空间向量与立体几何
1．若点，点，且，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，且，则m =（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
3．下列选项中与平行的一个向量坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在三棱锥中，平面，，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，为平面的一个法向量，则的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线l经过点，平面的一个法向量为，则（ ）
A． B．
C． D．l与相交，但不垂直
6．如图所示，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在三棱柱中，如图所示，侧棱底面，点是的中点，是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，则取最小值时的值是（ ）
A． B． C． D．
9．(多选)如图，在长方体中，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，，P，D三点共线
B．当时，
C．当时，平面
D．当时，平面
10．(多选)如图，为正方体，下面结论正确的是（ ）
A．平面
B．与平面所成的角的正弦值为
C．平面
D．异面直线与所成的角为
11．(多选)已知正方体， 分别为，，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行
C．平面与平面垂直 D．点C和点到平面的距离相等
12．(多选)如图，已知正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，点在上，平面，则以下说法正确的是（ ）
A．点为的中点
B．三棱锥的体积为
C．直线与平面所成的角的正弦值为
D．过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是
13．若两个向量，，则平面ABC的一个法向量为________;
14．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则的值为___________.
15．若空间中三点、、共线，则__________.
16．如图，在三棱锥中，已知，，设，则的最小值为______.
17．在长方体中，已知，，连接，如图，建立空间直角坐标系.
(1)在图中标出点的位置；
(2)求与的坐标；
(3)求向量在平面上的投影向量的坐标.
18．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，点M、N分别是AA1、A1C1的中点，点P在棱A1B1上，且A1P=3PB1，Q为BP的中点，
(1)求证：；
(2)求MN与BP所成角的余弦值；
(3)求NQ的长.
19．已知向量，，求：
(1)；
(2)若，则的值；
(3)若，则的值.
20．如图，四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的大小.空间向量与立体几何
1．若点，点，且，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设，根据列方程组即可求解.
【详解】设，则，
因为，所以，解得.
故点的坐标为.故选:A.
2．已知，且，则m =（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】A
【分析】由向量坐标的乘法运算即可求得.
【详解】因为且
所以解得.故选：A
3．下列选项中与平行的一个向量坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量共线的坐标运算即可求解.
【详解】与平行的向量为，其中，
所以当时，，故选项C满足，其他选项均不符合，故选：C
4．如图，在三棱锥中，平面，，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，为平面的一个法向量，则的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出，根据法向量求解公式列方程即可求解．
【详解】依题意得，，则
设，则
，取则，所以故选：D
5．已知直线l经过点，平面的一个法向量为，则（ ）
A． B．
C． D．l与相交，但不垂直
【答案】B
【分析】根据平面的法向量与直线的方向向量的关系即可求解.
【详解】因为直线l经过点，
所以，又因为平面的一个法向量为，
且，所以平面的一个法向量与直线l的方向向量平行，
则，故选：.
6．如图所示，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性表示与运算法则，把用、、表示即可．
【详解】由题意知，．
故选：．
7．在三棱柱中，如图所示，侧棱底面，点是的中点，是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，从而求得的坐标表示，进而利用空间向量夹角余弦的坐标表示求得所求.
【详解】因为在直三棱柱中，，
所以易得两两垂直，则以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
因为，所以，
又点分别是的中点，所以，，
故，
设与所成的角为，
则．
所以与所成角的余弦值为．
故选：B．
.
8．已知，，则取最小值时的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的坐标运算先求出，再根据向量模的计算公式和二次函数的性质即可求解.
【详解】因为，，
所以，
则，
由二次函数的图象和性质可知：当时，取最小值，故选：.
9．(多选)如图，在长方体中，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，，P，D三点共线
B．当时，
C．当时，平面
D．当时，平面
【答案】ACD
【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式，求得点的坐标，根据空间向量公式，可得答案.
【详解】由题意，如图建系：
则，
，
设，，则，
可得，
，
对于A：当时，则点P为对角线的中点，
根据长方体性质可得三点共线，故A正确；
对于B：当时，
∴，解得，
所以，
则，
因此不正确，故B错误；
对于C：当时，，
设平面的法向量为，
，
∴，，
当时，，，故，
∴，∴，
又平面，∴平面，故C正确；
对于D：当时，可得，，
设平面的法向量为，
则，，
取，则，∴，
而，∴，∴平面，故D正确．故选：ACD
10．(多选)如图，为正方体，下面结论正确的是（ ）
A．平面
B．与平面所成的角的正弦值为
C．平面
D．异面直线与所成的角为
【答案】ACD
【分析】以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可逐个证明.
【详解】以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，为正方体，设边长为1，
则，，，，，，，，
对A，， ，又∵平面，∵平面，∴平面，A对；
对B，，，，由得为平面的法向量，
，故与平面所成的角的正弦值为，B错；
对C，由B得，同理可证为平面的法向量，故平面，C对；
对D，，，∴异面直线与所成的角的余弦值为，故所成角为，D对.故选：ACD
11．(多选)已知正方体， 分别为，，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行
C．平面与平面垂直 D．点C和点到平面的距离相等
【答案】BC
【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量的坐标，求出平面平面与平面的法向量，根据空间位置关系的向量方法，可判断,利用空间距离的向量求法可判断D.
【详解】如图，以A为原点，以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系：
设正方体棱长为2，则，
故 ,
由于，故不垂直，
即直线与直线不垂直，A错误；
又 ,
所以,, ，
设平面的法向量为 ，则 ，
取 ，则 ，即 ，
故 ，而平面，∴直线与平面平行，故B正确；
,
设平面的法向量为 ，则 ，
取 ，则 ，即 ，
因为，故平面与平面垂直，C正确；
,则点C到平面的距离为 ，
,则点到平面的距离为,
即点C和点到平面的距离不相等，D错误，故选：
12．(多选)如图，已知正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，点在上，平面，则以下说法正确的是（ ）
A．点为的中点
B．三棱锥的体积为
C．直线与平面所成的角的正弦值为
D．过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是
【答案】ABC
【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面EFG的法向量，由列出方程，求出，得到点为的中点；
B选项，求出点到平面EFG的距离，利用余弦定理及三角形面积公式得到，得到三棱锥的体积；
C选项，利用空间向量求解线面角的大小；
D选项，作出辅助线得到过点、、作正方体的截面为正六边形，得到其面积即可.
【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面EFG的法向量为，
则，
令，则，故，
A选项，设，则，
因为平面，
所以，即，
解得：，
故，故，
，
所以，则点为的中点，A正确；
设点到平面EFG的距离为d，
则，
又，，，
即，
由余弦定理得：，
故，则，
由三角形面积公式可得：，
故三棱锥的体积为，B正确；
，设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为，C正确；
取的中点，的中点，的中点，连接，
则过点、、作正方体的截面，截面为正六边形，边长为，
正六边形的面积为
则截面面积为，D错误.
故选：ABC
13．若两个向量，，则平面ABC的一个法向量为________;
【答案】
【分析】根据法向量与平面内的向量垂直，利用向量垂直的坐标运算即可求解.
【详解】设平面ABC的法向量为，则，即，两式子相减得，进而得，所以其中，取，则故答案为：
14．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则的值为___________.
【答案】##
【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.
【详解】.故答案为：
15．若空间中三点、、共线，则__________.
【答案】
【分析】、、三点共线，则，求出与的坐标，用空间向量共线的坐标表示进行运算即可.
【详解】∵、、三点共线，
∴，即，
，
∴
∴，解得，
∴.故答案为：.
16．如图，在三棱锥中，已知，，设，则的最小值为______.
【答案】
【详解】试题分析：设，，，∵，∴
，又∵，∴，
∴，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是．
考点：1．空间向量的数量积；2．不等式求最值．
【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．
17．在长方体中，已知，，连接，如图，建立空间直角坐标系.
(1)在图中标出点的位置；
(2)求与的坐标；
(3)求向量在平面上的投影向量的坐标.
【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)
【分析】（1）根据长方体内各点的位置关系即可得到点的位置.
（2）表达出与，即可得到与的坐标.
（3）由几何知识得，向量在平面上的投影向量为，表达出，即可得到投影向量的坐标.
【详解】（1）由题意及图，标出点的位置如图中所示：
（2）由题意，（1）及图得，
在长方体中， ，
设分别为方向上的单位向量，
则，
，
∴.
（3）由题意，（1），（2）及图得，
在长方体中， ，，
连接，则向量在平面上的投影向量为.
又，∴.
18．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，点M、N分别是AA1、A1C1的中点，点P在棱A1B1上，且A1P=3PB1，Q为BP的中点，
(1)求证：；
(2)求MN与BP所成角的余弦值；
(3)求NQ的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【分析】（1）以A1点为坐标原点建立空间直角坐标系，写出所需点坐标，证明即可；
（2）求出，根据求解；
（3）根据空间中两点间的距离公式直接求解即可.
【详解】（1）如图，以A1点为坐标原点建立空间直角坐标系，
由题意知：A1（0，0，0），B（0，2，2），C（2，2，2），B1（0，2，0），M（0，0，1），N（1，1，0），，，
则，
所以，故.
（2）,
设MN与BP所成角为，
故.
（3）因为N（1，1，0），，
所以.
19．已知向量，，求：
(1)；
(2)若，则的值；
(3)若，则的值.
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】(1)根据空间向量的坐标运算即可求解；
(2)根据向量平行的条件列出方程，解之即可求解；
(3)根据向量垂直的充要条件，列出方程，解之即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）因为，，
所以，，
又因为，所以，
解得：.
（3）因为，，
且，所以，解得：
20．如图，四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）由题意可得，然后根据线面平行的判定定理即可得到结果；
（2）以点为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，结合法向量即可求得二面角的大小.
【详解】（1）因为在四棱锥中，，所以，
因为平面，平面，所以平面
（2）
因为平面平面，且平面平面，
又因为，所以平面，
以点为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为
由，解得，令，则
所以
又因为平面，平面的一个法向量
设平面与平面所成角为，
则
显然二面角为锐角，所以，即
所以平面与平面所成角为.
