直线和圆的方程
1．“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．直线经过定点（ ）
A． B． C． D．
3．若直线与直线垂直，则a的值为（ ）
A．-3 B．1 C．3 D．5
4．直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．下列图形中，对直线的倾斜角与斜率描述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．过直线上一点作圆的切线，切点为．则四边形的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知圆与圆，则两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
9．(多选)已知直线，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则
D．当时，不经过第一象限
10．(多选)已知圆：，则（ ）
A．圆关于直线对称
B．圆被直线截得的弦长为
C．圆关于直线对称的圆为
D．若点在圆上，则的最小值为5
11．(多选)圆：和圆：的交点为，，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为
B．过直线上任意一点作圆：的切线，与圆切于点，则线段长度的最小值为
C．公共弦的长为
D．圆：与圆关于直线对称
12．(多选)已知圆，点，则下列说法正确的有（ ）
A．圆上有且只有两点到点的距离为
B．圆上存在点，使得
C．若为圆上一动点，则的取值范围为
D．过点可作直线与圆交于两点，使得
13．直线过点和点，则该直线的斜率为______；
14．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线斜率的取值范围是___________
15．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______.
16．已知点，，点是圆上的任意一点，则的最大值是_______.
17．已知点，，动点满足．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线 经过点且与曲线只有一个公共点，求直线 的方程．
18．在中，三个顶点的坐标分别为，，.
(1)求直线的方程；
(2)求边上的高所在直线的方程；
(3)求的平分线所在直线的方程．
19．已知圆和直线.
(1)判断直线与圆的位置关系；
(2)求直线被圆截得的最短弦长及此时直线的方程.直线和圆的方程
1．“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线与圆的位置关系求出a的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义解出.
【详解】由题知，圆的圆心为，半径为1，
设圆心到直线的距离为
则，解得：或.
由此可知，“”是“或”的充分不必要条件，故选：A.
2．直线经过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令求解.
【详解】解：令，得，此时，
所以直线经过定点，故选：D
3．若直线与直线垂直，则a的值为（ ）
A．-3 B．1 C．3 D．5
【答案】C
【分析】根据两直线垂直列方程，化简求得的值.
【详解】由于两条直线垂直，
所以，解得.故选：C
4．直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将两直线方程联立，解方程组即可求解.
【详解】联立方程组，解得：，
所以直线与直线的交点坐标是，故选：.
5．下列图形中，对直线的倾斜角与斜率描述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角定义及倾斜角与斜率的关系可以判断.
【详解】对于:倾斜角为钝角, 且,则,与已知矛盾, 故错误;
对于:倾斜角定义:轴正向与直线向上的方向之间所成的角为倾斜角, 倾斜角错误,故错误;
对于:倾斜角为钝角, 且,则,,故正确;
对于:倾斜角定义:轴正向与直线向上的方向之间所成的角为倾斜角, 倾斜角错误,故错误;
故选: .
6．过直线上一点作圆的切线，切点为．则四边形的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由切线性质可得，由勾股定理表示出，进而得解.
【详解】如图，由切线性质可知，，所以，圆的标准方程为，圆心为，半径为，点到直线距离，，要使最小，需使，故.
故选：C
7．直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】化简曲线方程，根据方程确定曲线形状，位置及大小，根据直线与曲线的位置关系，列不等式求的取值范围.
【详解】方程可化为且，所以曲线的轨迹为原点为圆心，半径为1的圆上横坐标为非负实数的点的集合，
因为直线：表示与平行的直线系，为直线在轴上的截距，
作出曲线和直线，对应的图象如下，
从图中可知在，之间的平行线都与圆有两个交点，（包含，不包含直线），
设的方程为，直线的方程为，其中，
因为直线过点，所以，即，
又到直线的距离为，所以，又，所以，
所以当时，直线与曲线有两个公共点，
所以实数的取值范围是．故选：D．
8．已知圆与圆，则两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】D
【分析】分别将两圆化成标准方程，求出圆心距并和两半径差与和相比较即可求解.
【详解】因为圆可化为：，
圆心坐标为，半径；
圆可化为：，
圆心坐标为，半径；
圆心距，因为，
所以圆与圆内切，故选：.
9．(多选)已知直线，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则
D．当时，不经过第一象限
【答案】BCD
【分析】对于AB，根据线线位置关系判断即可；对于C，由题得即可解决；对于D，数形结合即可.
【详解】由题知，直线
对于A，当时，，解得或，故A错误；
对于B，当时，，解得，故B正确；
对于C，在直线中，
当时，，当时，，
所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确；
对于D，由题知当时，的图象为
故D正确；故选：BCD
10．(多选)已知圆：，则（ ）
A．圆关于直线对称
B．圆被直线截得的弦长为
C．圆关于直线对称的圆为
D．若点在圆上，则的最小值为5
【答案】BCD
【分析】利用圆的方程可求得圆心与半径，由直线不过圆心即可判断A；求出圆心到直线的距离，进而求得弦长，即可判断B；设圆关于直线对称的圆的圆心为，列方程组求出，由此可得所求圆的方程，即可判断C；表示与点的距离，求得，进而可得所求的最小值，即可判断D．
【详解】圆的一般方程为，
，故圆心，半径为＝5，
，则直线不过圆心，故A错误；
点到直线的距离，
则圆被直线截得的弦长为，故B正确；
设圆关于直线对称的圆的圆心为，
则，解得，即，
故圆关于直线对称的圆的方程为，即，故C正确；
表示与点的距离，又，
的最小值是，故D正确．故选：BCD．
11．(多选)圆：和圆：的交点为，，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为
B．过直线上任意一点作圆：的切线，与圆切于点，则线段长度的最小值为
C．公共弦的长为
D．圆：与圆关于直线对称
【答案】ABD
【分析】对于A，将两圆方程相减即可；
对于B，切线段长，圆半径为定值，故令最小即可，而的最小值，就是到直线的距离；
对于C，求出圆或圆的圆心到直线的距离，利用圆的弦长公式求解即可；
对于D，判断两圆半径是否相同，圆心是否关于直线对称即可.
【详解】对于A，由已知两圆相交，将两圆方程相减得，即，
∴公共弦所在直线方程为，故选项A正确；
对于B，由选项A的判断知，直线的方程为，
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，直线与圆相离，
过作圆的切线，与圆切于点，则，
∵，∴，
∴线段长度的最小值为，故选项B正确；
对于C，圆：的圆心，半径，
由选项A的判断知，公共弦所在直线方程为，
圆心到公共弦所在直线的距离，
∴公共弦长，故选项C错误，
对于D，圆：的圆心，半径，
由选项C的判断知，圆的圆心，半径，
两圆心连线的斜率，直线的斜率，
∵，∴两圆心连线与直线垂直，
又∵中点在直线上
∴圆与圆的圆心关于直线对称，
又∵，∴圆与圆关于直线对称，故选项D正确.故选：ABD.
12．(多选)已知圆，点，则下列说法正确的有（ ）
A．圆上有且只有两点到点的距离为
B．圆上存在点，使得
C．若为圆上一动点，则的取值范围为
D．过点可作直线与圆交于两点，使得
【答案】BCD
【分析】A选项可以先求到圆心的距离，从而可以得出到圆上一点的距离的范围，进而进行判断；
B选项可以通过寻找相切的位置进行判断；
C选项可对向量拆分，然后根据数量积的定义计算；
D选项，先假设存在这样的直线，利用与垂径定理，说明圆心到直线的距离小于半径的情况下能保证成立即可.
【详解】A选项，由题意，圆的圆心为，半径，到圆心的距离为：，故到圆上一点的距离的最大值为，最小距离为，即与圆心连线所在直线和圆的两个交点处，距离取到最值，因此圆上只有一点到点的距离为，A选项错误；
B选项，当直线恰和圆相切于点时，由，则，此时，B选项正确；
C选项，，当在圆上任运动时，，即，故，则，C选项正确；
D选项，先假设存在这样的直线，过作，垂足为，由垂径定理可得，，由选项可知，，于是，设，由勾股定理，，解得，此时，故这样的直线确实存在，D选项正确.
故选：BCD
13．直线过点和点，则该直线的斜率为______；
【答案】
【分析】根据两点求斜率的方法求得正确答案.
【详解】直线的斜率为.故答案为：
14．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线斜率的取值范围是___________
【答案】
【分析】由圆的方程可求得其圆心和半径，当圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，只需要找出临界位置使圆心到直线距离为即可求出斜率的取值范围.
【详解】将圆化成标准方程为，
则圆心坐标为,半径；
若圆上恰有三个不同的点到直线的距离为，
则需满足圆心到直线的距离为，即，解得.
此时直线如下图中两条虚线所示，
当直线被夹在第一象限的两虚线之间时，有四个不同的点到直线的距离为，
所以，当圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，需满足，
即直线斜率的取值范围是.故答案为：
15．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______.
【答案】（答案不唯一，写其它三条均可）
【分析】先判断两圆的位置关系，可设公切线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组，解之即可得出答案.
【详解】解：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则，
所以两圆外离，
由两圆的圆心都在轴上，则公切线的斜率一定存在，
设公切线方程为，即，
则有，
解得或或或
所以公切线方程为或或或，
即或或或.
故答案为：.（答案不唯一，写其它三条均可）
16．已知点，，点是圆上的任意一点，则的最大值是_______.
【答案】12
【分析】设点，根据题意可得，然后根据向量的坐标运算得到的式子，即可得到其最大值.
【详解】设点，因为点是圆上的任意一点，
则
由点，可得
所以，其中
当时，故答案为:
17．已知点，，动点满足．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线 经过点且与曲线只有一个公共点，求直线 的方程．
【答案】(1)；(2)或．
【分析】（1）设，根据两点间距离公式结合条件即得；
（2）由题可知直线与圆相切，分斜率存在和不存在讨论，结合点到直线的距离公式即得.
【详解】（1）设，因为点，，动点满足，
所以，
整理得，即，
所以曲线方程为；
（2）由，可知曲线为圆心为，半径为4的圆，
所以直线 与圆相切，
当直线的斜率不存在时，直线，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线，即，
则，解得，
所以直线的方程为，即，综上，直线的方程为或．
18．在中，三个顶点的坐标分别为，，.
(1)求直线的方程；
(2)求边上的高所在直线的方程；
(3)求的平分线所在直线的方程．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）利用两点求出斜率，用点斜式直接写出结果后整理化简即可；
（2）由两直线垂直可知，先得到，再由点斜式直接写出结果后整理化简；
（3）利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两端的距离相等，直接找出角平分线上一点满足的关系，并结合图形排除不符合的情况.
【详解】（1）依题意得，直线的方程为，即；
（2）依题意，，由两直线垂直可知，，结合上一问，，故，于是所在直线方程为：，即；
（3）设平分线上的任意一点，又顶点、、，
，所以直线方程为，即，
，直线的方程为，即，由角平分线的性质可知：点到直线距离等于点到直线距离，，故，即或．结合图形，得，即，直线的斜率为，不符题意，故舍去．故的平分线所在直线的方程为．
19．已知圆和直线.
(1)判断直线与圆的位置关系；
(2)求直线被圆截得的最短弦长及此时直线的方程.
【答案】(1)相交；(2)，
【分析】（1）根据直线过定点以及点与圆的位置关系即可得到结果；
（2）当当直线时，直线被圆截得的弦长最短，结合弦长公式即可得到最短弦长及直线的方程.
【详解】（1）因为直线，即恒过定点
又因为圆，即
即圆心，半径为
因为
所以点在圆内，即直线与圆相交.
（2）当直线时，直线被圆截得的弦长最短，
此时可得弦长的一半为
即最短弦长为
又因为点横坐标相同，故直线轴，
则直线的斜率为
所以直线的方程为
