江西省赣州市六校2013-2014学年高二上学期期末联考数学（文)试题

2013-2014学年度第一学期期末联考
高二数学试题（文科）
（共150分．考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.
1．椭圆的焦距为(　　)
A．　　 B．2 C．4 D．4
2．已知x与y之间的一组数据(如表所示)：则关于y与x的线性回归方程y＝bx＋a必过定点(　　)
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
A．(2,2) B．(1.5,0) C．(1,2) D．(1.5,4)
3．执行右边程序语句的过程中，执行循环体的次数是（ ）
A．0 B．1 C．2 　D．3
4．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计
数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为,,中位
数分别为,,则（ ）
A． , B．,
C．, D．,
5．已知函数f(x)＝ax2＋3x－2在点(2，f(2))处的切线斜率为7，则实数a
的值为(　　)
A．－1　　 B．1 C．±1 D．－2
6．设函数f(x)＝xex，则(　　)
A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
7．下列说法错误的是( )
A．“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的否命题是：“若，则”
C．若命题p：存在，则命题p的否定：对任意
D．若命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
8．如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是中的任何
一个，允许重复，则填入方格的数字大于方格的数字的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．设F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则= （ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
10．如图，在棱长为1的正方体的对角线上任取一点P，以为球心，为半径作一个球.设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图象最有可能的是（ ）


A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案填写在答题卷上.
11. 如图的程序框图所示，若输入，，则输出的值是 ；
12．设函数f(x)的导数为，且，则___.
13. 设函数.若从区间内随机选取一个实数,
则所选取的实数满足的概率为 .
14. 一个半径为2的球体经过切割后,剩余部分几何体的三视图如图所示，
则该几何体的表面积为 ；
15．已知双曲线的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于两点,为坐标原点.若的面积为,则双
曲线的离心率为_________.
三、解答题：共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人.（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖，.求a和b至少有一人上台抽奖的概率；
17.（本小题满分12分）
如图，中，平面外一条线段AB满足AB∥DE，AB，AB⊥AC，F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE
（Ⅱ）若AC=AD，证明：AF⊥平面
18．(本小题满分12分)
已知命题：方程表示椭圆；：方程表示双曲线. 若“或”为真，“且” 为假，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
如图，E是以AB为直径的半圆上异于点A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）设平面与半圆弧的另一个交点为
①试证：
②若求三棱锥的体积
20．(本小题满分13分)
已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：
x
3
－2
4

y
－2
0
－4

(1)求C1、C2的标准方程；
(2)是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F； ②与C1交于不同的两点M、N，且满足⊥？
若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

21．(本小题满分14分)
已知函数f(x)＝－x3＋x2－2x(a∈R)．
(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a－1)成立，求实数a的取值范围；
(3)若过点可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．

2013-2014学年度第一学期期末联考
高二数学（文科）参考答案
一、选择题：
1．B 2．D 3．C 4．B 5．B 6．D ７．A ８．D ９．C 10．A
二、填空题
11． 12．－； 13．0.3 14． 15．2
三、解答题
16．解：（Ⅰ）依题意，由
120：120：n=6:6:8 ……2分
得n=160 ……4分
（Ⅱ）记事件A为“a和b至少有一人上台抽奖”，
从高二代表队6人中抽取2人上台抽奖的所有基本事件列举如下：
a b c d e

b c d e f c d e f d e f e f f ……7分
共15种可能， ……8分
其中事件A包含的基本事件有9种：ab、ac、ad、ae、af、bc、bd、be、bf ……10分
所以P（A）= ……12分
17．证明：（Ⅰ）如图，取CE的中点M，连结FM， BM
∵F为CD的中点
∴FM∥DE，且FM=DE ……2分
又∵DE=2AB
∴AB∥FM且AB=FM
∴四边形ABMF为平行四边形 ……4分
又AF平面BCE，BM平面BCE
∴AF∥平面BCE …………6分
（Ⅱ）∵AC=AD，F是CD的中点
∴AF⊥CD ………7分
由AB⊥AC，DE∥AB，可得DE⊥AC，DE⊥CD …8分
且AC平面ACD，CD平面ACD，AC CD=C
∴DE⊥平面ACD ………9分
∴DE⊥AF ………10分
∵AF⊥CD且DE⊥AF，DE CD=D
∴AF⊥平面CDE …………12分
18．解：若命题为真，则解得； ……………3分
若命题为真，则，解得或.……………6分
由题意可知命题与一真一假, ……………7分
当真假时，则，解得； ……………9分
当假真时，则解得. ……………11分
综上，实数的取值范围或. ……………12分
19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及棱锥体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分.
解：（Ⅰ）∵平面平面，
面面，，面，
∴面． ………………………… 2分
又∵面，
∴． ………………………… 3分
∵在以为直径的半圆上，
∴，
又∵，面，
∴面． ………………… 4分
又∵面，
∴． ……………………… 5分
（Ⅱ）① ∵，面，面，
∴平面． ……………… 6分
又∵面，平面平面，
∴. ……………… 8分
②取中点，的中点，
在中，，，∴．
（Ⅰ）已证得面，又已知，
∴平面． …………… 10分
故． … 12分
20．解：(1)设抛物线C2：y2＝2px(p≠0)， ……………1分
则有＝2p(x≠0)，
据此验证四个点知(3，－2)， (4，－4)在抛物线上， ……………3分
易得C2：y2＝4x. ……………4分
设C1：＋＝1(a＞b＞0)，
把(－2,0)，代入得 ……………5分
解得
所以C1的标准方程为＋y2＝1. ……………6分
(2)容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意． ……………7分
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)，与C1的交点为M(x1， y1)、N(x2，y2)．
由
消去y并整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0， ……………8分
Δ＝(－8k2)2－4(1＋4k2)·4(k2－1)＝48k2＋16＞0，
于是x1＋x2＝，x1x2＝.①
y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，
即y1y2＝k2＝－.② ……………10分
由⊥，即·＝0，得x1x2＋y1y2＝0.(*) ……………11分
将①、②代入(*)式，得－＝＝0，解得k＝±2， ……………12分
所以存在直线l满足条件，且l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0. ……………13分
21．解：(1)当a＝3时，函数f(x)＝－x3＋x2－2x，
得f′(x)＝－x2＋3x－2＝－(x－1)( x－2)． ……………1分
所以当1＜x＜2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增； ……………2分
当x＜1或x＞2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减． …………3分
所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2)，单调递减区间为(－∞，1)和(2，＋∞)．………4分
(2)由f(x)＝－x3＋x2－2x，得f′(x)＝－x2＋ax－2， ……………5分
因为对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a－1)成立，
所以问题转化为对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)max＜2(a－1)． ……………6分
因为f′(x)＝－2＋－2，其图象开口向下，对称轴为x＝.
①当≤1，即a≤2时，f′(x)在[1，＋∞)上单调递减，
所以f′(x)max＝f′(1)＝a－3，
由a－3＜2(a－1)，得a＞－1，此时－1＜a≤2. ……………7分
②当＞1，即a＞2时，f′(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f′(x)max＝f′＝－2，
由－2＜2(a－1)，得0＜a＜8，此时2＜a＜8. ……………8分
综上可得，实数a的取值范围为(－1,8)． ……………9分
(3)设点P是函数y＝f(x)图象上的切点，
则过点P的切线的斜率k＝f′(t)＝－t2＋at－2， ……………10分
所以过点P的切线方程为y＋t3－t2＋2t＝(－t2＋at－2)(x－t)， ……………11分
因为点在该切线上，
所以－＋t3－t2＋2t＝(－t2＋at－2)(0－t)，
即t3－at2＋＝0.
若过点(0，－)可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，
则方程t3－at2＋＝0有三个不同的实数解． ……………12分
令g(t)＝t3－at2＋，则函数y＝g(t)的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点．
令g′(t)＝2t2－at＝0，解得t＝0或t＝.
因为g(0)＝，g()＝－a3＋， ……………13分
所以必须g()＝－a3＋＜0，即a＞2.
所以实数a的取值范围为(2，＋∞)． ……………14分