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普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版]
§2.2第2课时 等差数列的通项公式
教学目标
（1）理解等差数列中等差中项的概念；
（2）会求两个数的等差中项；
（3）掌握等差数列的特殊性质及应用；
（4）掌握证明等差数列的方法。
教学重点，难点
等差中项的概念及等差数列性质的应用。
教学过程
一．问题情境
1．复习：等差数列的定义、通项公式 ；
2．问题：（1）已知是公差为的等差数列。
①也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
（2）已知等差数列的首项为，公差为。
①将数列中的每一项都乘以常数，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？
②由数列中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
（3）已知数列是等差数列，当时，是否一定有？
（4）如果在与中间插入一个数，使得，，成等差数列，那么应满足什么条件？
二．学生活动
与学生一起讨论得出结论。
三．建构数学
1．等差中项的概念：
如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中
，，成等差数列．
2．等差数列的性质：
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是
如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等差数列中，对任意，，，；
（4）在等差数列中，若，，，且，则
四．数学运用
1．例题：
例1．已知等差数列的通项公式是，求首项和公差。
解：，∴
或
等差数列的通项公式是，是关于的一次式，
从图象上看，表示这个数列的各点均在直线上
（如图）
例2（1） 是等差数列，证明为等差数列。
（2）在等差数列中，是否一定有？
（3）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，那么数列一定是等差数列吗？
证明：（1）设数列公差为，，
，
∵是一个与无关的常数，∴为等差数列。
（2）∵是等差数列，所以，∴
（3）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，
则，这表明，这个数列从第二项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，∴数列一定是等差数列。
例3．在等差数列中，若，，求．
解：（法一）设首项，公差为，则 ∴，，
∴．
（法二），．
例4．①在等差数列中，，求．
②在等差数列中，，求的值。
解：①由条件：；
②：由条件：∵ ∴
∴．
例5．如图，三个正方形的边的长组成等差数列，且，这三个正方形的面积之和是。
（1）求的长； （2）以的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
解：设公差为，则
由题意得：
解得： 或（舍去）
∴
（2）正方形的边长组成已3为首项，公差为4的等差数列，
∴，∴
所求正方形的面积是。
五．回顾小结：
1．等差中项的概念；
2．等差数列性质的应用；
3．掌握证明等差数列的方法。
六．课外作业： 5，6，7，8，9，10题
必修5 第2章 数列 ——第2课时：等差数列（2）北京英才苑网站 http://www.ycy. ·版权所有·盗版必究·
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§2.1 第1课时 数列(1)
教学目标
（1）了解数列的概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；
（2）理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式．
教学重点，难点
（1）理解数列是一种特殊的函数；
（2）会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式．
教学过程
一．问题情境
1．情境：
某剧场座位数依次为，，，，，．．．（１）
某彗星出现的年份依次为，，，，，．．．（２）
某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为个，那么每过分钟，个细胞分裂的个数依次为，，，，，．．．（３）
＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为份，那么每日剩下的部分依次为，，，，，．．．（４）
某种树木第年长出幼枝，第年幼枝长成粗干，第年粗干可生出幼枝，那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为，，，，，，．．．（５）
从年到年，我国共参加了次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为，，，，，．（６）
2．问题：
这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？
二．学生活动
思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．
三．建构数学
1．数列
按照一定次序排列的一列数称为数列．
数列的一般形式可以写成，，，．．．，，．．．，简记为．
2．项
数列中的每个数都叫做这个数列的项．
称为数列的第项（或称为首项），称为第项，．．．，称为第项．
说明：数列的概念和记号与集合概念和记号的区别：
(1)数列中的项是有序的，而集合中的项是无序的；
(2)数列中的项可以重复，而集合中的元素不能重复．
3．有穷数列与无穷数列
项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
4．数列是特殊的函数
在数列中，对于每一个正整数（或），都有一个数与之对应，因此，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数，如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，．．．，，．．．．（强调有序性）
说明：数列的图象是一些离散的点
5．通项公式
一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示．那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
四．数学运用
1．例题：
例1．已知数列的第项为，写出这个数列的首项、第项和第项．
解：首项为；第项为；第项为．
例2．已知数列的通项公式，写出这个数列的前项，并作出它的图象：
（１）；（２）．
解 我们用列表法分别给出这两个数列的前项．
它们的图象如下图所示．
例3．写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：
（１），，，，； （２），，，，；
（３），，，； （４），，，，．．．，；
（５），，，．
解：（１）． （２）．
（３）． （４）．
（５）．
说明：写出数列的通项公式
（１）关键是寻找与的对应关系；
（２）符号用或来调节；
（３）分式的分子，分母可以分别找通项，但要充分借助分子与分母的关系；
（４）并不是每一个数列都有通项公式，即使有通项公式，通项公式也未必是唯一的；
（５）对于形如，，，，．．．，的数列，其通项公式均可写成．
2．练习：练习２，３，４，５
写出下列数列的通项公式：
（１），，，，．．．，；（２），，，，．．．，；
（３）．，，，．．．，
答案：（１）（２）（３）
五．回顾小结：
1．数列的概念；
2．求数列的通项公式的要领．
六．课外作业：习题２．１第1，2，3，4题
必修五 第二章 数列——第1课时：数列北京英才苑网站 http://www.ycy. ·版权所有·盗版必究·
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§2.1 第2课时 数列(2)
教学目标
（1）了解数列的递推公式是确定数列的一种方法；
（2）掌握根据数列的前项和确定数列的通项公式．
教学重点，难点
（1）数列的递推公式的理解与应用；
（2）根据数列的前项和确定数列的通项公式．
教学过程
一．问题情境
复习：
（１）①数列的通项公式，则是该数列中的第１６项．
②已知数列的通项公式，则= ，= 9 ，65是它
的第 11 项 ；从第 7 项起各项为正；中第 2 项的值最小为
③中，则值最小的项是 4或5 ．
（２）写出下列数列的通项公式：
①，，， ，．．．； ②，，，，．．．；
③，，，，，．．．； ④．，，，．．．．
⑤，，，，．．．；
二．学生活动
思考：已知在数列中，那么这个数列中的任意一项是否都可以写出来？
三．建构数学
1．递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），以及任一项与前面一项（或前几项）之间的关系可用一个公式来表示，则这个公式叫做的递推公式．
2．数列的前项的和通常记为，．
与的关系：注意验证的情况．
四．数学运用
1．例题：
例1．（１）若数列中，，且各项满足，写出该数列的前四项．
（２）若数列中，，，且各项满足，则是该数列的第几项？
解：（１）因为，且，
所以，解得；，解得；
，解得．所以数列的前四项为，，，．
（２）因为，且，，所以，，，所以是该数列的第项．
例2．已知数列的前项和，求该数列的通项公式．
解：当时，；
当时，；
所以．
例3．已知数列的前项和．
（１）求数列的通项公式；
（２）设，求数列的通项公式．
解：（１）当时，；
当时，；所以．
（２）因为，且，，所以
说明：由数列的前项和求时，要注意分和讨论，然后将代入所得的通项公式，看结果是否符合的情况，不是则需要写成分段形式．
2．练习：
（１）已知数列满足，，写出它的前项，归纳其通项公式，并验证是否满足递推公式．
（２）数列的前项和满足，求该数列的通项公式．
五．回顾小结：
1．数列中递推关系的概念；
2．由数列的前项的和求数列的通项公式的过程．
六．课外作业：习题２．１第５，６题
补充：１．数列中，，，写出该数列的前四项，并归纳其通项公式，并验证是否满足递推公式．
２．数列的前项和，求该数列的通项公式．
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§2.2第4课时 等差数列的前项和的公式（2）
教学目标
（1）能熟练运用等差数列前项和的公式解决有关应用问题，
（2）掌握等差数列前项和中奇数项和与偶数项和的性质。
教学重点，难点
等差数列前项和的公式的应用。
教学过程
一．问题情境
情境：
1．等差数列中，，，则；
2．等差数列中，，则；
3．已知等差数列前项和为，前项和为，前项的和为为；
4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有 820 个座位。
二．学生活动
学生板演解答上面各题。
三．数学运用
1．例题：
例1．已知等差数列的项数为奇数，且奇数的和为，偶数项的和为，求此数列的中间项及项数。
解：设项数为，奇数项和记为奇，偶数项和记为偶 ，
由题意，奇 ①
偶 ②
①②得，，解得，
∴ 项数为7项，
又 奇 ，∴ ，即中间项为．
说明：设数列是等差数列，且公差为，
（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，
则①奇偶；
② ；
（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，
则①偶奇；
②．
例2．某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到0.1m）
解：卫生纸的厚度为0.1mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和。
由内向外各圈的半径分别为
因此各圈的周长分别为
∵各圈半径组成首项为，公差为的等差数列，设圈数为，则
， ∴
∴各圈的周长组成一个首项为，公差为，项数为40的等差数列，
答：满盘时卫生纸的总长度约是100米．
说明：各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离。
例3．教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象是在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为‰．
（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？
（2）零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少？（精确到1元）？
说明：教育储蓄可选择1年、3年、6年这三种存期，起存金额50元，存款总额不超过2万元。
解：（1）设每月存入元，则有‰）‰）‰）
由等差数列的求和公式，得：‰‰）
解得： （元）
（2）由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，∴3年期教育储蓄每月至多可存入（元），这样3年后的本息和为
‰）‰）‰）
‰‰）（元）。
答：欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入535元。3年期教育储蓄每月至多存入555元，此时3年后本息合计约20756元。
2．练习：练习3，4
五．回顾小结：
1．等差数列前项和中奇数项和与偶数项和的性质；
2．等差数列前项和公式在实际中的应用及解题规范。
六．课外作业：课本 7，8，9，11，12题
必修5 第2章 数列 ——第4课时：等差数列（4）北京英才苑网站 http://www.ycy. ·版权所有·盗版必究·
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§2.2第1 课时 等差数列的概念
教学目标
（1）能准确叙述等差数列的定义；
（2）能用定义判断数列是否为等差数列；
（3）会求等差数列的公差及通项公式。
教学重点，难点
等差数列的定义及等差数列的通项公式。
教学过程
一．问题情境
1．情境：观察下列数列：：
，，，，，，，……； ①
，，，，……， ②
第23届到第28届奥运会举行的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004 ③
某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费元，以后每分钟收话费元，那么通话费按从小到大的次序依次为：
④
如果1年期储蓄的月利率为，那么将10000元分别存1个月， 2个月 ， 3个月 ，
…… 12个月，所得的本利和依次为
10000， ⑤
2．问题：上面这些数列有何共同特征？
二．学生活动
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于4；
对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；
对于数列⑤，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；
规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
三．建构数学
1．等差数列定义：
一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或．
思考：（1）你能再举出一些等差数列的例子吗？
（2）判断下列数列是否为等差数列：
①1，1，1，1，1； ②4，7，10，13，16； ③，1，2，3。
①②是等差数列，③不是等差数列。
（3）求出下列等差数列中的未知项：
①3，，5； ② 3，，
（4）已知等差数列：4，7，10，13，16，如何写出它的第100项？
2．等差数列的通项公式：已知等差数列的首项是，公差是，求．
由等差数列的定义：，，，……
∴，，，……
所以，该等差数列的通项公式：．
另解：∵是等差数列，∴当时，有，，……
，将上面个等式的两边分别相加，得：
∴，当时，上面的等式也成立。
说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。
四．数学运用
1．例题：
例1．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次。奥运会如因故不能进行，届数照算。
（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
（2）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
解：（1）由题意：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，∴
（2）假设则，得
假设，无正整数解。
答：所求的通项公式是，2008年北京奥运会是第29届奥运会，2050年不举行奥运会。
说明：由此例说明等差数列项的判断方法。
例2．在等差数列中，已知，，求．
解：由题意可知：，解得，，
∴
例3．某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成。已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm，求。
解：用表示滑轮的直径所构成的等差数列，则由已知得，
由通项公式得：， 即，∴，
所以，，，，，．
答：中间四个滑轮的直径为17cm，19 cm，21 cm，23 cm。
例4．已知数列的通项公式为，其中，是常数，且，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，求它的首项与公差。
解：取数列中的任意相邻两项与（），
，
∵是一个与无关的常数，故是等差数列，且公差是，
所以，这个等差数列的首项是，公差是．
例5．在与中间插入三个数，，，使得这个数成等差数列，求，，．
解：用表示这个数所成的等差数列，
由已知得：， ，
∴，，
所以，，，．
2．练习：课本 1，2，3，4，5， 1
五．回顾小结：
1．等差数列的定义：；
2．等差数列的通项公式及其推导方法；
3．等差数列中项的判断方法。
六．课外作业： 2，3，4，5题
补充：
1．已知等差数列满足，，求数列的通项公式；
2．在等差数列中，已知，，
（1）首项与公差，并写出通项公式；
（2）中有多少项属于区间？
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§2.2第5课时 等差数列的前项和（3）
教学目标
（1）能熟练地应用等差数列前项和公式解决有关问题；
（2）能利用数列通项公式与前项和之间的关系解决有关问题。
教学重点，难点
1．等差数列前项和公式的应用；
2．数列通项公式与前项和之间的关系的应用。
教学过程
一．问题情境
1．情境：已知等差数列中，，任何求？（）
二．学生活动
（1）求出和，再用等差数列的通项公式求；
（2）利用与的关系：
（3）把等差数列的条件去掉，求。
三．数学运用
1．例题：
例1．（1）如果数列满足，（），求；
（2）已知数列的前项和为，求．
解：（1）由题意：是公差为的等差数列，其首项为，
∴，
∴．
（2）当时，，
当时，，
所以，（）。
例2．等差数列与的前项和分别为和，且，求的值。
解：∵，，
所以，
说明：若等差数列与的前项和分别为和，则
例3．在等差数列中，，，
（1）该数列第几项开始为负？
（2）前多少项和最大？
（3）求前项和？
解：设等差数列中，公差为，
由题意得：
（1）设第项开始为负，，，
所以从第项开始为负。
（2）（法一）设前项和为，则
，
所以，当时，前17项和最大。
（法二），则，，所以．
（3），
∴，
当时，，
当时，，
所以，
说明：（1），时，有最大值；，时，有最小值；
（2）最值的求法：
①若已知，可用二次函数最值的求法（）；
②若已知，则最值时的值（）可如下确定或．
四．回顾小结：
1．与的关系：
2．若等差数列与的前项和分别为和，则
3．（1），时，有最大值；，时，有最小值；
（2）最值的求法：
①若已知，可用二次函数最值的求法（）；
②若已知，则最值时的值（）可如下确定或．
五．课外作业： 10
补充：
1．已知数列成等差数列，且，，求的值。
2．数列的前项和，求证是等差数列。
3．设是等差数列的前项和，并对，，求这个数列的通项公式及前前项和公式
4．数列是首项为23，公差为整数的AP数列，且，，
（1）求公差；
（2）设前项和为，求的最大值；
（3）当为正数时，求的最大值。。
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§2.2第3 课时 等差数列的前项的和（1）
教学目标
（1）理解用等差数列的性质推导等差数列的前项和的方法；
（2）掌握等差数列的前项和的两个公式，并能运用公式初步解决有关问题；
（3）理解蕴含在推导过程的数学思想、掌握相关的数学方法，提高逻辑推理能力
教学重点，难点
公式的推导、理解和记忆，公式的灵活运用。
教学过程
一．问题情境
1．一堆钢管共7层，第一层钢管数为4，第七层钢管数为10，且下一层比上一层多一根，问一共有多少根钢管？
二．学生活动
引导学生思考、讨论可得出如下方法：
①数一数；②分组求和（插入高斯的故事）；③倒序相加法。
三．建构数学
1．等差数列的前和：
（1）问题：在等差数列中首项，公差，求……+．
……+……+
……+……
∴ ，∴ ，
又∵， ∴．
（2）等差数列的前和的求和公式：.
说明：（1）等差数列的前和等于首末两项和的一半的倍；
（2）在等差数列前项和公式及通项公式中有，，，，五个量，已知其中三个可以求出另外两个。
四．数学运用
1．例题：
例1．在等差数列中，
（1） 已知，，，求；
（2）已知，，求。
答案：（1） （2）
例2．（1）在等差数列中，已知，，求及；
（2） 在等差数列中，，，，求及
解：（1）由题意，得 由（2）得： 代入（1）得，∴（舍去），∴
（2）由题意，得 解得：
例3．求集合的元素个数，并求这些元素的和。
解：由，得，故集合中的元素共有14个，将它们从小到大列出，得，
，，，……，．
这数列是等差数列，共有项，记为，其中，，
所以，，
答：集合共有14个元素 ，它们的和等于．
例4．（1）在等差数列中，若，求（答案：）
（2）在等差数列中，，第11项到第20项的和为910，求 第21项到第30项的和。
解：（2）设等差数列的首项为，公差为，由题意，得
即： 解得：
∴ ，∴
从上例中我们发现：也成等差数列，你能得出更一般的结论吗？
结论：仍成等差数列，公差为（为确定的正整数）。
2．练习： 1，2，3，4 练习：1
五．回顾小结：
1．等差数列的前项和的两个公式及推导方法 ；
2．在等差数列前项和公式及通项公式中有，，，，五个量，已知其中三个可以求出另外两个。
3．等差数列前项和的性质：在等差数列中前项为，则仍成等差数列，公差为（为确定的正整数）。
六．课外作业： 练习：2 1（2）（4），2，3（1）（3）（4），4，5，6题
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§2.3 第12课时 等比数列的综合
教学目标
（1）进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；
（2）提高分析、解决问题能力．
教学重点，难点
（1）灵活应用等比数列的通项公式和前n项和公式解决问题．
教学过程
一．复习等比数列有关概念
1．等比数列的通项公式：．
2．等比数列前n项和公式：当时，或．
当q=1时， ．
二．数学运用
1．例题：
例1．已知数列满足，，求的表达式．
解：（1）∵，∴，，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴，数列的通项公式是．
例2．已知数列中对于一切自然数，以为系数的一元二次方程都有实数根满足，
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求的前项和．
解：（1）由题意得：，，代入得：，当时方程无实数根，∴，
由等比数列的定义知：是以为首项，公比为的等比数列；
（2）由（1）知， ∴，
（3）．
例3．已知：是等比数列的前项和，成等差数列，
求证：成等差数列．
证明：∵成等差数列，
∴，
若，则，
由，与题设矛盾，∴
，
整理，得，
∵，∴，
．
∴成等差数列．
例4．若数列前项和，求证：数列为等比数列，并求其通项公式．
解：∵，，
当时，，∴
∴（），
数列是以为首项，为公比的等比数列．
其通项公式为：．
2．练习：若等比数列的前项之和（为常数），求的值．
三．回顾小结：
1．递推公式是形如的数列通项公式如何求？
2．数列通项公式与前项和之间的关系的运用．
四．课外作业：
书复习题第2，4，5，6题．
补充：
1．一个有穷等比数列的首项为1，奇数项的和为85，偶数项和为170，求该数列的公比及项数．
2．一个正项等比数列共10项，公比为2，如果各项取以2为底的对数，那么所得数列的各项之和为25，求原数列的各项和。
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§2.3 第10课时 等比数列前项和(1)
教学目标
（1）掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；
（2）会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列前n项和的一些简单问题．
教学重点，难点
（1）等比数列的前n项和公式；等比数列的前n项和公式推导；
（2）灵活应用公式解决有关问题．
教学过程
一．问题情境
情境：
1．求和：（1），（2） ，
2．问题：（1），（2）两式的和之间有什么关系？能否根据它们之间的关系求
？能否求等比数列的前项和？
二．学生活动
1．（1），（2）两式的和之间的关系是；
2．，∴．
三．建构数学
1．等比数列前n项和公式：
一般地，设等比数列的前n项和是，
由 得
∴,
当时， 或
当q=1时，（错位相减法）
说明：（1）和各已知三个可求第四个；
（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；
（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况．
四．数学运用
1．例题：
例1．求等比数列中，
（1）已知；，，求；
（2）已知；，，，求．
解：（1）；
（2）．
例2．求等比数列中，，，求；
解：若，则，与已知，矛盾，
∴，从而 ①，
②．
②：①得： ，
∴，由此可得，
∴．
例3．求数列的前项和．
解：
．
说明：数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，求解时要采用分组求和．
例4．设是等比数列，求证：成等比数列．
证明：设的公比为，则
……，
………，
……
…，
∴
∴成等比数列．
2．练习：
（1）在等比数列中，表示该数列的前项和，若，，求（193）．
（2）书第2，3题
五．回顾小结：
1．等比数列的前n项和公式；
2．用分组求和法求每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和的数列和．
六．课外作业：书第4题，第1，2，7，8题．
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§2.3 第11课时 等比数列前项和（2）
教学目标
（1）能运用等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题；
（2）理解分期付款中的有关规定，掌握分期付款中的有关计算．能运用等差、等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题。
教学重点，难点
（1）将实际问题转化为数学问题（数学建模）．
教学过程
一．问题情境
1．情境：
某厂去年的产值记为，计划在今后的五年内每年的产值比上一年增长，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为多少？
2．问题：从今年起的五年内这个厂的逐年产值有什么特征？利用什么公式求总产值？
二．学生活动
由于每年的产值比上一年增长，所以从今年起的五年内这个厂的逐年产值组成等比数列记为，其中，，可利用等比数列的前项求和公式求总产值．
．
三．数学运用
1．例题：
例1．水土流失是我国西部开发中最突出的生态问题．全国万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占．国家确定年西部地区退耕土地面积为万亩，以后每年退耕土地面积递增，那么从年起到年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？
解 根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比数列，其中
则（万亩）．
答 从年起到年底，西部地区退耕还林的面积共有万亩．
思考：到哪一年底，西部地区基本解决退耕还林问题？
例2．某人从年初向银行申请个人住房公积金贷款万元用于购房，贷款的月利率为，并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还．如果年还清，那么每月应还贷多少元？
说明：对于分期付款，银行有如下的规定：（1）分期付款按复利计息，每期所付款额相同，且在期末付款；（2）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利和等于商品售价的本利和．
解：设每月应还贷元，付款次数为次，则
，
即，
（元）．
答：设每月应还贷元．
例3． 某厂为试制新产品，需增加某些设备。若购置这些设备，需一次付款万元；若租赁这些设备，每年初付租金万元。已知一年期存款的年利率为，试讨论哪种方案更好（设备寿命为10年）。
分析：（1）由于每年所付租金会随着时间的推移而不断增值，同时一次付款的价值也会随着时间的推移而不断增值．所以可以从终值或现值来考虑哪种方案更好．
（2）在复利计息的情况下，设本金为，每期利率为，期数为，到期末的本利和为，
则， 即．其中称为期末的终值，称为期后终值的现值．
解法1 （从终值来考虑）若购置设备，则万元年后的价值为（万元）．
若租赁设备，每年初付租金万元，年后的总价值为（万元）。
因此，购买设备较好．
解法2 （从现值来考虑）每年初付租金万元的年现值之和为（万元），
比购置设备一次付款万元多，故购置设备的方案较好．
思考：能否从现值的角度来分析并解决它？
2．练习：书第1，2题．
四．回顾小结：
1． 审清题意，建立正确的数学模型；
2．如何从终值角度计算分期付款问题，银行对分期付款有何规定？
六．课外作业：书第3题，习题第3，4，5题．
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§2.3 第8课时 等比数列的概念(1)
教学目标
（1）明确等比数列的概念及公比的概念；
（2）掌握等比数列的通项公式。
教学重点，难点
（1）等比数列定义和等比数列通项公式．
一．问题情境
1．情境：
观察下面几个数列，
（1）1，2，4，8，16，…；
（2）…，；
（3）某轿车的售价约为万元，年折旧率约为，那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为 ；
（4）某人年初投资元，如果年收益率是，那么按复利，年内各年末的本利和依次为
2．问题：以上数列有何共同特点？
二．学生活动
数列（1），从第二项起，每一项与它的前一项的比等于；数列（2），从第二项起，每一项与它的前一项的比等于；数列（3），从第二项起，每一项与它的前一项的比等于；数列（4），从第二项起，每一项与它的前一项的比等于．
共同特点：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．
三．建构数学
1．等比数列定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，（注意：等比数列的公比和项都不为零）．
2．等比数列的通项公式：
由定义式可得：，，……，，
若将上述个等式相乘，便可得：
， 即：（n≥2）
当时，左边，右边，所以等式成立，
∴等比数列通项公式为：．
说明：1．由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；
3．等比数列的图象：
等比数列的通项公式是一个常数与指数式的乘积，表示这个数列的各点均在函数的图象上（图象略）．
四．数学运用
1．例题：
例1．判断下列数列是否为等比数列：
（1）；
（2）；
解：（1）所给的数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）因为不能作除数，所以这个数列不是等比数列．
例2．已知是项数相同的等比数列，求证：是等比数列。
证明：设数列的公比为；数列公比为，
则数列的第 项和第项与第项的分别是，，
它们的比为是一个与无关的常数，
所以，是以为公比的等比数列．
思考：如果一个数列的通项公式为，那么这个数列为等比数列数列吗？
例3．求出下列等比数列中的未知项：
（1）； （2）．
解：（1）由题得 ，
∴或．
（2）由题得 ，
∴或．
例4．在和中间插入个数，使这个数成等比数列．
解：设插入的三个数为，
由题得组成等比数列，设公比为，则，
得．
所求的三数为或．
例5．在等比数列中，
（1）已知，，求；
（2）已知，，求．
解：（1）由等比数列的通项公式得．
（2）设等比数列的公比为，那么，得，
∴ ．
2．练习：书练习1，2，3；练习1，2．
五．回顾小结：
1．等比数列的定义：；
2．等比数列的通项公式： ．
六．课外作业：练习3，4；习题1，2，3，7题．
必修五 第二章 数列——第8课时：等比数列（1）北京英才苑网站 http://www.ycy. ·版权所有·盗版必究·
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§2.3 第9课时 等比数列(2)
教学目标
（1）进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；
（2）利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质；
（3）培养学生应用意识．
教学重点，难点
（1）等比数列定义及通项公式的应用；
（2）灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题．
教学过程
一．问题情境
1．情境：在等比数列中，（1）是否成立？是否成立？
（2）是否成立？
2．问题：由情境你能得到等比数列更一般的结论吗？
二．学生活动
对于（1）∵，，∴，成立．
同理 ：成立．
对于（2），，，
∴，成立．
一般地：若，则．
三．建构数学
1．若为等比数列，，则．
由等比数列通项公式得：，，
故且，
∵，∴．
2．若为等比数列，则．
由等比数列的通项公式知：，则 ．
四．数学运用
1．例题：
例1．（1）在等比数列中，是否有（）？
（2）在数列中，对于任意的正整数（），都有，
那么数列一定是等比数列．
解：（1）∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列是等比数列，∴，即（）成立．
（2）不一定．例如对于数列，总有，但这个数列不是等比数列．
例2． 已知为，且，该数列的各项都为正数，求的通项公式。
解：设该数列的公比为，由得，又数列的各项都是正数，故，
则 ．
例3．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。
解：由题意可以设这三个数分别为，得：
∴，即得或，
∴或，
故该三数为：1，3，9或，3，或9，3，1或，3，．
说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为．
例4． 如图是一个边长为的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图形（2），如此继续下去，得图形（3）……求第个图形的边长和周长．
解：设第个图形的边长为，周长为．
由题知，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形的边长的，∴数列是等比数列，首项为，公比为．
∴．
要计算第个图形的周长，只要计算第个图形的边数．
第一个图形的边数为，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形的边数的倍，
∴第个图形的边数为．
．
2．练习：
1．已知是等比数列且，，
则 ．
2．已知是等比数列，，，且公比为整数，则 ．
3．已知在等比数列中，，，则 ．
五．回顾小结：
1．等比数列的性质（要和等差数列的性质进行类比记忆）．
六．课外作业：书练习第1，2题，习题第6，8，9，10题．
必修五 第二章 数列——第9课时：等比数列（2）
