不等式的应用
总第 课时 课型：新授课 授课时间：2006年 月 日
教学目标：在前面几节课学习的不等式的性质、证明和解不等式的基础上运用不等式的的知识和思想方法分析、解决一些涉及不等式关系的问题.
重点难点: 1、合理转化；正确应用基本不等式；必要时数形结合.
2、应用基本不等式时要注意应用的条件有否满足，还要检验等号能否成立.
一、考点分析：
1、运用不等式求一些最值问题。用求最小值；用求最大值。
2、某些函数的单调性的判定或证明也就是不等式的证明。
3、求函数的定义域，往往直接归纳为解不等式（组）。
4、三角、数列、立体几何和解析几何都与最值都与不等式有密切的联系。
5、利用不等式可以解决一些实际生活中的应用题。
二、例题选讲
题型1、不等式在方程、函数中的应用。
例1、P96 函数的最大值4,最小值-1,求常数a,b,的值。
小结：本题用的是判别式法的思想
练习：练习册129页练功房1、（1）
例2、若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。
题型2：不等式在几何中的应用
例3、用一块矩形木板紧贴一墙角围成一直三棱柱空间堆放谷物，已知木板的长为a，宽为b，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直怎样围法，直三棱柱的空间最大？这个最大值是多少？
题型3、利用均值不等式求最值。
例4、已知a>0,求函数的最小值。
练习：练习册P128页例1
注意：用均值不等式求最值时，如果满足“一正二定三相等”，则可直接求解；如果不符合条件中的相等，则应先判断函数的单调性后在求解.
题型四、 综合问题
例5、已知函数
（1） 若|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1,试求f(x)的解折式；
（2） 今g(x)=2ax+b,若g(1)=0,又f(x)的图象在X轴上截得的弦的长度为L且，试求f(x)的解折式。
三、小结
1、要善于用不等式的知识解决一些表面上非不等式的问题；
2、使用不等式的有关性质、定理、结论时一定要准确到位，尤其是使用基本不等式求最值时，一定要检验等号能否成立。
四、作业：
1、若x，y是正数，则的最小值是 （ ）
A．3 B． C．4 D．
2、设的最小值是 （ ）
A． B． C．－3 D．
3、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨．
4、不等式的解集为
5、 (2005年高考·江西卷·理17文17)
已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设k>1，解关于x的不等式；
教学反思：数学组（理）练习题 考试时间：06年11月 日
高三数学第一轮复习（6）—不等式
第一卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1. 与x<3同解的不等式是
(A) x＋<3＋ (B) x＋<3＋
(C) x<3 (D) x<3
2. ，下列不等式一定成立的是（ ）
（A）（B）
（C）
3. 设的最小值是 （ ）
A． B． C．－3 D．
4. 若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
5. 给出下列命题，其中是真命题的是
(A) (B)
(C)a2>b2成立的充分非必要条件是a6.若p,q,m是三个正数,且q<100,现把m增加p%,再把所得的结果减少q%,这样所得的数仍大于m,那么必须且只需
B. C. D.p>q
7.对不等式对一切成立,则a的最小值是
A.0 B. C. D.
8.且则有
A.最小值，而无最大值 B. 最小值1，而无最大值
C. 最小值和最大值1 D.最大值1和最小值
9.在R上定义运算若不等式对任意实数恒成立，则
A. B. C. D.
10.若满足则的值是
A. B. C.30 D.
11.已知若，则的取值范围是
A. B. C. D.
12.若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是
A. B.
C. D.
不等式单元测试题
第二卷
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13.已知则的取值范围是 .
14.是R上的减函数,其图象经过点和,则不等式的解集是 .
15.设，当时，与的大小关系是 .
16.已知且则的范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
17．（本小题满分12分）
已知，求证
18．（本小题满分12分）
若关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围.
19．（本小题满分12分）
求满足的整数对.
20．（本小题满分12分）
已知对于x的所有实数值，二次函数=的值都是非负实数，求关于x的方程的根的取值范围。
21．（本小题满分12分）
某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入使用,计划第一年维修保养、费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y元.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利？
（3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：（1）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；（2）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较合算？请说明理由.
22．（本小题满分14分）
已知二次函数的图象与轴有两个不同的公共点，若且时，
（1） 试比较与的大小；
（2） 证明：；
（3） 当时，求证：.
PAGE
4
过多的阅读并没有用处， 重要的是思考和融会 .不等式的解法（2）
总第 课时 授课类型：复习课 授课时间：06年 月 日
教学目的：
1. 掌握基本无理不等式的等价转化方法 ( http: / / www. / wxc / )
2. 掌握解指数、对数不等式的方法，一般来说，与解指数、对数方程的方法类似 ( http: / / www. / wxc / )即：
(1)同底法：能化为同底数先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底是参数时要注意对其进行讨论 ( http: / / www. / wxc / )并注意到对数真数大于零的限制条件 ( http: / / www. / wxc / )
(2)转化法：多用于指数不等式，通过两边取对数转化为对数不等式（注意转化的等价性） ( http: / / www. / wxc / )
(3)换元法：多用于不等式两边是和的形式，或取对数后再换元，并注意所换“元”的范围 ( http: / / www. / wxc / )
教学重点、难点：
1． 无理不等式同解转化；指、对数不等式同解转化。
2． 含有参数的不等式的求解。
知识点归纳 ( http: / / www. / wxc / )
1．解不等式时应特别注意下列几点：
(1)正确应用不等式的基本性质．
(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．
(3)注意代数式中未知数的取值范围．
2．不等式的同解性
例1、解不等式（1）；（2）（3）
（4）解不等式：
（5）
例2、（1）解不等式 （2）解不等式：
（3）解关于x的不等式：（其中a>0）
（4）不等式a>105lga (a>0, a≠1)
例3、（1）解不等式
（2）解不等式
（3）不等式logsinx(x2－9)>0
五、课堂小结
1、解无理不等式与指、对数不等式的基本方法是同解转化法；
2、解无理不等式与指、对数不等式同解转化需注意的地方。
六、课后作业
1、解不等式
2、解不等式
３、解关于x的不等式< ( http: / / www. / wxc / )
４、对于任意，不等式恒成立，求ａ的取值范围
5、（1999年全国高考题）
七、教学后记：不等式的概念与性质
总第 课时 课型：复习课 授课时间：06年 月 日
教学目标：
1．掌握并能运用不等式的性质，灵活运用实数的性质；
2．掌握比较两个实数大小的一般步骤．
教学重、难点：理解不等式的性质并能运用不等式的性质比较数的大小.
高考要求：不等式性质的考查主要以选择题和填空题为主（1）根据给定的条件，利用不等式的性质，判断不等式与之有关的结论是否成立.（2）利用不等式的性质与实数相结合，进行数值大小比较（3）判断不等式中条件与结论之间的关系.
知识要点：
1．不等式的性质：①对称性．②传递性．
③加法性质；．
④乘法性质，．
⑤乘方、开方性质，．
⑥倒数法则：
⑦均值不等式：己知a、b为正数则
⑧绝对值不等式性质：||a|-|b||
2．比较两数大小的一般方法是：作差——变形——判断（与0比较）；
或作商——变形——判断（与1比较）．
例题选讲：
考点1：不等式的概念和性质
1．命题（1），（2），（3），
（4），（5）
（6），（7）
其中真命题的是 （2）（4）（5）（7） ．
2．已知，则 （ ）
．
3．如果，则 （ ）
．
4.成立的一个充要条件是（ B）
A. B. C. D.
考点2：大小比较
5.（作差）已知m ，试比较f（a）与f（b）的大小.
6．设数列的通项公式是，
（1）讨论数列的单调性；（2）求数列中的最大项．
解：（1）∵，
当，即时，，
∵，∴，∴数列单调递增；
当，即时，，
∵，∴，∴数列单调递减，
（2）由（1）知且，
所以数列中的最大项为．
练习：资料115页5（借助中间值利用均值不等式）
考点3：范围问题
7.已知x,y满足，求x+3y的取值范围.
练习：资料115页练功房4
课堂小结：（1）掌握不等式的8个性质（2）比较两个数的大小的方法（要注意讨论思想）
（3）求范围问题要注意整体代换思想的运用
作业：
1．设，则“”是“”成立的 （ ）
充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件既不充分也不必要条件
2．下列不等式：（1）， （2），
（3）．其中正确的个数为 （ ）
3.（2006年上海春卷）若，则下列不等式成立的是( C )
（A） . （B）. （C）.（D）
4.（2006年江苏卷）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是
（A） （B）
（C） （D）
4．给出下列条件①；②；③．其中，能推出
成立的条件的序号是 （填所有可能的条件的序号）．
5．函数是上的减函数，且关于的函数是偶函数，
则的大小关系是 ．
6．已知依次成等差数列，依次成等比数列，其中，
比较与的大小．
教学后记：
PAGE
- 3 -含绝对值的不等式
总第 课时 课型：复习课 授课时间：06年 月 日
教学目标：
1．理解含绝对值的不等式的性质，及其中等号成立的条件，能运用性质论证一些问题；
2．会解一些简单的含绝对值的不等式．
教学重、难点：绝对值不等式的定理及其应用，难点是绝对值不等式的证明.
知识要点：
1．含绝对值的不等式的性质：
①，当时，左边等号成立；当时，右边等号成立．②，当时，左边等号成立；当时，右边等号成立．③．
2．绝对值不等式的解法：
①时，；；
②去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法；
③根据绝对值的几何意义，通过数形结合解绝对值不等式．
例题选讲
考点一：绝对值不等式的性质
1.若，且，则 （ ）
2．若，则且是的 （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
3.若实数满足，则①；②；③；④．这四个式子中，正确的是 ①、④ ．
练习：1.（2006年北京卷）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有 (A)
（A） （B） （C） （D）
2.资料125页2题
考点二：含绝对值不等式的解法
4.（05全国17）设函数的x取值范围.
练习：1.不等式的解集为 （ ）
2.已知函数、，设不等式的解集是，不等式的解集是，则集合、的关系是 （ ）
3.（ 2006年浙江卷）对a,bR,记max|a,b|=函数f（x）＝max{|x+1|,|x-2|}(xR)的最小值是 3/2 .
4．不等式的解集是．
考点三、含绝对值不等式的证明
5.已知，当时，求证：．
6．设等于、和中最大的一个，当时，求证：．
分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用，、和中哪个最大，如果两两比较大小，将十分复杂．
证明：∵，，，
∴，
∴．
小结：将题设中的条件“等于、和中最大的一个”转化为符号语言“，，”是解题的关键．
7.设二次函数
（1）已知|f（0）|=|f（1）|=1且|f（-1）|=1，试求f（x）的解析式及f（x）的最小值.
（2）已知|b|≤a,|f（0）|≤1,|f（-1）≤1,|f（1）|≤1,当|x|≤1时，求证：
考点四：绝对值含参问题
8.（2006年上海卷）三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 a≤10 ．
9.确定p的值使不等式的x的最大值为3.
10.二次函数的图像与x轴的两个交点的横坐标分别是.
（1）证明： （2）证明：
（3）若满足不等式试求a的取值范围.
练习：．已知是定义在R上的单调函数，实数，
，若，则 （ ）
A． B． C． D．
课堂小结：（1）含绝对值的不等式的性质（2）绝对值不等式的解法和证明
作业：1.已知，，试比较和的大小．
2．求证：．
3．不等式的解集不是空集，则的取值范围是．
4．解关于的不等式（）．
5．设有两个命题：①不等式的解集是；②函数是减函数，如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是．
6．设二次函数对一切，都有，
证明：（1）；（2）对一切，都有．
教学后记：
PAGE
- 4 -不等式的证明（二）
总第 课时 课型：复习课 授课时间：06年 月 日
教学目标：
了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式．
教学重点、难点：
不等式证明方法多，证法灵活，其中比较法、分析法、综合法是基本方法，要熟练
掌握，其他方法作为辅助，这些方法之间不能截然分开，要综合运用各种方法.
教学过程：
知识要点：
1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；
2．换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性；
3．放缩法：要注意放缩的适度，常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）．
4.利用单调性证明不等式.
5.构造一元二次方程利用“Δ”法证明不等式.
6.数形结合法、最值法、构造法、导数法、数学归纳法等方法.
构造函数利用单调性证不等式或构造方程利用“Δ≥0”证不等式，充分体现相关知识间的联系.
例题分析：
考点1.反证法
例1．已知，求证：．
练习：（121、10）已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1.
求证：a、b、c、d中至少有一个是负数.
考点2.换元法
例2.已知求证：
练习：（120、2）已知，求证．
考点3.放缩法
例3.在数列中，，对正整数且，求证：．
练习：（ 11、12）
考点4.判别式法
例4. 设，，，求证：．
练习：（ 4）
考点5.单调性法
例5.求证：≤+.
剖析：|a+b|≤|a|+|b|，故可先研究f（x）=（x≥0）的单调性.
课堂小结：
由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以在教学中，不等式的证明除常用的三种方法外，还需介绍其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（特别是三角换元）、放缩法以及数学归纳法等.
课后作业：
1．下列三个式子，，中 （ ）
至少有一式小于 都小于
都大于等于 至少有一式大于等于
2．设实数满足，当时，的取值范围是 （ ）
与的大小关系是．
3．，则的取值范围是 ．
4．已知，求证：．
5．设为三角形的三边，求证：．
教学后记：算术平均数与几何平均数
高考要求 ( http: / / www. / wxc / )
1 ( http: / / www. / wxc / )了解算术平均数与几何平均数的意义，掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理及其逆定理 ( http: / / www. / wxc / )
2 ( http: / / www. / wxc / )能运用定理解决一些简单的数学问题和实际问题 ( http: / / www. / wxc / )
3 ( http: / / www. / wxc / )在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值 ( http: / / www. / wxc / )
知识点归纳 ( http: / / www. / wxc / )
1．常用的基本不等式和重要的不等式
（1） 当且仅当
（2）
（3），则
（4）
2 ( http: / / www. / wxc / )最值定理:设
（1）如积
（2）如积
即:积定和最小，和定积最大 ( http: / / www. / wxc / )
运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 ( http: / / www. / wxc / )
3 ( http: / / www. / wxc / ) 均值不等式:
两个正数的均值不等式：
三个正数的均值不等是：
n个正数的均值不等式：
4 ( http: / / www. / wxc / )四种均值的关系：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是
不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明 ( http: / / www. / wxc / )
题型讲解 ( http: / / www. / wxc / )
例1 设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（）
A．a+b+≥2 B ( http: / / www. / wxc / ) (a+b)( +)≥4
C ( http: / / www. / wxc / ) ≥a+b D ( http: / / www. / wxc / ) ≥
解法一：由于是选择题，可用特值法，如取a=4,b=1, 代入各选项中的不等式，易判断≥不成立 ( http: / / www. / wxc / )
解法二：可逐项使用均值不等式判断
A．a+b+≥2+≥2=2，不等式成立 ( http: / / www. / wxc / )
B ( http: / / www. / wxc / )∵a+b≥2>0, +≥2>0,相乘得: (a+b)( +)≥4成立 ( http: / / www. / wxc / )
C ( http: / / www. / wxc / ) ∵a2+b2=(a+b)2－2ab≥(a+b)2－2()2=()2
又≤≥∴≥a+b 成立
D ( http: / / www. / wxc / ) ∵a+b≥2≤,
∴≤=,即≥不成立 ( http: / / www. / wxc / )
故选D
例2 今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗 并说明你的结论 ( http: / / www. / wxc / )
解:不对 ( http: / / www. / wxc / )
设左、右臂长分别是 ,物体放在左、右托盘称得重量分别为真实重量为为G，则由杠杆平衡原理有：
，
①×②得G2=, ∴G=
由于，故 ,由平均值不等式 > 知说法不对 ( http: / / www. / wxc / )
真实重量是两次称量结果的几何平均值 ( http: / / www. / wxc / )
点评:本小题平均值 ( http: / / www. / wxc / )不等, 杠杆平衡原理知识、数学化能力及分析问题、解决问题的能力，属跨学科（数学、物理）的创新问题 ( http: / / www. / wxc / )
例3设x≥0, y≥0, x2+=1,则的最大值为＿＿
分析: ∵x2+=1是常数, ∴x2与的积可能有最大值
∴可把x放到根号里面去考虑,注意到x2与1+y2的积,应处理成2 x2· ( http: / / www. / wxc / )
解法一: ∵x≥0, y≥0, x2+=1
∴==
≤==
当且仅当x=,y=(即x2= )时, 取得最大值
解法二: 令(0≤≤)
则=cos=
≤=
当=,
即=时,x=,y=时，取得最大值 ( http: / / www. / wxc / )
例4 若a>b>0, 求的最小值 ( http: / / www. / wxc / )
分析: 的结构不对称,关键是的分母(a—b)b,而(a—b)+b=a, 故问题突破口已显然! 也可以逐步进行：先对b求最小值，然后在对a求最小值 ( http: / / www. / wxc / )
解法一: =[(a—b)+b]2 +
≥[2]2 +=4(a—b)b+≥16
当且仅当b=(a—b)且(a—b)b=2,即a=2b=2时取等号,故的最小值为16
解法二: =
当且仅当b=(a—b)且,
即a=2b=2时取等号,故的最小值为16 ( http: / / www. / wxc / )
点评:在运用均值不等式求最值时,凑出定值是关键!但在定值的过程中,不一定就能凑出定值来,实际上,分几步凑也是可以的,只要每步取等号的条件相同便可 ( http: / / www. / wxc / )
例5 若x>0,y>0,x+y=1, 求证:(1+)(1+)≥9
分析: x+y常数,xy可有最大值
证法一: 左边＝(1+)(1+)=1+++=1++
=1+≥1+=9＝右边 (当且仅当x=y=时取“=”号)
证法二： 令x= y=, 0<<
左边＝(1+)(1+)=(1+)(1+)
=1+++·=1+
=1+≥1+8=9＝右边
0<2< =时，x=y=时取等号 ( http: / / www. / wxc / )
证法三：∵x+y=1
∴左边＝(1+)(1+)=(1+)(1+)=(2+)(2+)
=5+2(+)≥5+4=9＝右边 (当且仅当x=y=时取“=”号)
小结：
1 ( http: / / www. / wxc / )平均值定理是证明不等式的重要依据，其一般形式是：
a1a2a3```+an≥( a1a2a3```an均为正实数)，它的一边是“和”的形式，另一边是“积”的形式，要实现转化时，常用均值不等式 ( http: / / www. / wxc / )用它来求函数最值时，注意：一“正”二“定”三“相等” ( http: / / www. / wxc / )
2 ( http: / / www. / wxc / )运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b2≥2ab逆用ab≤; ≥ (a,b>0)逆用为ab≤()2 （a,b>0）等 ( http: / / www. / wxc / )还要注意“添拆项”技巧和公式等号成立的条件等 ( http: / / www. / wxc / )
3 ( http: / / www. / wxc / )在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值 ( http: / / www. / wxc / )
学生练习 ( http: / / www. / wxc / )
1 ( http: / / www. / wxc / ) 设a、b≥0,a＋b=1, 试比较大小： 2(填“≥”,“≤”或“=”)
答案：≤
2 ( http: / / www. / wxc / ) 比较大小：若a>b>0, 则 ( http: / / www. / wxc / )(填“>”,“<”或“=”)
答案：>
2 ( http: / / www. / wxc / ) 若x, y∈R+, 且x＋y=s, xy=p, 则下列命题中正确的是（ ）
A ( http: / / www. / wxc / ) 当且仅当x=y时，s有最小值2
B ( http: / / www. / wxc / )当且仅当x=y时，p有最大值
C ( http: / / www. / wxc / )当且仅当p为定值时，s有最小值2
D ( http: / / www. / wxc / )若s为定值，则当且仅当x=y时，p有最大值
答案：D
4 ( http: / / www. / wxc / ) 若x, y∈R+, x＋y≤4,则下列不等式中成立的是（ ）
A ( http: / / www. / wxc / )≤ B ( http: / / www. / wxc / )＋≥1 C ( http: / / www. / wxc / )≥ 2 D ( http: / / www. / wxc / )≥1
答案：B ( http: / / www. / wxc / ) 提示：＋≥2≥2≥1
5 ( http: / / www. / wxc / ) 下列说法中不正确的是（ ）
A ( http: / / www. / wxc / )由a、b∈R，可得a2＋b2≥2ab≥－(a2＋b2)
B ( http: / / www. / wxc / )对于命题“a、b∈R+≥”,把条件改为a、b均为非负数后依然成立
C ( http: / / www. / wxc / )若a>b>0, n∈Z, n>1,则a>b
D ( http: / / www. / wxc / )若a、b、c∈R+，则
答案：D
提示：≤=
6 ( http: / / www. / wxc / ) 下列不等式中恒成立的是（ ）
A ( http: / / www. / wxc / )ctgθ＋tgθ≥2 B ( http: / / www. / wxc / )x＋－1≥2
C ( http: / / www. / wxc / )≥2 D ( http: / / www. / wxc / )xyz≤ (x＋y＋z=1)
答案：B
7 ( http: / / www. / wxc / ) 当x∈R+ 时可得到不等式x＋≥2, x＋=＋＋ ≥3, 由此可以推广为x＋≥n＋1, 取值p等于（ ）
A ( http: / / www. / wxc / )nn B ( http: / / www. / wxc / )n 2 C ( http: / / www. / wxc / )n D ( http: / / www. / wxc / )n＋1
答案：A ( http: / / www. / wxc / ) 提示：x＋＝＋＋……＋＋≥n＋1，∴p= nn
8 ( http: / / www. / wxc / ) x、y>0, x＋y=1, 且 ≤a恒成立, 则a的最小值为（ ）
A ( http: / / www. / wxc / )/2 B ( http: / / www. / wxc / )2 C ( http: / / www. / wxc / )2 D ( http: / / www. / wxc / )
答案：D ( http: / / www. / wxc / ) 提示：≤2=
9 ( http: / / www. / wxc / ) 在区间(0, +∞)上，当x= 时，函数y=＋3x有最小值 ( http: / / www. / wxc / )
答案：2；9 ( http: / / www. / wxc / ) 提示：y=＋3x≥3=9,
10 ( http: / / www. / wxc / ) 函数y=m2＋的值域为 ( http: / / www. / wxc / )
答案：[1, +∞) ( http: / / www. / wxc / )提示：y=m2＋= y=(m2＋1)＋－1≥2
11 ( http: / / www. / wxc / ) 已知x、y、z≥0,且x＋y＋z=1, 则的最大值为 ； 最小值为 ( http: / / www. / wxc / )
答案：；1
12 ( http: / / www. / wxc / ) 已知：a＋b＋c=1, a2＋b2＋c2=1, 且a>b>c,则a＋b的取值范围是 ；a2＋b2 的取值范围是 ( http: / / www. / wxc / )
答案：(1, )；(, 1)
13 ( http: / / www. / wxc / ) 若a>1, b>1, c>1, ab=10，求证：log ac＋log bc≥4lgc, 并指出什么时候等号成立 ( http: / / www. / wxc / )
答案：a=b=时等号成立 ( http: / / www. / wxc / ) 提示：a>1, b>1, c>1, ab=10, log ac＋log bc=lgc·≥lgc·=4lgc, 当lga=lgb时,即a=b=时等号成立
14 ( http: / / www. / wxc / ) 若a>0, b>0，且=1,
求证：(I) a＋b≥4;
(II) 对于一切n∈N, (a＋b)n－an－bn≥22n－2n＋1成立 ( http: / / www. / wxc / )
提示：(I) =1, a＋b=()(a＋b)=1＋＋＋1≥4,
(II) 当n=1时, 左式＝0，右式＝0，∴n=1时成立，假设n=k时成立，即(a＋b)k－ak－bk≥22k－2k＋1, 则当n=k＋1时，(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1=(a＋b) (a＋b)k－ak＋1－bk＋1≥(a＋b)(ak＋bk＋22k－2k＋1) －ak＋1－bk＋1=abk＋bak＋(a＋b)(22k－2k＋1)≥2·2k＋1＋4·22k－4·2k＋1=22k＋2－2k＋2, ∴n=k＋1时命题成立 ( http: / / www. / wxc / )
课前后备注 ( http: / / www. / wxc / )
PAGE
- 1 -不等式的解法（一）
总第 课时 授课类型：新授课 授课时间：05年 月 日
教学目的：
1、了解高次不等式与分式不等式及其联系。
2、能用同解转化的方法解简单的高次不等式与分式不等式。
3、能用数轴标根法解简单的高次不等式与分式不等式。
教学重点：（1）分式不等式与高次不等式的概念。
（2）不等式的同解转化。
教学难点：（1）数轴标根法解分式不等式与高次不等式。
（2）不等式的重因式问题及等号取舍问题。
教学过程：
一、复习回顾
1、一元一次不等式的解法： 步骤：（1）化标准形ax>b；（2）求解集
2、一元二次不等式的解法；
步骤：（1）化标准形或
（2）判断，进一步求出标准形对应的方程根；
（3）根据及的正、负，作出标准形对应函数的草图，写出解集.
解集为
解集为
3、高次不等式的解法：（数轴标根法）
（1）化标准形：设…;
(2) 在数轴上将f(x)=0的根标出(n个)，将数轴分成n+1个区间；
（3）判断f(x)在这n+1个区间上的正、负，写出不等式的解.
4、分式不等式的解法：（同解转化法）
注意：解不等式时，一定要注意不等式中未知数允许取值的范围，即不等式的定义域．
利用数形结合解不等式，可以简化解题过程，提高解题速度，特别是选择、填空题中的不等式问题．
5、含参不等式的解法：
一般含参一元二次不等式分类讨论的依据：
（1）对二次项系数讨论等于零，大于0，小于0；
（2）对判别式讨论；
（3）对两根比较大小.
二、例题分析
考点1：高次不等式的解法
例1、（1）； （2）；
（3）
（若原题目改为呢？）
练习：《导练》P123 练功房2（1）
考点2：分式不等式的解法：
例2、（1）； （2）； （3）≥1．
练习：《导练》P123 练功房2（2）
考点3：含参不等式的解法：
例3：解关于的不等式
练习：（1）《导练》P123 1t
（2）已知不等式时一切实数都成立，求实数的取值范围.
例4、（《导练》P123 3）解关于的不等式：
练习：（1）k为何值时，关于的不等式恒成立？
（2）《导练》P125 12t
三、课堂小结
1、解分式不等式与高次不等式的基本方法是同解转化法，简便方法是数轴标根法；
高次不等式，步骤：移项——分解——标根——写解；
分式不等式，步骤：移项——通分——分解——标根——写解。
2、相同因式的分式不等式与高次不等式既要了解它们的联系又要了解它们的区别，尤其要注意等号取舍的不同；
3、含重因式的分式不等式与高次不等式在进行等价转化时要注意重因式对其的影响。
四、课后作业
1.下列各组不等式中，同解的是（ ）
A. B.
C. D.
2.不等式的解为（ ）
A. B.
C. D.
3.使不等式和同时成立的的值也满足关于的不等式，则（ ）
A. B. C. D.
4、k为何值时，不等式对任意实数x恒成立
5、求不等式的解集
6、解不等式
五、教学后记
PAGE
3不等式证明
总第 课时 课型：复习课 年 月 日
教学目标：1、理解用比较法证明不等式的理论依据，掌握利用比较法来证明不等式的一般步骤；
2、注意用综合法证明不等式的逻辑关系；
3、引导学生把实际问题抽象成数学问题，培养学生分析问题和解决问题的能力；
重点难点：1、说明比较法证明不等式的步骤。
2、根据题目的特点，由已知条件，灵活使用有关不等式的定理以及不等式的
一、知识点归纳 ( http: / / www. / wxc / )
不等式证明常用的一些简单方法有 ( http: / / www. / wxc / ) 比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法 ( http: / / www. / wxc / )
(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述 ( http: / / www. / wxc / ) 如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证 ( http: / / www. / wxc / )
(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野 ( http: / / www. / wxc / )
二、例题解析：
作差比较法：
例1、（1）求证：x2 + 3 > 3x
（2）已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：
变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？
加深：本题还可构造函数，利用函数的单调性证明。
练习：已知a, b都是正数，并且a b，求证：
作商比较法
例2、设a, b R+，求证：
评：作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。
分析法及综合法。
例3、求证：
分析法： 综合法：
练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：
（分析法）
（综合法）
综合练习：已知a＞0，b＞0，且a+b=1 ( http: / / www. / wxc / ) 求证 ( http: / / www. / wxc / ) (a+)(b+)≥ ( http: / / www. / wxc / )
证法一 ( http: / / www. / wxc / ) (分析法）
证法二 ( http: / / www. / wxc / ) (比较法）
证法三 ( http: / / www. / wxc / ) (综合法)
三、小结：1．比较法证明不等式的一般步骤：作差(商)—变形—判断—结论；
2．为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。
3、认真分析题意，寻找恰当的解题方法，并能结合函数、三角等有关知识来解决不等式问题。
四、作业：
1、已知是不全相等的正数，求证：．
2、已知0 < < ，证明：
3、已知，求证．
4、已知，求证： ；
五、教学后记：
(分析法）
欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，
即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8 ( http: / / www. / wxc / )
∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立
∵1=a+b≥2，∴ab≤，从而得证 ( http: / / www. / wxc / )
(比较法）
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤
(综合法)
∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤ ( http: / / www. / wxc / )
