高三数学教案----空间向量的坐标运算
g3.1064空间向量的坐标运算
一．知识回顾：
（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.
①令=(a1,a2,a3),，则
∥
(用到常用的向量模与向量之间的转化：)
②空间两点的距离公式：.
（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.
②利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.
③证直线和平面平行定理：已知直线平面，，且CDE三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.
二．基础训练：（见教本）
三．例题分析：
例1.设向量，计算及与的夹角，并确定当满足什么关系时，使与轴垂直.
例2．棱长为的正方体中，分别为的中点，试在棱上找一点，使得平面。
例3．已知，为坐标原点，
（1）写出一个非零向量，使得平面；
（2）求线段中点及的重心的坐标；
（3）求的面积。
例4．如图，两个边长为1的正方形与相交于，分别是上的点，且，
（1）求证：平面；
（2）求长度的最小值。
四、作业同步练习g3.1064 空间向量的运用
第 1 页 共 2 页高三数学教案----空间直与平面
g3.1061空间直线与平面
一.知识回顾:
1．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．
它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，．
2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推理模式：．
3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
推理模式：．
4 定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面交点叫做垂足
直线l与平面α垂直记作：l⊥α
5直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
6．直线和平面垂直的性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行
7．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．
8．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．
9 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
10．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直
推理模式： ．
注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用
二基本训练：
三．例题分析：
例1．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．
求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．
证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC．
∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝CA．
∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．
(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACα．
否则，若ACα，
由A∈α，M∈α，得B∈α；
由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，
与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．
又∵MNα，∴AC∥α，
又AC α，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．
同理可证BD∥平面MNP．
例2．四面体中，分别为的中点，且，
，求证：平面
证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴
，又∴，∴在中，
∴，∴，又，即，
∴平面
例3. 如图，直三棱柱中，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，的中点为，求证：平面
证明：连结，∵∴，在直三棱柱中
，∴平面，∵，
∴，∴，∵是侧面的两条对角
线的交点，∴是与的中点，∴，连结
，取的中点，连结，则，
∵平面，∴平面，∴是在
平面内的射影。在中，
在中，，∴
∴，∴，∴平面
四、作业同步练习g3.1061 空间直线与平面
B
A
D
C
P
N
Q
M
第 2 页 共 2 页高三数学教案----立体几何综合问题
g3.1072立体几何综合问题
高考立体几何试题一般共有4道(客观题3道, 主观题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着”多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题.
例1 四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.
（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°
讲解:（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积
为从而只要算出四棱锥的高就行了.
面ABCD,
∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，
∴PA⊥DA，
∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，
∠PAB=60°.
而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tg60°=a,
.
（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.
作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，
是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.
设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，
在
故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.
本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一定的探索性, 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题.
例2 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.
（1）求证：AB 1⊥平面CED；
（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；
（3）求二面角B1—AC—B的平面角.
讲解:（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.
∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE；
（2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE
∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1
∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段
∵CE=，AC=1 , ∴CD=
∴；
（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC ,
∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.
在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,
∴∠B1AC=600
∴， ∴,
∴ , ∴.
作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.
例3 如图a—l—是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在内，ABC是等腰直角三角形∠ACB=
（I） 求三棱锥D—ABC的体积；
（2）求二面角D—AC—B的大小；
（3）求异面直线AB、CD所成的角.
讲解: (1) 过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E.
为二面角a—l—的平面角..
是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离DO=
（2）过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO 为二面角D—AC—B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且
（3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角. 为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高,
异面直线AB,CD所成的角为arctg
比较例2与例3解法的异同, 你会得出怎样的启示 想想看.
例4在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．
图① 图②
讲解: 设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为,
.
当且仅当 .
故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为
对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方便的，请读者不妨一试. 另外，本题的深化似乎与2002年全国高考文科数学压轴题有关，还请做做对照. 类似的问题是:
某企业设计一个容积为V的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）.
例5 已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，
D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（1）求证：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；
（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比．
讲解: (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．
由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．
（2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP．
由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．
又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．
（3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2．则
h1∶h2=EP∶AP=2∶3,
故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1
值得注意的是, “截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个, 希不要犯这种”会而不全”的错误.
例6 如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.
（1）求证：FD∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥BD；
(3) 求二面角B—FC—G的正切值.
讲解: ∵F、G分别为EB、AB的中点，
∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC，
∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC面ABC，
∴FD∥面ABC.
（2）∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB ① 又FG∥EA，EA⊥面ABC
∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC.
∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD ②
由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.
（3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.
过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC.
∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角.
易求.
例7 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且
D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.
(1) 求证PQ∥平面CDD1C1；
(2) 求证PQ⊥AD；
(3) 求线段PQ的长.
讲解: （1）在平面AD1内，作PP1∥AD与DD1交于点P1，在平面AC内，作
QQ1∥BC交CD于点Q1，连结P1Q1.
∵ , ∴PP1QQ1 .?
由四边形PQQ1P1为平行四边形, 知PQ∥P1Q1? ?
而P1Q1平面CDD1C1， 所以PQ∥平面CDD1C1?
（2）AD⊥平面D1DCC1， ∴AD⊥P1Q1，?
又∵PQ∥P1Q1， ∴AD⊥PQ.?
（3）由（1）知P1Q1 PQ,
，而棱长CD=1. ∴DQ1=. 同理可求得 P1D=.
在Rt△P1DQ1中，应用勾股定理, 立得
P1Q1=.?
做为本题的深化, 笔者提出这样的问题: P, Q分别是BD,上的动点,试求的最小值, 你能够应用函数方法计算吗 试试看. 并与如下2002年全国高考试题做以对照, 你会得到什么启示
如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=
（1） 求MN的长；
（2） 当为何值时，MN的长最小；
（3） 当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。
立体几何知识是复课耗时较多, 而考试得分偏底的题型. 只有放底起点, 依据课本, 熟化知识, 构建空间思维网络, 掌握解三角形的基本工具, 严密规范表述, 定会突破解答立几考题的道道难关.
四、作业 同步练习g3.1072 立体几何综合（一）
第 1 页 共 6 页高三数学教案---立体几何综合问题2
g3.1073立体几何综合问题2
2005全国高考立体几何题
河北、河南、山西、安徽(全国卷I)
（2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为 （C）
（A） （B） （C） （D）
（4）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为 （C）
（A） （B）
（C） （D）
（16）在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则
1 四边形一定是平行四边形
1 四边形有可能是正方形
1 四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形
1 四边形有可能垂直于平面
以上结论正确的为 ①③④ 。（写出所有正确结论的编号）
2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（福建卷）
4．已知直线m、n与平面 、 ，给出下列三个命题：
①若m∥ ，n∥ ，则m∥n；②若m∥ ，n⊥ ，则n⊥m；③若m⊥ ，m∥ ，则 ⊥ ．
其中真命题的个数是(C)
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，
AD＝1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，
则异面直线A1E与GF所成的角是(D)
A．arccos B． C．arccos D．
20．（本小题满分12分）
如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的
正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。
20、（Ⅰ）略； （Ⅱ）；（Ⅲ）。
2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）
4．设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B—APQC的体积为 （ C ）
A． B． C． D．
11．不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有 （ D ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）
（6）在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（C）
（A）BC//平面PDF （B）DF⊥平面PA E
（C）平面PDF⊥平面ABC （D）平面PAE⊥平面 ABC
（16）（本小题共14分）
如图, 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD, 垂足为E，
（I）求证：BD⊥A1C；
（II）求二面角A 1－BD－C 1的大小；
（III）求异面直线 AD与 BC 1所成角的大小．
（16）（共14分）
（I）在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，
∵AA1⊥底面ABCD．∴ AC是A1C在平面ABCD上的射影．
∵BD⊥AC．∴ BD⊥A1C；
（II）连结A1E，C1E，A1 C1．
与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴ ∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角． ∵ AD⊥DC，∴ ∠A1D1C1=∠ADC＝90°，
又A1D1=AD＝2，D1C1= DC＝2，AA1=且 AC⊥BD，
∴ A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴ A1E＝2，C1E＝2，
在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2， ∴ ∠A1EC1＝90°，
即二面角A1－BD－C1的大小为90°．
（III）过B作 BF//AD交 AC于 F，连结FC1，
则∠C1BF就是AD与BC1所成的角． ∵ AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1， ∴ BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC，∴ FC1=，BC1＝，
在△BFC1 中，,∴ ∠C1BF=
即异面直线AD与BC1所成角的大小为．
2005年高考全国卷Ⅲ数学（四川、陕西、云南等地区用）
（19）(本小题满分12分)
在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD．
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．
（19）证明：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．…………………………1分
建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，…………………………2分
则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），
D（-，0，0），V（0，0，），
,
,又AB∩AV=A∴AB⊥平面VAD
（Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量,设是面VDB的法向量，则
∴，又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为
2005年广东省高考数学试题
(7)给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题:
1 则与m不共面；
2 、m是异面直线，；
3 若；
4 若，则
其中为假命题的是 （C）
（A）① （B）② （C）③ （D）④
16．如图， PA=BC=6，AB=8，PB=AC=10，
，F是线段PB上一点，，点E在线段AB上，且EF⊥PB
（I）求证：PB⊥平面CEF
（II）求二面角B—CE—F的大小（14分）
16．（I）证明：∵
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证
△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。
故PA⊥平面ABC
又∵
而
故CF⊥PB,又已知EF⊥PB
∴PB⊥平面CEF
（II）由（I）知PB⊥CE, PA⊥平面ABC
∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE
在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，
EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC
故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角。
二面角B—CE—F的大小为
2005年普等学校招生全国统试一考试 天津卷（理工类）
(4)设为平面，为直线，则的一个充分条件是 （D）
(A) (B)
(C) (D)
（12）如图，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的正切值等于．
（19）（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱中，，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点
（Ⅰ）求与底面ABC所成的角
（Ⅱ）证明∥平面
（Ⅲ）求经过四点的球的体积
（19）解：（Ⅰ）过作平面，垂足为．
连结，并延长交于，于是为与底面所成的角．
∵，∴为的平分线．
又∵，∴，且为的中点．
因此，由三垂线定理．∵，且，∴．于是为二面角的平面角，即． 由于四边形为平行四边形，得．
（Ⅱ）证明：设与的交点为，则点为的中点．连结．
在平行四边形中，因为的中点，故．
而平面，平面，所以平面．
（Ⅲ）连结．在和中，由于，，，则
≌，故．由已知得．
又∵平面，∴为的外心．设所求球的球心为，则，且球心与中点的连线．在中，．故所求球的半径，球的体积．
2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学试题卷（理工农医类）
10．如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E、F、H、 K分
别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的
重心. 从K、H、G、B′中取一点作为P， 使得该棱柱恰有
2条棱与平面PEF平行，则P为 （ C ）
A．K B．H
C．G D．B′
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，
BC=1，PA=2，E为PD的中点.
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，
并求出N点到AB和AP的距离.
20．本小题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.
解法1：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、
B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、
P（0，0，2）、E（0，，1），
从而
设的夹角为θ，则
∴AC与PB所成角的余弦值为.
（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则
，由NE⊥面PAC可得，
∴
即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.
解法2：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.
在△AOE中，AO=1，OE=
∴
即AC与PB所成角的余弦值为.
（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.
连PF，则在Rt△ADF中
设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC.
∴N点到AB的距离，N点到AP的距离
2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
4．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命
题：①若； ②若；
③若；
④若m、n是异面直线，
其中真命题是 （ D）
A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④
14．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，
A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .
17．（本小题满分12分）
已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，
△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.
（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的
球面上，求△ABC的边长.
17．本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考
查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分.
（Ⅰ）证明： 连结CF.
……4分
（Ⅱ）解法一：
为所求二面角的平面角. 设AB=a，则AB=a，则
……………………8分
解法二：设P在平面ABC内的射影为O. ≌≌
得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 为所求二面角的平面角.
设AB=a，则 …………8分
（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R.
，的边长为.………12分
解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.
连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形. 设AB=x，球半径为R.
.……12分
2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（理工农医类）
7．对于不重合的两个平面与，给定下列条件：
①存在平面，使得、都垂直于；②存在平面，使得、都平行于；
③内有不共线的三点到的距离相等；④存在异面直线l、m，使得l//，l//，m//，m//，
其中，可以判定与平行的条件有 （B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2005年全国高等学校招生统一考试数学（湖南卷·理）试题
5、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面
A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为 （B）
A、 B、 C、 D、
（8）设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为（D ）
（A） （B） （C） （D）
(16)已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：
①若则
②若则③若，则④是两条异面直线，若，则
上面的命题中，真命题的序号是③④（写出所有真命题的序号）
(20)(本小题满分12分)
如图，已知长方体
直线与平面所成的角为，垂直于
，为的中点.
（I）求异面直线与所成的角；
（II）求平面与平面所成的二面角；
（III）求点到平面的距离.
20．(考查知识点：立体几何)
解：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系
由已知可得，
又平面，从而与平面所成的角为，又，，从而易得
（I）因为所以=
易知异面直线所成的角为
（II）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由
即所以即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为
（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，
所以距离=所以点到平面的距离为
作业 同步练习g3.1073 立体几何综合（二）
A1
C
B
A
B1
C1
D1
D
O
第 1 页 共 11 页高三数学教案---空间向量及运算
g3.1063空间向量及运算
一.知识回顾:
1．空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
运算律：⑴加法交换律：
⑵加法结合律：
⑶数乘分配律：
3 共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．
当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
4．共线向量定理及其推论：
共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.
推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式 ．其中向量叫做直线的方向向量.
5．向量与平面平行：
已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
6．共面向量定理：
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有 ①
①式叫做平面的向量表达式
7 空间向量基本定理：
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使
8 空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：.
9．向量的模：
设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：.
10．向量的数量积： ．
已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影. 可以证明的长度．
11．空间向量数量积的性质：
（1）．（2）．（3）．
12．空间向量数量积运算律：（1）．（2）（交换律）（3）（分配律）．
二.基本训练:
三.例题讲解:
例1．已知在正三棱锥中，分别为中点，为中点，
求证：
例2．在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，且 ，求（1）的长；（2）直线与所成角的余弦值。
四、作业同步练习g3.1063 空间向量
第 1 页 共 2 页高三数学复习教案------平面与空间直线
g3.1060平面与空间直线
一.知识回顾:
(一)平面：
1、平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度）
2、平面的画法：通常画平行四边形来表示平面
3、平面的表示：
（1）用一个小写的希腊字母、、等表示，如平面、平面；
（2）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC
(二)三公理三推论:
公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内.
A,B,A,B
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
公理3:经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.
推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
(三)空间直线:
1.空间两条直线的位置关系：
（1）相交直线——有且仅有一个公共点；
（2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；
（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线．
2. 平行直线：
在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3.等角定理
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．
4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：与a是异面直线
二基本训练：（见教本）
三．例题分析：
例1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．
解：∵AB∥CD，
∴AB，CD确定一个平面β．
又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，
即E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
∴E，F，G，H四点必定共线．
说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．
例2．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．
证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，
但Ad，如图1．
∴直线d和A确定一个平面α．
又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，
则A，E，F，G∈α．
∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．
同理可证bα，cα．
∴a，b，c，d在同一平面α内．
2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．
∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．
设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．
又 H，K∈c，∴c,则cα．
同理可证dα．
∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．
说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．
例3．已知不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：与是异面直线．
证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，
那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都
在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，
∴AD和BC是异面直线。
证二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C平面α，B∈平面α，AD平面α，BAD，∴AD和BC是异面直线。
四、作业同步练习g3.1060平面与空间直线
B
C
D
α
A
E
F
H
G
α
b
a
d
c
G
F
E
A
a
b
c
d
α
H
K
图1
图2
第 1 页 共 2 页高三数学教案-----空间角。空间距离综合
g3.1067空间角.空间距离综合
一:高考真题:
1.（2003京春文11，理8）如图9—1，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（ ）
A.90° B.60°
C.45° D.0°
2.（2002全国理，8）正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是（ ）
A.90° B.60° C.45° D.30°
3.（2001全国，11）一间民房的屋顶有如图9—4三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.
图9—4
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（ ）
A.P3＞P2＞P1 B.P3＞P2＝P1
C.P3＝P2＞P1 D.P3＝P2＝P1
4.（2001全国，9）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（ ）
A.60° B.90° C.105° D.75°
5.（2000全国文，12）如图9—5，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
6.（1995全国文，10）如图9—7，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）
A. B.
C. D.
7.（2003上海春，10）若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于 （结果用反三角函数值表示）.
8.（2002京皖春，15）正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图9—11所示）.M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为 .
9.（2002上海，4）若正四棱锥的底面边长为2 cm，体积为4 cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 .
10.（2000上海春，8）如图9—13，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为_____.
11.（2003京春文，19）如图9—19，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.
（Ⅰ）求三棱锥D1—DBC的体积；
（Ⅱ）证明BD1∥平面C1DE；
（Ⅲ）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.
图9—19 图9—20
12.（2003京春理，19）如图9—20，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G.
（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；
（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；
（Ⅲ）求三棱锥B1—EFD1的体积V.
13.（2002京皖春文，19）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=
∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5.（如图9—21）
（Ⅰ）证明：SC⊥BC；
（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥的体积VS－ABC.
14.（2002全国理，18）如图9—26，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜）.
（Ⅰ）求MN的长；
（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；
（Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小.
图9—26 图9—27
15.（2001春季北京、安徽，19）如图9—27，已知VC是△ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上.AB＝a，VC与AB之间的距离为h，点M∈VC.
（Ⅰ）证明∠MDC是二面角M—AB—C的平面角；
（Ⅱ）当∠MDC＝∠CVN时，证明VC⊥平面AMB；
（Ⅲ）若∠MDC＝∠CVN＝θ（0＜θ＜＝，求四面体MABC的体积.
●答案解析
1.答案：B
解析：将三角形折成三棱锥如图9—43所示.HG与IJ为一对异面直线.过点D分别作HG与IJ的平行线，即DF与AD.所以∠ADF即为所求.因此，HG与IJ所成角为60°.
评述：本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键.通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.
2.答案：B
解析：连结FE1、FD，则由正六棱柱相关性质得FE1∥BC1.
在△EFD中，EF=ED=1，∠FED=120°，∴FD=.
在Rt△EFE1和Rt△EE1D中，易得E1F=E1D=.
∴△E1FD是等边三角形.∴∠FE1D=60°.
∴BC1与DE1所成的角为60°.
评述：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成的角的求法.
3.答案：D
解析：由S底＝S侧cosθ可得P1＝P2
而P3＝
又∵2（S1＋S2）＝S底 ∴P1＝P 2＝P 3
4.答案：B
解析：如图9—48，D1、D分别为B1C1、BC中点，连结AD、D1C，设BB1＝1，则AB＝，则AD为AB1在平面BC1上的射影，又
∴DE2＝BE2＋BD2－2BE·BD·cosC1BC
＝
而BE2＋DE2＝＝BD2
∴∠BED＝90° ∴AB1与C1B垂直
5.答案：D
解析：如图9—50，由题意知，πr2h＝πR2h，
∴r＝． 又△ABO∽△CAO，
∴，∴OA2＝r·R＝，
∴cosθ＝．
6.答案：A
解析：这是两条异面直线所成角的问题，如图9—51将DF1平移至AG1，A1G1＝，再将AG1平移至EE1，其中AE＝，B1E1＝，∠BE1E即是异面直线BE1与DF1所成的角.
设正方体棱长为l，可求得EE1＝BE1＝，
EB＝，在△BEE1中由余弦定理得
cosBE1E＝
故应选A.
评述：利用直线平移，将异面直线所成角转化为相交直线所成角，将空间图形问题转化为平面图形问题来解决.“转化”是一种重要的数学思想，这种思想在近几年的试题里明显地、有意识地进行了考查.
7.答案：arctan
解析：设棱锥的高为h，如图9—53，则V=·4×4×sin60°·h=1，
∴h=.
D为BC中点，OD=AD=··4=.
易证∠PDO为侧面与底面所成二面角的平面角
tanθ=.故θ=arctan
评述：本题考查三棱锥中的基本数量关系，考查二面角的概念及计算.
8.答案：
解析：过M作MO⊥EF，交EF于O，则MO⊥平面BCFE.
如图9—54，作ON⊥BC，设OM=x，又tanMBO=，
∴BO=2x
又S△MBE=BE·MB·sinMBE=BE·ME
S△MBC=BC·MB·sinMBC=BC·MN
∴ME=MN，而ME=，MN=，解得x=.
9.答案：30°
解析：如图9—60，作BC边中点M，∴VM⊥BC
过V作VO⊥底面ABCD
∴VO⊥MO，MO⊥BC，∴∠VMO为其侧面与底面所成二面角的平面角
∵V锥=SABCD·VO
∴4=·（2）2·VO ，∴VO=1
又∵OM=，VO⊥MO，∴∠VMO=30°
∴侧面与底面所成的二面角为30°.
10.答案：45°
解析：过点A作AF⊥BD于F，则AF⊥面BCD，∠AEF为所求的角．设BD＝a，则AF＝，EF＝，∴在Rt△AEF中，∠AEF＝45°．
11.（Ⅰ）解： =·2·2·1=.
（Ⅱ）证明：记D1C与DC1的交点为O，连结OE.
∵O是CD1的中点，E是BC的中点，∴EO∥BD1，
∵BD1平面C1DE，EO平面C1DE.∴BD1∥平面C1DE.
（Ⅲ）解：过C作CH⊥DE于H，连结C1H.
在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，C1C⊥平面ABCD，
∴C1H⊥DE，∴∠C1HC是面C1DE与面CDE所成二面角的平面角.
∵DC=2，CC1=1，CE=1.∴CH=
∴tanC1HC=.即面C1DE与面CDE所成二面角的正切值为.
评述：本题考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
12.（Ⅰ）证法一：连接AC.∵正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形.
∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1
∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
证法二：∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD.
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
（Ⅱ）解：在对角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足为H
∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G，
∴D1H⊥平面B1EF，且垂足为H，∴点D1到平面B1EF的距离d=D1H.
解法一：在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1·sinD1B1H，
∵D1B1=A1B1=4.
sinD1B1H=sinB1GB=，
∴d=D1H=4·
解法二：∵△D1HB∽△B1BG，∴
∴d=D1H=.
解法三：如图9—64，连接D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半.即B1G·D1H=BB12.
∴d=.
（Ⅲ）·d·.
评述：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力.并进行一定的逻辑推理.在研究本题时，要注意摘出平面图形，便于计算.
13.（Ⅰ）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°， ∴SA⊥AB，SA⊥AC.
又AB∩AC=A， ∴SA⊥平面ABC.
由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，
由三垂线定理，得SC⊥BC.
（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC
∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角.
在Rt△SCB中，BC=5，SB=5.
得SC==10
在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=
∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°.
（Ⅲ）解：在Rt△SAC中，
∵SA=.
S△ABC=·AC·BC=×5×5=.
∴VS－ABC=·S△ACB·SA=.
14.解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形，如图9—70
∴MN=PQ.
由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，
∴AC=BF=， .
即CP=BQ=.
∴MN=PQ=
（0＜a＜）.
（Ⅱ）由（Ⅰ），MN=，
所以，当a=时，MN=.
即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为.
（Ⅲ）取MN的中点G，连结AG、BG，如图9—71
∵AM=AN，BM=BN，G为MN的中点
∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角α的平面角，
又AG=BG=，所以，由余弦定理有
cosα=.
故所求二面角α=arccos（－）.
评述：该题考点多，具有一定深度，但入手不难，逐渐加深，逻辑推理和几何计算交错为一体；以两个垂直的正方形为背景，加强空间想象能力的考查.体现了立体几何从考查、论证和计算为重点，转到既考查空间概念，又考查几何论证和计算.但有所侧重，融论证于难度适中的计算之中.反映教育改革趋势，体现时代发展潮流.此外解答过程中，必须引入适当的辅助线，不仅考查识图，还考查了基本的作图技能.充分体现了“注重学科之间的内在联系”，较为深入和全面考查各种数学能力.
15.（Ⅰ）证明：∵CD⊥AB，VN⊥平面ABC，AB平面ABC，∴VN⊥AB.
又∵CD∩VN＝N ∴平面VNC⊥AB
又∵MD平面VNC ∴MD⊥AB
∴∠MDC为二面角M－MAB－C的平面角.如图9—72
（Ⅱ）证明：∵VC平面VCN，∴AB⊥VC
又∵在△VCN和△CDM中，∠CVN＝∠MDC，∠VCN＝∠VCN
∴∠DMC＝∠VNC＝90°.∴DM⊥VC
又∵AB∩DM＝D，AB、DM平面AMB
∴VC⊥平面AMB．
（Ⅲ）解：∵MD⊥AB且MD⊥VC，∴MD为VC与AB的距离为h.
过M作ME⊥CD于E
∴VMABC＝AB·CD×ME·ah2tanθ
四、作业 同步练习g3.1067 空间角距离综合
图9—1
图9—13
图9—21
图9—43
图9—48
图9—49
图9—50
图9—51
图9—53
图9—54
图9—64
图9—70
图9—71
图9—72
图9—73
第 1 页 共 10 页高三数学教案----球
g3.1071球
1. 知识回顾:
球：⑴球的截面是一个圆面.
①球的表面积公式：.
②球的体积公式：.
⑵纬度、经度：
①纬度：地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.
②经度：地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是点的经度.
附：①圆柱体积：（为半径，为高）
②圆锥体积：（为半径，为高）
③锥形体积：（为底面积，为高）
(3). ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，，，
得.
注：球内切于四面体：
②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.
2. 基础训练:
三.例题讲解:
例1．已知三棱锥内接于球, 三条侧棱两两垂直且长都为1, 求球的表面积与体积.
例2．在北纬圈上有甲、乙两地，它们的纬度圆上的弧长等于 (为地球半径)，求甲，乙两地间的球面距离。
例3．如图,球心到截面的距离为半径的一半，是截面圆的直径,是圆周上一点，是球的直径，
(1) 求证：平面平面；
(2) 如果球半径是，分为两部分, 且，求与所成的角；
(3) 如果，求二面角的大小。
例4.球面上三点组成这个球的一个截面的内接三角形，，
且球心到该截面的距离为球的半径的一半，
(1) 求球的体积； (2) 求两点的球面距离。
例5、从北京（北纬400，东经1200）飞往南非首都约翰内斯堡（南纬300，东径300）有两条航线供其选择：甲航天线从北京沿纬度弧向西飞到希拉首都雅典（北纬400，东径300），然后向南飞到目的地。乙航线：从北京向南飞到澳大利亚的珀斯（南纬300，东径1200），然后向西飞到目的地。间：哪一条航线较短？
四、作业 同步练习g3.1071 球
第 1 页 共 2 页高三数学教案----圆柱圆锥
g3.1070圆柱.圆锥
1. 知识点:
图形
定义
有关线 轴 直线 直线
母线
有关面 底面 圆 圆
平行于底的截面 圆 圆
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形
侧面及展开图
2. 例题分析:
例1:圆锥底面半径为10，母线长为60，底面圆周上一点B沿侧面绕两周回到B点那么最短距离为
例2:已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？
分析：(1)首先要画出圆锥的轴截面△OAB，那么内接圆柱的轴截面为矩形CDEF，因为内接圆柱的高知道为x，故关键求r，怎样求r？(生：
例5. 已知圆锥底面直径AB=2，轴截面∠APB=90°，底面半径OC⊥AB
（1）求二面角B-PA-C的正切值
（2）求圆锥内接圆柱的最大侧面积及相应的高
四、作业 同步练习g3.1070 圆柱、圆锥
第 1 页 共 2 页高三数学教案----棱锥
g3.1069棱锥
1. 知识回顾:
棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.
[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.
②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以.
⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.
[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）
ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等
iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.
②正棱锥的侧面积：（底面周长为，斜高为）
③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为）
附： 以知⊥，，为二面角.
则①，②，③ ①②③得.
注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.
⑵棱锥具有的性质：
①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.
⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；
⑧每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.
[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）
ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.
简证：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令
得，已知
则.
iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.
iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.
简证：取AC中点，则平面90°易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.若对角线等，则为正方形.
2. 基础训练:
三.例题分析:
例1．正四棱锥中，高，两相邻侧面所成角为 ，,
(1)求侧棱与底面所成的角。
(2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)。
解：（1） 作于，连结，则且，故是相邻侧面所成二面角的平面角，连结，则， ，在与中， ＝＝(其中为与底面所成的角，设为) 故 。
（2）在 中，侧棱=，，
∴边长；取的中点，连结，则是正四棱锥的斜高，
在中，斜高；
例2．如图正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，若经过对角线且与对角线平行的平面交上底面于。（1）试确定点的位置，并证明你的结论；（2）求平面与侧面所成的角及平面与底面所成的角；
（3）求到平面的距离。
解：（1）为的中点。连结与交于，则为的中点，为平面
与平面的交线，∵//平面
∴//，∴为的中点。
（2）过作于，由正三棱锥的性质，平面，连结，则为平面与侧面所成的角的平面角，可求得，
由，得，∴
∵为的中点，∴，由正三棱锥的性质，，∴平面
∴，∴是平面与上底面所成的角的平面角，可求得
，∴
（3）过作，∵平面，∴，∴平面
即是到平面的距离，，∴
例3．如图，已知三棱锥的侧面是底角为的等腰三角形，，且该侧面垂直于底面，，，，
(1)求证：二面角是直二面角；
(2)求二面角的正切值；
(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体，求几何体的侧面积．
证 (1) 如图，在三棱锥中，取的中点．
由题设知是等腰直角三角形，且．∴ ．
∵ 平面平面，∴ 平面 ，
∵ ∴ ，∴ 平面，
∵ 平面 ， ∴平面平面，
即二面角是直二面角．
解 (2)作，为垂足，则 ．∴ 是二面角的平面角．在中，，则
由，得
＝＝，
∴ 所求正切为＝．
(3) ∵ ∴ 分别是的中点．
∴ ， ．
∵ ＝＝，
．
∴ ，∴ 几何体的侧面积
四、作业 同步练习g3.1069 棱锥
图31—3
P
C1
C
B
A
A1
B1
图31－31
P
C1
C
B
A
E
A1
B1
D
第 3 页 共 4 页高三数学教案---棱柱
g3.1068棱柱
1. 知识回顾:
1. 棱柱.
⑴①直棱柱侧面积：（为底面周长，是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.
②斜棱住侧面积：（是斜棱柱直截面周长，是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.
⑵{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}.
{直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}.
⑶棱柱具有的性质：
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）
（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）
②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.
⑷平行六面体：
定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.
[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.
定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.
推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则.
推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则.
[注]： ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）
②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）
③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）
④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）
2. 基础训练:
三.例题讲解:
例1、如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为6，B1C＝10，D为AC的中点E、F分别在侧棱A1A和BB1上,且AF＝2BE＝BC．
(1)求证：AB1∥平面C1BD；
(2)求异面直线AB1和BC1所成的角；
(3)求直线AB1到平面C1BD的距离
(4)求过F、E、C的平面与棱柱下底面所成二面角的大小．
例2、如图．已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC、D为AB的中点，平面ABC⊥平面ABB1A1，异面直线BC1与AB1互相垂直．
（1）求证：AB1⊥CD；
（2）求证：AB1⊥平面A1CD；
（3）若AB1＝５，求点A到平面A1CD的距离．
例3如图正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱均相等，D是BC上的一点，AD⊥C1D
（1）求证：面ADC1⊥侧面BCC1B1
（2）求二面角C－AC1－D的大小（用反正弦表示）；
（3）若AB=2，求直线A1B与截面ADC1之间的距离
例4.如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.
（1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求点A1到平面AED的距离.
四、作业 同步练习g3.1068 棱柱
E
A
C
A1
B1
C1
F
B
D
A
C
A1
B1
C1
B
D
A
C
A1
B1
C1
B
A1
C1
B1
A
C
B
D
E
G
第 1 页 共 2 页高三数学教案-----空间距离
g3.1066空间距离
1. 知识回顾:
1．点到平面的距离： ．
2．直线到平面的距离： ．
3．两个平面的距离： ．
4．异面直线间的距离： ．
二．基础训练：
1．在中，，所在平面外一点到三顶点
的距离都是，则到平面的距离是 （ ）
2．在四面体中，两两垂直，是面内一点，到三个面
的距离分别是，则到的距离是 （ ）
3．已知矩形所在平面，，，则到的距离为 ，到的距离为 ．
4．已知二面角为，平面内一点到平面的距离为，则到平面的距离为 ．
三．例题分析：
例1．已知二面角为，点和分别在平面和平面内，点在棱上，，（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）设是线段上的一点，直线与平面所成的角为，求的长
（1）证明：作于，连接，
∵，，
∴，∴，
平面，平面，
∴．
解：（2）作于，
∵平面，∴，
∴，是点到平面的距离，由（1）知，
∴．∴点到平面的距离为．
（2）连接，∵，与平面所成的角为，
，，
∴，∵，，为正三角形，
是中点，∴是中点，∴．
小结：求点到平面的距离关键是寻找点到的垂线段．
例2．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是，与的中点，点在平面上的射影是的重心，（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．
解：建立如图的空间直角坐标系，设，
则，，，，
∵分别是，与的中点，
∴，∵是的重心，
，∴，，
，∵平面，
得，且与平面所成角，，
，，
（2）是的中点，到平面的距离等于到平面的距离的两倍，
∵平面，到平面的距离等于．
小结：根据线段和平面的关系，求点到平面的距离可转化为求到平面的距离的两倍．
例3．已知正四棱柱,点为的中点，点为的中点，（1）证明:为异面直线的公垂线；
（2）求点到平面的距离．
解：（1）以分别为轴建立坐标系，
则，，，，
，，，
∴，
∴为异面直线的公垂线．
（2）设是平面的法向量，∵，
∴，，，
点到平面的距离．
小结：由平面的法向量能求出点到这个平面的距离．
例4. 如图，已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥ D1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a。（1）求截面EAC的面积；（2）求异面直线A1B1与AC之间的距离。
四、作业同步练习g3.1066 空间距离
D
A
C
A1
B1
C1
D1
B
第 1 页 共 2 页高三数学教案----空间平面与平面
g3.1062空间平面与平面
一.知识回顾:
没有公共点——两平面平行
1.两个平面的位置关系有两种：
有一条公共直线——两平面相交
2.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行.
定理的模式：
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．
推论模式：
3.两个平面平行的性质（1）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
4. 两个平面平行的的性质（2）：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
【附】
1. 证明两平面平行的方法：
（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。
（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：
a∩b，a α，b α，a∥β，b∥β，则α∥β．
（3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a⊥α，a⊥β则α∥β．
（4）平行于同一个平面的两个平面平行 .
2. 两个平面平行的性质有五条：
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：
“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，a α，则a∥β．
（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：
“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．
（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证
线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β．
（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。（课本P38练习第3题）
（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。（课本P38习题五4）
5．两个平面垂直的定义：
相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
6．两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
7．两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）
若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
二基本训练：
三．例题分析：
例1．正方体ABCD—A1B1C1D1中．
(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．
证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，
∴B1D1∥BD，
又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，
∴BD∥平面B1D1C．
同理A1D∥平面B1D1C．
而A1D∩BD＝D，
∴平面A1BD∥平面B1CD．
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．
取BB1中点G，∴AE∥B1G．
从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．
∴AG∥DF．
∴B1E∥DF．
∴DF∥平面EB1D1．
∴平面EB1D1∥平面FBD．
说明 要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．
例2．在四面体中，，且，
求证：平面⊥平面
四、作业同步练习g3.1062 空间平面与平面
A1
A
B1
B
C1
C
D1
D
G
E
F
第 1 页 共 2 页高三数学教案---空间的角
g3.1065空间的角
1． 知识回顾：
1．异面直线所成角的定义： ．
2．直线与平面所成角：
（1）直线与平面平行或直线在平面内，则 ．
（2）直线与平面垂直，则 ．
（3）直线是平面的斜线，则定义为 ．
3．最小角定理： ．
4．二面角的概念： ．
5．二面角的平面角： ．
6．求二面角平面角大小的一般方法： ．
2． 基础训练：
3． 例题分析：
例1. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．
（1）与是否相互垂直，请证明你的结论；
（2）求二面角的大小；
（3）求证：平面⊥平面．
解：（1）与相互垂直.证明如下：
取的中点，连结，交于点；连结．
∵，∴．又∵平面⊥平面，
平面∩平面，∴⊥平面．
在梯形中，可得，
∴，
即， ∴ ．
（2）连结，
由⊥平面，，可得，
∴为二面角的平面角，
设，则在中，
∴二面角为 ．
（3）取的中点，连结，由题意知：平面⊥平面，
则同“（1）”可得平面．
取的中点，连结，则由，
，得四边形为平行四边形. ∴，
∴⊥平面．∴平面⊥平面．
解答二：
取的中点，由侧面⊥底面，
是等边三角形，
得⊥底面．
以为原点，以所在直线为轴，
过点与平行的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则在直角梯形中，，
在等边三角形中，．∴
（1）与相互垂直.证明如下：∵
∴．
（2）连结，设与相交于点；连结．
由得．
又∵为在平面内的射影，
∴，为二面角的平面角．
在中，．
在中，．
∴二面角为．
（3）取的中点，连结，则的坐标为．
又，，
∴
．
∴
∴⊥平面． ∴平面⊥平面．
小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法．
例2.在的二面角中，，已知、到的距离分别是和，且，、在的射影分别为、，求：（1）的长度；（2）和棱所成的角．
例3.棱长为4的正方体中，是正方形的中心，点在棱上，且．
（Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）设点在平面上的射影是，求证：．
四、作业同步练习g3.1065空间的角
·
B1
P
A
C
D
A1
C1
D1
B
O
H
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