2006年高考数列题集锦[上学期]
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2006年高考数列题集锦
一、选择题（共18题）：
[1] ．已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于
A.18 B.27 C.36 D.45
[2] ．在等比数列中，若且，的值为
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
[3] ．在等比数列｛an｝中，，，则
A. 81 B. 27 C. D. 243
[4] ．若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则
A．4 B．2 C．－2 D．－4
[5] ．如果成等比数列，那么
A．， B．， C．， D．，
[6] ．已知等差数列中，a 2=7,a4=15,则前10项和S10=
（A）100 （B）210 （C）380 （D）400
[7] ．设是等差数列{}的前n项和，若，则
A、8 B、7 C、6 D、5
[8] ．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为
A.5 B.4 C. 3 D. 2
[9] ．在等差数列中，若，是数列的前项和，则的值为
（A）48 （B）54 （C）60 （D）66
[10] ．设是公差为正数的等差数列，若，，则
A． B． C． D．
[11] ．设是等差数列，，，则这个数列的前6项和等于
Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．48
[12] ．在等差数列中，已知则等于
（A）40 （B）42 （C）43 （D）45
[13] ．在各项均不为零的等差数列中，若，则
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
[14] ．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，
．设（），则数列的前10项和等于
A．55 B．70 C．85 D．100
[15] ．设是等差数列的前项和，若则
（A） （B） （C） （D）
[16] ．函数的最小值为
（A）190 （B）171 （C）90 （D）45
[17] ．在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于
(A) (B) (C) (D)
[18] ．设，则等于
（A） （B） （C） （D）
二、填空题（共6题）：
[19] ．设为等差数列的前项和，若, ,则公差为 （用数字作答）.
[20] ．在数列中，若，，则该数列的通项
[21] ．在数列中，若，，则该数列的通项 。
[22] ．若数列满足：，2，3….则 .
[23] ．设为等差数列的前n项和，＝14，－＝30，则＝ .
[24] ．在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）.
三、解答题（共18题）：
[25] ．记等比数列的前项和为，已知S4=1，S8=17，求的通项公式。
[26] ．已知{}为等比数列，，求{}的通项公式
[27] ．若S是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列。
(Ⅰ)求数列的公比。
(Ⅱ)若，求的通项公式.
[28] ．设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.
(Ⅰ)若，，求数列的通项公式；
(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.
[29] ．设数列的前n项和为，点均在函数的图像上。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。
[30] ．已知等差数列的前项和为，．
（1）求的值；
（2）若与的等差中项为，满足，求数列的前项和．
[31] ．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}
的通项an
[32] ．数列的前项和记为
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成
等比数列，求
[33] ．已知数列｛｝中，，点在直线上，其中=1,2,3….
(Ⅰ)令，求证：数列是等比数列；
(Ⅱ)求数列的通项；
(Ⅲ)设分别为数列的前n项和,是否存在实数，使得数列为
等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。
[34] ．已知各项均为正数的数列，满足：，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．
[35] ．已知，点在函数的图象上，其中=1，2，3，…
（1）证明数列是等比数列；
（2）设，求及数列的通项；
（3）记，求数列的前项和，并证明=1.
[36] ．设数列、、满足：
证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且．
[37] ．（文）已知数列满足
（I）证明：数列是等比数列；
（II）求数列的通项公式；
（III）若数列满足证明是等差数列。
[38] ．（理）已知数列满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足证明是等差数列。
（III）证明：.
[39] ．设数列的前项的和，n=1,2,3,……
（Ⅰ）求首项与通项；
（Ⅱ）设，n=1,2,3,……，证明：
[40] ．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列4321的逆序数.
（Ⅰ）求a4、a5，并写出an的表达式；
（Ⅱ）令，证明，n=1,2,….
[41] ．在等差数列中，，前项和满足条件，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和。
[42] ．已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝
（1） 求数列｛an｝的通项公式；
（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1a2……an2n！．
答案：
…
^1 ．C
^2 ．D
^3 ．A
^4 ．D
^5 ．B
^6 ．B
^7 ．5
^8 ．记等差数列为(),,,故选C;
^9 ．B
^10 ．B
^11 ．B
^12 ．B
^13 ．A
^14 ．C
^15 ．A
^16 ．C
^17 ．C
^18 ．D
^19 ．
^20 ．
^21 ．
^22 ．
^23 ．54
^24 ．【解析】;观察图4,不难发现第堆最底层（第一层）的乒乓球数 ,第堆的乒乓球总数相当于堆乒乓球的底层数之和,即 .
^25 ．
^26 ．
^27 ．
^28 ．解：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,故解得d=－2,a1=20.因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…（Ⅱ）由得 即由①+②得－7d＜11。即d＞－。由①+③得13d≤－1即d≤－于是－＜d≤－又d∈Z,故d=－1将④代入①②得10＜a1≤12.又a1∈Z,故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…
^29 ．
^30 ．
^31 ．解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),② 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2). 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3.
^32 ．
^33 ．
^34 ．
^35 ．
^36 ．
^37 ．本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。 （I）证明： 是以 EMBED Equation.DSMT4 为首项，2为公比的等比数列。 （II）解：由（I）得 （III）证明： ① ② ②－①，得 即 ③ ④ ④－③，得 即 是等差数列。
^38 ．本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。 （I）解： 是以为首项，2为公比的等比数列。 即 （II）证法一： ① ② ②－①，得 即 ③－④，得 即 是等差数列。 证法二：同证法一，得 令得 设下面用数学归纳法证明 （1）当时，等式成立。 （2）假设当时，那么 这就是说，当时，等式也成立。 根据（1）和（2），可知对任何都成立。 是等差数列。 （III）证明： EMBED Equation.DSMT4
^39 ．答：（I）（II）将上面结果代入得：
^40 ．解 （Ⅰ）由已知得， . （Ⅱ）因为， 所以. 又因为， 所以 =. 综上，.
^41 ．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又＝，所以。（Ⅱ）由，得。所以，当时，；当时，，即
^42 ．
一、选择题（共18题）：
[1] ．已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于
A.18 B.27 C.36 D.45
[2] ．在等比数列中，若且，的值为
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
[3] ．在等比数列｛an｝中，，，则
A. 81 B. 27 C. D. 243
[4] ．若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则
A．4 B．2 C．－2 D．－4
[5] ．如果成等比数列，那么
A．， B．， C．， D．，
[6] ．已知等差数列中，a 2=7,a4=15,则前10项和S10=
（A）100 （B）210 （C）380 （D）400
[7] ．设是等差数列{}的前n项和，若，则
A、8 B、7 C、6 D、5
[8] ．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为
A.5 B.4 C. 3 D. 2
[9] ．在等差数列中，若，是数列的前项和，则的值为
（A）48 （B）54 （C）60 （D）66
[10] ．设是公差为正数的等差数列，若，，则
A． B． C． D．
[11] ．设是等差数列，，，则这个数列的前6项和等于
Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．48
[12] ．在等差数列中，已知则等于
（A）40 （B）42 （C）43 （D）45
[13] ．在各项均不为零的等差数列中，若，则
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
[14] ．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，
．设（），则数列的前10项和等于
A．55 B．70 C．85 D．100
[15] ．设是等差数列的前项和，若则
（A） （B） （C） （D）
[16] ．函数的最小值为
（A）190 （B）171 （C）90 （D）45
[17] ．在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于
(A) (B) (C) (D)
[18] ．设，则等于
（A） （B） （C） （D）
二、填空题（共6题）：
[19] ．设为等差数列的前项和，若, ,则公差为 （用数字作答）.
[20] ．在数列中，若，，则该数列的通项
[21] ．在数列中，若，，则该数列的通项 。
[22] ．若数列满足：，2，3….则 .
[23] ．设为等差数列的前n项和，＝14，－＝30，则＝ .
[24] ．在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）.
三、解答题（共18题）：
[25] ．记等比数列的前项和为，已知S4=1，S8=17，求的通项公式。
[26] ．已知{}为等比数列，，求{}的通项公式
[27] ．若S是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列。
(Ⅰ)求数列的公比。
(Ⅱ)若，求的通项公式.
[28] ．设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.
(Ⅰ)若，，求数列的通项公式；
(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.
[29] ．设数列的前n项和为，点均在函数的图像上。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。
[30] ．已知等差数列的前项和为，．
（1）求的值；
（2）若与的等差中项为，满足，求数列的前项和．
[31] ．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}
的通项an
[32] ．数列的前项和记为
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成
等比数列，求
[33] ．已知数列｛｝中，，点在直线上，其中=1,2,3….
(Ⅰ)令，求证：数列是等比数列；
(Ⅱ)求数列的通项；
(Ⅲ)设分别为数列的前n项和,是否存在实数，使得数列为
等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。
[34] ．已知各项均为正数的数列，满足：，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．
[35] ．已知，点在函数的图象上，其中=1，2，3，…
（1）证明数列是等比数列；
（2）设，求及数列的通项；
（3）记，求数列的前项和，并证明=1.
[36] ．设数列、、满足：
证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且．
[37] ．（文）已知数列满足
（I）证明：数列是等比数列；
（II）求数列的通项公式；
（III）若数列满足证明是等差数列。
[38] ．（理）已知数列满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足证明是等差数列。
（III）证明：.
[39] ．设数列的前项的和，n=1,2,3,……
（Ⅰ）求首项与通项；
（Ⅱ）设，n=1,2,3,……，证明：
[40] ．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列4321的逆序数.
（Ⅰ）求a4、a5，并写出an的表达式；
（Ⅱ）令，证明，n=1,2,….
[41] ．在等差数列中，，前项和满足条件，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和。
[42] ．已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝
（1） 求数列｛an｝的通项公式；
（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1a2……an2n！．
答案：
…
^1 ．C
^2 ．D
^3 ．A
^4 ．D
^5 ．B
^6 ．B
^7 ．5
^8 ．记等差数列为(),,,故选C;
^9 ．B
^10 ．B
^11 ．B
^12 ．B
^13 ．A
^14 ．C
^15 ．A
^16 ．C
^17 ．C
^18 ．D
^19 ．
^20 ．
^21 ．
^22 ．
^23 ．54
^24 ．【解析】;观察图4,不难发现第堆最底层（第一层）的乒乓球数 ,第堆的乒乓球总数相当于堆乒乓球的底层数之和,即 .
^25 ．
^26 ．
^27 ．
^28 ．解：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,故解得d=－2,a1=20.因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…（Ⅱ）由得 即由①+②得－7d＜11。即d＞－。由①+③得13d≤－1即d≤－于是－＜d≤－又d∈Z,故d=－1将④代入①②得10＜a1≤12.又a1∈Z,故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…
^29 ．
^30 ．
^31 ．解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),② 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2). 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3.
^32 ．
^33 ．
^34 ．
^35 ．
^36 ．
^37 ．本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。 （I）证明： 是以 EMBED Equation.DSMT4 为首项，2为公比的等比数列。 （II）解：由（I）得 （III）证明： ① ② ②－①，得 即 ③ ④ ④－③，得 即 是等差数列。
^38 ．本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。 （I）解： 是以为首项，2为公比的等比数列。 即 （II）证法一： ① ② ②－①，得 即 ③－④，得 即 是等差数列。 证法二：同证法一，得 令得 设下面用数学归纳法证明 （1）当时，等式成立。 （2）假设当时，那么 这就是说，当时，等式也成立。 根据（1）和（2），可知对任何都成立。 是等差数列。 （III）证明： EMBED Equation.DSMT4
^39 ．答：（I）（II）将上面结果代入得：
^40 ．解 （Ⅰ）由已知得， . （Ⅱ）因为， 所以. 又因为， 所以 =. 综上，.
^41 ．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又＝，所以。（Ⅱ）由，得。所以，当时，；当时，，即
^42 ．