人教A版2019高中数学选择性必修三 6.2.2排列数 课件（共19张PPT）

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高二人教A版高中数学选择性必修第三册第六章
6.2.2 排列数
学习目标
1.能根据特殊到一般的数学思想猜想、归纳排列数公式，发展数学抽象素养；
2.能利用分步乘法计数原理推导排列数公式，发展逻辑推理素养；
3.能运用排列和排列数公式解决问题，发展数学运算素养。
知识回顾
1.分类加法计数原理：如果完成一件事情有k类不同方案，在第1类方案中有种不同方法，在第2类方案中有种不同方法，……，在第k类方案中有种不同方法，那么完成这件事共有种不同方法。
2.分步乘法计数原理:如果完成一件事情有k个步骤，做第1步有种不同方法，做第2步有种不同方法，……， 做第k步有种不同方法，那么完成这件事共有种不同方法。
3.排列：从个不同的元素中取出个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个排列（arrangement）。
环节一、创设情境，铺垫方法
问题1 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
左
右
3种
2种
解：完成这件事情可以分为两个步骤：
第一步，从3幅不同的画中选出1幅挂在左边墙上的指定位置，有3种选法；
第二步，从剩下的2幅不同的画中选出1幅挂在右边墙上的指定位置，有2种选法。
根据分步乘法计数原理，共有3x2=6种不同的挂法。
问题2 从甲、乙、丙、丁4名同学中选出2名参加一项活动，分别安排参加上午和下午的活动，共有多少种不同的排法？
上午
下午
4种
3种
解：完成这件事情可以分为两个步骤：
第一步，从4名同学中选出1名安排参加上午的活动，有4种选法；
第二步，从剩下的3名同学中选出1名安排参加下午的活动，有3种选法。
根据分步乘法计数原理，共有4x3=12种不同的排法。
问题1 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
问题2 从甲、乙、丙、丁4名同学中选出2名参加一项活动，分别安排参加上午和下午的活动，共有多少种不同的排法？
环节二、自主探究，发展素养
问题3 结合问题1和问题2，你能发现哪些规律？
分析: 问题1的本质是从3个不同的元素中取出2个元素，按一定的顺序排成一列，共有种不同的排法；问题2的本质是从4个不同的元素中取出2个元素，按一定的顺序排成一列，共有种不同的排法。
规律1 从个不同的元素中取出2个元素按一定的顺序排成一列，共有 种排法。
分析：假定有排好顺序的两个空位，从n个不同的元素中取出2个元素去填空，每个空位填上一个元素，一种填法就是一个排列，一个排列也对应一种填法，所以不同填法的总数就是不同排列的总数。
n种
(n-1)种
解：从个不同的元素中取出2个元素填空，可以分为两个步骤：
第一步，从个不同的元素中任取1个元素填在第一个空位，有种取法；
第二步，从剩下的个不同的元素中任取1个元素填在第二个空位，有种取法。
根据分步乘法计数原理，共有种不同的填法，即共有种排法。
一般化
规律2 从个不同的元素中取出个元素按一定的顺序排成一列，共有 种排法。
n种
(n-1)种
(n-2)种
第1位 第2位 第3位 第m位
分析：假定有排好顺序的m个空位，从n个不同的元素中取出m个元素去填空，每个空位填上一个元素，一种填法就是一个排列，所以不同填法的总数就是不同排列的总数。
根据分步乘法计数原理，共有种排法。
n+1
n+1
n+1
n+1
=(n-m+1)
(n-0)种
(n-1)种
(n-2)种
[n-(m-1)]
(n+1-m)
规律2 从个不同的元素中取出个元素按一定的顺序排成一列，共有种排法。
解：假定有排好顺序的m个空位，从n个不同的元素中取出m个元素去填空，每个空位填上一个元素，一种填法就是一个排列。
从个不同的元素中取出个元素填空，可以分为个步骤：
第一步，从个不同的元素中任取1个元素填在第1个空位，有种取法；
第二步，从剩下的个不同的元素中任取1个元素填在第2个空位，有种取法；
第三步，从剩下的个不同的元素中任取1个元素填在第3个空位，有种取法；
第步，从剩下的个不同的元素中任取1个元素填在第位，有种取法。
根据分步乘法计数原理，共有种排法。
规律2 从个不同的元素中取出个元素按一定的顺序排成一列，共有种排法。
规律1 从个不同的元素中取出2个元素按一定的顺序排成一列，共有种排法。
小结: 从个不同的元素中取出个元素按一定的顺序排成一列，所有不同排列的方法总数为，排列的方法总数也称为排列数，可以用排列的英文单词arrangement的首字母A和、组合并标记为，
即有=。
环节三、应用公式，理解知识
排列数 从个不同的元素中取出个元素按一定的顺序排成一列，排列数为
问题4 我们获得了排列数公式，接下来还能研究什么？
分析排列数公式，应用排列数公式。
第1位 第2位 第3位 第m位
n种
(n-1)种
(n-2)种
[n-(m-1)]种
个连续的正整数相乘，第一个因数是，后面每个因数都比前面的一个因数少1，最后一个因数是。
应用排列数公式
排列数 从个不同的元素中取出个元素按一定的顺序排成一列，排列数为
有个连续的正整数相乘，第一个因数是，后面每个因数都比前面的一个因数少1，最后一个因数是。
(3)
(1)
(5)
(7)
应用排列数公式
(3)
(1)
(5)
(7)
(8)
(9)
(10)
全排列
n的阶乘
乘积式
阶乘式
分析: 在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，其他9个数字可以在任意数位上，所以0是一个特殊的元素，百位是一个特殊位置。
问题5 用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
百位 十位 个位
9种
9种
8种
解法1: 如果优先考虑百位上的数字，可以分三步完成：
第一步，从1~9中取出1个数字填在百位上，有9种取法；
第二步，从剩下的9个数字中个取出1个数字填在十位上，有9种取法；
第三步，从剩下的8个数字中个取出1个数字填在个位上，有8种取法。
根据分步乘法计数原理，共有种不同的填法，一种填法就是一个三位数，也就是可以组成648个没有重复数字的三位数。
问题5 用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解法2: 如果将解法1中的第二步和第三步合并为一步，可以分两步完成：
第一步，从1~9中取出1个数字填在百位上，有9种取法；
第二步，从剩下的9个数字中取出2个数字按一定的顺序排成一列，从左到右填在十位和个位上，有种填法。
根据分步乘法计数原理，共有=648种不同的填法，一种填法就是一个三位数，也就是可以组成648个没有重复数字的三位数。
百位 十位 个位
9种
种
问题5 用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解法3: 如果优先考虑三位数是否含0，可以分为三类情况：
第一类，三位数不含0，从1~9中取出3个数字按一定的顺序排成一列，从左到右分别填在三个空位上，有种填法；
第二类，个位上的数字是0，从1~9中取出2个数字按一定的顺序排成一列，从左到右分别填在百位和十位上，有种填法；
第三类，十位上的数字是0，从1~9中取出2个数字按一定的顺序排成一列，从左到右分别填在百位和个位上，有种填法。
根据分类加法计数原理，共有++种不同的填法，一种填法就是一个三位数，也就是可以组成648个没有重复数字的三位数。
百位 十位 个位
三位数不含0
百位 十位 个位
0
个位数是0
百位 十位 个位
0
十位数是0
问题5 用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
分析:假定有排好顺序的三个空位，从这10个数字中取出3个数字排列，从左到右填在三个空位上。如果第一个空位不是0，就是一个三位数。
种
种
0
第一个数字不是0
第一个数字是0
解法4: 从中取出3个数字按一定顺序排成一列，从左到右填在三个空位上，有种填法。如果第一个空位上的数字是0，则从剩下的9个数字中取出2个数字按一定的顺序排成一列，填在第二和第三个空位上，有种填法。如果第一个空位上的数字不是0，就有种填法，每一种填法就是一个三位数，所求三位数个数为648。
环节四、回顾过程，提炼方法
1.本节课我们学习了哪些内容？
2.我们是怎样探究排列数公式的？
（1）从特殊到一般，归纳推导排列数公式；
（2）从一般到特殊，应用排列数公式计数。
3.应用排列数公式时有哪些注意事项？
（1）分析问题中要完成的“一件事”是什么，判断是否与排列要完 成的“一件事”一致；
（2）分析限制条件，并以限制条件为标准进行分步或者分类计数。
排列数、排列数公式、全排列、阶乘等。
谢谢