3．1 函数的概念及其表示
3．1.1 函数的概念
知识点一 函数的有关概念
设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中任意一个数 x，按照某种确
函数的定义 定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称
f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数
函数的记法 y＝f(x)，x∈A
定义域 x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域
值域 函数值的集合{f x |x ∈ A}叫做函数的值域
知识点二 同一个函数
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．
特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
知识点三 区间
1．区间概念(a，b 为实数，且 a
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a2.其他区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
【题型目录】
题型一、函数关系的判断
题型二、求函数值
题型三、已知函数值求自变量或参数
题型四、区间
题型五、求函数的定义域
命题点 1. 具体函数的定义域
命题点 2. 抽象函数的定义域
命题点 3. 复合函数的定义域
题型六、相等函数
题型一、函数关系的判断
1．下列图形能表示函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
2．给出下列说法：
①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；
②函数的定义域和值域一定都是无限集；
③若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素；
④对于任意的一个函数，如果 x 不同，那么 y 的值也不同；
⑤ f a 表示当 x a时，函数 f x 的值，这是一个常量．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二、求函数值
3 f x 2 x2．已知 1，则 f 5 （ ）
A．50 B．48 C．26 D．29
4．已知函数 f (x) x3 ax2 bx c，且0 f ( 1) f ( 2) f ( 3) 3，则（ ）
A． c 3 B．3 c 6 C．6 c 9 D． c 9
5．已知函数 f x 1 2， g x x 2，则 f (g(2)) ______， g( f (2)) ______．
1 x
6．已知函数 f x 是定义在 (0, )上的函数，且对任意 x, y 0, ，都有 f xy f x f y ， f 2 1，
求 f 4 , f 8 .
题型三、已知函数值求自变量或参数
7．已知 f x ax5 1，且 f 2 10，则 f 2 （ ）
A． 8 B．10 C．9 D．11
8 1．已知 f（ 2 x-1）=2x-5，且 f（a）=6，则 a 等于（ ）
7 7 3 3
A． B． C． D．
4 4 4 4
题型四、区间
9．下列集合不能用区间的形式表示的个数为( )
① A {0,1,5,10}；② x 2 x 10, x N ；③ ；④ x x是等边三角形 ；⑤ x x 0或x 3 ；
⑥ x x 1, x Q ．
A．2 B．3 C．4 D．5
10．用区间表示下列集合：
（1） x x 1 =______；
（2） x 2 x 5 =______；
（3） x 2 x 4 =______；
（4）{x | 3 x 0 或 2 x 4}=______；
（5）{x | 2 x 2且 x 0} =______．
11．若 a,5a 2 为一个确定区间，则实数 a 的取值范围是_______．
题型五、求函数的定义域
命题点 1. 具体函数的定义域
2x 1
12 0．函数 f x (x 1) 的定义域为（ ）
3x 2
2
A ,
2
． B． ,1 1,
3 3
2
C ,1
2 1, D , ． ． 3 3
2
13 y 4 x．函数 的定义域为______．
2x2 3x 2
14．求下列函数的定义域
(1) y x 3 ；
x 1
2x
(2) y ；
2x 4 5 x
a2 x2
(3) y （ a 0）.
x x
命题点 2. 抽象函数的定义域
f x
15．已知函数 f x 2 的定义域为 3, 4 ，则函数 g x 的定义域为（ ）
3x 1
1 1 1 1
A． , 4 B． , 2 C．3 3
,6 D． ,13 3
16．求下列函数的定义域：
(1)已知函数 f (x) 的定义域为[1，2]，求函数 y f (2x 1)的定义域；
(2)已知函数 y f (2x 1)的定义域[1，2]，求函数 f (x) 的定义域；
(3)已知函数 y f (2x 1)的定义域[1，2]，求函数 y f (2x 1)的定义域.
题型六、相等函数
17．（多选）下列函数中，与函数 y x 2 不是同一个函数的是（ ）
2 2
A． y x 2 B 3 3 C y x ． y x 2 ． 2 D． y x2 2x
18．在下列四组函数中， f x 与 g x 表示同一函数的是（ ）
2
A． f x x 1， g x x 1 B． f x x 3 ， g x x 3 2
x2C． f x x， g x D． f (x) (x 1)(x 3) ， g(x) x 1 x 3
x
1．（多选）已知集合M 1,1,2,4 ， N 1,1,2, 4,16 ，给出下列四个对应法则，其中能构成从集合 M 到集合 N
的对应关系的是（ ）
A． y
1
B． y x C． y x 1 D． y x2x
2．若 f x x ，则 f 3 _________.
1 x
3．已知函数 f x 为一次函数，且 f 3 7，f 5 1，则 f 1 （ ）
A．15 B． 15 C．9 D． 9
4．已知函数 f (x) ＝x2－mx＋n，且 f (1)＝－1， f (n)＝m，则 f ( f ( 1))＝________， f ( f (x))＝________．
5．已知幂函数 f (x) xa 过点 (2，8)，若 f (x0 ) 5，则 x0 ________．
6．下列区间与集合 x x 2或x 0 相对应的是( )
A． ( 2,0) B． ( , 2] [0, ) C． ( , 2) [0, ) D． ( , 2] (0, )
7．将集合 A x 1 x 5, x 3 用区间表示为___________.
f (x) x 1 18．函数 的定义域是（ ）
x
A．R B． 1, C． ,0 0, D． 1,0 0,
9．求下列函数的定义域：
(1) y x 1 ；
x2 2x 3
y x 4(2) 3 ．x 4x
10．（1）已知函数 f x 2的定义域为 0,1 ，则函数 f x 1 的定义域为______；
（2）已知函数 f 2x 3 的定义域为 1,3 ，则 f 1 3x 的定义域为______．
11．（多选）下列选项中能表示同一个函数的是（ ）
2
A． y x 1 y x 1与 B． y x2 1与 s t 2x 1 1
x 1, x 1
2 x
C． f x x 1 ， g x ( x ) 1 x, x D． ，
g x
1
f x
x ( x )2
1．下列各式为 y 关于 x 的函数解析式是（ ）
x 1, x 0y x x 3 0, x为有理数A． B． y x 2 1 x C． y y
x 1, x
D．
0 1, x为实数
2．已知函数F (x) f (x)
1
g(x)，其中 f (x)
是 x 的正比例函数， g(x)是 x 的反比例函数，且F 19, F (1) 9，
3
则F (2) （ ）
A．3 B．8 C．9 D．16
3．若集合 A x y x 2 , B y y x 2 ，则 A B （ ）
A． x 0 x 2 B． x 0 x C． x 2 x D．
4．下列各组函数是同一函数的是（ ）
① f (x) 2x3 与 g(x) x 2x ； ② f (x) x 与 g(x) x2 ；
③ f (x) x0 与 g(x)
1
0 ； ④ f (x) x
2 2x 1与 g(t) t 2 2t 1 .
x
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
y f x 6,1 f 2x 15 ．已知函数 的定义域为 ，则函数 g x 的定义域是（ ）
x 2
A．[ 11, 2) (
7
2,3] B ． , 2
( 2,0]
2
7
C． ,0
D． 11,3 2
6．（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A． f x x0 (x 0)， g x 1(x 0)
B． f x 2x 1 x Z ， g x 2x 1 x Z
C． f x x2 4 ， g x x 2 x 2
D． f x x2 2x 1 g t t 2， 2t 1
7．直线 x＝a 与函数 y f x 的图象的交点个数是______．
8．若 0,3a 1 为一确定区间，则 a 的取值范围是________．
9．已知 ABC 的两边长 AB 2, BC 3，则第三边 AC 的长的取值范围用区间表示为___________.
10．已知函数 f x 1 定义域为 1, 4 ，则函数 f x 1 的定义域为_______.
11．确定下列函数的定义域：
(1) f x x2 x 2 ；
2
(2) f x 9 x ；
x
(3) g x x 2 ；x 2x 3
(4) f x 1 x .
x
12．已知函数 y f 3x 7 的定义域为 2,3 ，求函数 y f x 1 f 1 x 的定义域．
f x 5
13．已知函数 y f 2x 1 的定义域为 5,7 ，求函数 y 的定义域；
x2 3x 10
14．下列哪一组中的函数 f (x) 与 g(x)是同一个函数？
x2
（1） f (x) x 1, g(x) 1；
x
（2） f (x) x2 , g(x) ( x )4 ；
（3） f (x) x2 , g(x) 3 x6 .
x2 3x
15 f (x) g(x) 2x 1．已知函数 和 ，设 h(x) f (x) g(x) .
2x 1 x 3
（1）求函数 h(x) ；
（2）求 h(2) 和 h( 2) 的值；
（3）求h(a 1)的值；
（4）若函数H (x) x，试判断 y h(x)与 y H (x)是否为同一函数，并说明理由.3．1 函数的概念及其表示
3．1.1 函数的概念
知识点一 函数的有关概念
设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中任意一个数 x，按照某种确
函数的定义 定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称
f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数
函数的记法 y＝f(x)，x∈A
定义域 x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域
值域 函数值的集合{f x |x ∈ A}叫做函数的值域
知识点二 同一个函数
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．
特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
知识点三 区间
1．区间概念(a，b 为实数，且 a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a2.其他区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
【题型目录】
题型一、函数关系的判断
题型二、求函数值
题型三、已知函数值求自变量或参数
题型四、区间
题型五、求函数的定义域
命题点 1. 具体函数的定义域
命题点 2. 抽象函数的定义域
命题点 3. 复合函数的定义域
题型六、相等函数
题型一、函数关系的判断
1．下列图形能表示函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义，判断任意垂直于 x 轴的直线与函数的图象的交点个数，即可得答案.
【详解】由函数的定义：任意垂直于 x 轴的直线与函数的图象至多有一个交点，
所以 A、B 显然不符合，C 在 x 0与函数图象有两个交点，不符合，只有 D 符合要求.
故选：D
2．给出下列说法：
①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；
②函数的定义域和值域一定都是无限集；
③若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素；
④对于任意的一个函数，如果 x 不同，那么 y 的值也不同；
⑤ f a 表示当 x a时，函数 f x 的值，这是一个常量．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用函数的定义域和值域定义判断①②③的真假，利用函数值的定义判断④⑤的真假.
【详解】解：函数值域中的每一个数都有定义域中的一个或多个数与之对应，故①不正确；
函数的定义域和值域不一定都是无限集，故②不正确；
根据函数的定义，可知③正确；
对于任意一个函数，如果 x 不同，那么 y 的值可能相同，也可能不同，故④不正确；
由函数值的定义，可知⑤正确.
故选：B．
题型二、求函数值
3 2．已知 f x 2 x 1，则 f 5 （ ）
A．50 B．48 C．26 D．29
【答案】A
【分析】利用赋值法，令 x 7即可求解.
【详解】解：令 x 7，则 f 5 f 7 2 72 1 50．
故选：A.
4．已知函数 f (x) x3 ax2 bx c，且0 f ( 1) f ( 2) f ( 3) 3，则（ ）
A． c 3 B．3 c 6 C．6 c 9 D． c 9
【答案】C
a 6
【分析】根据已知条件列方程组，可解得 ，代入函数 f (x)b 11 的解析式，得
0 c 6 3，即可得出结论.
f ( 1) f ( 2) 1 a b c 8 4a 2b c a 6
【详解】解：由已知得
f ( 1) f ( 3)
,即
1 a b c 27 9a 3b c
，解得 b 11，
又0 f ( 1) c 6≤3，所以6 c 9，
故选：C.
1
5 2．已知函数 f x ， g x x 2，则 f (g(2)) ______， g( f (2)) ______．
1 x
1 19
【答案】
7 9
【分析】根据复合函数的计算规律即可求解.
1 1
【详解】解：由题可知， g(2) 22 2 6，则 f (g(2)) f (6) ；
1 6 7
2
f (2) 1 1 g( f (2)) g 1 1 19，则 2 .1 2 3 3 3 9
1 19
故答案为： ； .
7 9
6．已知函数 f x 是定义在 (0, )上的函数，且对任意 x, y 0, ，都有 f xy f x f y ， f 2 1，
求 f 4 , f 8 .
【答案】 f 4 2， f 8 3 .
【分析】由函数满足的条件，根据题意，通过赋值法，求解.
【详解】因为,对任意 x, y 0, ，都有 f xy f x f y ， f 2 1，
所以， f 4 f 2 2 f 2 f 2 2，
f 8 f 2 4 f 2 f 4 3．
题型三、已知函数值求自变量或参数
7．已知 f x ax5 1，且 f 2 10，则 f 2 （ ）
A． 8 B．10 C．9 D．11
【答案】A
【分析】先由 f 2 10求出 a，从而可得函数解析式，进而可求出 f (2)
【详解】因为 f x ax5 1，且 f 2 10，
9
所以 a 2 5 1 10 ，得 a ，
32
所以 f x 9 x5 1，
32
所以 f x 9 25 1 9 1 8，
32
故选：A
8 1．已知 f（ 2 x-1）=2x-5，且 f（a）=6，则 a 等于（ ）
7 7 3 3
A． B． C． D．
4 4 4 4
【答案】B
【分析】先用换元法求出 f x ，然后由函数值求自变量即可.
1
【详解】令 x 1 t ，则 x 2t 2 ，可得 f t 2 2t 2 5 4t 1，即 f x 4x 1，由题知 f a 4a 1 6，解
2
a 7得 .
4
故选：B
题型四、区间
9．下列集合不能用区间的形式表示的个数为( )
① A {0,1,5,10}；② x 2 x 10, x N ；③ ；④ x x是等边三角形 ；⑤ x x 0或x 3 ；
⑥ x x 1, x Q ．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【详解】区间形式可以表示连续数集，是无限集
①②N 是自然数集，
③是空集为有限集，都不能用区间形式表示，
④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合。
⑥Q 是有理数，数轴上大于 1 的有理数不是连续的，
故只有⑤可以，区间形式为 ，0 3,
故答案为：D
10．用区间表示下列集合：
（1） x x 1 =______；
（2） x 2 x 5 =______；
（3） x 2 x 4 =______；
（4）{x | 3 x 0 或 2 x 4}=______；
（5）{x | 2 x 2且 x 0} =______．
【答案】 1, 2,5 2,4 3,0 2, 4 2,0 0,2
【分析】（1）根据开区间的定义写出结论；
（2）根据左开右闭区间的定义写出结论；
（3）根据闭区间的定义写出结论；
（4）根据区间的定义结合并集运算写出结论；
（5）根据区间的定义结合集合运算写出结论．
【详解】（1） x x 1 = ( 1, )；
（2） x 2 x 5 = (2,5]；
（3） x 2 x 4 =[2,4]；
（4）{x | 3 x 0 或 2 x 4}=[ 3,0) [2, 4)；
（5）{x | 2 x 2且 x 0} = ( 2,0) (0, 2]．
故答案为： 1, ； 2,5 ； 2,4 ； 3,0 2, 4 ； 2,0 0,2 ．
11．若 a,5a 2 为一个确定区间，则实数 a 的取值范围是_______．
1
【答案】 a
2
【分析】由区间的定义，结合给定的区间有5a 2 a 即可求范围.
1
【详解】由题设知：5a 2 a ，可得 a .
2
1
故答案为： a
2
题型五、求函数的定义域
命题点 1. 具体函数的定义域
12．函数 f x 2x 1 (x 1)0的定义域为（ ）
3x 2
2 2
A ． ,
B． ,1 1,
3 3
2 ,1 C 1, D 2． ． ,
3 3
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于 0，分式的分母不为 0，以及零次幂的底数不等于 0，建立不等式组，求
解即可.
3x 2>0 2
【详解】解：由已知得 ，解得 x> 且 x 1，
x 1 0 3
f x 2x 1 (x 1)0 2 所以函数 的定义域为
3x 2
,1 1, ，
3
故选：B.
13 y 4 x
2
．函数 的定义域为______．
2x2 3x 2
2, 1 1 【答案】 2
, 2
2
4 x2 0
【分析】根据函数解析式有意义，列出不等式组 2 ，解不等式即可得答案.
2x 3x 2 0
4 x2 0 1 1
【详解】解：由题意得 2 ，解得 2 x 或 x 2 ，
2x 3x 2 0 2 2
1 1
所以函数的定义域是 2,
, 2
2
．
2
1 1
故答案为： 2, 2
, 2 .
2
14．求下列函数的定义域
(1) y x 3 ；
x 1
2x
(2) y ；
2x 4 5 x
a2 x2
(3) y （ a 0）.
x x
【答案】(1)[ 3,1) (1, )；(2) 2,3) (3,5 ；(3)[ a,0)
x 3 0
【分析】（1）由题意可得 x 1 0 ，解不等式组可得答案，
2x 4 0
（2）由题意得 5 x 0 ，解不等式组可得答案，
2x 4 5 x
a2 x2 0
（3）由解析式得 x x 0 ，解不等式组可得答案，
(1) y x 3【详解】 因为
x 1
x 3 0
所以 x 1 0 ，解得
3 x 1或 x 1
所以函数 y x 3 的定义域为[ 3,1) (1, )；
x 1
2x
(2)因为 y ，
2x 4 5 x
2x 4 0
所以 5 x 0 ，解得： 2 x 3或3 x 5
2x 4 5 x
2x
所以函数 y 的定义域为 2,3) (3,5 ；
2x 4 5 x
2 2
(3)因为 y
a x
（ a 0）
x x
a2 x2 0
所以 解得： a x 0
x x 0
a2y x
2
所以函数 （ a 0）的定义域为[ a,0) ；
x x
命题点 2. 抽象函数的定义域
f fx 2 3, 4 g x x 15．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
3x 1
1
A． , 4
1 1 1
B． , 2 C． ,6 D． ,1
3 3 3 3
【答案】C
【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.
【详解】因为函数 f x 2 的定义域为 3,4 ，所以 f x 1的定义域为 1,6 .又因为3x 1 0，即 x ，所以函数
3
g x 1 的定义域为 ,63 .
故选：C.
16．求下列函数的定义域：
(1)已知函数 f (x) 的定义域为[1，2]，求函数 y f (2x 1)的定义域；
(2)已知函数 y f (2x 1)的定义域[1，2]，求函数 f (x) 的定义域；
(3)已知函数 y f (2x 1)的定义域[1，2]，求函数 y f (2x 1)的定义域.
1
【答案】(1)[0， 2 ]；(2)[3，5]；(3)[2，3]
【分析】(1)由 f (x) 的定义域可得1 2x 1 2，求出 x 的取值集合即可得出 f (2x 1)的定义域；(2)由 f (2x 1)
的定义域可得1 x 2，求出 2x+1 的取值集合即可得出 f (x) 的定义域；(3)由 f (2x 1)的定义域可得1 x 2，求出
2x+1 的取值集合即可得出 f (x) 的定义域，进而得出 2x-1 的取值集合，再求出 x 的取值集合即可；
【详解】(1)设 2x 1 t ，由于函数 y f (t)定义域为[1，2]，
1
故1 t 2，即1 2x 1 2，解得0 x ，
2
所以函数 y f (2x 1)的定义域为[0 1， 2 ]；
(2)设 2x 1 t ，因为1 x 2，
所以 3 2x 1 5 ，即3 t 5，函数 y f (t)的定义域为[3，5]，
由此得函数 y f (x) 的定义域为[3，5]；
(3)因为函数 y f (2x 1)的定义域为[1，2]，即1 x 2，
所以 3 2x 1 5 ，所以函数 y f (x) 的定义域为[3，5]，
由 3 2x 1 5 ，得 2 x 3，
所以函数 y f (2x 1)的定义域为[2，3].
题型六、相等函数
17．（多选）下列函数中，与函数 y x 2 不是同一个函数的是（ ）
2 2
A． y x 2 B． y 3 x3 2 C． y x 2 D． y x2 2x
【答案】ACD
【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.
【详解】解： y x 2 的定义域为R ．
2
对于 A， y x 2 的定义域为 2, ，与 y x 2 的定义域不同，不是同一函数；
对于 B， y 3 x3 2 x 2定义域为R ，与 y x 2 定义域相同，对应关系相同，是同一函数；
x2
对于 C， y 2 的定义域为 x x 0 ，与 y x 2 定义域不同，不是同一函数；
x
x 2, x 0
对于 D， y x2
2 x 2 ，与 y x 2x 2, x 0 的对应关系不同，不是同一函数．
故选：ACD．
18．在下列四组函数中， f x 与 g x 表示同一函数的是（ ）
A． f x 2 x 1， g x x 1 B． f x x 3 g x x 3 2，
2
C． f x x x， g x D． f (x) (x 1)(x 3) ， g(x) x 1 x 3
x
【答案】B
【分析】根据题意，先看函数的定义域是否相同，再观察两个函数的对应法则是否相同，即可得到结论.
2
【详解】对于 A 中，函数 f x x 1的定义域为R ，而函数 g x ( x 1) 的定义域为[1, ) ，所以两个函数不是
同一个函数；
对于 B 中，函数 f x x 3 , g x (x 3)2 | x 3 |的定义域和对应法则完全相同，所以是同一个函数；
x2
对于 C 中，函数 f x x的定义域为R ，而函数 g x x的定义域为 x | x 0 ，所以两个函数不是同一个函
x
数；
对于 D 中，函数 f x (x 1)(x 3) 的定义域为 ( ,1] [3, )，
而函数 g x x 1 x 3的定义域为[3, )，所以不是同一个函数，
故选：B
1．（多选）已知集合M 1,1,2,4 ， N 1,1,2, 4,16 ，给出下列四个对应法则，其中能构成从集合 M 到集合 N
的对应关系的是（ ）
A． y
1
B． y x C． y x 1 D． y x2x
【答案】BD
【分析】按照函数定义注意判断即可.
1
【详解】对于选项 A， 2 M ，但 N .故不能构成从M 到 N 的函数.
2
对于选项 B， x M , y x N .故能构成从M 到 N 的函数.
对于选项 C， 4 M ，但5 N .故不能构成从M 到 N 的函数.
对于选项 D， x M , y x2 N .故能构成从M 到 N 的函数.
故选: BD.
2．若 f x x ，则 f 3 _________.
1 x
3
【答案】
2
【分析】根据所给解析式，代入数据，即可得答案.
f 3 3 3【详解】由题意得 1 . ( 3) 2
3
故答案为：
2
3．已知函数 f x 为一次函数，且 f 3 7，f 5 1，则 f 1 （ ）
A．15 B． 15 C．9 D． 9
【答案】A
【分析】先求出函数的解析式，再把 1 代入即可求解.
3k b 7 k 4【详解】设 f x kx b ，则 5k b 1，解得 ，
b 19
f x 4x 19， f 1 4 19 15．
故选：A
4．已知函数 f (x) ＝x2－mx＋n，且 f (1)＝－1， f (n)＝m，则 f ( f ( 1))＝________， f ( f (x))＝________．
【答案】 －1； x4－2x3－2x2＋3x＋1.
【分析】由已知条件列方程组求参数 m、n，进而写出 f (x) 的解析式，再求 f ( 1)即可求 f ( f ( 1))，同理求 f ( f (x)) .
1 m n 1 m 1
【详解】由题意知： 2 ，解得 ，
n mn n m
n 1
∴ f (x) ＝x2－x－1，故 f ( 1)＝1，则 f ( f ( 1))＝－1，
由上， f ( f (x))＝f(x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1.
故答案为：－1，x4－2x3－2x2＋3x＋1.
5．已知幂函数 f (x) xa 过点 (2，8)，若 f (x0 ) 5，则 x0 ________．
【答案】 3 5
【分析】先由已知条件求出 的值，再由 f (x0 ) 5可求出 x0 的值
【详解】因为幂函数 f (x) xa 过点 (2，8)，
所以 2 8，得 3，
所以 f (x) x3 ，
因为 f (x0 ) 5，所以 x 30 5，得 x0 3 5 ，
故答案为： 3 5
6．下列区间与集合 x x 2或x 0 相对应的是( )
A． ( 2,0) B． ( , 2] [0, ) C． ( , 2) [0, ) D． ( , 2] (0, )
【答案】C
【详解】集合中的 x 2可以表示为区间 x ( , 2)，
集合中的 x 0 可以表示为区间 x 0, ，
或是并集关系，
所以集合表示为 x ( , 2) 0,
故选：C
7．将集合 A x 1 x 5, x 3 用区间表示为___________.
【答案】 1,3 3,5
【分析】根据区间的表示方法，结合并集的意义，即可表达.
【详解】根据题意，集合A 表示大于等于 1 小于 5，且不等于 3 的实数的集合.
故可用区间表示为： 1,3 3,5
故答案为： 1,3 3,5 .
1
8．函数 f (x) x 1 的定义域是（ ）
x
A．R B． 1, C． ,0 0, D． 1,0 0,
【答案】D
【分析】根据根式与分式的定义域求解即可.
x 1 0
【详解】由题意 ，解得 x 1,0 0,
x 0
故选：D
9．求下列函数的定义域：
(1) y x 1 ；
x2 2x 3
x 4
(2) y
x3
．
4x
【答案】(1)[ 1,1) (1, )；(2){x | x 0且 x 2且 x 2} .
x 1 0
【分析】（1）解不等式组
x
2 即得解； 2x 3 0
（2）解不等式 x3 4x 0即得解.
x 1 0
【详解】(1)解：由题得 2 , x 1 x 1
x 2x 3 0
且 .
所以函数的定义域为[ 1,1) (1, ) .
(2)解：由题得 x3 4x 0, x 0 且 x 2且 x 2 .
所以函数的定义域为{x | x 0且 x 2且 x 2} .
10．（1）已知函数 f x 的定义域为 0,1 ，则函数 f x2 1 的定义域为______；
（2）已知函数 f 2x 3 的定义域为 1,3 ，则 f 1 3x 的定义域为______．
2 2
【答案】 x x 0 ,
3 3
【分析】（1）由题意，根据0 x2 1 1，解不等式即可得答案；
（2）由题意，可得 1 2x 3 3，即 f x 的定义域为 1,3 ，进而根据 1 1 3x 3，解不等式即可得答案.
【详解】解:（1）因为函数 f x 的定义域为 0,1 ，
所以0 x2 1 1，即 1 x2 0，所以 x 0，
2
所以函数 f x 1 的定义域为 x x 0 ．
（2）因为函数 f 2x 3 的定义域为 1,3 ，即1 x 3，
所以 1 2x 3 3，即 f x 的定义域为 1,3 ，
2 2
所以 1 1 3x 3，解得 x ，
3 3
f 1 3x 2 , 2所以函数 的定义域为
3 3
．
故答案为：（1） x x 0 2；（2） , 2 . 3 3
11．（多选）下列选项中能表示同一个函数的是（ ）
2
A． y x 1与 y x 1 B． y x2 1与 s t 2x 1 1
C f x x
x 1, x 1
1 g x D f x ( x )
2
g x x． ，
1
． ，
x, x 1 x ( x )2
【答案】BCD
【分析】根据两个函数相等，则其对应关系相同且定义域也相同，分别从对应关系和定义域两个方面分析判断．
x2 1
【详解】对于 A： y x 1的定义域为R ， y 的定义域为 x | x 1 ，A 不正确；
x 1
对于 B、C：显然定义域均为R ，虽然解析式书写形式不一样，但对应关系相同，B、C 正确；
对于 D：显然定义域均为 x | x 0 ， ( x )2 x ，则 f x 1， g x 1，D 正确；
故选：BCD．
1．下列各式为 y 关于 x 的函数解析式是（ ）
x 1, x 0A． y x x 3 0, x为有理数 B． y x 2 1 x C． y x 1, x 0 D． y 1, x为实数
【答案】C
【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可
【详解】A 项， y x x 3 3，定义域为 R，定义域内每个值按对应法则不是唯一实数与之对应，所以不是函
数，A 项错误；
x 2 0
B 项， y x 2 1 x ，定义域为 1 x 0 ，无解，所以不是函数，B 项错误；
x 1, x 0
C 项， y
x 1, x 0
，定义域为 R，对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数，C 项正确；
0, x为有理数
D 项， y ，当 x 1时，y 有两个值 0，1 与之对应，所以不是函数，D 项错误.
1, x为实数
故选：C.
2．已知函数F (x) f (x) g(x) g(x) F
1
，其中 f (x) 是 x 的正比例函数， 是 x
的反比例函数，且 19, F (1) 9，则
3
F (2) （ ）
A．3 B．8 C．9 D．16
【答案】C
f (x) kx, g(x) m
1
【分析】根据题意设 ，则F (x) f (x) g(x) kx
m
x ，然后由
F 19, F (1) 9列方程组求出 k, mx 3
的值，从而可得 F (x)的解析式，进而可求出 F (2)
m m
【详解】根据题意设 f (x) kx, g(x) ，则F (x) f (x) g(x) kx x ，x
F 1 因为 19, F (1) 9，
3
1
k 3m 19 k 3
所以 3 ，解得 m 6 ， k m 9
所以F (x) 3x
6
，
x
所以F (2)
6
3 2 9，
2
故选：C
3．若集合 A x y x 2 , B y y x 2 ，则 A B （ ）
A． x 0 x 2 B． x 0 x C． x 2 x D．
【答案】C
【分析】集合 A 表示函数的定义域，集合 B 表示函数的值域，求出两集合后再求其交集.
【详解】因为 A x y x 2 x x 0 ，B y y x 2 y y 2 ，
所以 A B x 2 x ，
故选：C
4．下列各组函数是同一函数的是（ ）
① f (x) 2x3 与 g(x) x 2x ； ② f (x) x 与 g(x) x2 ；
1
③ f (x) x0 与 g(x) 0 ； ④ f (x) x
2 2x 1与 g(t) t 2 2t 1 .
x
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】C
【分析】利用两函数为同一函数则定义域和对应法则要相同，逐项分析即得
【详解】① f x 2x3 与 g x x 2x 的定义域是 x | x 0 ，而 f x 2x3 x 2x ，故这两个函数不是
同一函数；
② f x x 与 g x x2 的定义域都是R ， g x x2 x ，这两个函数的定义域相同，对应法则也相同，故这
两个函数是同一函数；
③ f x x0 g x 1与 0 的定义域是 x | x 0 ，并且 f x g x 1x ，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；
④ f x x2 2x 1与 g t t 2 2t 1的定义域都是R ，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数，
综上所述，是同一函数的是②③④，
故选：C
5．已知函数 y f x 的定义域为 6,1 f 2x 1 ，则函数 g x 的定义域是（ ）
x 2
A．[ 11, 2) (
7
2,3] B ． , 2
( 2,0]
2
7
C． ,0 D． 11,3 2
【答案】B
【分析】求出使新函数式有意义的自变量范围即可．
6 2x 1 1 7
【详解】由题意 ，解得 x 0且 x 2x 2 0 ． 2
7
所以定义域为 , 2 ( 2,0]． 2
故选：B．
6．（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A． f x x0 (x 0)， g x 1(x 0)
B． f x 2x 1 x Z ， g x 2x 1 x Z
C． f x x2 4 ， g x x 2 x 2
D． f x x2 2x 1， g t t 2 2t 1
【答案】AD
【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数.
【详解】对于选项 A， f x x0 (x 0)， g x 1(x 0) 两个函数的定义域均为 x x 0 ，且 y x0 1，所以对应
关系也相同，所以是同一个函数，故 A 正确；
对于选项 B， f x 2x 1 x Z ， g x 2x 1 x Z 两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故 B
错误；
对于选项 C， f x x2 4 的定义域为 , 2 [2, ) ， g x x 2 x 2 的定义域为[2, )，定义域不同，
不是同一个函数，故 C 错误；
D f x x2 2x 1 g t t 2对于选项 ， ， 2t 1两个函数的定义域均为 R，对应关系也相同，是同一个函数，故 D
正确．
故选：AD.
7．直线 x＝a 与函数 y f x 的图象的交点个数是______．
【答案】0 或 1
【分析】讨论 a D 、 a D ，结合函数的定义判断交点个数.
【详解】设 y f x 的定义域为 D，
若 a D ，根据函数的定义知：没有函数值与之对应；
若 a D ，根据函数的定义知：有唯一的函数值与之对应．
故交点个数是 0 或 1．
故答案为：0 或 1
8．若 0,3a 1 为一确定区间，则 a 的取值范围是________．
1
【答案】 ,
3
【分析】因为 0,3a 1 为确定区间，所以右端点大于左端点，列出不等式求解 a 的取值范围.
1 1
【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，3a 1 0 ，解得： a ，所以 a 的取值范围是 , ．3 3
1
故答案为： ,
3
9．已知 ABC 的两边长 AB 2, BC 3，则第三边 AC 的长的取值范围用区间表示为___________.
【答案】 (1,5)
【分析】根据三角形任一边大于另两边之差，小于另两边之和求解即可.
【详解】因为 ABC 的两边长 AB 2, BC 3，
所以BC AB AC AB BC ，即1 AC 5 .
故答案为： (1,5)
10．已知函数 f x 1 定义域为 1, 4 ，则函数 f x 1 的定义域为_______.
【答案】 3,6
【分析】利用函数的定义，结合复合函数定义域求法求解作答.
【详解】因 f x 1 的定义域为 1, 4 ，则当1 x 4时， 2 x 1 5，
即 f x 的定义域为 2,5 ，于是 f x 1 中有 2 x 1 5，解得3 x 6 ，
所以函数 f x 1 的定义域为 3,6 .
故答案为： 3,6
11．确定下列函数的定义域：
(1) f x x2 x 2 ；
2
(2) f x 9 x ；
x
(3) g x x 2 ；x 2x 3
(4) f x x 1 .
x
【答案】(1) , 2 1, ；(2) 3,0 0,3 ；(3) , 1 1,3 3, ；(4)[ 1,0) [1 )
【分析】（1）根据根式里面的被开方数为非负数解一元二次不等式；
（2）根据根式里面的被开方数为非负数且分母不能为 0 求解；
（3）根据分母不能为 0 解一元二次不等式；
（4）根据根式里面的被开方数为非负数且分母不能为 0 求解.
【详解】(1)解：由题意得：
要使二次根式有意义， x2 x 2 0 ，解得 x≤ 2或 x 1
故定义域为 , 2 1,
9 x2 0 3 x 3
(2)由题意得：
x 0
x 0
故定义域为： 3,0 0,3
(3)由题意得： x2 2x 3 (x 1)(x 3) 0，即 x 1且 x 3
故定义域为 , 1 1,3 3,
1 x2 1 x 0 x 0
(4)由题意得：由 x 0可得 0
x x x2
x 1
1 0或 x2 1 0，解得： 或
1 x 0
故定义域为：[ 1,0) [1 )
12．已知函数 y f 3x 7 的定义域为 2,3 ，求函数 y f x 1 f 1 x 的定义域．
【答案】 1,3
【分析】由条件可得 2 x 3， 13 3x 7 2 ，即可得到函数 y f x 的定义域，然后可建立不等式组求解.
【详解】因为函数 y f 3x 7 的定义域为 2,3 ，
所以 2 x 3， 13 3x 7 2 ，
所以函数 y f x 的定义域为 13, 2 ，
13 x 1 2所以要使函数 y f x 1 f 1 x 有意义，则有 ，解得 1 x 3，
13 1 x 2
所以函数 y f x 1 f 1 x 的定义域为 1,3 .
13．已知函数 y f
f x 5
2x 1 的定义域为 5,7 ，求函数 y 的定义域；
x2 3x 10
【详解】 y f 2x 1 定义域为 5,7 ， 2x 1 9,15 ，
9 x 5 15
2 ，解得： 4 x 2 或5 x 20，
x 3x 10 0
f x 5
y 的定义域为 4, 2 5, 20 .
x2 3x 10
14．下列哪一组中的函数 f (x) 与 g(x)是同一个函数？
2
（1） f (x) x x 1, g(x) 1；
x
（2） f (x) x2 , g(x) ( x )4 ；
（3） f (x) x2 , g(x) 3 x6 .
【答案】（1）不是；（2）不是；（3）是
【解析】根据同一函数的定义，从定义域、对应关系两方面判断即可.
【详解】解：（1） f (x) 定义域为 R， g(x)定义域为{x | x 0}，
∵定义域不同， f (x)与 g(x)不是同一函数.
（2） f (x) 定义域为 R， g(x)定义域为{x | x 0}，
∵定义域不同，
f (x)与 g(x)不是同一函数.
（3） g(x) 3 x6 x2， f (x) 与 g(x)定义域与对应关系都相同， f (x)与 g(x)是同一函数.
【点睛】本题考查了同一函数的定义，属于基础题.
2
15．已知函数 f (x)
x 3x
和 g(x) 2x 1 ，设 h(x) f (x) g(x) .
2x 1 x 3
（1）求函数 h(x) ；
（2）求 h(2) 和 h( 2) 的值；
（3）求h(a 1)的值；
（4）若函数H (x) x，试判断 y h(x)与 y H (x)是否为同一函数，并说明理由.
【答案】（1）h(x) x, x
1
,3 (3, 3 )；（2） h(2) 2； h( 2)
不存在；（3）当a ,2
(2, )2 2 时，
h(a 1) a 1 a 3 ,2 ；当 (2, )时，h(a 1)不存在；（4） y H (x)和 y h(x)不是同一函数，详见解析.
2
【分析】（1）先由 f (x), g(x)的定义域可得 h(x) 的定义域，然后求解 h(x) ；
（2）把 x 2代入 h(x) 可得 h(2) , h( 2) 没有意义；
（3）分类讨论 a 1与 h(x) 定义域的关系，可得h(a 1)的值；
（4）从定义域和解析式的特征进行判定.
2
【详解】（1）h(x) f (x) g(x) x 3x 2x 1 x(x 3) x .
2x 1 x 3 x 3
1
∵ f (x) ,
1
的定义域为 , g(x) 的定义域为 ,3 (3, )
2 2
，
∴ h(x)
1
的定义域为 f (x) 与 g(x) 的定义城的交集，即 ,3 (3, ) .
2
∴ h(x) x, x
1
,3 (3, ) .
2
1
（2）∵ 2 ,3 (3, )，∴ h(2) 2 .
2
∵ 2
1
,3
(3, )，∴ h( 2) 不存在.
2
1 3
（3）当a 1 ,3
(3, )时，即当a ,2 (2, )时，h(a 1) a 12 2 ；
1 3
当a 1 ,3 (3, )2 时，即当
a ,22
(2, )时，h(a 1)不存在.
（4） y H (x)和 y h(x)，虽然函数解析式相同，但是定义域不同，前者定义域 R，后者定义域为
1
,3
(3, ) .
2
所以 y H (x)和 y h(x)不是同一函数.
【点睛】本题主要考查函数的解析式及定义域，同一函数的判定等，函数定义域是函数不可缺失的一部分，求解时
应该遵循定义域优先的策略，侧重考查数学抽象的核心素养.