数学归纳法[下学期]
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(共21张PPT)
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,
(2)假设当n=k(k N* ，k n0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
注意 1.
用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.
2
(1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据 n＝k时命题成立．作为必用的条件，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明
回顾
例1:已知数列
计算 ,根据计算的结果,猜想
的表达式,并用数学归纳法进行证明.
例2、已知数列{an}中，a1= ,其前n项和Sn满足：
(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn，并证明。
当n=k+1时：
ak+1=Sk+1-Sk=S k+1+ +2
略解：S1=a1= ,S2= ,S3= ,S4= .
猜想：Sn= 。
证明：1）n=1时由前可知，公式成立。
2）假设当n=k(k∈N )时有：Sk= ,
∴当n=k+1时公式仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N 公式均成立。
例3:是否存在常数a、b,使得等式:
对一切正整数n都成立,并证明你的结论.
分析:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.
解:令n=1,2,并整理得
以下用数学归纳法证明:
(2)假设当n=k时结论正确,即:
则当n=k+1时,
故当n=k+1时,结论也正确.
根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.
证明：
例4、
∴ 当n=k+1时，不等式仍成立。
由1）、2）可知，对一切n∈N ，原不等式均成立。
例5:比较 2n 与 n2 (n∈N*)的大小
注：先猜想，再证明
解：当n=1时，2n=2,n2=1, 2n>n2
当n=2时，2n=4,n2=4, 2n=n2
当n=3时，2n=8,n2=9, 2n当n=4时，2n=16,n2=16, 2n=n2
当n=5时，2n=32,n2=25, 2n>n2
当n=6时，2n=64,n2=36, 2n>n2
猜想当n≥5时，2n>n2(证明略)
例6:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)=n(n-1)/2.
说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5
f (1)=0 f (2)=1 f (3)=3 f (4)=6 f (5)=10
直线条数n 1 2 3 4 5 6 … n
增加点数Δn 1 2 3 4 5 … n-1
f (n) 0 1 3 6 10 15 … ？
猜想：f (1)=0，f (2)=0+1，f (3)=1+2，f (4)=1+2+3，
f (5)=1+2+3+4，…，f (n)=1+2+…+(n-1)=
n(n-1)，
解决问题的关键是：
①寻求初始值f (1)=0，②建立递推关系f (n+1)=f (n)+n
例7、平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何
三条不过同一点，求证交点个数是f(n)= n(n-1).
当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于
一点，共增加k个点，
由1）、2）可知，对一切n∈N 原命题均成立。
证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1,
而f(2)= ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。
∴k+1条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k
= k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),
即当n=k+1时命题仍成立。
2）假设n=k(k∈N ,k≥2)时，k条直线交点个数为
f(k)= k(k-1),
注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论:
(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线,
---则: f(n)=n2.
(2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.
例8 求证 x2n-y2n (n N)能被x+y整除。
证明：1）n=1时：x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除，命题成立。
2）假设当n=k(k∈N )时有x2k - y2k能被x+y整除,
当n=k+1时：x2(k+1) - y2(k+1) = x2k+2 - y2k+2
= x2k x2 - y2k y2
= x2k x2 - y2k x2 + y2k x2 - y2k y2
=(x2k - y2k) x2 +y2k(x2 - y2) …………（ ）
∵ (x2k - y2k)和(x2 - y2)都能被x+y整除，
∴（ ）式也能被x+y整除。
由以上可知，对一切n∈N ， x2n-y2n都能被x+y整除。
例9、用数学归纳法证明：42n+1+3n+2(n∈N )能被13整除。
证明：1）n=1时：4 2×1+1+31+2=91，能被13整除。
2）假设当n=k(k∈N )时, 42k+1+3k+2能被13整除，
当n=k+1时：42(k+1)+1+3(k+1)+2 = 4(2k+1)+2+3(k+2)+1
= 42k+1 16+3k+2 3
= 42k+1 16+3k+2 16-3k+2 16+3k+2 3
=16(42k+1+3k+2)-13 3k+2 …………( )
∵42k+1+3k+2及13 3k+2均能被13整除,∴( )式能被13整除。
∴ 42(k+1)+1+3(k+1)+2也能被13整除，即当n=k+1时命题仍成立。
由1）、2）可知，对一切n∈N 原命题均成立。
例10、求证：当n取正奇数时，xn+yn能被x+y整除。
证明：1）n=1时：x1+y1=x+y，能被x+y整除，命题成立。
2）假设n=k(k为正奇数)时，有xk+yk能被x+y整除,
当n=k+2时:xk+2+yk+2
=xk x2 +yk y2
= xk x2+yk x2-yk x2 +yk y2
=(xk+yk) x2 - yk(x2-y2)
∵以上两项均能被x+y整除，∴xk+2+yk+2能被x+y整除，
即当n=k+2时命题仍成立。
=(xk+yk) x2 - yk(x-y)(x+y),
由1）、2）可知，对一切正奇数n，
都有xn+yn能被x+y整除。
求证 xn-yn (n为正偶数)能被x+y整除
求证 11 n+1+12 2n-1能被133整除.
１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,
证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.
作业：Ｐ１０８ Ａ组３
小结数学归纳法的应用（之二）：
1、证明整除问题时注意构造的技巧，常用增项减项或拆项的
方法；
2、证明几何问题时注意理清n从k到k+1时几何量的变化情况；
3、“归纳猜想，然后证明其正确性”是一种常用的分析问题解
决问题的方法。
4、证明不等式时常用放缩法。
1:n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 ------的条数f(n+1)=f(n)+_________.
2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或
三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将
空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成
f(k+1)=f(k)+__________个区域.
思考题
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,
(2)假设当n=k(k N* ，k n0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
注意 1.
用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.
2
(1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据 n＝k时命题成立．作为必用的条件，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明
回顾
例1:已知数列
计算 ,根据计算的结果,猜想
的表达式,并用数学归纳法进行证明.
例2、已知数列{an}中，a1= ,其前n项和Sn满足：
(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn，并证明。
当n=k+1时：
ak+1=Sk+1-Sk=S k+1+ +2
略解：S1=a1= ,S2= ,S3= ,S4= .
猜想：Sn= 。
证明：1）n=1时由前可知，公式成立。
2）假设当n=k(k∈N )时有：Sk= ,
∴当n=k+1时公式仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N 公式均成立。
例3:是否存在常数a、b,使得等式:
对一切正整数n都成立,并证明你的结论.
分析:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.
解:令n=1,2,并整理得
以下用数学归纳法证明:
(2)假设当n=k时结论正确,即:
则当n=k+1时,
故当n=k+1时,结论也正确.
根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.
证明：
例4、
∴ 当n=k+1时，不等式仍成立。
由1）、2）可知，对一切n∈N ，原不等式均成立。
例5:比较 2n 与 n2 (n∈N*)的大小
注：先猜想，再证明
解：当n=1时，2n=2,n2=1, 2n>n2
当n=2时，2n=4,n2=4, 2n=n2
当n=3时，2n=8,n2=9, 2n
当n=5时，2n=32,n2=25, 2n>n2
当n=6时，2n=64,n2=36, 2n>n2
猜想当n≥5时，2n>n2(证明略)
例6:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)=n(n-1)/2.
说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5
f (1)=0 f (2)=1 f (3)=3 f (4)=6 f (5)=10
直线条数n 1 2 3 4 5 6 … n
增加点数Δn 1 2 3 4 5 … n-1
f (n) 0 1 3 6 10 15 … ？
猜想：f (1)=0，f (2)=0+1，f (3)=1+2，f (4)=1+2+3，
f (5)=1+2+3+4，…，f (n)=1+2+…+(n-1)=
n(n-1)，
解决问题的关键是：
①寻求初始值f (1)=0，②建立递推关系f (n+1)=f (n)+n
例7、平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何
三条不过同一点，求证交点个数是f(n)= n(n-1).
当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于
一点，共增加k个点，
由1）、2）可知，对一切n∈N 原命题均成立。
证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1,
而f(2)= ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。
∴k+1条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k
= k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),
即当n=k+1时命题仍成立。
2）假设n=k(k∈N ,k≥2)时，k条直线交点个数为
f(k)= k(k-1),
注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论:
(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线,
---则: f(n)=n2.
(2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.
例8 求证 x2n-y2n (n N)能被x+y整除。
证明：1）n=1时：x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除，命题成立。
2）假设当n=k(k∈N )时有x2k - y2k能被x+y整除,
当n=k+1时：x2(k+1) - y2(k+1) = x2k+2 - y2k+2
= x2k x2 - y2k y2
= x2k x2 - y2k x2 + y2k x2 - y2k y2
=(x2k - y2k) x2 +y2k(x2 - y2) …………（ ）
∵ (x2k - y2k)和(x2 - y2)都能被x+y整除，
∴（ ）式也能被x+y整除。
由以上可知，对一切n∈N ， x2n-y2n都能被x+y整除。
例9、用数学归纳法证明：42n+1+3n+2(n∈N )能被13整除。
证明：1）n=1时：4 2×1+1+31+2=91，能被13整除。
2）假设当n=k(k∈N )时, 42k+1+3k+2能被13整除，
当n=k+1时：42(k+1)+1+3(k+1)+2 = 4(2k+1)+2+3(k+2)+1
= 42k+1 16+3k+2 3
= 42k+1 16+3k+2 16-3k+2 16+3k+2 3
=16(42k+1+3k+2)-13 3k+2 …………( )
∵42k+1+3k+2及13 3k+2均能被13整除,∴( )式能被13整除。
∴ 42(k+1)+1+3(k+1)+2也能被13整除，即当n=k+1时命题仍成立。
由1）、2）可知，对一切n∈N 原命题均成立。
例10、求证：当n取正奇数时，xn+yn能被x+y整除。
证明：1）n=1时：x1+y1=x+y，能被x+y整除，命题成立。
2）假设n=k(k为正奇数)时，有xk+yk能被x+y整除,
当n=k+2时:xk+2+yk+2
=xk x2 +yk y2
= xk x2+yk x2-yk x2 +yk y2
=(xk+yk) x2 - yk(x2-y2)
∵以上两项均能被x+y整除，∴xk+2+yk+2能被x+y整除，
即当n=k+2时命题仍成立。
=(xk+yk) x2 - yk(x-y)(x+y),
由1）、2）可知，对一切正奇数n，
都有xn+yn能被x+y整除。
求证 xn-yn (n为正偶数)能被x+y整除
求证 11 n+1+12 2n-1能被133整除.
１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,
证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.
作业：Ｐ１０８ Ａ组３
小结数学归纳法的应用（之二）：
1、证明整除问题时注意构造的技巧，常用增项减项或拆项的
方法；
2、证明几何问题时注意理清n从k到k+1时几何量的变化情况；
3、“归纳猜想，然后证明其正确性”是一种常用的分析问题解
决问题的方法。
4、证明不等式时常用放缩法。
1:n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 ------的条数f(n+1)=f(n)+_________.
2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或
三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将
空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成
f(k+1)=f(k)+__________个区域.
思考题