第一章 空间向量与立体几何 单元检测（含答案）

第一章 空间向量与立体几何单元检测
一、单选题
1．下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．任意两个空间向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
2．已知三棱锥中，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．在长方体中，若，则向量在基底下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知空间向量，，，若，则（ ）
A．2 B． C．14 D．
7．已知，，则取最小值时的值是（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
9．给出下列命题,其中正确的有（ ）
A．已知向量,则
B．若向量共线,则向量所在直线平行或重合
C．已知向量,则向量与任何向量都不构成空间的一个基底
D．为空间四点,若构成空间的一个基底,则共面
10．已知空间向量，.则下列结论正确的是（ ）
A．与，共面 B．
C．在上的投影向量的模长是 D．与夹角的余弦值为
11．已知空间中三点，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是
12．如图所示，三棱锥中，为等边三角形，平面，，.点D在线段上，且，点E为线段SB的中点，以线段BC的中点为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x，y轴，过点作SA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．直线CE的一个方向向量为 B．点D到直线CE的距离为
C．平面ACE的一个法向量为 D．点D到平面ACE的距离为1
三、填空题
13．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是___________．
14．己知平行六面体中，，，，，则的长度为________．
15．如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，O为底面中心，为中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若，则与底面所成角的正弦值的取值范围是______.
16．在正三棱锥中，，为的中点，为上靠近的三等分点，在平面上，且满足，在的边界上运动，则直线与所成角的余弦值的取值范围是___________.
四、解答题
17．如图所示，在正方体中，化简向量表达式：
(1)；
(2)；
(3).
18．如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，求MN的长．
19．已知．
(1)若，求的值．
(2)若，且，求的值．
20．如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的正切值；
(3)求点到平面的距离.
21．如图,在四棱雉P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,平面ABCD,,
(1)求证:平面平面PBC;
(2)试问在线段PC上是否存在一点M,使得二面角的大小为,若存在求出的值;若不存在,请说明理由．
22．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，.
(1)求与平面所成角的正弦值；
(2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
答案
1．C
2．D
3．C
4．C
5．D
6．C
7．D
8．C
9．AB
10．ACD
11．AD
12．ABD
13．
14．5
15．
16．
17．（1）
（2）由图知，
所以
（3）由图知，
所以由（2）可得
18．（1）解：
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
，
即MN的长为.
19．（1）
，．
， ，解得
（2）由，得， ∴ ，
由，有，即， ，
解得
20．
（1）
根据题意，建立以为原点，
分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，
因为侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，
所以，
因为是棱的中点，
所以，
所以,
设平面的一个法向量为，
所以，得，令，得，
所以，
因为,
所以，
因为平面，
所以平面.
（2）由（1）得平面的一个法向量为，
由题可设平面的一个法向量为，
所以，
所以，
所以，
所以平面与平面的夹角的正切值为.
（3）由（1）得平面的一个法向量为，
所以，
所以点到平面的距离为.
所以点到平面的距离为.
21．（1）证明:,
,
,
四边行为平行四边形,
,
又平面,
,
而,且BD,PD含于面PBD
平面,
又平面,
平面平面;
（2）由(1)知,,且平面ABCD,
故以D为原点,分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,
则,
假设在存在一点满足条件,
设,
,
,
即,
设为平面的法向量,
则,
即,
即,
令,
可得,
平面ABCD,
不妨令平面的法向量为,
由二面角的大小为,
,
或（舍去）,
存在实数,
即,
解得,使得二面角的大小为．
22．（1）证明：取棱AB长的一半为单位长度.
则在中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，根据余弦定理，
得
得，故AB⊥AC.
又PB⊥AC，PB∩AB=B，平面PAB，AB平面PAB，故AC⊥平面PAB.
又平面ABCD，AC⊥平面PAB，则平面ABCD⊥平面PAB.
取AB中点H，连接PH，CH.
因是等边三角形，则PH⊥AB，又PH 平面PAB，
平面ABCD 平面PAB，平面ABCD⊥平面PAB，故PH⊥平面ABCD.
得∠PCH是CP与平面ABCD所成的角.
在直角三角形中，，
，.
故，即为所求.
（2）假设存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.
如图，以A为原点，分别以为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz，
则，
，
设是平面PAD的法向量，则
，取.
设，其中.
则
连接EF，因AC∥平面BEQF，，平面PAC∩平面BEQF=EF，
故AC∥EF，则取与同向的单位向量.
设是平面BEQF的法向量，
则，
取.
由平面BEQF⊥平面PAD，知，有，解得.
故在侧棱PD上存在点Q且当时，使得平面BEQF⊥平面PAD.