高三第一轮复习 立体几何 同步和单元试题[下学期]
文档属性
| 名称 | 高三第一轮复习 立体几何 同步和单元试题[下学期] |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 541.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2007-02-24 10:24:00 | ||
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文档简介
直线、平面、简单几何体
1、平面的基本性质
1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是（ ）
A．∵，∴． B．∵，∴．
C．∵，∴． D．∵，∴．
2．下列推断中，错误的是（ ）
A． C．，且A,B,C不共线重合
B． D．
3．两个平面把空间最多分成___ 部分，三个平面把空间最多分成__部分．
4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ）
（3）两条直线可以确定一个平面（ ）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ）
（5）两条相交直线可以确定一个平面（ ）（6）三条平行直线可以确定三个平面（ ）
（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ）（8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ）
5．看图填空
（1）AC∩BD= （4）平面A1C1CA∩平面D1B1BD=
（2）平面AB1∩平面A1C1= （5）平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C=
（3）平面A1C1CA∩平面AC= （6）A1B1∩B1B∩B1C1= 6
6．选择题
（1）下列图形中不一定是平面图形的是 （ ）A三角形B菱形 C梯形 D四边相等的四边形
（2）空间四条直线每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ）A 1个 B 4个C 6个 D 8个
（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要
7．已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.
答案：1. C 2. D 3. 2,4,8 4. ⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×
5.⑴O⑵A1B1⑶O⑷OO1⑸B1⑹B1
6. 答案：⑴ D ⑵ C ⑶ D
7. 证明：因为a//b，由推论3，存在平面，使得
又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，
下面用反证法证明直线：
假设，则,在平面内过点C作，
因为b//c，则，此与矛盾.故直线.
综上述，a、b、c、d四线共面.
2、线线问题及线面平行问题
1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （ ）
（2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（ ）
（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60o （ ）
（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ）
2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中
①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60o角；
④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）
（A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④
3．已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.
4．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，A(a，D(a，B(b，E(c求证：BD和AE是异面直线
证明：假设__ 共面于(，则点A、E、B、D都在平面__内
(A(a，D(a，∴__(γ. (P(a，∴P(__.
(P(b，B(b，P(c，E(c ∴__((，__((，这与____矛盾 ∴BD、AE__________
5 已知分别是空间四边形四条边的中点，（1）求证四边形是平行四边形（2）若AC⊥BD时，求证：为矩形；（3）若BD=2，AC=6，求；（4）若AC、BD成30o角，AC=6，BD=4，求四边形的面积；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离.
6 空间四边形中，，分别是的中点，，求异面直线所成的角
7. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.
8．在长方体中，已知AB=a，BC=b，=c(a＞b)，求异面直线与AC所成角的余弦值
9．如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点（1）求证：平面；（2）若，， 求异面直线与所成的角的大小
10．如图,正方形与不在同一平面内,、分别在、上，且
求证：平面
参考答案：
1.（1）× （2）× （3）√ （4）× 2. C
3. 证明：(1)∵ABCD是空间四边形,∴A点不在平面BCD上,而C平面BCD,
∴AC过平面BCD外一点A与平面BCD内一点C,
又∵BD平面BCD,且CBD.∴AC与BD是异面直线.
(2)解如图,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=AC.
同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.
又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.
∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.
(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.
4. 答案：假设BD、AE共面于(，则点A、E、B、D都在平面 ( 内
∵A(a，D(a，∴ a ((. ∵P(a，P( ( .
∵P(b，B(b，P(c，E(c. ∴ b ((，c ((，这与a、b、c不共面矛盾
∴BD、AE是异面直线
5. 证明（1）：连结，∵是的边上的中点，∴，
同理，，∴，
同理，，所以，四边形是平行四边形
证明（2）：由（1）四边形是平行四边形
∵，，∴由AC⊥BD得，，∴为矩形.
解（3）：由（1）四边形是平行四边形
∵BD=2，AC=6，∴
∴由平行四边形的对角线的性质 .
解（4）：由（1）四边形是平行四边形
∵BD=4，AC=6，∴
又∵，，AC、BD成30o角，∴EF、EH成30o角，
∴四边形的面积 .
解（5）：分别取AC与BD的中点M、N,连接MN、MB、MD、NA、NC，
∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝
∴，∴MN是AC与BD的公垂线段
且 ∴AC与BD间的距离为.
6. 解：取中点，连结，∵分别是的中点，
∴且，
∴异面直线所成的角即为所成的角，
在中，，
∴，异面直线所成的角为．
7. 解(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.
∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.
∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60o,
∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.
(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.∵O为BD中点,∴OE//BD1.
∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.
在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.
又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD1成角90o.
8. 解(1)如图,连结BD,A1D,
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.
∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.
∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.
∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,
∴∠A1BD=60o,
∵∠A1BD是锐角,
∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.
∴A1B与B1D1成角为60o.
(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.
∵O为BD中点,∴OE//BD1.
∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.
在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.
又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD成角90o.
9. 略证（1）取PD的中点H，连接AH，
为平行四边形
解(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以就是异面直线与所成的角，由，得，OM=2，ON=
所以，即异面直线与成的角
10. 略证：作分别交BC、BE于T、H点
从而有MNHT为平行四边形
3、线面垂直问题
1．（1）“直线垂直于平面(内的无数条直线”是“⊥(”的 （ ）
（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（2）如果一条直线与平面(的一条垂线垂直，那么直线与平面(的位置关系是（ ）
（A）(( （B）⊥( （C）∥( （D）((或∥( 答案：（1）B (2)D
2．（1）过直线外一点作直线的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.（2）过平面外一点作该平面的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.
答案：（1）无数，一，一，无数；（2）一，无数，无数，一
3．能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么？
答案：（能，而且有无数条） （不能）
4拿一张矩形的纸对折后略为展开，竖立在桌面上，说明折痕为什么和桌面垂直
答案：因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线.
5一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，这条直线垂直于这个平面吗？为什么？
答案：不一定.因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内.
6过一点和一条直线垂直的平面是否只有一个？为什么？
答案：是.假若有两个平面过点A都于垂直，过这条公共垂线作一个不经过两平面的交线的平面，与分别相交于直线且，，从而有，此与矛盾.
7如果三条直线共点，且两两垂直，问其中一条直线是否垂直于另两条直线所确定的平面
答案：是
8．点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，
若，求证：．
证明：连结，∵，且
∴（三垂线定理逆定理）
同理，∴为的垂心，∴，
又∵，∴（三垂线定理）
9．如图，已知ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点．
求证：BE不可能垂直于平面SCD．
证明：用到反证法，假设BE⊥平面SCD，
∵ AB∥CD；∴AB⊥BE．
∴ AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾．
∴ BE不可能垂直于平面SCD
10． 已知：空间四边形，，，求证：
证明：取中点，连结，∵，∴，
∴平面，又∵平面，∴．
4、空间向量坐标运算 二面角与距离
1?设，，且，记，求与轴正方向的夹角的余弦值
2． 在ΔABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿
3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)，
⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；
⑵若向量分别与向量垂直，且||＝，求向量的坐标
4．直角的斜边在平面内，与所成角分别为，是斜边上的高线，求与平面所成角的正弦值
5．如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，求二面角的大小
6．如图，正方体的棱长为1，，求：（1）与所成角；
（2）与平面所成角的正切值；（3）平面与平面所成角
7?已知正方体的棱长为，是的中点，是对角线的中点，
（1）求证：是异面直线和的公垂线；（2）求异面直线和的距离
参考答案：
1?设，，且，记，
求与轴正方向的夹角的余弦值
解：取轴正方向的任一向量，设所求夹角为，
∵
∴，即为所求
2． 在ΔABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿
解：
∴∠ABC＝45°
3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)
⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；
⑵若向量分别与向量垂直，且||＝，求向量的坐标
分析：⑴
∴∠BAC＝60°，
⑵设＝(x,y,z)，则
解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴＝(1,1,1)或＝(－1，－1，－1).
4．直角的斜边在平面内，与所成角分别为，是斜边上的高线，求与平面所成角的正弦值
解：过点作于点，连接，
则，，为所求与所成角，记为，
令，则，
则在中，有
在中，
∴与平面所成角的正弦值.
5．如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，求二面角的大小
分析：点可能在二面角内部，也可能在外部，应区别处理
解：如图1是点在二面角的内部时，图2是点在二面角外部时，
∵ ∴
∵ ∴面
同理，面
而面面
∴面与面应重合
即在同一平面内，
则是二面角的平面角
在中， ∴
在中， ∴
故（图1）或（图2）
即二面角的大小为或
说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角
6．如图，正方体的棱长为1，，求：
（1）与所成角；
（2）与平面所成角的正切值；
（3）平面与平面所成角
解：（1）∵ ∴与所成角就是
∵平面 ∴（三垂线定理）
在中， ∴
（2）作，平面平面
∴平面，为与平面所成角
在中， ∴
（3）∵ ∴平面
又∵平面 ∴平面平面
即平面与平面所成角为
7?已知正方体的棱长为，是的中点，是对角线的中点，
（1）求证：是异面直线和的公垂线；（2）求异面直线和的距离
解：（1）解法一：延长交于，则为的中点，∴，
∵，
∴，连结，则，
又是的中点，∴，
∴是异面直线和的公垂线
（2）由（1）知，．
解法二：建立空间直角坐标系，用坐标运算证明（略）
引申：求与间的距离
解法一：（转化为到过且与平行的平面的距离）
连结，则//，∴//平面，连，可证得
，，∴平面，
∴平面平面，且两平面的交线为，过作，垂足为，则即为与平面的距离，也即与间的距离，
在中，，∴．
（解法二）：坐标法：
以为原点，所在的直线分别为轴，轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，
由（解法一）求点到平面的距离，设，
∵在平面上，
∴，即，
∴，
∵，∴，
解得：，∴，∴．
解法三：直接求与间的距离
设与的公垂线为，且，
设，设，
则，∴，∴，
同理，
∴，∴，
∴，
解得：，，．
5、棱柱与棱锥
1?判断下列结论是否正确，为什么？（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；
（2）正四面体是四棱锥；（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥；
（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥．
2 如图平行六面体中，，
，求对角面的面积
3．已知：正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，
（1）求二面角的大小；（2）求点到平面的距离
4．棱长为的正方体中，分别为棱上的动点，且， （1）求证：；
（2）当的面积取得最大值时，求二面角的大小．
5． 如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点．求异面直线MN与所成的角．
6．在三棱锥中，为正三角形，，为中点，二面角为，，（1）求证：；（2）求与底面所成的角，（3）求三棱锥的体积．
7． 斜三棱柱的底面的边长是4cm的正三角形,侧棱长为3cm,侧棱与底面相邻两边都成角.(1)求证:侧面是矩形;
(2)求这个棱柱的侧面积;(3)求棱柱的体积.
参考答案：
1?判断下列结论是否正确，为什么？
（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥，
（2）正四面体是四棱锥，
（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥，
（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥．
答：（1）错 ，（2）错，（3）错，（4）对．
2 如图平行六面体中，，
，求对角面的面积
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，∵，∴，
所以，对角面是矩形，它的面积是．
3．已知：正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，
（1）求二面角的大小；（2）求点到平面的距离
解：（1）连结，设交于，连结，
∵是正方形，∴，
又∵底面，
∴，∴是二面角的平面角，
在中，，又，
∴，∴二面角为．
（2）作于，∵平面，∴，
∴平面，即为点到平面的距离，
在等腰直角三角形中，∵，
∴，
所以，点到平面的距离为．
4．棱长为的正方体中，分别为棱上的动点，且，
（1）求证：；
（2）当的面积取得最大值时，求二面角的大小．
证：（1）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
∴，
则，，，，
∴，
，
∴．
（2）由，
则，
当且仅当，即时等号成立，此时分别为的中点，
取的中点，连，则，
根据三垂线定理知，∴即为二面角的平面角，
在中，，
在中，，
所以，二面角的大小是．
5． 如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点．求异面直线MN与所成的角．
解：∵＝，＝，
∴＝·
＝(＋＋＋)．
∵，，，
∴，，，
∴＝＝．
又∵，，
∴ cos＜＞＝＝，
∴＜＞＝，即异面直线MN与所成的角为．
6．在三棱锥中，为正三角形，，为中点，二面角为，，（1）求证：；（2）求与底面所成的角，（3）求三棱锥的体积．
解：（1）取的，连结，则，
由，知，
由为正三角形，得，
又，
∵平面，平面，
∴．
（2）作，垂足为，
∵平面，平面，
，平面，与底面所成的角，
由，知
是二面角的平面角，，
∵，∴，又∵，
∴
∴，
∴与底面所成的角为．
（3）∵为中点，∴到平面的距离，
．
7． 斜三棱柱的底面的边长是4cm的正三角形,侧棱长为3cm,侧棱与底面相邻两边都成角.
(1)求证:侧面是矩形;
(2)求这个棱柱的侧面积;
(3)求棱柱的体积.
证明(1):∵与所成的角都为,
∴A在面ABC上的射影O在的平分线上.
又∵是正三角形
∴ ∴.
又∵, ∴,
∴四边形是矩形.
(2)解:,
∴
又,
∴.
另法：可以作出直截面.
(3)解:作,垂足为E,连结AE,则.
在中,
在中,
在中,
∴
6、欧拉定理与球
1 一个面体共有8条棱，5个顶点，求
2．一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求
3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V－4
4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由
5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边
6?①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．
②球半径为，球心到截面距离为，则截面面积为 ．
③已知球的两个平行截面的面积分别是和，它们位于球心同一侧，且相距，则球半径是 ．
④球直径为，为球面上的两点且，则两点的球面距离为 ．
⑤北纬圈上两地，它们在纬度圈上的弧长是（为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．
7．北纬圈上有两地，在东径，在西径，设地球半径为，两地球面距离为 ；
8．一个球夹在二面角内，两切点在球面上最短距离为，则球半径为 ；
9.设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．
10?球的大圆面积增大为原来的倍，则体积增大为原来的 倍；
11．三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍；
12.若球的大圆面积扩大为原来的倍，则球的体积比原来增加 倍；
13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；
14.正方体全面积是，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．
15?球O1、O2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．
16．表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积
17． 正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积．
练习参考答案：
1 一个面体共有8条棱，5个顶点，求
解：∵，∴，即． 2．一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求
解：∵，，∴，即．
3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V－4
证明：∵ ，V＋F－E＝2 ∴V＋F－＝2 ∴F＝2V－4
4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由
解：若E＝7，∵V＋F－E＝2 ， ∴V＋F＝7＋2＝9 ，∵多面体的顶点数V≥4，面数F≥4
∴只有两种情况V＝4，F＝5或V＝5，F＝4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，∴没有棱数是7的多面体
5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边
解：设有一个多面体，有F（奇数）个面，并且每个面的边数也都是奇数，则
，但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的 ∴不存在这样的多面体
6?①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．
②球半径为，球心到截面距离为，则截面面积为 ．
③已知球的两个平行截面的面积分别是和，它们位于球心同一侧，且相距，则球半径是 ．
④球直径为，为球面上的两点且，则两点的球面距离为 ．
⑤北纬圈上两地，它们在纬度圈上的弧长是（为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．
答案：①一个或无数个 ② ③ ④ ⑤
7．北纬圈上有两地，在东径，在西径，设地球半径为，两地球面距离为 ；
答案：
8．一个球夹在二面角内，两切点在球面上最短距离为，则球半径为 ；
答案：
9.设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．
分析：求A、B两点间的球面距离，就是求过球心和点A、B的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB的长，所以要先求出A、B两点所在纬度圈的半径．
解：连结AB．设地球球心为O，北纬45°圈中心为O1，则
O1O⊥O1A，O1O⊥O1B．
∴ ．
∴ O1A＝O1B＝O1O＝＝．
∴ 两点间的纬线的长为：．
∵ A、B两点的经度相差90°，
∴ ．
在中，，
∴ ，．
∴ 两点间的球面距离是：．
10?球的大圆面积增大为原来的倍，则体积增大为原来的 倍；
答案： 8
11．三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍；
答案： 3
12.若球的大圆面积扩大为原来的倍，则球的体积比原来增加 倍；
答案： 7
13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；
答案： 6
14.正方体全面积是，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．
答案： ，
15?球O1、O2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．
分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可．
解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次为、，
∴ 三个球的表面积之比是．
16．表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积
解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，
则作轴截面如图，，，
又∵，∴，
∴，∴，
∴．
17． 正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积．
分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等．
解：如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H．
由题设
．
∵ △AOF∽△AEG ∴ ，得．
∵ △AO1H∽△AOF ∴ ，得．
∴ ．
另法：以O为顶点将正四面体分成相等体积的四个三棱锥，用体积相等法，可以得到，，
。
7、立体几何高考题型
热点之一：点、线、面问题
包括平面的基本性质、空间的直线和平面的位置关系及判定方法，特别注意三垂线定理及其逆定理的应用。
1．已知是两个平面，直线若以①，②，③中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
2．把边长为的正方形剪去图中的阴影部分，沿图中
所画的线折成一个正三棱锥，则这个正三棱锥的高为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）
4．如右图，点E是正方体
的棱的中点，则过点E与直线和都相交的直线的条数是（ ）
（A）0条 （B）1条 （C）2条 （D）无数
5．在正方体中，写出过顶点A的一个平面________，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。
热点之二：空间角与距离问题
三个角：包括两条直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角；
八个距离：包括点到直线的距离、点到面的距离、两条平行直线的距离、异面直线
的距离、直线与平行平面的距离、两个平行平面之间的距离、球面上两点的距离。
在求角或距离时，一定要“先找后解”。
6．如图，在正方体中，E、F分别为、的中点，
(1)与所成角的大小是_____________;
(2) 与所成角的大小是_____________;
(3) 与所成角的大小是_____________;
(4)与所成角的大小是_____________;
(5)与所成角大小是_____________;
(6)与平面所成角的大小是_________;
(7)与平面所成角的大小是_____________;
(8)二面角的大小是_________;
(9)二面角的大小是_____________;
(10)二面角的大小是_____________;
7．将锐角为60°，边长为的菱形沿较短的对角线BD折成60°的二面角后，
（1）求异面直线与的距离；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求D到面的距离。
8.已知斜三棱柱ABC－A1 B1 C1的侧面A1 ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90o，BC=2，AC=2，且AA1 ⊥A1C，AA1= A1 C．
Ⅰ．求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；
Ⅱ．求侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的大小；
Ⅲ．求顶点C到侧面A1 ABB1的距离．
热点之三：表面积与体积问题
9.棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积记作、、，则( )
(A) (B) (C) (D)
10．三棱台的上底面积为4，下底面积为9，且三棱的体积为9，则三棱台的体积为( )
(A)19 (B)18 (C) (D)
11．直四棱柱的体积等于1，底面为平行四边形，则四面体体积为_____。
热点之四：立几综合题
12.直四棱柱的侧棱的长是a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，E为的中点。
(Ⅰ)求证:平面BCE⊥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角E-BD-C的大小;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
参考答案：
1．C 2． D 3．B 4．B 5．面
6．（1）（2）（3）（4） （5）（6）（7）（8）（9） （10）
7．（1）（2）（3）
8．解Ⅰ：作A1DAC，垂足为D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC，所以∠A1AD为A1A与面ABC所成的角.
因为AA1A1C，AA1=A1C，所以∠A1AD =45o为所求.
解Ⅱ：作DEAB，垂足为E，连A1E，则由A1D面ABC，得A1EAB.所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.由已知，ABBC，得ED∥BC.又D是AC的中点，BC=2，AC=2，
所以DE=1，AD=A1D=， tg∠A1ED==.故∠A1ED=60o为所求.
解Ⅲ：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离.连结HB，由于ABBC，得ABHB.又A1EAB，知HB∥A1E，且BC∥ED，
所以∠HBC=∠A1ED=60o,所以CH=BCsin60o=为所求.
另解：连结A1B.根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C－A1AB的高h.
由得，即
所以为所求.
9．A 10．C 11．
12．(Ⅰ)∵直四棱柱的侧棱的长是a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，E为的中点。
∴，∴DE⊥CE
又∵∴DE⊥EB
∴DE⊥平面EBC
又∵DE平面EBD,∴平面EBC⊥平面EBD.
(Ⅱ) 取DC的中点F，则EF⊥平面BCD,作FH⊥BD于H，连EH，则∠EHF就是二面角E-BD-C的一个平面角。由题意得 EF=a，
∴∠EHF＝，∠EHF＝
∴二面角E-BD-C的求大小为;
(Ⅲ)∵,∴
∴
∴三棱锥的体积为.
8、单元测试题 一、选择题 1、点P到ΔABC三边所在直线的距离相等，P在ΔABC内的射影为O，则O为ΔABC的 （ ） （A）外心 （B）重心 （C）内心 （D）以上都不对 2、已知两条异面直线a,b所成的角为，直线l与a, l与b所成的角都等于θ, 则θ的取值范围是 （ ） (A) (B) (C) (D) 3、ΔABC是正三角形，P是ΔABC所在平面外一点，PA=PB=PC，若SΔPAB∶SΔABC=，则二面角P -AB-C的余弦值为 （ ） （A） （B） （C） （D） 4、已知矩形ABCD的长AD=4，宽AB=3，E、F分别为AD、BC的中点，现将ABFE沿EF折成 使二面角的平面角为60(，则= （ ） （A） （B） （C） （D） 5、一个简单多面体的各面都是三角形，且有六个顶点，则这个简单多面体的面数是（ ） （A）4 （B）6 （C）8 （D）10 6、A、B两地在同一纬线上，这两地间的纬线长为(Rcos(，（R是地球半径，(是两地的纬度数），则这两地间的距离为 （ ） （A）(R （B）(Rcos( （C）(R(2(R （D）(R((R 7、已知正四棱锥P-ABCD的棱长为a，侧面等腰三角形的顶角为30(，则从点A出发环绕侧面一周后回到A点的最短路程等于 （ ） （A） （B）4a （C）6a （D） 8、空间四边形ABCD的各边与对角线的长都为1，点P在边AB上移动，点Q在CD上移动，则点P和Q的最短距离为 （ ） （A） （B） （C） （D） 9、在长方形ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是 （ ） （A） （B） （C） （D） 10、若四面体的一条棱长为x，其余棱长为1，体积为F(x)，则函数F(x)在其定义域上（ ） （A）是增函数但无最大值 （B）是增函数且有最大值 （C）不是增函数且无最大值 （D）不是增函数但有最大值 二、填空题
11、正四棱锥S-ABCD的侧棱长为，底面的边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角为 。 12、已知a=(3,1,5), b=(1,2,(3), 向量c与z轴垂直，且满足c(a=9, c(b=(4，则c= 13、已知PA、PB、PC两两垂直且PA=，PB=，PC=2，则过P、A、B、C四点的球的体积为 。
14、已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2cm, 高为4cm，过BC作一个截面，截面与底面ABC成60(角，则截面的面积是 三、解答题 15、 在立体图形P-ABCD中，四边形ABCD是(DAB=60(，且边长为a的棱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD。 （1）若G在AD边的中点，求证：BG(平面PAD； （2）求证AD(PB； （3）求二面角A-BC-P的大小； （4）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F， 使平面DEF(平面ABCD，并证明你的结论。
16、在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，AC⊥BC，PA，PB与平面ABC所成角分别30(或45(，（1）问直线PC与AB能否垂直？证明你的结论；（2）若P到底面距离为h，求P到直线AB的距离。
17、已知四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，求这个四面体体积的所有可能的值。
18、四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60(，在四边形ABCD中，(D=(DAB=90(，AB=4，CD=1，AD=2。 （1）建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标； （2）求异面直线PA与BC所成的角； （3）若PB的中点为M，求证：平面AMC(平面PBC。
单元测试题答案
一、选择题
1-5、CBBCC；6-10、CCBCD
二、填空题
11、 12、（） 13、 。 14、. 三、解答题
15、解：（1） 在菱形ABCD中，(DAB=60(，G是AD的中点，知BG(AD，又平面PAD(平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BG(平面PAD。 （2）连结PG，因(PAD为正三角形，G为AD中点，得PG(AD，由（1）知BG(AD，PG∩BG=G，∴AD(平面PGB，又PB(平面PGB，故AD(PB。 （3）由（1）（2）知，AD(PB，所以BC(PB，BC(BG，故(PBG就是二面角A-BC-P的平面角。在(PAD中，PG=，在菱形ABCD中，BG=，所以在Rt(PGB中，(PBG=45(，因此，二面角A-BC-P的大小为45(。 （4）取PC的中点为F，连结DE，EF，DF，则EF∥PB，GB∥DE，而EF∩DE=E，所以DEF∥平面PGB。由（1）知，PG(平面ABCD，所以，平面PGB(平面ABCD，故平面DEF(平面ABCD。 16、解：（1）直线PC与AB不能垂直。假设PC与AB垂直。作PD(平面ABC于D，则CD(AB。又PA(AC，PB(BC，∴DA(AC，DB(BC，又AC(BC，可知ABCD是矩形。已证CD(AB，可知ABCD是正方形，这样Rt(PAD(Rt(PDB，(PAD-=(PBD，这与已知条件PA，PB与底面所成角分别为30(和45(矛盾，因此直线PC与AB不能垂直。 （2）作DM(AB于M，连结PM，则PM(AB，PM的长是点P到AB的距离，PD=h，(PAD=30(，(PBD=45(，，。 在Rt(PDM中，PM=即P到AB的距离为 17、解：根据已知条件及构成三角形的条件满足要求的四面体应分为三类。
（1）如图1，四面体各棱AB=AC=AD=2，BC=CD=BD=1，则AO=，所以四面体的体积V=。 （2）如图2，四面体各棱AC=AD=2，AB=1，BC=BD=2，CD=1，设M、N分别为AB、CD的中点，AM=。。 四面体的体积为V= （3）如图形，四面体各棱AB=AC=AD=2，BD=BC=2，CD=1，设M、N分别为AB、CD的中点，AM=，四面体的体积为V=
故四面体的所有可能的体积为或或。 18、解：（1）以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，1，0）。算出PD=，则P（0，0，）。 （2），PA与BC所成的角为。 （3）由得AM(PB，CM(PB，有PB(平面AMC，从而得证。
1、平面的基本性质
1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是（ ）
A．∵，∴． B．∵，∴．
C．∵，∴． D．∵，∴．
2．下列推断中，错误的是（ ）
A． C．，且A,B,C不共线重合
B． D．
3．两个平面把空间最多分成___ 部分，三个平面把空间最多分成__部分．
4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ）
（3）两条直线可以确定一个平面（ ）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ）
（5）两条相交直线可以确定一个平面（ ）（6）三条平行直线可以确定三个平面（ ）
（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ）（8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ）
5．看图填空
（1）AC∩BD= （4）平面A1C1CA∩平面D1B1BD=
（2）平面AB1∩平面A1C1= （5）平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C=
（3）平面A1C1CA∩平面AC= （6）A1B1∩B1B∩B1C1= 6
6．选择题
（1）下列图形中不一定是平面图形的是 （ ）A三角形B菱形 C梯形 D四边相等的四边形
（2）空间四条直线每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ）A 1个 B 4个C 6个 D 8个
（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要
7．已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.
答案：1. C 2. D 3. 2,4,8 4. ⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×
5.⑴O⑵A1B1⑶O⑷OO1⑸B1⑹B1
6. 答案：⑴ D ⑵ C ⑶ D
7. 证明：因为a//b，由推论3，存在平面，使得
又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，
下面用反证法证明直线：
假设，则,在平面内过点C作，
因为b//c，则，此与矛盾.故直线.
综上述，a、b、c、d四线共面.
2、线线问题及线面平行问题
1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （ ）
（2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（ ）
（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60o （ ）
（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ）
2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中
①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60o角；
④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）
（A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④
3．已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.
4．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，A(a，D(a，B(b，E(c求证：BD和AE是异面直线
证明：假设__ 共面于(，则点A、E、B、D都在平面__内
(A(a，D(a，∴__(γ. (P(a，∴P(__.
(P(b，B(b，P(c，E(c ∴__((，__((，这与____矛盾 ∴BD、AE__________
5 已知分别是空间四边形四条边的中点，（1）求证四边形是平行四边形（2）若AC⊥BD时，求证：为矩形；（3）若BD=2，AC=6，求；（4）若AC、BD成30o角，AC=6，BD=4，求四边形的面积；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离.
6 空间四边形中，，分别是的中点，，求异面直线所成的角
7. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.
8．在长方体中，已知AB=a，BC=b，=c(a＞b)，求异面直线与AC所成角的余弦值
9．如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点（1）求证：平面；（2）若，， 求异面直线与所成的角的大小
10．如图,正方形与不在同一平面内,、分别在、上，且
求证：平面
参考答案：
1.（1）× （2）× （3）√ （4）× 2. C
3. 证明：(1)∵ABCD是空间四边形,∴A点不在平面BCD上,而C平面BCD,
∴AC过平面BCD外一点A与平面BCD内一点C,
又∵BD平面BCD,且CBD.∴AC与BD是异面直线.
(2)解如图,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=AC.
同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.
又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.
∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.
(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.
4. 答案：假设BD、AE共面于(，则点A、E、B、D都在平面 ( 内
∵A(a，D(a，∴ a ((. ∵P(a，P( ( .
∵P(b，B(b，P(c，E(c. ∴ b ((，c ((，这与a、b、c不共面矛盾
∴BD、AE是异面直线
5. 证明（1）：连结，∵是的边上的中点，∴，
同理，，∴，
同理，，所以，四边形是平行四边形
证明（2）：由（1）四边形是平行四边形
∵，，∴由AC⊥BD得，，∴为矩形.
解（3）：由（1）四边形是平行四边形
∵BD=2，AC=6，∴
∴由平行四边形的对角线的性质 .
解（4）：由（1）四边形是平行四边形
∵BD=4，AC=6，∴
又∵，，AC、BD成30o角，∴EF、EH成30o角，
∴四边形的面积 .
解（5）：分别取AC与BD的中点M、N,连接MN、MB、MD、NA、NC，
∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝
∴，∴MN是AC与BD的公垂线段
且 ∴AC与BD间的距离为.
6. 解：取中点，连结，∵分别是的中点，
∴且，
∴异面直线所成的角即为所成的角，
在中，，
∴，异面直线所成的角为．
7. 解(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.
∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.
∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60o,
∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.
(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.∵O为BD中点,∴OE//BD1.
∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.
在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.
又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD1成角90o.
8. 解(1)如图,连结BD,A1D,
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.
∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.
∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.
∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,
∴∠A1BD=60o,
∵∠A1BD是锐角,
∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.
∴A1B与B1D1成角为60o.
(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.
∵O为BD中点,∴OE//BD1.
∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.
在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.
又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD成角90o.
9. 略证（1）取PD的中点H，连接AH，
为平行四边形
解(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以就是异面直线与所成的角，由，得，OM=2，ON=
所以，即异面直线与成的角
10. 略证：作分别交BC、BE于T、H点
从而有MNHT为平行四边形
3、线面垂直问题
1．（1）“直线垂直于平面(内的无数条直线”是“⊥(”的 （ ）
（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（2）如果一条直线与平面(的一条垂线垂直，那么直线与平面(的位置关系是（ ）
（A）(( （B）⊥( （C）∥( （D）((或∥( 答案：（1）B (2)D
2．（1）过直线外一点作直线的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.（2）过平面外一点作该平面的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.
答案：（1）无数，一，一，无数；（2）一，无数，无数，一
3．能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么？
答案：（能，而且有无数条） （不能）
4拿一张矩形的纸对折后略为展开，竖立在桌面上，说明折痕为什么和桌面垂直
答案：因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线.
5一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，这条直线垂直于这个平面吗？为什么？
答案：不一定.因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内.
6过一点和一条直线垂直的平面是否只有一个？为什么？
答案：是.假若有两个平面过点A都于垂直，过这条公共垂线作一个不经过两平面的交线的平面，与分别相交于直线且，，从而有，此与矛盾.
7如果三条直线共点，且两两垂直，问其中一条直线是否垂直于另两条直线所确定的平面
答案：是
8．点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，
若，求证：．
证明：连结，∵，且
∴（三垂线定理逆定理）
同理，∴为的垂心，∴，
又∵，∴（三垂线定理）
9．如图，已知ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点．
求证：BE不可能垂直于平面SCD．
证明：用到反证法，假设BE⊥平面SCD，
∵ AB∥CD；∴AB⊥BE．
∴ AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾．
∴ BE不可能垂直于平面SCD
10． 已知：空间四边形，，，求证：
证明：取中点，连结，∵，∴，
∴平面，又∵平面，∴．
4、空间向量坐标运算 二面角与距离
1?设，，且，记，求与轴正方向的夹角的余弦值
2． 在ΔABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿
3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)，
⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；
⑵若向量分别与向量垂直，且||＝，求向量的坐标
4．直角的斜边在平面内，与所成角分别为，是斜边上的高线，求与平面所成角的正弦值
5．如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，求二面角的大小
6．如图，正方体的棱长为1，，求：（1）与所成角；
（2）与平面所成角的正切值；（3）平面与平面所成角
7?已知正方体的棱长为，是的中点，是对角线的中点，
（1）求证：是异面直线和的公垂线；（2）求异面直线和的距离
参考答案：
1?设，，且，记，
求与轴正方向的夹角的余弦值
解：取轴正方向的任一向量，设所求夹角为，
∵
∴，即为所求
2． 在ΔABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿
解：
∴∠ABC＝45°
3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)
⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；
⑵若向量分别与向量垂直，且||＝，求向量的坐标
分析：⑴
∴∠BAC＝60°，
⑵设＝(x,y,z)，则
解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴＝(1,1,1)或＝(－1，－1，－1).
4．直角的斜边在平面内，与所成角分别为，是斜边上的高线，求与平面所成角的正弦值
解：过点作于点，连接，
则，，为所求与所成角，记为，
令，则，
则在中，有
在中，
∴与平面所成角的正弦值.
5．如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，求二面角的大小
分析：点可能在二面角内部，也可能在外部，应区别处理
解：如图1是点在二面角的内部时，图2是点在二面角外部时，
∵ ∴
∵ ∴面
同理，面
而面面
∴面与面应重合
即在同一平面内，
则是二面角的平面角
在中， ∴
在中， ∴
故（图1）或（图2）
即二面角的大小为或
说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角
6．如图，正方体的棱长为1，，求：
（1）与所成角；
（2）与平面所成角的正切值；
（3）平面与平面所成角
解：（1）∵ ∴与所成角就是
∵平面 ∴（三垂线定理）
在中， ∴
（2）作，平面平面
∴平面，为与平面所成角
在中， ∴
（3）∵ ∴平面
又∵平面 ∴平面平面
即平面与平面所成角为
7?已知正方体的棱长为，是的中点，是对角线的中点，
（1）求证：是异面直线和的公垂线；（2）求异面直线和的距离
解：（1）解法一：延长交于，则为的中点，∴，
∵，
∴，连结，则，
又是的中点，∴，
∴是异面直线和的公垂线
（2）由（1）知，．
解法二：建立空间直角坐标系，用坐标运算证明（略）
引申：求与间的距离
解法一：（转化为到过且与平行的平面的距离）
连结，则//，∴//平面，连，可证得
，，∴平面，
∴平面平面，且两平面的交线为，过作，垂足为，则即为与平面的距离，也即与间的距离，
在中，，∴．
（解法二）：坐标法：
以为原点，所在的直线分别为轴，轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，
由（解法一）求点到平面的距离，设，
∵在平面上，
∴，即，
∴，
∵，∴，
解得：，∴，∴．
解法三：直接求与间的距离
设与的公垂线为，且，
设，设，
则，∴，∴，
同理，
∴，∴，
∴，
解得：，，．
5、棱柱与棱锥
1?判断下列结论是否正确，为什么？（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；
（2）正四面体是四棱锥；（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥；
（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥．
2 如图平行六面体中，，
，求对角面的面积
3．已知：正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，
（1）求二面角的大小；（2）求点到平面的距离
4．棱长为的正方体中，分别为棱上的动点，且， （1）求证：；
（2）当的面积取得最大值时，求二面角的大小．
5． 如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点．求异面直线MN与所成的角．
6．在三棱锥中，为正三角形，，为中点，二面角为，，（1）求证：；（2）求与底面所成的角，（3）求三棱锥的体积．
7． 斜三棱柱的底面的边长是4cm的正三角形,侧棱长为3cm,侧棱与底面相邻两边都成角.(1)求证:侧面是矩形;
(2)求这个棱柱的侧面积;(3)求棱柱的体积.
参考答案：
1?判断下列结论是否正确，为什么？
（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥，
（2）正四面体是四棱锥，
（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥，
（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥．
答：（1）错 ，（2）错，（3）错，（4）对．
2 如图平行六面体中，，
，求对角面的面积
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，∵，∴，
所以，对角面是矩形，它的面积是．
3．已知：正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，
（1）求二面角的大小；（2）求点到平面的距离
解：（1）连结，设交于，连结，
∵是正方形，∴，
又∵底面，
∴，∴是二面角的平面角，
在中，，又，
∴，∴二面角为．
（2）作于，∵平面，∴，
∴平面，即为点到平面的距离，
在等腰直角三角形中，∵，
∴，
所以，点到平面的距离为．
4．棱长为的正方体中，分别为棱上的动点，且，
（1）求证：；
（2）当的面积取得最大值时，求二面角的大小．
证：（1）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
∴，
则，，，，
∴，
，
∴．
（2）由，
则，
当且仅当，即时等号成立，此时分别为的中点，
取的中点，连，则，
根据三垂线定理知，∴即为二面角的平面角，
在中，，
在中，，
所以，二面角的大小是．
5． 如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点．求异面直线MN与所成的角．
解：∵＝，＝，
∴＝·
＝(＋＋＋)．
∵，，，
∴，，，
∴＝＝．
又∵，，
∴ cos＜＞＝＝，
∴＜＞＝，即异面直线MN与所成的角为．
6．在三棱锥中，为正三角形，，为中点，二面角为，，（1）求证：；（2）求与底面所成的角，（3）求三棱锥的体积．
解：（1）取的，连结，则，
由，知，
由为正三角形，得，
又，
∵平面，平面，
∴．
（2）作，垂足为，
∵平面，平面，
，平面，与底面所成的角，
由，知
是二面角的平面角，，
∵，∴，又∵，
∴
∴，
∴与底面所成的角为．
（3）∵为中点，∴到平面的距离，
．
7． 斜三棱柱的底面的边长是4cm的正三角形,侧棱长为3cm,侧棱与底面相邻两边都成角.
(1)求证:侧面是矩形;
(2)求这个棱柱的侧面积;
(3)求棱柱的体积.
证明(1):∵与所成的角都为,
∴A在面ABC上的射影O在的平分线上.
又∵是正三角形
∴ ∴.
又∵, ∴,
∴四边形是矩形.
(2)解:,
∴
又,
∴.
另法：可以作出直截面.
(3)解:作,垂足为E,连结AE,则.
在中,
在中,
在中,
∴
6、欧拉定理与球
1 一个面体共有8条棱，5个顶点，求
2．一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求
3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V－4
4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由
5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边
6?①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．
②球半径为，球心到截面距离为，则截面面积为 ．
③已知球的两个平行截面的面积分别是和，它们位于球心同一侧，且相距，则球半径是 ．
④球直径为，为球面上的两点且，则两点的球面距离为 ．
⑤北纬圈上两地，它们在纬度圈上的弧长是（为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．
7．北纬圈上有两地，在东径，在西径，设地球半径为，两地球面距离为 ；
8．一个球夹在二面角内，两切点在球面上最短距离为，则球半径为 ；
9.设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．
10?球的大圆面积增大为原来的倍，则体积增大为原来的 倍；
11．三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍；
12.若球的大圆面积扩大为原来的倍，则球的体积比原来增加 倍；
13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；
14.正方体全面积是，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．
15?球O1、O2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．
16．表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积
17． 正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积．
练习参考答案：
1 一个面体共有8条棱，5个顶点，求
解：∵，∴，即． 2．一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求
解：∵，，∴，即．
3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V－4
证明：∵ ，V＋F－E＝2 ∴V＋F－＝2 ∴F＝2V－4
4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由
解：若E＝7，∵V＋F－E＝2 ， ∴V＋F＝7＋2＝9 ，∵多面体的顶点数V≥4，面数F≥4
∴只有两种情况V＝4，F＝5或V＝5，F＝4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，∴没有棱数是7的多面体
5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边
解：设有一个多面体，有F（奇数）个面，并且每个面的边数也都是奇数，则
，但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的 ∴不存在这样的多面体
6?①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．
②球半径为，球心到截面距离为，则截面面积为 ．
③已知球的两个平行截面的面积分别是和，它们位于球心同一侧，且相距，则球半径是 ．
④球直径为，为球面上的两点且，则两点的球面距离为 ．
⑤北纬圈上两地，它们在纬度圈上的弧长是（为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．
答案：①一个或无数个 ② ③ ④ ⑤
7．北纬圈上有两地，在东径，在西径，设地球半径为，两地球面距离为 ；
答案：
8．一个球夹在二面角内，两切点在球面上最短距离为，则球半径为 ；
答案：
9.设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．
分析：求A、B两点间的球面距离，就是求过球心和点A、B的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB的长，所以要先求出A、B两点所在纬度圈的半径．
解：连结AB．设地球球心为O，北纬45°圈中心为O1，则
O1O⊥O1A，O1O⊥O1B．
∴ ．
∴ O1A＝O1B＝O1O＝＝．
∴ 两点间的纬线的长为：．
∵ A、B两点的经度相差90°，
∴ ．
在中，，
∴ ，．
∴ 两点间的球面距离是：．
10?球的大圆面积增大为原来的倍，则体积增大为原来的 倍；
答案： 8
11．三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍；
答案： 3
12.若球的大圆面积扩大为原来的倍，则球的体积比原来增加 倍；
答案： 7
13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；
答案： 6
14.正方体全面积是，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．
答案： ，
15?球O1、O2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．
分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可．
解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次为、，
∴ 三个球的表面积之比是．
16．表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积
解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，
则作轴截面如图，，，
又∵，∴，
∴，∴，
∴．
17． 正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积．
分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等．
解：如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H．
由题设
．
∵ △AOF∽△AEG ∴ ，得．
∵ △AO1H∽△AOF ∴ ，得．
∴ ．
另法：以O为顶点将正四面体分成相等体积的四个三棱锥，用体积相等法，可以得到，，
。
7、立体几何高考题型
热点之一：点、线、面问题
包括平面的基本性质、空间的直线和平面的位置关系及判定方法，特别注意三垂线定理及其逆定理的应用。
1．已知是两个平面，直线若以①，②，③中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
2．把边长为的正方形剪去图中的阴影部分，沿图中
所画的线折成一个正三棱锥，则这个正三棱锥的高为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）
4．如右图，点E是正方体
的棱的中点，则过点E与直线和都相交的直线的条数是（ ）
（A）0条 （B）1条 （C）2条 （D）无数
5．在正方体中，写出过顶点A的一个平面________，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。
热点之二：空间角与距离问题
三个角：包括两条直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角；
八个距离：包括点到直线的距离、点到面的距离、两条平行直线的距离、异面直线
的距离、直线与平行平面的距离、两个平行平面之间的距离、球面上两点的距离。
在求角或距离时，一定要“先找后解”。
6．如图，在正方体中，E、F分别为、的中点，
(1)与所成角的大小是_____________;
(2) 与所成角的大小是_____________;
(3) 与所成角的大小是_____________;
(4)与所成角的大小是_____________;
(5)与所成角大小是_____________;
(6)与平面所成角的大小是_________;
(7)与平面所成角的大小是_____________;
(8)二面角的大小是_________;
(9)二面角的大小是_____________;
(10)二面角的大小是_____________;
7．将锐角为60°，边长为的菱形沿较短的对角线BD折成60°的二面角后，
（1）求异面直线与的距离；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求D到面的距离。
8.已知斜三棱柱ABC－A1 B1 C1的侧面A1 ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90o，BC=2，AC=2，且AA1 ⊥A1C，AA1= A1 C．
Ⅰ．求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；
Ⅱ．求侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的大小；
Ⅲ．求顶点C到侧面A1 ABB1的距离．
热点之三：表面积与体积问题
9.棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积记作、、，则( )
(A) (B) (C) (D)
10．三棱台的上底面积为4，下底面积为9，且三棱的体积为9，则三棱台的体积为( )
(A)19 (B)18 (C) (D)
11．直四棱柱的体积等于1，底面为平行四边形，则四面体体积为_____。
热点之四：立几综合题
12.直四棱柱的侧棱的长是a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，E为的中点。
(Ⅰ)求证:平面BCE⊥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角E-BD-C的大小;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
参考答案：
1．C 2． D 3．B 4．B 5．面
6．（1）（2）（3）（4） （5）（6）（7）（8）（9） （10）
7．（1）（2）（3）
8．解Ⅰ：作A1DAC，垂足为D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC，所以∠A1AD为A1A与面ABC所成的角.
因为AA1A1C，AA1=A1C，所以∠A1AD =45o为所求.
解Ⅱ：作DEAB，垂足为E，连A1E，则由A1D面ABC，得A1EAB.所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.由已知，ABBC，得ED∥BC.又D是AC的中点，BC=2，AC=2，
所以DE=1，AD=A1D=， tg∠A1ED==.故∠A1ED=60o为所求.
解Ⅲ：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离.连结HB，由于ABBC，得ABHB.又A1EAB，知HB∥A1E，且BC∥ED，
所以∠HBC=∠A1ED=60o,所以CH=BCsin60o=为所求.
另解：连结A1B.根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C－A1AB的高h.
由得，即
所以为所求.
9．A 10．C 11．
12．(Ⅰ)∵直四棱柱的侧棱的长是a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，E为的中点。
∴，∴DE⊥CE
又∵∴DE⊥EB
∴DE⊥平面EBC
又∵DE平面EBD,∴平面EBC⊥平面EBD.
(Ⅱ) 取DC的中点F，则EF⊥平面BCD,作FH⊥BD于H，连EH，则∠EHF就是二面角E-BD-C的一个平面角。由题意得 EF=a，
∴∠EHF＝，∠EHF＝
∴二面角E-BD-C的求大小为;
(Ⅲ)∵,∴
∴
∴三棱锥的体积为.
8、单元测试题 一、选择题 1、点P到ΔABC三边所在直线的距离相等，P在ΔABC内的射影为O，则O为ΔABC的 （ ） （A）外心 （B）重心 （C）内心 （D）以上都不对 2、已知两条异面直线a,b所成的角为，直线l与a, l与b所成的角都等于θ, 则θ的取值范围是 （ ） (A) (B) (C) (D) 3、ΔABC是正三角形，P是ΔABC所在平面外一点，PA=PB=PC，若SΔPAB∶SΔABC=，则二面角P -AB-C的余弦值为 （ ） （A） （B） （C） （D） 4、已知矩形ABCD的长AD=4，宽AB=3，E、F分别为AD、BC的中点，现将ABFE沿EF折成 使二面角的平面角为60(，则= （ ） （A） （B） （C） （D） 5、一个简单多面体的各面都是三角形，且有六个顶点，则这个简单多面体的面数是（ ） （A）4 （B）6 （C）8 （D）10 6、A、B两地在同一纬线上，这两地间的纬线长为(Rcos(，（R是地球半径，(是两地的纬度数），则这两地间的距离为 （ ） （A）(R （B）(Rcos( （C）(R(2(R （D）(R((R 7、已知正四棱锥P-ABCD的棱长为a，侧面等腰三角形的顶角为30(，则从点A出发环绕侧面一周后回到A点的最短路程等于 （ ） （A） （B）4a （C）6a （D） 8、空间四边形ABCD的各边与对角线的长都为1，点P在边AB上移动，点Q在CD上移动，则点P和Q的最短距离为 （ ） （A） （B） （C） （D） 9、在长方形ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是 （ ） （A） （B） （C） （D） 10、若四面体的一条棱长为x，其余棱长为1，体积为F(x)，则函数F(x)在其定义域上（ ） （A）是增函数但无最大值 （B）是增函数且有最大值 （C）不是增函数且无最大值 （D）不是增函数但有最大值 二、填空题
11、正四棱锥S-ABCD的侧棱长为，底面的边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角为 。 12、已知a=(3,1,5), b=(1,2,(3), 向量c与z轴垂直，且满足c(a=9, c(b=(4，则c= 13、已知PA、PB、PC两两垂直且PA=，PB=，PC=2，则过P、A、B、C四点的球的体积为 。
14、已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2cm, 高为4cm，过BC作一个截面，截面与底面ABC成60(角，则截面的面积是 三、解答题 15、 在立体图形P-ABCD中，四边形ABCD是(DAB=60(，且边长为a的棱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD。 （1）若G在AD边的中点，求证：BG(平面PAD； （2）求证AD(PB； （3）求二面角A-BC-P的大小； （4）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F， 使平面DEF(平面ABCD，并证明你的结论。
16、在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，AC⊥BC，PA，PB与平面ABC所成角分别30(或45(，（1）问直线PC与AB能否垂直？证明你的结论；（2）若P到底面距离为h，求P到直线AB的距离。
17、已知四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，求这个四面体体积的所有可能的值。
18、四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60(，在四边形ABCD中，(D=(DAB=90(，AB=4，CD=1，AD=2。 （1）建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标； （2）求异面直线PA与BC所成的角； （3）若PB的中点为M，求证：平面AMC(平面PBC。
单元测试题答案
一、选择题
1-5、CBBCC；6-10、CCBCD
二、填空题
11、 12、（） 13、 。 14、. 三、解答题
15、解：（1） 在菱形ABCD中，(DAB=60(，G是AD的中点，知BG(AD，又平面PAD(平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BG(平面PAD。 （2）连结PG，因(PAD为正三角形，G为AD中点，得PG(AD，由（1）知BG(AD，PG∩BG=G，∴AD(平面PGB，又PB(平面PGB，故AD(PB。 （3）由（1）（2）知，AD(PB，所以BC(PB，BC(BG，故(PBG就是二面角A-BC-P的平面角。在(PAD中，PG=，在菱形ABCD中，BG=，所以在Rt(PGB中，(PBG=45(，因此，二面角A-BC-P的大小为45(。 （4）取PC的中点为F，连结DE，EF，DF，则EF∥PB，GB∥DE，而EF∩DE=E，所以DEF∥平面PGB。由（1）知，PG(平面ABCD，所以，平面PGB(平面ABCD，故平面DEF(平面ABCD。 16、解：（1）直线PC与AB不能垂直。假设PC与AB垂直。作PD(平面ABC于D，则CD(AB。又PA(AC，PB(BC，∴DA(AC，DB(BC，又AC(BC，可知ABCD是矩形。已证CD(AB，可知ABCD是正方形，这样Rt(PAD(Rt(PDB，(PAD-=(PBD，这与已知条件PA，PB与底面所成角分别为30(和45(矛盾，因此直线PC与AB不能垂直。 （2）作DM(AB于M，连结PM，则PM(AB，PM的长是点P到AB的距离，PD=h，(PAD=30(，(PBD=45(，，。 在Rt(PDM中，PM=即P到AB的距离为 17、解：根据已知条件及构成三角形的条件满足要求的四面体应分为三类。
（1）如图1，四面体各棱AB=AC=AD=2，BC=CD=BD=1，则AO=，所以四面体的体积V=。 （2）如图2，四面体各棱AC=AD=2，AB=1，BC=BD=2，CD=1，设M、N分别为AB、CD的中点，AM=。。 四面体的体积为V= （3）如图形，四面体各棱AB=AC=AD=2，BD=BC=2，CD=1，设M、N分别为AB、CD的中点，AM=，四面体的体积为V=
故四面体的所有可能的体积为或或。 18、解：（1）以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，1，0）。算出PD=，则P（0，0，）。 （2），PA与BC所成的角为。 （3）由得AM(PB，CM(PB，有PB(平面AMC，从而得证。