课件15张PPT。3.1 数 列（第一课时）龙港高级中学1，2，3，4，5，··· n， ··· .（1） 1， ， ， ， ，··· ，··· . （2）1，1.4，1.41，1.414， ··· . （3） 4，5，6，7，8，9，10. （4）－1，1，－1，1， ··· . （5）1，1，1，1， ··· . （6）问：上述6列数有何特征？（一）基本概念1.定义:
按一定顺序排列的一列数叫数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项（首项），
第2项，······，第n项， ······。2.数列的分类：1，2，3，4，5，··· n， ··· .（1） 1， ， ， ， ，··· ，··· . （2）1，1.4，1.41，1.414， ··· . （3） 4，5，6，7，8，9，10. （4）－1，1，－1，1， ··· . （5）1，1，1，1， ··· . （6）数列的一般形式可以写成： 其中 是数列的第n项，上面的数列又可简记为3.数列的表达形式：如数列（1） 如数列（2）如数列（4） 如果数列 {an}的第n项 an与 n 之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 4.数列的通项公式： 数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数。如数列（4）
项 4 5 6 7 8 9 10
序号 1 2 3 4 5 6 7
这说明：数列的项是关于序号的函数，序号从1开始依次增加时，对应的函数值按次序排出就是数列，这就是数列的实质。数列的通项公式也就是相应函数的解析式。5.数列是一个特殊的函数：数列（4） 用图象表示：数列（2）用图象表示5.注意点：
（1）an与{an}的区别；
（2）数列与集合的区别；
（3）数列与函数的关系；
（4）数列图象的特点。（1）（2） 例1 根据下面数列 的通项公式，写出它的前5项：（二）例题讲解练习：p108 1,2 （二）例题讲解例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7；（2）（3）（4）总结：
（1）归纳通项公式的常用方法：观察、归纳、猜想、
验证。
（2）通项公式不唯一；练习：p108 3,4小结： 本节课学习的主要内容有： 1、数列的定义； 2、数列的通项公式； 3、数列的实质； 4、数列通项公式的求法等。思考题：
写出下列数列的一个通项公式：
（1）2，0，2，0；
（2）9，99，999，9999；
（3）0.9，0.99，0.999，0.9999。作业： P110 习题3.1 1、2。课件15张PPT。3.1 数 列（第二课时）龙港高级中学 李求邦问题提出在 1202 年，斐波那契在他的著作中，提出以下的一个问题： 假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12 个月以后有多少对兔子呢？
解答 1 月 1 对解答 1 月 1 对 2 月 1 对解答 1 月 1对 2 月 1对 3 月 2对解答 1 月 1对 2 月 1对 3 月 2对 4 月 3对解答 1 月 1对 2 月 1对 3 月 2对 4 月 3对 5 月 5对解答 1 月 1对 2 月 1对 3 月 2对 4 月 3对 5 月 5对 6 月 8对解答 1 月 1对 2 月 1对 3 月 2对 4 月 3对 5 月 5对 6 月 8对 7 月 13对(一)递推公式
若已知数列{an}的第一项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。注意：
（1）递推公式也式是给出数列的一种方法；
（2）通项公式与递推公式的联系与区别。问：上述数列的递推公式是什么？（二）典例讲解例1 已知数列{an}的第1项是1，以后的各项由
公式 给出，写出这个数列的前5
项。练习1：p109 1,2,3（二）典例讲解例2 写出数列的一个通项公式，使它的前5项分别是下列各数：
1，-4，9，-16，25；
(2) 2，6，12，20，30；
(3)(4) 1，11，111，1111，11111。例3 已知无穷数列 7，4，3，┄， ，┅
（1）求这个数列的第10项；
（2） 是这个数列的第几项？
（3）这个数列有多少各整数项？
（4）有否等于序号的 的项？若有，求出这
些项；若没有，试说明理由。
（5）从第几项开始，每一项与1的绝对值小于
0.001?练习2：
（1）数列1，3，6，10，x，21，28，…中，
则x的值是 。
（2）600是数列1?2，2?3，3?4，4?5，…的第
项。
（3）数列{an}的通项公式an=3n2-28n，则数列
各项中最小项是第 项。
小结：
（1）通项公式与递推公式的区别与联系；
（2）求解数列通项及递推公式的一般方法。作业： P110 习题3.1 3、4。
思考题： 精编：p119 14。课件22张PPT。等 差 数 列龙港高级中学 李求邦（第一课时）通项公式：递推公式：16, 17, 18, 19 , 20 , 21, 22 30 通项公式和递推公式，
是给出一个数列的两种重要方法. 通项公式：递推公式：18, 19, 20, 21 , 22 , 23, 24 正整数的倒数： ① 18，19，20，21，22，23，24；
② 15，5，16，16，28；
③ 52，50，48，46，44，42，40，38；
④ 1，8，15，22，29，36，…
⑤ 8000，8500，9000，9500，10000, 10500；发现发现① 18，19，20，21，22，23，24；
② 15，5，16，16，28；
③ 52，50，48，46，44，42，40，38；
④ 1，8，15，22，29，36，…
⑤ 8000，8500，9000，9500，10000, 10500；⑥定义: 一般地，如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示. 练习1:判断下列数列是否为等差数列：① 23，25，26，27，28，29，30；
② 7, 7, 7, 7, 7, 7, …
③ 52，50，48，46，44，42，40，35；
④ －1，－8，－15，－22，－29；
⑤ －1，1，－1，1，－1，1，－1，1，…引子已知数列 满足：202635.2练习2:在等差数列中，填写下表：例1（1）求等差数列－2，1，4，……的第5项和第12项；
（2）1126是不是上述等差数列
的项？如果是，是第几项？变式Ⅰ：在等差数列 中，已知：
（1）求公差 ；（2）求 .变式Ⅱ：在等差数列 中，
已知 ，求下列各式的值： 猜测:例2 已知数列的通项公式为，其中 是常数，且 ，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？123456789－21471013161922123456789－21471013161922几何直观（Ⅰ）在18和24之间填上两个数，使得这四个数成等差数列；例3 在上面的日历表中：2005 十二月十二月
200518 24 若在a、b之间填上两个数呢？
（Ⅱ）后续研究：继续观察日历表，你能找出几个公差不同的等差数列？试写出它们的通项公式.你能写出这些等差数列的公差构成的集合吗？2005 十二月十二月
2005 18 24 天才在于勤奋，聪明在于积累.让我们日积月累，搭几级通往成功的阶梯.练习3:如图，已知a＝110cm，b＝33cm。各级梯子宽度成等差数列，则中间几级的宽度是多少？小结： 知识·方法·思想探索是数学的生命线，创新是一个民族的灵魂！作业： （一）阅读作业：通读教材，复习巩 固，思考等差数列的前项和的求法；
（二）书面作业：
（三）弹性作业：模仿等差数列的定义，思考有没有“等和数列”.如果有，请探究它的定义、通项公式和相关的性质. 课件17张PPT。等 差 数 列龙港高级中学（第一课时） 通项公式和递推公式，
是给出一个数列的两种重要方法. 通项公式：递推公式：18, 19, 20, 21 , 22 , 23, 24 ① 18，19，20，21，22，23，24；
② 15，5，16，16，28；
③ 52，50，48，46，44，42，40，38；
④ 1，8，15，22，29，36，…
⑤ 8000，8500，9000，9500，10000, 10500；发现定义: 一般地，如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示. 练习1:判断下列数列是否为等差数列：① 23，25，26，27，28，29，30；
② 7, 7, 7, 7, 7, 7, …
③ 52，50，48，46，44，42，40，35；
④ －1，－8，－15，－22，－29；
⑤ －1，1，－1，1，－1，1，－1，1，…引子已知数列 满足：202635.2练习2:在等差数列中，填写下表：例1（1）求等差数列－2，1，4，……的第5项和第12项；
（2）1126是不是上述等差数列
的项？如果是，是第几项？变式Ⅰ：在等差数列 中，已知：
（1）求公差 ；（3）求 .（2）求公差an ；变式Ⅱ：在等差数列 中，
已知 ，求下列各式的值： 猜测:(3) a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10例2 已知数列的通项公式为，其中 是常数，且 ，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？123456789－21471013161922123456789－21471013161922几何直观（Ⅰ）在18和24之间填上两个数，使得这四个数成等差数列；例3 在上面的日历表中：2005 十二月十二月
200518 24 若在a、b之间填上两个数呢？
2005 十二月十二月
2005 18 24 天才在于勤奋，聪明在于积累.让我们日积月累，搭几级通往成功的阶梯.练习2:如图，已知a＝110cm，b＝33cm。各级梯子宽度成等差数列，则中间几级的宽度是多少？小结： 知识·方法·思想探索是数学的生命线，创新是一个民族的灵魂！作业： （一）阅读作业：通读教材，复习巩 固，思考等差数列的前项和的求法；
（二）书面作业：
（三）弹性作业：模仿等差数列的定义，思考有没有“等和数列”.如果有，请探究它的定义、通项公式和相关的性质. 课件8张PPT。等 差 数 列龙港高级中学（第二课时）复习回顾1.等差数列的定义:an-an-1=d (n≥2)2.等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d3.求等差数列通项公式的方法:不完全归纳法,迭加法等一.等差中项的研究引例1(1)等差数列{an}中,a1=3,a3=7,
求a2；
(2)在-1与7之间顺次插入三个数a、
b、c,使得这五个数成等差数列，
求此数列。猜测：若a、b、c成等差数列 2b=a+c?练习一：1.a-d,a+d的等差中项为_______;
2.若等差数列a、b、c的和为12，则b=__;
3.若2、p、f、m、18成等差数列，则
p=___,f=____,m=___;
4.⊿ABC三内角成等差数列，则必有一
内角为_____。
5.等差数列7、12、17、22、…、57，求
最中间项；二.等差数列的性质研究引例2(1)等差数列{an}中，a2=5,a17=35,
则d=__;
(2)等差数列{an}中，a3+a9=18,则
a5+a7=___;
(3)等差数列{an}中，a1+a2=3,a3+a4
=7则a5+a6=___;
(4)等差数列{an}中，a2=-1,a7=5,则
a12=____.(1) 若a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8；
(2)若a9+a10=1,a19+a20=3,求a99+a100；
变题1：若a9+a10=1,a29+a30=5,求a99+a100
(3)若a3+a11=12,a3a11=20,求an。
变题2：若a3+a7+a11=18,a3a7a11=120,求an
变题3：若a2+a5+a14=18,a3a7a11=20,求an
例题1 在等差数列{an}中例题2 三个数成等差数列，它们的和等于
12，它们的平方和等于66，求这三
个数。变题1 四个数成等差数列，它们的和等于
22，它们的平方和等于166，求这
四个数。小结：三个数成等差数列可设为a-d,a,a+d;
四个数成等差数列可设为a-3d,a-d,
a+d,a+3d.作业： （一）阅读作业：通读教材，复习巩 固，思考等差数列的性质及等差中项；
（二）书面作业：p115 8、9、11
在正数数列{an}中，a5a7=12,a2+a10=7.
(1)求an；(2)设bn=an+t,且对一切正数
n，恒有 b2n=2bn,求t的值。对一切正整
数k,n，是否恒有bkn=kbn?请说明理由。思考题课件13张PPT。安宜高级中学等差数列的前n项和（第一课时）问题呈现 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
问题实质 高斯算法探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
借助几何图形，把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四形。获得算法：探究发现 “逆序相加求和” 问题2：求1到n的正整数之和。
分析: “首尾配对求和”探究发现问题3：公式应用例1 南北朝?张丘建算经?
“今有女子不善织布,逐日所织的布以同数递减,初日织五尺,末日织一尺,计织三十日,问共织几何?” 请把它译为现在的数学问题.可归结为怎样的数学问题?“并初、末日织布数，半之，余以织讫日数，即得。”公式应用变式： “今有女子善织布,逐日所织的布以同数递增,初日织五尺, 计织三十日,共织九匹三丈，问日增几何?”（以匹为四丈；九匹三丈为390尺）练习
(1)等差数列｛an｝中，a1=100，d=-2,n=50,求Sn;
(2)等差数列｛an｝中，a1=15，d=3,an=48,求Sn. 例２ 等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的和为54？公式应用变式2 求集合M=｛m|m=7n,n为正自然数，且m<100｝的元素个数，并求这些元素的和。 变式1 等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的和为-16？小结：在求和公式、通项公式中共有首项、公差、项数、尾项、前n项和五个元素，如果已知其中三个，联列方程组，就可求其余二个，即知三求二。
反思公式思考：当首项、公差确定时，Sn的结构有什么特征？ 结论：当d不为0时，点（n,Sn)是在常数项为0的一个二次函数的图象上。 变式3 等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的和最小？课堂小结回顾从特殊到一般的研究方法；
体会等差数列的基本元表示方法，逆序相加的算法，及数形结合的数学思想；
掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。作业布置A必做题：课本118页，习题3.3 1、2
B选做题：在等差数列中，
C思考题：
再见课件8张PPT。龙港高级中学等差数列的前n项和（第二课时）知识回顾：
1.通项公式：an=a1+(n-1)d;
2.主要性质:
(1)an-am=(n-m)d;
(2)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq。
3.前n项和公式：
例1.已知等差数列{an}的前10项的和是 30，前20项的和是100，求前30项的和。变题1.已知等差数列{an}的前m项的和是
30，前2m项的和是100，求前3m项
的和。变题2.已知等差数列{an}中，S10=100,
S100=10,求S110。思考：已知等差数列{an}中，Sm=n,Sn=m,
求Sm+n。例2.等差数列{an}中，已知an=2(n-12)，
求此数列前n项和的最小值。归纳：
(1)当a1>0,d>0时,Sn有最小值无最大值，
且最小值为S1；
(2)当a1>0,d<0时,Sn有最大值无最小值，
当am≥0且am+1≤0,Sn的最大值为Sm；
(3)当a1<0,d>0时,Sn有最小值无最大值，
当am≤0且am+1≥0,Sn的最小值为Sm；
(4)当a1<0,d<0时,Sn有最大值无最小值，
且最大值为S1。变题1.设等差数列{an}满足3a8=5a13,且a1>0,
Sn为其前n项和，问：该数列前多少项
的和最小？变题2.等差数列{an}中，a1<0,Sn为其前n项
和，S9=S12,问：该数列前多少项的和
最小？变题3.等差数列{an}中，前n项和Sn的最大值
为S7，|a7|<|a8| ，求使Sn>0的n的最
大值。课堂小结回顾从特殊到一般的研究方法；
体会方程思想与函数思想在等差数列中的运用；
注重思维的发散性，倡导勇于探索的学习方式。作业布置A必做题：课本118页，习题3.3 5、6、7、8
B选做题：(1)在等差数列中，前4项之和为124，后四项之和为156，所有项和为210，求项数n。
(2)一个等差数列前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32：27，求公差d。
C思考题：
由数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…
前4项的值，推测第n项 an=1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1的结果，并给出证明。
再见课件9张PPT。等差数列的习题课（一）回顾练习1.在等差数列 {an}中，
(1)已知a1-a5-a9-a13+a17=-6,求a1+a17；
(2)若ap=q,aq=p(p≠q),求ap+q
2.一个等差数列共n+1项，在每两项之间插
入一个数，使新数列仍是等差数列，且插
入的数中最大的为132，最小的为-28，则
新数列的第n+1项为 。练习1 在等差数列{an}中，其前4项之和为124，
后4项之和为156，所有项之和为210，则项数
n=_________。（二 ）性质应用及探究例1 设等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn
和Tn,若 ，求 的值。若求 呢？（二 ）性质应用及探究例2 已知{an}为等差数列，若其项数为20项，且a1=1，d=2。求： S偶和S奇；(2)引申1：若项数为2n的等差数列{an}的公差为d，则上题中（2）的结论为什么？引申2：若项数为2n+1的等差数列{an}的公差为d，则上题中（2）的结论为什么？练习2：1.一个等差数列前12项和为354，前12项中
偶数项和与奇数项和之比为32：27，则公差
d=_______；
2.若一个等差数列共有2n+1项，其中S2n+1=50,
S奇=18，则an+1=________。（二 ）性质应用及探究 例3
(1)已知数列{an}的前n项之和Sn=2n2+n,求an.
(2)已知数列{an}的前n项之和Sn=2n2+n+1,求an.归纳:
(1)Sn与an之间的关系:
(2)等差数列中Sn与二次函数之间的关系:
①当d=0时,Sn=na1
②当d≠0时,Sn=an2+bn（二 ）性质应用及探究
例4 已知数列{an}的前n项之和 ,
求数列{|an|}的前n项和Tn。
练习3：(1)在等差数列{an}中，公差d=-2,
a1+a4+a7+…+a97=50,则a3+a6+a9+…+a99=___.
(2)等差数列{an}中，公差d<0,n∈N,且n≥2,
下列不等式正确的是（ ）
(A) Sn>nan>na1 (B) Sn>na1>nan
(A) na1>Sn>nan (A) nan>Sn>na1 -82C作业：作业本课堂小结(1)等差数列有关公式及性质的综合应用，
注意性质的灵活应用；
(2)Sn与an之间的关系。课件8张PPT。等 差 数 列 的 证 明龙港高级中学（一）知识回顾证明等差数列的依据：
（1）an-an-1=d(d为常数，n≥2)；
（2）证明：an-an-1=an-1-an-2(n≥3)。（二）例题讲解例1 已知a、b、c成等差数列，求证：
a2-bc，b2-ac，c2-ab也成等差数列。练习1：练习1：例2 已知数列{an}中， a1=2。
(1)求证：数列 是等差数列。
(2)求数列{an}的通项公式。练习2：(1)已知数列{an}中，a1=0,
（n≥2),求{an}的通项公式。(2)正项数列{an}中，
a1=1，
求{an}的通项公式。例3 已知数列{an}的首项a1=3，通项an
与前n项和Sn之间满足2an=Sn·Sn-1（n≥2).
(1)求证：数列 是等差数列。
(2)求数列{an}的通项公式an。（三）课堂小结（1）知识上：证明等差数列以及通项公式、
前n项和公式的综合应用；
（2）思想上：体现构造的思想方法。思考题：
设正数数列{an}的前n项和为Sn，且满足
8Sn=（an+2)2.
(1)求证：数列{an}是等差数列。
(2)设bn=(-1)nSn，求数列{bn}的前n项和Tn。（四）作业：
作业本：p83-84
精编：p129课件12张PPT。等 比 数 列龙港高级中学（第一课时）问题一:国王的诺言能实现吗？1，2，4，8，16，...,263问题二:出门见九堤，每堤有九木，每木有九
巢，每巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，
问共有几堤，几木，几巢，几鸟，几雏，几
毛？（《算经》）9，92，93，94，95，96问题三:某种汽车购买时的价格是10万元，
每年的折旧率是15%，求这辆车各年开始时的
价格（单位：万元）。10，10×0.85，10×0.852, 10×0.853,…（一）新课导入（二）概念建构 等比数列的概念：如果一个数列从第二
项起，每一项与它的前一项的比等于同一个
常数，则这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用
q表示。练习1：
判断下列数列是否为等比数列：
（1）
（2）1，2，4，8，16，20，…;
（3）数列{an}的通项公式an=3?2n;
（4）1，1，1，…，1；
（5）a，a，a，…，a。（三）通项论证引例：(2)1，2，4，8，16，...,263(3)9，92，93，94，95，96(1)10，10×0.85，10×0.852, 10×0.853,…写出引例中数列的通项公式：an=10×0.85n-1an=2n-1(n≤64)an=9n(n≤6)4/819-1/3(4)27/128 5 2/3(3)-27 -31(2)42 3(1)量数字题号244±3/4324练习2:在等比数列中，填写下表：（四）性质探究例1 （1）求等比数列1，2，4，…，的
第5项和第12项。
（2）512是不是上述等比数列的项？
如果是，是第几项？变式1 在等比数列{an}中，已知a5=24，
a12=211，求公比q 和a7。性质1 在等比数列{an}中， an=am?qn-m变式2 在等比数列{an}中，已知a7=26，
求下列各式的值：
(1)a6?a8 (2) a3?a11 性质2 在等比数列{an}中， 若m+n=s+t,
则am?an =as?at
例2 已知数列{an}的通项公式an=2n-1，
求证数列{an}是等比数列。变式：已知数列{an}，{bn}是项数相等的等
比数列，求证数列{an?bn}是等比数列。（五）课堂小结（1）知识上：等比数列的概念、通项公式；
（2）方法上：迭乘法、基本量法；
（3）思想上：体现方程思想、函数思想、
数形结合思想。作业： （一）阅读作业：通读教材，复习巩 固，完成刚开始时上课引入的问题：国王能否兑现奖品？思考等比数列的前项和的求法；
（二）书面作业：p125 1，2，3，5
（三）弹性作业：模仿等比数列的定义，思考有没有“等积数列”.如果有，请探究它的定义、通项公式和相关的性质. 课件12张PPT。等 比 数 列（第二课时）龙港高级中学数列{an}是等差数列
定义:
an-an-1=d(n≥2)
通项公式:
an=a1+(n-1)d
等差中项:
a,A,b等差,则A=
数列{an}是等比数列
定义:
an/an-1=q(n≥2)
通项公式:
an=a1qn-1
对比探究等比数列(二)等比中项练习11.45与80的等比中项是_______；
2.已知45、a、b、c、80成等比数列，
则b=______；
3.已知b是a与c的等比中项，且abc=27，
则b=_____；
等比数列(二)等差数列{an},{bn}的性质:m+n=k+l,则am+an=ak+al;
an=am+(n-m)d
若{k}等差,则{ak}等差;
{kan+b}等差;
{k1an+k2bn}等差;
若A=a1+a2+...+an,B=an+1+an+2+...+a2n,
C=a2n+1+a2n+2+......+a3n, 则A、B、C成等差.
对比探究等比数列(二)练习2 在等比数列{ an }中:
(1)已知a5=1,a10=10,则a15=_____
(2)若a3a4a5=8,则a2a3a4a5a6=____
(3)若a1+a2=324,a3+a4=36,a5+a6=___
(4)已知a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5=___
(5)若a1a2a3…a30=230,公比q=2,则a3a6a9…a30=____
(6)如果an>0，a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10
=_________等比性质等比数列(二)变式1 有四个数,前三个数成等比数列,且和
为19,后三个数成等差数列,且和为12,求
这四个数。变式2 三数成等比数列,若将第三数减去32,
则成等差数列,若再将等差数列的第二
个数减去4,又成等比数列,求原来三个数。
例1 已知三个数成等比数列，其积为12，平
方和为84，求这三个数。 典例讲解等比数列(二)典例讲解变式3 有4个数a1、a2、a3、a4，前3个数成
等差数列，后3个成等比数列，且a1+a4、
a2+a3是方程x2-21x+108=0的两根，
a1+a4>a2+a3，求这4个数。等比数列(二)典例讲解等比数列(二)例2 (2005年·全国卷Ⅲ·理20文20)
在等差数列{an}中，公差d≠0,a2是a1与a4的
等比中项.已知数列
成等比数列，求数列{kn}的通项kn。课后作业： （一）阅读作业：通读教材，复习巩 固，思考等比数列的性质及等差中项；
（二）书面作业：p125 6、7、8、9
思考题等比数列(二)(2) 等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。公比为____4 有关等比数列的重要结论（1） 等比数列{an}中，若 m+n=p+q，则am.an=ap.aq
(4) 两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
{anbn}、 、 仍为等比数列。(3) 等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列(10) 三个数成等比的设法：a/q,a,aq；(11) {an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。(12) {bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。课件10张PPT。等比数列的前n项和（第一课时）问题呈现: 有一天，阿凡提与一位富翁制定了这样的一个协议：在30天中，阿凡提每天给富翁10万元；在给钱的第一天，富翁还给阿凡提1分钱，第二天还给2分钱，以后每天所还钱数都是上一天的2倍，30天后互不相欠。请问：从这位富翁的利益出发，他合算吗？变更问题1
要使富翁接受此协议，阿凡提至少每天应给出多少钱？变更问题2
如果富翁每天所还钱数是上一天的3倍，那么30天他共还多少钱（假定第一天仍还1分钱）？推导公式：一般地，设有等比数列
a1，a2，a3，…，an，…，
它的前n项和是
Sn=a1+a2+a3+…+an.Sn=?练习：
在等比数列{an}中
（1）已知a1=3，q=2，n=6，求Sn；
（2）已知a1=8，q=1/2，an=1/2，求Sn;
（3）已知a1=3,S3=21,求q与a3;
（4）已知a1=3,S3=9,求q与a3。
例题
求等比数列1，5，25，125，…的前6项的和.变式一
求等比数列1，5，25，125，…从第5项到第10项的和.变式二
有一则好消息，假设某市现有一人知道，已知每人都会在得知这喜讯一小时后只将它告诉本市另外五个不知道的人，问经过5小时后，该市最多有多少人知道消息？变式三
如（变式二）的传播速度，假设传播24小时不间断，约多少小时后可使知道信息的人数达到100万（精确到小时）？
（lg5=0.699，lg2=0.3010）变式四
在等比数列{an}中，a1+an=126,
a2·an-1=125,Sn=156,求q及n.课堂小结三个内容：
解决一种数列求和问题；
发现一种公式推导方法；
呈现一种数学崭新理念。
两大思想：
函数与方程思想；
分类讨论思想。作业布置A必做题：
课本129页，习题3.5 1、2、3
B选做题：
（1）
（2）设首项为正数的等比数列{an}的前n项和Sn=80，前2n项和S2n=6560，且前n项中的最大项为54，求数列{an}的前n项。
课件8张PPT。龙港高级中学等比数列的前n项和（第二课时）
1.通项公式：an=a1qn-1;
2.主要性质:
(1)an=am qn-m;
(2)若m+n=p+q,则am?an=ap?aq。
3.前n项和公式：
知识回顾当q≠1时，Sn= 当q=1时，Sn=n a1等比数列前n项和例1 求和:变题1 求和:变题2 求和:变题3 求数列1,(1+2),(1+2+22),┅,
(1+2+22+┅+2n-1),┅的前n项和。典例讲解等比数列前n项和变题4 求和:变题5 求和: a+2a2+3a3+┅+nan(a≠0)链接高考(2005天津卷·文18)
若公比为c的等比数列{an}的首项a1=1,且
满足 (n=3,4,…)
(Ⅰ)求c的值；
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Sn。典例讲解等比数列前n项和典例讲解例2 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3,S9,
S6成等差数列，求证a2,a8,a5成等差数列。 变题：
已知数列 {an}是等比数列，Sn是其前n项的和， a1,a7,a4成等差数列，求证：2 S3,S6,S12-S6成等比数列。等比数列前n项和例3 (2005年高考·北京卷·文)
数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，
（n=1,2,3,…），求：
（Ⅰ）a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）a2+a4+a6+…+a2n的值.典例讲解等比数列前n项和等比数列前n项和课堂小结1.巩固等比数列求和公式，并与其它数列求
和综合；
2.提高数列求和的技巧，如分组求和法、错
位相减法等；
3.注意观察、归纳，并提炼解题精髓。布置作业等比数列前n项和1.求通项为an=2n+2n-1的数列的前n项和。
2.求和：
(a-1)+(a2-2)+…+(an-n);
(2)2×2+3×22+4×23+┅+(n+1)×2n。 思考题： 已知数列{an}为等差数列,公差d≠0, {an}的部分项组成下列数列: 恰好为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17, 求k1+k2+.....+kn课 题：数列复习小结（一）
教学目的：
1．系统掌握数列的有关概念和公式
2．了解数列的通项公式与前n项和公式的关系．
3．能通过前n项和公式求出数列的通项公式．
授课类型：复习课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、
二、知识纲要
(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．
(2)等差、等比数列的定义．
(3)等差、等比数列的通项公式．
(4)等差中项、等比中项．
(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．
三、方法总结
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2．等差、等比数列中，a、、n、d(q)、 “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．
3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．
四、等差数列 1相关公式：
定义： （2）通项公式： （3）前n项和公式： （4）通项公式推广： 2.等差数列的一些性质 （1）对于任意正整数n，都有 （2）的通项公式 （3）对于任意的整数，如果，那么 （4）对于任意的正整数，如果，则 （5）对于任意的正整数n>1，有 （6）对于任意的非零实数b，数列是等差数列，则是等差数列 （7）已知是等差数列，则也是等差数列 （8）等都是等差数列 （9）是等差数列的前n项和，则 仍成等差数列，即 （10）若，则 （11）若，则 （12），反之也成立
五、等比数列
1相关公式： （1）定义： （2）通项公式： （3）前n项和公式： （4）通项公式推广： 2.等比数列的一些性质 （1）对于任意的正整数n，均有 （2）对于任意的正整数,如果，则 （3）对于任意的正整数，如果，则 （4）对于任意的正整数n>1,有 （5）对于任意的非零实数b，也是等比数列 （6）已知是等比数列，则也是等比数列 （7）如果，则是等差数列 （8）数列是等差数列，则是等比数列 （9）等都是等比数列
(10)是等比数列的前n项和，
①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列.
②当q≠－1或k为奇数时， 仍成等比数列 六、数列前n项和 （1）重要公式： ；
；
（2）等差数列中， （3）等比数列中， （4）裂项求和：；（）
七、例题讲解
例1 一等差数列共有9项，第1项等于1，各项之和等于369，一等比数列也有9项，并且它的第1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第7项．
选题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式．
解：设等差数列为｛an｝，公差为d，等比数列为｛bn｝,公比为q.
由已知得：a=b=1,?
又b＝ａ，∴ｑ＝81，∴ｑ＝３，
∴b＝ｂｑ＝27，即等比数列的第7项为27．
说明：本题涉及的量较多，解答要理清关系，以免出错．?
例2 已知数列的前n项和=4+2(n∈N＋)，a=1.
(1)设=-2,求证：数列为等比数列，
(2)设Cn=,求证：是等差数列．
选题意图：本题考查等差、等比数列的定义及逻辑推理能力．
证明：(1) =4+2, =4+2,相减得=4-4,
∴是以3为首项，2为公比的等比数列，∴=3×２?.
(2) ∵
∴是以为首项，为公差的等差数列．
说明：一个表达式中既含有又含有Ｓｎ，一般要利用
＝－（ｎ≥２），消去或，这里是消去了．
八、课后作业：
1.? 已知数列{an}的前n项和，满足：log2(Sn+1)=n+1．求此数列的通项公式an．
解：由log（+1）=n+1，得=2-1
当n=1时，a=S=2-1=3；
当n≥2时，＝－=2-1-（2-1）=2．
2.? 在数列｛｝中，a=0，+=n+2n（n∈N+）．求数列｛｝的通项公式．
解：由于+=n+2n ，＝－，
则+＝－+＝，即= n+2n．
九、板书设计（略）
十、课后记：
课件9张PPT。一般数列的求和一、公式法：例1 求1，1+2，1+2+3，...，1+2+3+…+n
的前n项和练习 求8，88，888，... 的前n项和二、分组求和法三、错位相减法例2 求和：变式： 求和：x+2x2+3x3+…+nxn(x≠0)四、裂项相消法例3 求和：变式1 求和：变式2 求和：变式3 已知 ,求Sn变式4 已知等差数列{an}中，首项为a1,
公差为d，求五、逆序相加作业：P92课件13张PPT。 专题：数列的通项求通项的常见问题:
1、特殊数列的通项
2、构造特殊数列，间接求通项
3、由Sn求an
4、由递推关系求an 已知数列{an}中， a1=2。
(1)求证：数列 是等差数列。
(2)求数列{an}的通项公式。『回顾』 已知数列{an}的首项a1=3，通项an
与前n项和Sn之间满足2an=Sn·Sn-1（n≥2).
(1)求证：数列 是等差数列。
(2)求数列{an}的通项公式an。『回顾』1、由Sn求an例1 已知Sn=3n2-4n+k, 求an探究：此数列是等差数列吗？K取何值时，才能使它是等差数列？例2 已知Sn=3n+k, 求an探究：此数列是等比数列吗？K取何值时，才能使它是等比数列？例3 已知Sn=3an+k, 求an探究：此数列是等比数列吗？设正数数列{an}的前n项和为Sn， ，求an
??????????????????（04安徽春招）『高考真题回顾』数列{an}的前n项和为Sn，a1=1,(n=1,2,3,...)，求an『高考真题回顾』[2004全国卷]例1 ?已知数列{an},根据以下条件求通项
(1)a1=3,an=an-1+2n-1 (n>1)
(2)a1=1,an=2an-1+1 (n>1)
(3)a1=1,an=3an-1+3n (n>1)2、由递推关系求an变1、a1=3, (n>1) 变2、a1=3,an=2an-1+3n (n>1) 某林场去年底森林木材存量为a，从今年起以每年25%的增长率生长，同时每年冬天砍伐木材量为x，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，求x的最大值。模型：a1=1,an=2an-1+1 (n>1) 小结：（1）已知Sn求an， 注意先讨论
（2）混合Sn与an的可化归为单一的递推关系型，《数学通讯》等杂志有专题介绍。
作业：P91-92-93课件13张PPT。研究性学习课题数列在分期付款中的应用新课导入
曾有这么一则广为传播的故事：有一个外国的老太太遇到一个中国的老太太，外国的老太太就对她说：“你辛苦干了一辈子，买了这一间房子，而现在却没有福气享用了，而我这一辈子早已享受了这一切。” 这个故事反应了一种消费方式——分期付款,这几年分期付款已渐渐走进人们的生活,买车、买房，已有越来越多的人过起“负翁”的生活，那么分期付款这到底是怎么一回事呢？1.某企业向银行贷款10万元，贷款的年利率为5﹪，按复利计息，三年后企业欠银行（ ）A.10(1+15﹪)万元 B .10(1+20﹪)万元
C. 10(1+5﹪)3万元 D. 10(1+5﹪)4万元c2.银行五年期存款年利率为2.75﹪,按单利计息,则 2000年12月20日存入的5000元五年期定期储蓄到2005年12月20日取出时,本利共有( ）A.5137.5元 B .5687.5元
C. 5725元 D. 5825元B3.在电脑公司的促销活动中，购买电脑者可以采用分期付款。如购买10000元的一台电脑可以首付2000元，然后每隔3个月付2000元，一年付清。若以银行短期贷款月利率1﹪按单计息，则
(1)第二次付的2000元,相当于购买时付的_____元;(2)第三次付的2000元,相当于购买时付的_____元;(3)第四次付的2000元,相当于购买时付的____元;(4)第五次付的2000元,相当于购买时付的____元;(5)采用这样的分期付款,相当于在这台电脑购买时公司让利____元.1942188718341784551 例1 某银行设立了汽车贷款，其中规定贷款月均 等额还本付息。如果贷款50000元，4个月后还清，月利率为0.5%，那么每月应还多少钱呢？注释：
等额还本付息指的是在贷款期内每期以相等的金额平均偿还贷款本金和利息。1.分期付款中,每月的利息均按复利计算;
2.分期付款中规定每期所付款额相同;
3.分期付款时,商品售价和每期所付款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断增值；4.各期所付款额连同到最后一次付款时所生的利息，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和例1 某银行设立了汽车贷款，其中规定贷款月均等额还本付息。如果贷款50000元，4个月后还清，月利率为0.5%，那么每月应还多少钱呢？表格1表格250000×1.005元50000×1.0052元50000×1.0053元1.0053x元
1.0051x元
1.0052x元例1 某银行设立了汽车贷款，其中规定贷款月均等额还本付息。如果贷款50000元，4个月后还清，月利率为0.5%，那么每月应还多少钱呢？50000×1.0054元
1.0050x元例2 某水产养殖公司为发展近海养殖2001年3月1日向银行贷款2000万元，银行给予的优惠条件如下：
①贷款年利率为3﹪，按复利计息；
②每年3月1日归还相同数量的本利，15年
还清全部本利。问该公司每年应向银行
归还多少万元?(精确到1万元)1.购买一辆价格为10万元的家用轿车，首付4万元，其余一年后开始按分期付款，三年后付清且每年付款数相同，若年利率为6﹪，按复利计息，则每年应付（ ）A.23600元 B.23820元 C.22400元 D.22547元D2.小王从房产公司购买一套45万元的住宅,首付1/3,余款10年付清,每年付款额相同,如果年利率为4﹪,利息按复利计算,那么他以后每年应付多少钱?练习X=
每月还款额=[贷款本金*月利率*（1+月利率）还款总月数]/[（1+月利率）还款总月数-1]
即计算公式 若上述付款方式中，贷款为a元，m个月将贷款全部还清，月利率为r，那么每月的付款款额的计算公式是什么？思考题
某家长为供女儿上大学,从女儿上初中起,每年省下一笔钱存入企业,按年利率x﹪计息,这样从第7年至第10年他可以每年从企业取出一笔存款,加上当年省下的固定数额的钱共3000元,作为女儿上大学当年的学费.
(1)如该家长第10年正好将本息取用完,试将他每年省下的固定数钱y(元)表示为x的函数;
(2)当x=20时,计算y值.课堂小结一、知识点：1.分期付款的含义和规定；
2.应用等比数列的求和公式计算每期还款额；
3.计算公式:X=（x:每期还款额a:贷款本金 r:利率 m:还款总期数）二、活动评价作业1.阅读p130—131;
2.自编一则与分期付款相关的应用题,并与
同桌同学交换解答.龙港高级中学第二次月考数学试卷
一．选择题（每小题3分，共36分）
1．满足{1，3}∪A={1，3，5}的集合有几个
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2．给出下列四个对应，其中构成映射的是：
(1) (2) (3) (4)
A.(1)、（2） B.（1）、（4） C.（1）、（3）、（4）D.(3) 、(4)
3．f(log2x)=x，则f()=
A. B. C.1 D.
4．下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是：
A.y=2x2－x+3 B.y= C.y= D.
5．下列根式，分数指数幂互化中正确的是：
A. B.(y＜0)
C.(x≠0) D.(x≠0)
6．已知等差数列中，，则的值是
A．3 B．4 C．5 D．6
7. 函数的定义域为 （ ）
A．（1，2）∪（2，3） B．
C．（1，3） D．[1，3]
8．函数f(x)的图象如图所示，则不等式xf(x)＞0的解集是( )
A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－1，0)∪(1，+∞)
C.(－∞，－1)∪(1，+∞) D.(－1，0)∪(0，1)
9．反函数是
（A） （B）
（C） （D）
10．函数的图象如图，其中a、b为常数，
则下列结论正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
11．当进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知该商品每涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为（ ）
A.110元/个 B.105元/个 C.100元/个 D.95元/个
12．定义运算， ，例如，则函数的值域为
A.(0，1) B.(，1) C.[1， D.，1]
二．填空题（每小题4分，共16分）
13.设a=0.32，b=20.3，c=，试比较a、b、c大小关系_________
（用“＜”连接）。
14.已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图象过点Q(5,2),则b=_________。
15．设f(x)＝，则f[f()]＝ 。
16．下列结论中：
(1)定义在R上的函数f(x)在区间（－∞，0]上是增函数，在区间[0，+∞）也是增函数，则函数f(x)在R上是增函数；
(2)函数是（0，1）上的减函数；
(3)对应法则和值域相同的函数的定义域也相同；
(4)若是二次函数y=f(x)的零点，且m＜＜n,那么f(m) f(n) ＜0一定成立；
写出上述所有正确结论的序号：_____________。
三．解答题（第17题8分，18，19，20，21每题10分）
17. 等差数列中，已知。
（1）求数列的通项公式；
（2）88是否是数列中的项？
18．已知函数y=(2≤x≤4)。
令,求t的范围及y关于t的函数关系式；
（2）求该函数的值域。
19．已知函数。
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）求反函数f-1(x)；
（3）求证：方程f-1(x)=0有惟一解。
20．建造一个容积为8m3深为2m的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2。
（1）求总造价关于一边长的函数解析式，并指出该函数的定义域；
判断（1）中函数在（0，2）和[2，+∞）上的单调性并用定义法加以证明；
如何设计水池尺寸，才能使总造价最低；
21.已知定义在R上的函数y=f(x), y>0恒成立,对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y),且当x>0时,f(x)>1.
(1)求f(0);
(2)求证:y=f(x)在R上为增函数;
(3)若对于x∈R,f(3x)·f(a·32x-(a+1)·3x+2)>1恒成立,求实数a的取值范围。
课件12张PPT。等差与等比的综合应用函数思想：数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．方程思想：等差、等比数列中， “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．分类讨论思想：求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．例1 一等差数列共有9项，第1项等于1，各项之和等于369，一等比数列也有9项，并且它的第1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第7项．一、等差、等比数列中， “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．二、数列是一种特殊的函数．例2
（1）求数列{-2n2+29n+3} 中的最大项
（2）求数列{13-2n} 前n项和的最大值
（3）已知等差数列的前n项和为Sn，且Sn=Sm，求Sn+m例3 在△ABC中，三边 a,b,c成等差数列， 也成等差数列，
求证:△ABC为正三角形.三、数列与函数、三角、不等式的综合．例4 已知数列{an}的首项为a1=1，
前n项的和Sn满足关系式：
3tSn-(2t+3)Sn-1=3t (t>0,n=2,3,4,…)
(1) 求证：数列 {an}为等比数列，
(2)设 {an}的公比为f(t),作数列{bn},使b1=1,
(n=2,3,4,…),求数列{bn}的通项
(3)求和 （重点班）
b1b2-b2b3+b3b4-… +b2n-1b2n-b2nb2n+1 例5．已知等差数列{an}的前 n项和Sn，求数列{bn}的通项公式；
求证：b1+b2+b3+…+bn<2 1、? 已知数列{an}的前n项和，满足：log2(Sn+1)=n+1．求此数列的通项公式an．
2.? 在数列{an}中a1=0, an+1+Sn=n2+2n (n∈N*),求数列 {an}的通项公式供选练习供选练习3、已知 a1,a2, …,an, …构成一等差数列，其前 n项和为Sn=n2 ,设 bn=an/3n,记{bn}前 n项和为Tn,
(1) 求数列 {an}的通项公式
(2) 证明：Tn＜1 供选练习 4、在等比数列{an}中
求n的范围 供选练习作业：P92-93阶段性反思
陈爱文
“复习小结”是提高学生学习质量与学习能力的重要学习环节，但由于学生之间数学学习水平各不相同，所以“小结”的目的、内容、方法也应有所不同。我任教的两个班是普通班，他们在基础和能力方面不比重点班，故在复习时应落实基础，概念等，然后逐步深入，从而达到复习的效果。
尽管学生在数学学业水平、学习能力方面存在较大差距，但很多学生对“复习小结”的目的和作用存在不同程度的模糊认识，对做好“复习小结”的有效方法也不甚了了，因此教师必须先想方设法让学生能认识到“复习小结”对提高自己的学业水平确有帮助，激发学生主动做学习小结的积极性。一方面让学生了解：通过“复习小结”更深刻理解数学知识体系、更熟练地掌握数学观念与方法体系是提高数学学业水平的有效方法。同时在授课时，特别注意选需要灵活应用基本知识、基本方法解决问题的题目作为例题，着重引导学生认识从数学知识、方法体系来看，提出这类问题的合理性，甚至可预见性，使学生对“复习小结”在探索新知中所起的重要作用也有所认识。另一方面使学生了解：元认知能力在思维活动中的作用，“复习小结”对提高元认知能力的作用。同时通过“复习小结”，自己可以更好地了解自己的思维特点，知道自己在哪些方面容易思维受阻，哪些时候容易马虎，就能慢慢提高自己的元认知能力，必要时可以自我引导找到解题思路，自我提醒发现马虎错误并予以纠正。在指导学生做好“复习小结”的过程中，与学生要经常交流，及时反馈，及时纠正，也时常被学生的努力与创意而感动，也发现了很多可以而且应该进一步探究的课题。
