立体几何的“十个位置关系”[上学期]

《立 体 几 何》
的“十个位置关系”
一、确定直线的条件
（1） 两平面有一个公共点，则相交于过此点的直线,唯一；
（2） 两异面直线有且只有一条公垂线；
（3） 过一点有且只有一直线与已知平面垂直；
（4） 过直线外一点有且只有一直线与已知直线平行。
二、确定一平面的条件
（1） 不在同一直线上的三点确定一平面；（2）一直线及其外一点确定一平面；
（3） 两平行直线确定一平面； （4）两相交直线确定一平面；
（5） 过两异面直线中的一条直线而与另一条直线平行的平面唯一；
（6） 过一点而与两异面直线分别平行的平面唯一；
（7） 过一点而与已知直线垂直的平面唯一；
（8） 过一点而与已知平面平行的平面唯一；
（9） 过不垂直于已知平面的直线而与已知平面垂直的平面唯一。
三、直线落于平面上的条件
（1） 若直线上有两点在平面上，则该直线在平面内；
（2） 过一点与已知直线垂直的直线均在过此点而垂直于已知直线的平面内；
（3） 过平面外一点与已知平面平行的直线均在过此点而平行于已知平面的平面内；
（4） 两平面相垂直，过其中一个平面内一点而垂直于令一个另平面的直线在第一平面内；
（5） 过直线上每一点而垂直于已知平面的直线，均在过此直线且与已知平面垂直的平面内。
四、线段或角相等的条件
（1） 平行平面间的平行线段相等；（2）平行直线上每点与平面间的距离相等；
（3） 由一点向平面引垂线和斜线段，射影等的斜线段等，反之亦然；
（4） 两边分别平行（垂直）且方向相同的角相等；
（5） 若平面的斜线与平面内角的两边成等角，则其射影平分此角；
（6） 平面的斜线上点与平面内角的两边距离相等，则其射影落于角平分线；
（7） 两平行线与同一直线所成角相等；两平行线与同一平面所成角相等；
（8） 两平行平面与同一直线所成角相等；两平行平面与同一平面所成角相等。
五、两直线平行的条件
（1） 三平面两两相交，若两交线平行，则第三条交线必与之平行；
（2） 平行于同一直线的两直线平行； （3） 线面平行则线线平行；
（4） 垂直于同一平面的两直线平行； （5） 面面平行则线线平行；
（6） 分别过两平行线中一条直线的两相交平面的交线与之平行。
六、两直线垂直的条件
（1） 所成的角是直角，两直线垂直；
（2） 垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条；
（3） 线线垂直，则线面垂直； （4） 三垂线定理及其逆定理。
七、直线与平面平行的条件
（1） 线面无公共点，则线面平行； （2） 线线平行，则线面平行；
（3） 一平面及该平面外一直线m垂直于同一平面，则线m与面平行；
（4） 平面内的任一直线必平行于这平面的平行平面（面面平行，则线面平行）。
八、直线与平面垂直的条件
（1） 直线垂直于平面内的两相交直线，则线面垂直；
（2） 两平行直线中有一条垂直于平面，则另一直线垂直于该平面；
（3） 直线垂直于平行平面中的一个，则垂直于另一个；
（4） 两相交平面分别垂直于第三平面，其交线垂直于第三平面；
（5） 两平面相垂直，则其中一平面内垂直于交线的直线，垂直于另一个平面。
九、两平面平行的条件
（1） 一平面内的两相交直线分别平行于另一平面，则面面平行；
（2） 两平面内分别有两相交直线分别平行，则面面平行；
（3） 垂直于同一直线的两平面平行；
（4） 平行于同一个平面的两平面平行；
（5） 无公共点的两平面平行。
十、两平面垂直的条件
（1） 相交构成直二平面角的两平面垂直；
（2） 若一个平面过另一个平面的垂线，则这两平面垂直；
（3） 若垂直于平行平面中的的一个平面，则垂直于另一个平面。
(此外：关于“平行”、“垂直”问题的证明，还可以依据“初中平面几何结论”或“定义”去证明。但使用“平面几何结论”要先说明共面。)
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