第四章 指数函数与对数函数 能力提升卷-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含解析）

高一数学第四章《指数函数与对数函数》能力提升卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
3．设，，，则a，b，c大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数是奇函数，则a的值为（ ）
A．1 B．－1
C．±1 D．0
5．已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（1，4）
6．高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且）有且仅有 个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a8．已知定义在R上的函数满足，当时，，函数，若函数在区间上恰有8个零点，则a的取值范围为（　　）
A．（2，4） B．（2，5） C．（1，5） D．（1，4）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．已知函数(为常数，其中)的图象如图，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，，若存在，使得，则的取值可以是（ ）
A．－4 B．－2 C．2 D．3
11．已知函数f(x)＝，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
12．已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分.共20分．
13．函数的定义域是_________．
14．若函数在上的最大值为4，则a的取值范围为________．
15．已知，则________．
16．设函数在区间上的最大值为，若，则实数t的最大值为___________.
四、解答题(70分)
17．设.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
18．给出下列三个条件：①周期为1的函数：②奇函数；③偶函数．请逐一判断并筛选出符合题意的一个条件（均需说明理由），补充在下面的问题中，并求解．
已知函数是______．
（1）求的值；
（2）求不等式的解集．
19．某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)．
（1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
20．设函数，且．
（1）求的值；
（2）若令，求实数t的取值范围；
（3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值．
21．（1）计算；
（2）若，求的值．
22．已知函数.
（1）用定义证明：函数在区间]上为减函数，在区间[0，上为增函数；
（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．C
由题意得，解得，
即函数的定义域是.故选：C.
2．A令，即，所以，因此x＝10，所以函数的零点为10，故选：A.
3．B
，即，，
而，所以，
故选：B．
4．C
因为是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即恒成立，所以，即 恒成立，所以，即．
当时，，定义域为，且，故符合题意；
当时，，定义域为，且，故符合题意；
故选：C.
5．A
由题意知：在[3,4]上的最大值大于或等于在[4,8]上的最大值即可．
当时，，
由对勾函数的性质得：在[3,4]上单调递增，故．
当时，单调递增，则，
所以，可得．
故选：A
6．D
7．A
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
8．A
由图像知，当时，图像有5个交点，故在上有3个交点即可，则；
故，解得；
故选：A．
9．BD
10．AB
当时，，即，
则的值域为，
当时，，
则的值域为，
若存在，使得，
则，若，则或，解得或.所以当时，的取值范围为.
故选：AB
11．CD
方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知，当时有两个交点，当a>1时有且只有一个交点.
故选：CD.
12．AD
【详解】令，则，令，即，所以，
所以的解，即为函数与图象交点的横坐标，由图可知：
当时，
方程的解为，，即，，
在同一坐标系中作出函数和，的图象，
由图可知函数和，有4个交点，所以函数有4个零点.
当时，
方程的解为，即，
在同一坐标系中作出函数和的图象，
由图可知函数和有1个交点，所以函数有1个零点.
故选：AD
13．
14．
15．
解：因为，
所以，，．
故答案为：.
16．
解：由题意：在区间，为正数）上的最大值为，转化为，
当时，
则有：
那么：①
当或时，
或
只需要，
即：
得：②
把①式代入②，
得：，
化为：，
，解得．
的最大值为．
故答案为：．
17． (1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝＝3，
f(π)＝3π，g(－π)＝＝3π，
f(m)＝3m，g(－m)＝＝3m.
18．（1）；（2）
解：（1）函数，的定义域为，
若选①：是周期为1的函数，则，
即，无解，不合题意；
若选②：为奇函数，则，
即，方程无解，不合题意；
若选③：为偶函数，则在定义域上恒成立，
即，
整理可得，解得，
此时为偶函数；
所以
（2）由，可得，
①，即，解得；
②，即，此时无解．
综上所述，不等式的解集为．
19．（1）f(x)＝；（2）475件．
（1）当05时，产品只能售出500件．
所以,
即f(x)＝.
（2）当0所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值，
f(x)max＝10.781 25(万元)．
当x>5时，f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)．
故当年产量为475件时，当年所得利润最大．
（1）；
（2），又，，，所以t的取值范围为；
（3）由，
令，，
当时，，即，解得，
所以
，此时；
当时，，即，
，此时．
21．（1）-5；（2）14.
（1）0.3﹣1﹣36+33+136+27+15．
（2）若，∴x2＝6，x4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．
22．解：（1），设，，，且，
，
，
则，，，，
，
，即，函数在区间，上为减函数，
同理可证，函数在区间，上为增函数，
故函数在区间，上为减函数，在区间，上为增函数；
（2）为上的偶函数.
证明：，
为上的偶函数.
（3），
对一切实数恒成立，
则
不妨令，则，
当且仅当时，即时取等号，，
即实数的取值范围