数列与不等式[上下学期通用]

放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径
先放缩再求和
例1 （05年湖北理）已知不等式其中为不大于2的整数，表示不超过的最大整数。设数列的各项为正且满足，证明：，
分析：由条件得：
……
以上各式两边分别相加得：
=
本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。
例2 （04全国三）已知数列的前项和满足：，
（1）写出数列的前三项，，；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对任意的整数，有
分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；
⑵由已知得：（n>1）
化简得：
,
故数列{}是以为首项, 公比为的等比数列.
故 ∴
∴数列{}的通项公式为：.
⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：，
，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时，
（2）当是奇数时，为偶数，
所以对任意整数，有。
本题的关键是并项后进行适当的放缩。
1、 先求和再放缩
例3（武汉市模拟）定义数列如下：
证明：（1）对于恒有成立。
（2）当，有成立。
（3）。
分析：（1）用数学归纳法易证。
（2）由得：
… …
以上各式两边分别相乘得：
，又
（3）要证不等式，
可先设法求和：，再进行适当的放缩。
又
原不等式得证。
本题的关键是根据题设条件裂项求和。