组计算
确定投影模型
一条光线一组相似
总结：中心投影中一般几条光线列几个方程，然后构造方程组来解.
解得：
1.5
3
1
2
1.5
则BD=y+1，BF=y+5
∽
y
x
探究测量方案及计算
【例7】阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．
物体
物影
杆影
标杆
B
A
F
C
D
E
标杆，皮尺
(2)如右图
解：(1)标杆，皮尺
光线
物体
物影
杆影
标杆
F
B
A
D
C
E
光线
分析：
作图计算
梳理条件
确定投影模型
(1)所需的测量工具是：_______________；
(2)请在图中画出测量示意图；
解：(3)测量CD=a，AF=b，CE=c.
总结：梳理条件确定模型很关键.
(3)设树高AB的长度为x，请用所测数据(用小写字母a，b，c表示)，求出x.
物体
物影
杆影
标杆
B
A
F
C
D
E
∴
∴
∴
【例7】阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．
∵△ABF ∽△CDE
投
影
中心投影
平行投影
方案设计
数学模型
概念辨析
中心投影
正投影
平行投影
作图
相关应用
光线从一点发出
两条光线构造一组相似
光线平行
平行投影中光线垂直于投影面
一条光线构造一组相似
平行投影：①找点②连线③平移④交影
中心投影：三点确定光线、光源，再构造相似三角形
若数量比较多，可以尝试构造方程(组)来解题
理解模型内涵，合理利用工具
中心投影：①找点②连线③交光源④画线⑤交影
平行投影：两点确定光线，再由平行构造相似
计算
再 见
