数学归纳法的复习课[上学期]
图片预览
文档简介
课件24张PPT。数学归纳法一数学归纳法:1.适应范围:某些与正整数有关的数学命题.2.数学归纳法的解题步骤：(3)下结论:由以上可知对于n取第一个值
后面的所有正整数也都成立.象这种证明方法叫数学归纳法．注意:用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.3.数学归纳法的应用：（1）恒等式（2）不等式（3）三角方面（4）整除性（5）几何方面（6）计算、猜想、证明2k+1热身练习３、用数学归纳法证明：
在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（ ） A．1 B.
C． D. CC４.已知: ,则 等于( )
A: B:
C: D: 例1.下面是某同学用数学归纳法证明命题
的过程.你认为他的证法正确吗?为什么？
证明： (1) 当n=1时,左边= , 右边= ,等式成立.
(2) 假设n=k时命题成立 即
那么n=k+1时,
左边
=右边,
即n=k+1时,命题也成立.
由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确. 2.用数学归纳法证明 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ 证明:2)假设n=k时命题成立,即
1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= =2. 命题成立例2、已知数列{an}中，a1= ,其前n项和Sn满足：
(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn，并证明。当n=k+1时：
ak+1=Sk+1-Sk=S k+1+ +2 ? 略解：S1=a1= ,S2= ,S3= ,S4= .猜想：Sn= 。证明：1）n=1时由前可知，公式成立。
2）假设当n=k(k∈N?)时有：Sk= ,∴当n=k+1时公式仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N?公式均成立。例3:是否存在常数a、b,使得等式:
对一切正整数n都成立,并证明你的结论.分析:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.解:令n=1,2,并整理得以下用数学归纳法证明:
(2)假设当n=k时结论正确,即:
则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.证明：例4、∴ 当n=k+1时，不等式仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N ，原不等式均成立。?例5:比较 2n 与 n2 (n∈N*)的大小注：先猜想，再证明解：当n=1时，2n=2,n2=1, 2n>n2
当n=2时，2n=4,n2=4, 2n=n2
当n=3时，2n=8,n2=9, 2n 当n=4时，2n=16,n2=16, 2n=n2
当n=5时，2n=32,n2=25, 2n>n2
当n=6时，2n=64,n2=36, 2n>n2
猜想当n≥5时，2n>n2(证明略)
例６ 用数学归纳法证明：
34n+2＋52n+1能被14整除．证明：(i)当n＝1时，34×1+2＋52×1+1＝754＝14×16，
∴当n＝1时，34n+2＋52n+1能被14整除．(ii)设n＝k(k≥1，k∈N*)时，34k+2＋52k+1能被14整除．那么当n＝k＋1时34(k+1)+2＋52(k+1)+1＝34k+2·34＋52k+1·52 ＝81·34k+2＋25·52k+1＝(25＋56)·34k+2＋25·52k+1 ＝25·(34k+2＋52k+1)＋56·34k+2．∵ (34k+2＋52k+1)能被14整除，56能被14整除， ∴ 34n+2＋52n+1能被14整除．即n＝k＋1时，命题成立． 根据(i)、(ii)可知, 34n+2＋52n+1能被14整除．练习：求证an+1＋(a＋1)2n-1能被a2＋a＋1整除 (其中a＞0，且a≠1)。 证明? (1)当n＝1时，an＋1＋(a＋1)2n-1=a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除，即n=1时，命题成立。 (2)假设n=k时，ak+1＋(a＋1)2k-1 能被a2＋a＋1整除，那么当n＝k+1时，ak+2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak+1＋(a＋1)2(a＋1)2k-1 ＝a［ak+1＋(a＋1)2k-1］＋(a＋1)2(a＋1)2k-1-a(a+1)2k-1 ＝a[ak+1＋(a＋1)2k-1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k-1 由归纳假设知，ak+1＋(a＋1)2k-1能被a2＋a＋1整除。 故ak+2＋(a＋1)2k+1能被a2＋a＋1整除。 由(1)、(2)可知，命题对任n∈N均成立。 例8:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)=n(n-1)/2.说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立. n=1 n=2 n=3 n=4 n=5
f (1)=0 f (2)=1 f (3)=3 f (4)=6 f (5)=10猜想：f (1)=0，f (2)=0+1，f (3)=1+2，f (4)=1+2+3，
f (5)=1+2+3+4，…，f (n)=1+2+…+(n-1)= n(n-1)， 解决问题的关键是：
①寻求初始值f (1)=0，②建立递推关系f (n+1)=f (n)+n 例9、平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何
三条不过同一点，求证交点个数是f(n)= n(n-1).当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于
一点，共增加k个点，由1）、2）可知，对一切n∈N?原命题均成立。证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1,
而f(2)= ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。 ∴k+1条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k
= k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),
即当n=k+1时命题仍成立。2）假设n=k(k∈N?,k≥2)时，k条直线交点个数为
f(k)= k(k-1),注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论:(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线,
---则: f(n)=n2.(2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.１．用数学归纳法证明：练习２. 是否存在常数a、b、c使得下面
等式 成立 注意： 存在性问题，一般都要通过
“观察---归纳—猜想---证明”的过程数列｛bn｝的通项满足
用数学归纳法证明:3.已知数列｛an｝的通项公式 ，
1、数学归纳法的第一步是递推的基础,有了此基础,在第二步中的假设才能成立,才不是真正意义上的纯粹假设.第二步是递推的依据,当假设中的某些情况(n≥n0)时n取值较小的情况)成为事实后,依据第二步就可知当n取下一个值时命题也成立,如此又增加了假设中变为命题成立的n的取值,经不断地循环递推便得到对满足n≥n0的所有正整数命题都成立.重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。小 结2、观察、实验－－归纳、猜想－－证明，是经常运用的综合性数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，以便达到解决问题的目的.
后面的所有正整数也都成立.象这种证明方法叫数学归纳法．注意:用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.3.数学归纳法的应用：（1）恒等式（2）不等式（3）三角方面（4）整除性（5）几何方面（6）计算、猜想、证明2k+1热身练习３、用数学归纳法证明：
在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（ ） A．1 B.
C． D. CC４.已知: ,则 等于( )
A: B:
C: D: 例1.下面是某同学用数学归纳法证明命题
的过程.你认为他的证法正确吗?为什么？
证明： (1) 当n=1时,左边= , 右边= ,等式成立.
(2) 假设n=k时命题成立 即
那么n=k+1时,
左边
=右边,
即n=k+1时,命题也成立.
由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确. 2.用数学归纳法证明 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ 证明:2)假设n=k时命题成立,即
1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= =2. 命题成立例2、已知数列{an}中，a1= ,其前n项和Sn满足：
(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn，并证明。当n=k+1时：
ak+1=Sk+1-Sk=S k+1+ +2 ? 略解：S1=a1= ,S2= ,S3= ,S4= .猜想：Sn= 。证明：1）n=1时由前可知，公式成立。
2）假设当n=k(k∈N?)时有：Sk= ,∴当n=k+1时公式仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N?公式均成立。例3:是否存在常数a、b,使得等式:
对一切正整数n都成立,并证明你的结论.分析:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.解:令n=1,2,并整理得以下用数学归纳法证明:
(2)假设当n=k时结论正确,即:
则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.证明：例4、∴ 当n=k+1时，不等式仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N ，原不等式均成立。?例5:比较 2n 与 n2 (n∈N*)的大小注：先猜想，再证明解：当n=1时，2n=2,n2=1, 2n>n2
当n=2时，2n=4,n2=4, 2n=n2
当n=3时，2n=8,n2=9, 2n
当n=5时，2n=32,n2=25, 2n>n2
当n=6时，2n=64,n2=36, 2n>n2
猜想当n≥5时，2n>n2(证明略)
例６ 用数学归纳法证明：
34n+2＋52n+1能被14整除．证明：(i)当n＝1时，34×1+2＋52×1+1＝754＝14×16，
∴当n＝1时，34n+2＋52n+1能被14整除．(ii)设n＝k(k≥1，k∈N*)时，34k+2＋52k+1能被14整除．那么当n＝k＋1时34(k+1)+2＋52(k+1)+1＝34k+2·34＋52k+1·52 ＝81·34k+2＋25·52k+1＝(25＋56)·34k+2＋25·52k+1 ＝25·(34k+2＋52k+1)＋56·34k+2．∵ (34k+2＋52k+1)能被14整除，56能被14整除， ∴ 34n+2＋52n+1能被14整除．即n＝k＋1时，命题成立． 根据(i)、(ii)可知, 34n+2＋52n+1能被14整除．练习：求证an+1＋(a＋1)2n-1能被a2＋a＋1整除 (其中a＞0，且a≠1)。 证明? (1)当n＝1时，an＋1＋(a＋1)2n-1=a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除，即n=1时，命题成立。 (2)假设n=k时，ak+1＋(a＋1)2k-1 能被a2＋a＋1整除，那么当n＝k+1时，ak+2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak+1＋(a＋1)2(a＋1)2k-1 ＝a［ak+1＋(a＋1)2k-1］＋(a＋1)2(a＋1)2k-1-a(a+1)2k-1 ＝a[ak+1＋(a＋1)2k-1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k-1 由归纳假设知，ak+1＋(a＋1)2k-1能被a2＋a＋1整除。 故ak+2＋(a＋1)2k+1能被a2＋a＋1整除。 由(1)、(2)可知，命题对任n∈N均成立。 例8:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)=n(n-1)/2.说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立. n=1 n=2 n=3 n=4 n=5
f (1)=0 f (2)=1 f (3)=3 f (4)=6 f (5)=10猜想：f (1)=0，f (2)=0+1，f (3)=1+2，f (4)=1+2+3，
f (5)=1+2+3+4，…，f (n)=1+2+…+(n-1)= n(n-1)， 解决问题的关键是：
①寻求初始值f (1)=0，②建立递推关系f (n+1)=f (n)+n 例9、平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何
三条不过同一点，求证交点个数是f(n)= n(n-1).当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于
一点，共增加k个点，由1）、2）可知，对一切n∈N?原命题均成立。证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1,
而f(2)= ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。 ∴k+1条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k
= k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),
即当n=k+1时命题仍成立。2）假设n=k(k∈N?,k≥2)时，k条直线交点个数为
f(k)= k(k-1),注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论:(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线,
---则: f(n)=n2.(2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.１．用数学归纳法证明：练习２. 是否存在常数a、b、c使得下面
等式 成立 注意： 存在性问题，一般都要通过
“观察---归纳—猜想---证明”的过程数列｛bn｝的通项满足
用数学归纳法证明:3.已知数列｛an｝的通项公式 ，
1、数学归纳法的第一步是递推的基础,有了此基础,在第二步中的假设才能成立,才不是真正意义上的纯粹假设.第二步是递推的依据,当假设中的某些情况(n≥n0)时n取值较小的情况)成为事实后,依据第二步就可知当n取下一个值时命题也成立,如此又增加了假设中变为命题成立的n的取值,经不断地循环递推便得到对满足n≥n0的所有正整数命题都成立.重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。小 结2、观察、实验－－归纳、猜想－－证明，是经常运用的综合性数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，以便达到解决问题的目的.