《立体几何》复习学案[上学期]
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文档简介
第九章 直线、平面、简单几何体
高中新课程复习导学 高三第一轮复习资料·数学
【知识网络】
第66课时 平面、空间两条直线
【考点目标】
1.掌握平面的基本性质,会利用性质证明简单的共点、共线、共面问题.
2.了解空间两条直线的位置关系;掌握两条直
线所成的角和距离的概念,会计算给出的异面直线的公垂线段的长.
【目标解读】
1、 平面：几何里的平面是无限延伸的。
2、 平面的基本性质：平面的基本性质包括三个公理有三个推论，它们是立方体几何的
理论基础。
（1）、公理1是判断直线在平面内的依据。
（2）、公理2是判断两平面相交、作两个平面的交线、证明点在直线上或多点共线的依据。
（3）、公理3及其推论均是确定平面的依据，所谓“确定”是“有且只有”或“存在且唯一”的意思。
3、斜二测画法是画水平放置的平面直观图的方法。
4、空间两条直线的位置关系包括：平行、相交与异面。
5、平行直线：掌握三线平行公理、等角定理及其推论。
6、异面直线：掌握异面直线的概念、异面直线的判定、异面直线所成的角及其异面直线的距离。
【典例分析】
［例1］回答下列问题：
(1)若a∥b,b∥c,那么a∥c吗？a、b、c共面吗？
(2)过直线外一点作该直线的平行线,能作几条？怎样作法？
(3)过直线外一点作该直线的垂线,能作几条？
(4)分别和两条异面直线都相交的两条直线,其位置关系如何？
(1)【分析】由平行公理知,a∥c.但a,b,c不一定共面,例如平行六面体中相互平行的棱.
【答案】a∥c,a,b,c不一定共面.
(2)【解析】由平行公理可知,这样的直线有且只有一条.可在直线和直线外一点确定的平面内.用平面几何知识作已知直线的平行直线.
【答案】1条.
(3)【解析】过直线外一点作该直线的垂面,则该平面内任何一条过已知点的直线都符合要求.
【答案】无数条.
(4)【解析】当有四个交点时(图9—1)可用反证法证明AB、CD为异面直线;当有三个交点时(图9—2),AB、AC为相交直线.
图9—1 图9—2
【答案】异面或相交 .
［例2］如图9—3,四面体AB—CD中,E、G分别为BC、AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=2∶3,DH∶HA=2∶3.
求证：EF、GH、BD交于一点.
图9—3
【证明】连结GE、HF,
∵E、G分别为BC、AB的中点
∴GE∥AC.
又∵DF∶FC=2∶3 DH∶HA=2∶3.
∴HF∥AC ∴GE∥HF,
故G、E、F、H四点共面.
又∵EF与GH不能平行.
∴EF与GH相交,设交点为O.
则O∈面ABD,O∈面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD.
∴EF、GH、BD交于一点.
【注】证明线共点,常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法,而第三条直线又往往是两平面的交线.
［例3］如图9—4,已知α∩β=a,bα,cβ,b∩a=A,c∥a,求证b与c是异面直线.
图9—4
【证明】假设b与c不是异面直线,即b与c在同一平面γ内,则γ∩α=b,γ∩β=c,
∵a∥c,∴a∥γ,又aα,且α∩γ=b,
∴a∥b,这与b∩a=A矛盾,
因此b与c不能共面,故b、c为异面直线.
【注】 反证法是一种重要的证明问题的方法,其一般步骤为：1°否定结论AB C.2°而C不合理(与公理、定理、题设矛盾),因此假设错误.3°肯定原结论成立.
【课堂精练】
1、下列命题哪个是真命题( )
A.空间不同三点确定一个平面
B.空间两两相交的三条直线确定一个平面
C.空间任何有三个内角是直角的四边形是平面四边形
D.和同一直线都相交的三条平行直线在同一平面内
2、如图9—5,直线a,b相交于O,且a,b成60°角,过O与a,b都成60°角的直线有( )
图9—5
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
3、如图9—6,正方形ABCD—A1B1C1D1的棱长为a, 那么：(1)哪些棱所在直线与直线BA1成异面直线？ .
图9—6
(2)直线BA1与CC1所成的角大小为 .
(3)直线BA1与B1C所成角的大小为 .
(4)异面直线BC与AA1的距离为 .
(5)异面直线BA1与CC1的距离是 .
4、在二面角α—l—β中, A、B∈α,C、D∈l, ABCD是矩形,P∈β,PA⊥α,且PA＝AD,M、N依次是AB、PC的中点.
(1)证明：MN是异面直线AB和PC的公垂线;
(2)求异面直线PA与MN所成的角.
【学习领悟】
【课外提高】
1.两条相交直线l、m都在平面α内且都不在平面β内.命题甲：l和m中至少有一条与β相交,命题乙:平面α与β相交,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.非充分非必要条件
2.a、b为异面直线,且分别在平面α、β内,若α∩β=l,则直线l必定( )
A.分别与a、b相交 B.至少与a、b之一相交
C.与a、b均不相交 D.至多与a、b之一相交
3.一个四边形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底的长均为1的等腰梯形,那么原四边形的面积是_____.
4.(2003年高考·上海)在正四棱锥P—ABCD中,若侧面与底面所成二面角的大小为
60°,则异面直线PA与BC所成角的大小等于_____.(结果用反三角函数值表示)
5.已知△ABC在平面α外,它的三边所在直线分别交平面α于P、Q、R,求证：P、Q、R三点共线.
6、三个平面两两相交,有三条交线,求证这三条交线相交于一点或互相平行
第67 课时 直线与平面平行
【考点目标】
掌握空间直线和平面的位置关系以及直线与平面平行的性质定理和判定方法,并用以论证和解决有关问题.
【目标解读】
1、直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行。
2、直线与平面平行的判定
（1）、直线与平面平行的判定：直线与平面平行的判定，除用定义外，主要是用判定定理，此外还用到其它特殊位置关系的性质定理。
①（定义）如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。
②（判定定理）如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和平面平行。
③如果平面外的两条平行直线中有一条和平面平行，那么另一条也和这个平面平行。
④如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面。
⑤一个平面和不在这个平面内的一条直线都垂直于另一个平面，那么这条直线平行于这个平面。
（2）直线和平面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
【典例分析】
［例1］如图9—7,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB,且AM=FN,求证：MN∥平面BCE.
图9—7
【证法一】过M作MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q为垂足(图9—11),连结PQ,
∵MP∥AB,NQ∥AB,∴MP∥NQ,又NQ=BN=
CM=MP,
∴MPQN是平行四边形.
∴MN∥PQ,PQ 平面BCE.
而MN 平面BCE,∴MN∥平面BCE.
【证法二】过M作MG∥BC,交AB于G(如图9—8),连结NG,
图9—8
∵MG∥BC,BC平面BCE.
MG平面BCE,
∴MG∥平面BCE.
又
∴GN∥AF∥BE,同样可证明GN∥平面BCE.
面MG∩NG=G,
∴平面MNG∥平面BCE.又MN 平面MNG,
∴MN∥平面BCE.
【注】 证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法①利用直线和平面平行的判定定理,通过“线线”平行,证得“线面”平行;②利用两平面平行的性质定理,通过“面面”平行,证得“线面”平行.
［例2］如图9—9,设a,b是异面直线,AB是a、b的公垂线,过AB的中点O作平面α与a、b分别平行,M、N分别是a、b上的任意两点,MN与α交于点P,求证：P是MN的中点.
【证明】连结AN,交平面α于点Q,连PQ,
∵b∥α,b 平面ABN,平面ABN∩α＝OQ,
∴b∥OQ,又O为AB的中点,
∴Q为AN的中点.
∵a∥α a平面AMN且平面AMN∩α=PQ
∴a∥PQ,
∴P为MN的中点.
【注】 本题重点考查直线与平面平行的性质.
［例3］如图9—10,四面体A—BCD被一平面所截,截面EFGH是一个矩形.
图9—10
(1)求证：CD∥平面EFGH.
(2)求异面直线AB、CD所成的角.
(1)【证明】∵截面EFGH是一个矩形,
∴EF∥GH,又GH 平面BCD.
∴EF∥平面BCD,而EF 面ACD,面ACD∩面BCD=CD
∴EF∥CD,
∴CD∥平面EFGH.
(2)【解】由(1)知CD∥EF,同理AB∥FG,由异面直线所成角的定义知∠EFG即为所求的角.
∴AB、CD所成角为90°.
【注】 欲证线面平行,可先证线线平行,欲证线线平行,可先证线面平行,反复运用直线与平面平行的判定、性质,在同一题中也经常用到.
【课堂精练】
1.直线a与平面α内的两条直线都垂直,则a与α的位置关系是( )
A.垂直 B.平行
C.斜交 D.上述都有可能
2.关于直线a、b、l以及平面M、N,下列命题中正确的是( )
A.若a∥M,b∥M,则a∥b
B.若a∥M,b⊥a,则b⊥M
C.若aM,bM,且l⊥a,l⊥b,则l⊥M
D.若a⊥M,a∥N,则M⊥N
3..在四面体ABCD中,M、N分别是面△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是 .
4、四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,侧面PBC内,有BE⊥PC于E,且BE=a,试在AB上找一点F,使EF∥平面PAD.
【学习领悟】
【课外提高】
1.a、b是两条异面直线,A是不在a,b上的点,则下列结论成立的是( )
A.过A有且只有一个平面平行于a、b
B.过A至少有一个平面平行于a、b
C.过A有无数个平面平行于a,b
D.过A且平行a,b的平面可能不存在
2.若两直线a与b相交,且a平行于平面α,则b与α的位置关系_____.
3.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内,斜边AB∥α, AB=2,AC、BC分别和平面α成45°和30°角,则AB到平面α的距离为_____.
4.下列命题中正确的是_____.
①一直线和两条平行线中的一条垂直必和另一条也垂直;
②空间四点A、B、C、D,若直线AB和直线CD是异面直线,那么直线AC和直线BD也是异面直线;
③空间四点若不在一个平面内,则其中任意三点不在同一直线上;
④两条平行线中的一条与一个平面平行,那么另一条也平行于这个平面.
5.如图9-11，已知l是过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线,(1)求证：D1B1∥l;
(2)若AB=a,求l与D1间的距离.
图9-11
6.如图9-12，已知：△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别为AC、AB的中点,沿DE将△ADE折起,使A到A′的位置,若平面A′DE⊥平面BCDE,M是A′B的中点,求证：ME∥面A′CD.
图9—12
第 68 课时 直线与平面垂直
【考点目标】
掌握直线与平面垂直的判定与性质,正确理解点到平面的距离、平行直线到平面的距离;并会利用上述知识论证和解决有关问题.
【目标解读】
1.直线与平面垂直的判定和性质
(1)直线与平面垂直的判定
①（定义）如果一条直线和和一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。
②（判定定理1）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
③（判定定理2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
④（面面垂直的性质定理）如果两个平面垂直，那么第一平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
⑤（两平面平行的性质定理）如果两个平面平行，那么与其中一个平面垂直的直线也与另一个平面垂直。
⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。
⑦如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面。
(2)如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
2.斜线在平面上的射影
(1)过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
(2)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
(3)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
【典例分析】
【例1】 如果β⊥α,γ⊥α,β∩γ＝a,求证a⊥α.
图9—13
【证法一】设β∩α＝AB,γ∩α＝BC在平面α内任取一点P,过P作PM⊥AB,PN⊥BC
则PM⊥β,PN⊥γ
∵β∩γ＝a ∴PM⊥a,PN⊥a
∵PM α,PN α
PM∩PN＝P ∴a⊥α.
【证法二】过a上一点E,作EE′⊥α,∵E∈a,
aβ,E∈β,β⊥α
∴EE′β 同理EE′γ
∴EE′＝γ∩β
∵γ∩β＝a∴a与EE′重合,∴a⊥α.
【证法三】假设a不垂直于平面α,过a上一点E,作EE′⊥α,∵E∈a,a β,β⊥α
∴EE′β 同理EE′γ,
∴EE′＝β∩γ,这与β∩γ＝a矛盾.
∴a⊥α.
〖点评〗 选本题意在通过本题使学生掌握线面垂直的判定方法.特别是线面垂直的判定定理,在无条件情况下,要创造条件(即作垂线)把线面关系转化为线线关系.同一法、反证法也是证明线面垂直的一种方法.
［例2］如图9—14,四边形ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过A且垂直SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G,求证：AE⊥SB, AG⊥SD.
图9—14
【证明】∵平面AEFG⊥SC,∴SC⊥AE,又SA⊥平面ABCD,
∴SA⊥BC又AB⊥BC
∴BC⊥平面SAB, AE平面SAB∴BC⊥AE又AE⊥SC∴AE⊥平面SBC,
∴AE⊥SB同理可证AG⊥SD.
〖点评〗 选此题意在使学生通过此题掌握证不共面的线线垂直的方法.一般是先证线面垂直,即证其中一线垂直于过另一线的平面.合理选择平面是解题的关键.
［例3］如图9—15,ABCD为直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥平面ABCD.PA=a.
图9—15
(1)求证：PC⊥CD.
(2)求点B到直线PC的距离.
(1)【证明】取AD的中点E,连AC、CE,则ABCE为正方形,△CED为等腰直角三角形,
∴AC⊥CD.
∵PA⊥平面ABCD,
∴AC为PC在平面ABCD上的射影,∴PC⊥CD.
(2)【解】连BE交AC于O,则BE⊥AC,又BE⊥PA,AC∩PA=A,
∴BE⊥平面PAC.
过O作OH⊥PC于H,则BH⊥PC,
∵PA=a,AC=a,PC=a,
∴OH=·,
∵BO=a,
∴BH=a.
【课堂精练】
1.“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.四面体ABCD的四个面中,是直角三角形的面至多有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件__ ___时,有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况).
4．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1与AB的中点.
(1)求A1B1与截面A1ECF所成的角.
(2)求点B到截面A1ECF的距离.
【学习领悟】
【课外提高】
1.(2003年高考·新课程)下列五个正方体图形中,l是正方体的一条对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出l⊥面MNP的图形的序号是_____.(写出所有符合要求的图形序号)
2.已知直线a∥平面α,且a与α之间的距离为4m(m＞0),则到直线a的距离和到平面α的距离都为3 m的点的集合是( )
A.一个平面 B.两个相交平面
C.一条直线 D.两条平行直线
3.△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2 cm,3 cm,4 cm,且它们在α的同侧,则△ABC的重心到平面α的距离为_____.
4.(2000年高考·全国)如图,E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 ．(要求：把可能的图的序号都填上)
5.如图9—16,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面∠ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,
图9—16
求证：(1)BC⊥平面PAB;
(2)AE⊥平面PBC,
(3)PC⊥平面AEF.
6.如图9—17,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M为AB边上的一个动点,求PM的最小值.
图9—17
第69 课时 两个平面平行
【考点目标】
掌握两平面平行的判定和性质,正确理解两平行平面间的距离,并能利用上述知识解决有关问题.
【目标解读】
1.两平面的位置关系：平行和相交。
2.两平面平行的判定与性质
（1）、两平面平行的判定
①如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行。
②如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
③垂直于同一直线的两个平面平行。
④平行于同一平面的两个平面平行。
（2）两平面平行的性质
①如果两个平面平行，那么，其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
②如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
【典例分析】
［例1］如图9—18在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点,求证：
(1)AP⊥MN;
(2)平面MNP∥平面A1BD.
图9—18
【证明】(1)连BC1、B1C,则B1C⊥BC1,BC1是AP在面BB1C1C上的射影.
∴AP⊥B1C,又B1C∥MN,∴AP⊥MN．
(2)连结B1D1,∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点,
∴PN∥B1D1,又B1D1∥BD
∴PN∥BD,又PN不在平面A1BD上,
∴PN∥平面A1BD.
同理MN∥平面A1BD,又PN∩MN＝N
∴平面PMN∥平面A1BD.
【评述】 将空间问题转化为平面问题,是解决立体几何问题的重要策略,关键在于选择或添加适当的平面或线.由于M、N、P都为中点,故添加B1C、BC1作为联系的桥梁.
［例2］a和b是两条异面直线．
(1)求证：分别过a和b存在平面α和β,使α∥β．
(2)求证：a,b间的距离等于平面α与β的距离．
图9—19
【证明】(1)在直线a上取一点P,过P作b′∥b,在直线b上取一点Q,过Q作a′∥a,设a、b′确定一个平面α,a′、b确定一个平面β,a′∥a,aα,
∴a′∥α,同理b∥α,又a′、bβ,
∴α∥β,因此分别过a和b存在平面α和β,使α∥β．
(2)设AB是a和b的公垂线,则AB⊥b,AB⊥a,
∴AB⊥a′,a′和b是β内的相交直线,
∴AB⊥β．同理AB⊥α,因此a、b间的距离等于α与β间的距离．
【评述】 本题实际上提供了求异面直线间的距离的一种方法：为求两异面直线间的距离,可把两异面直线设法放置在两平行平面内,求出两平行平面间的距离．把线线距离转化为面面距离．
［例3］如图9—20,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=a.
图9—20
(1)求证：平面AD1B1∥平面C1DB.
(2)求证：A1C⊥平面AD1B1.
(3)求平面AB1D1与平面BC1D之间的距离.
(1)【证明】∵D1B1∥DB,∴D1B1∥平面C1DB,
同理AB1∥平面C1DB,
又D1B1∩AB1=B1 ∴平面AD1B1∥平面C1DB.
(2)【证明】∵A1C1⊥D1B1,而A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的射影,
∴A1C1⊥D1B1,
同理A1C⊥AB1,D1B1∩AB1=B1
∴A1C⊥平面AD1B1.
(3)【解】设A1C∩平面AB1D1=M,
A1C∩平面BC1D=N,O1、O分别为上底面A1B1C1D1、下底面ABCD的中心,
则M∈AO1,N∈C1O,且AO1∥C1O
MN的长即等于平面AD1B1与平面C1DB的距离.
即MN=A1M=NC=A1C=a.
【课堂精练】
1.若平面α∥平面β,直线aα,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数多条与a平行的直线
D.存在惟一一条与a平行的直线
2.设a,b是两条互不垂直的异面直线,过a,b分别作平面α、β,对于下面四种情况①b∥α,②b⊥α, ③α∥β,④α⊥β,可能的情况有( )
A.1种 B.2种
C.3种 D.4种
3、.a、b、c为三条不重合直线,α、β、γ为三个不重合的平面,直线均不在平面内,给出六个命题：
其中正确的命题是 (将正确的序号都填上).
4、两条线段AB、CD所在的直线是异面直线,CD 平面α,AB∥α,M、N分别是AC、BD的中点,且AC是AB、CD的公垂线段.
(1)求证：MN∥α.
(2)若AB=CD=a,AC=b,BD=c,求线段MN的长
【学习领悟】
【课外提高】
1.下列命题中,错误的是( )
A.三角形的两条边平行一个平面,则第三边也平行于这个平面
B.平面α∥平面β,aα,过β内的一点B有惟一的一条直线b,使b∥a
C.α∥β,γ∥δ,α、β、γ、δ的交线为a、b、c、d,则a∥b∥c∥d
D.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件
2.(2003年高考·上海)在下列条件中,可判断平面α与β平行的是( )
A.α、β都垂直于平面γ
B.α内存在不共线的三点到β的距离相等
C.l,m是α内两条直线,且l∥β,m∥β
D.l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β
3. 已知AB、CD是夹在两平行平面α、β之间的两条线段,AB⊥CD,AB=2,AB与平面α成30°角,则线段CD的范围是( )
A.() B.+∞
C.(1,) D.[1,+∞
4．设平面α∥β,A、C∈α,B、D∈β,直线AB与CD交于S,若AS＝18,BS＝9,CD＝34,则CS＝ .
5.如图9—36,平面α∥平面β,A、C∈α,B、D∈β,点E、F分别是线段AB、CD的中点,求证EF∥β.
图9-21
6.在四棱锥P—ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,
(1)求证：MN∥平面PAD;
(2)当MN⊥平面PCD时,求二面角P—CD—B的大小
第70 课时 两个平面垂直
【考点目标】
掌握两平面垂直的定义、判定、性质,熟练掌握两平面垂直的性质、判定的应用,并用以解决实际问题
【目标解读】
两平面垂直的判定与性质
1.两平面垂直的判定
(1)（定义）两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直。
(2)（判定定理）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
2.两个平面垂直的性质
（1）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
（2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。
【典例分析】
［例1］ 如图9—22，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=
60°,∠BSC=90°,求证：平面ABC⊥平面BSC.
图9—22
【证明】∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°.
∴AB=AC,取BC的中点O,连AO、SO,则AO⊥BC,SO⊥BC,
∴∠AOS为二面角的平面角,
设SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°,
∴BC=a,SO=a,
AO2=AC2－OC2=a2－a2=a2,
∴SA2=AO2+OS2,
∴∠AOS=90°,从而平面ABC⊥平面BSC.
【评述】要证两平面垂直,证其二面角的平面角为直角.这也是证两平面垂直的常用方法.
［例2］如图9—23,在三棱锥S—ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.
图9—23
(1)求证：AB⊥BC;
(2)若设二面角S—BC—A为45°,SA=BC,求二面角A—SC—B的大小.
(1)【证明】作AH⊥SB于H,
∵平面SAB⊥平面SBC.∴AH⊥平面SBC,
又SA⊥平面ABC,
∴SA⊥BC,SA在平面SBC上的射影为SB,
∴BC⊥SB,又SA∩SB=S,
∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.
(2)【解】∵SA⊥平面ABC,
∴平面SAB⊥平面ABC,又平面SAB⊥平面SBC,
∴∠SBA为二面角S—BC—A的平面角,
∴∠SBA=45°.设SA=AB=BC=a,
作AE⊥SC于E,连EH,则EH⊥SC,∠AEH为二面角A—SC—B的平面角,
AH=a,AC=a,SC=a,AE=a
∴sinAEH=,二面角A—SC—B为60°.
【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法
［例3］如图9—24,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD=a,M、N分别是AB、PC的中点.
图9—24
(1)求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小;
(2)求证：平面MND⊥平面PCD
(1)【解】PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,
∴PD⊥CD,故∠PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角,在Rt△PAD中,PA=AD,
∴∠PDA=45°
(2)【证明】取PD中点E,连结EN,EA,则EN CD AM，
∴四边形ENMA是平行四边形,
∴EA∥MN.
∵AE⊥PD,AE⊥CD,
∴AE⊥平面PCD,
从而MN⊥平面PCD,
∵MN平面MND,
∴平面MND⊥平面PCD.
【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直,本题中要证MN⊥平面PCD较困难,转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了.另外,在本题中,当AB的长度变化时,可求异面直线PC与AD所成角的范围.
【课堂精练】
1.在三棱锥A—BCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD是锐角三角形,那么必有( )
A.平面ABD⊥平面ADC
B.平面ABD⊥平面ABC
C.平面ADC⊥平面BCD
D.平面ABC⊥平面BCD
2.直三棱柱ABC—A1B1C1中,
∠ACB=90°,AC=AA1=a则点A到平面A1BC的距离是( )
A. a B.a C.a D.a
3.三个平面两两垂直,它们的三条交线交于一点O,P到三个面的距离分别是3,4,5,则OP的长为( )
A.5 B.5 C.3 D.2
4．如图9—42,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点.
图9—25
(1)求证：平面MNF⊥平面ENF.
(2)求二面角M—EF—N的平面角的正切值.
【学习领悟】
【课外提高】
1.下列命题中,错误的是( )
A.若一直线垂直于一平面,则此直线必垂直于此平面内所有直线
B.若一个平面通过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直
C.若一直线垂直于一个平面内的一条垂线,则此直线平行于这个平面
D.若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它也和这条斜线垂直
2.m、n表示直线,α、β、γ表示平面,给出下列四个命题：
①α∩β=m,nα,n⊥m,则α⊥β
②α⊥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m⊥n
③α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,则m⊥α
④m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β
其中正确命题为( )
A.①与② B.②与③
C.③与④ D.②与④
3.棱长都是2的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,∠BAD=60°,则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为_____.
4.E、F分别是正方形ABCD的边AB和CD的中点,EF、BD相交于O,以EF为棱将正方形折成直二面角,则∠BOD=_____.
5．四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方体,PA⊥底面ABCD,E为AB的中点,且PA=AB.
(1)求证：平面PCE⊥平面PCD;
(2)求点A到平面PCE的距离.
第71课时 空间向量及其运算
【考点目标】
理解空间向量的概念、掌握空间向量的加法、减法、数乘和数量积运算及其性质.
【目标解读】
1.空间向量及其加减与数乘运算
(1)空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
(2)空间向量的加法、减法与数乘向量的意义（略）
(3)空间向量的加法与数乘运算满足如下运算律：
1 法交换律：a+b=b+a
②加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)
③数乘分配律：λ(a+b)= λa+λb
2.共线向量与共面向量
(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
(2)共线向量定理：对于空间任意向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
推论：如果直线l为经过已知点A且平行于已知非零向量 a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式ta.
其中向量a叫做直线l的方向向量。
(2)共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使p=xa+yb。
推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使
2.平面向量的基本定理
平面向量的基本定理：如果有三个a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc.
推论：设O、A、B、C，是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序数组x,y,z,使
3.两向量的数量积
(1)已知空间两个向量a,b则a,b的数量积为：其中〈a,b>表示向量a,b的夹角，其范围为【0，π】.
(2)空间向量的数量积有如下性质：
(3)空间向量满足如下运算律：
【典例分析】
［例1］对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C,有=x+y+z(x、y、z∈R),则x+y+z=1是四点P、A、B、C共面的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】若四点P、A、B、C共面,根据共面定理知：
=λ+ω(λ,ω∈R)
∴－=λ(－)+ω(－)
=(1－λ－ω)+λ+ω
令x=1－λ－ω,y=λ,z=ω.
即=x+y+z,
x+y+z=1
反之若x+y+z=1,则x=1－y－z代入已知条件得
=(1－y－z)+y+z
于是,－=y(－)+2(－)
即：=y
由共面向量定理知P、A、B、C四点共面.故选C.
［例2］对于任何空间四边形,试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面.
【分析】要证明EF、BC、AD平行于同一平面(E、F分别为AB、CD的中点),只要证明相应向量与、共面即可.
【证明】如图9—26,利用多边形加法法则可得,
＝＋＋,＝＋＋ ①
图9—26
又E、F分别是AB、CD的中点,
故有 ②
将②代入①后,两式相加得
2,
∴＝
即、共面,
∴EF与AD、BC平行于同一平面.
【评注】本题若用立体几何知识去证明,有一定的难度,由此体会向量法证明的优越性.
［例3］直三棱柱ABC—A1B1C1中,BC1⊥AB1,BC1⊥A1C,求证：AB1＝A1C.
图9—27
【证明】∵
,∴.
同理
,
∴
=0.
设D为BC的中点,则
∴2＝0,∴BC⊥AD
∴AB＝AC,又A1A＝B1B,∴A1C＝AB1.
【说明】 从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题,要用到空间多边形法则、向量的运算、数量积以及平行、相等和垂直的条件.
【课堂精练】
1.在以下四个式子：a+b·c,a·(b·c),a(b·c),|a·b|=|a|·|b|中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
2.点O、A、B、C为空间四个点,又、、为空间的一个基底,则( )
A.O、A、B、C四点不共线
B.O、A、B、C四点共面,但不共线
C.O、A、B、C四点中任三点不共线
D.O、A、B、C四点不共面
3.已知a+3b与7a－5b垂直,且a－4b与7a－2b垂直,则=_____
4.如图，已知四边形ABCD中,=a－2c,=5a+6b－8c,对角线AC、BD的中点分别为E、F,则=_____.
5、在平行四边形ABCD中,AB＝AC＝1,∠ACD＝90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B、D间的距离.
【学习领悟】
【课外提高】
1.若A、B、P三点共线,O为空间任意一点,＝α＋β (α,β∈R),则α＋β等于( )
A．0 B．1
C．与点O有关 D．不确定
2.若｛a、b、c｝为空间的一个基底,则下列各项中能构成基底的一组向量是( )
A．a,a＋b,a－b B．b,a＋b,a－b
C．c,a＋b,a－b D．a＋b,a－b,a＋2b
3.已知ABCD为矩形,P点为平面ABCD外一点,且PA⊥面ABCD,G为△PCD的重心,若＝x＋y z,则x＝ ,y＝ ,z＝ .
4.已知空间四边形ABCD,求值·＋·＋·＝ .
5.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,求异面直线BA1与AC所成的角.
6.求证：空间四边形对角线互相垂直的充要条件是对边平方和相等.
第72 课时 空间向量的坐标运算
【考点目标】
1.理解空间右手直角坐标系,掌握空间点的坐标、向量坐标的意义.
2.熟练掌握向量运算的坐标表示,两点间的坐标公式,夹角公式.
3.熟练掌握a∥b,a⊥b的坐标表示.
4.会运用公式解决几何中的有关问题(平行、垂直、夹角、距离等问题).
【目标解读】
1.空间直角坐标坐标系
在空间中选定一点O和一个单位正交基底{I,j,k},以O为原点，分别以I,j,k的方为x,y,z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz,点O叫做坐标原点，向量I,j,k都叫坐标向量。
在单位正交基底I,j,k中与向量对应的有序数组（x,y,z）,叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z).其中x,y,z分别叫做点A的横、纵、竖坐标。
2.向量的直角坐标运算
∥a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3（λ∈R）
或
设A（x1,y1,z1）,B(x2,y2,z2),则
3.夹角公式和距离公式
（1） 夹角公式：
设则
(2)空间两点间的距离公式：设A（x1,y1,z1）,B(x2,y2,z2)则
【典例分析】
［例1］已知a=(cosα,1,sinα), b=(sinα,1,cosα)则向量a+b与a－b的夹角是( )
A.90° B.60° C.30° D.0°
【解法一】∵|a|=|b|
∴(a+b)·(a－b)=a2－b2=|a|2－|b|2=0
∴(a+b)⊥(a－b) (选A)
【解法二】 a+b=(sinα+cosα,2,sinα+cosα)
a－b=(cosα－sinα,0,sinα－cosα)
=0
∴=90° 选(A)
［例2］(2000年高考·二省一市)如图，直棱柱ABC—A1B1C1,底面△ABC中,CA＝CB＝1,∠BCA＝90°,棱AA1＝2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.
(1)求的长;(2)求cos<,>的值;(3)求证A1B⊥C1Ｍ．
(1)【解】依题意得B(0,1,0),N(1,0 ,1),
∴．
(2)【解】A1(1,0 ,2),B(0,1,0),C(0,0 ,0),B1(0,1,2)
∴＝(1,－1,2),＝(0,1,2), ·＝3,｜｜＝,｜｜＝.∴cos<, >＝.
(3)【证明】C1(0,0 ,2),Ｍ(,,2),
＝(－1,1,－2),,
∴·＝0 ∴A1B⊥C1M.
【评述】 本题已知条件和结论具有一定的解题方向性,它明确告诉我们用向量的方法.因此,用向量法解立体几何问题是今后高考的一个方向,读者应引起足够的重视.
［例3］设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(－5,－4,8),求D到平面ABC的距离.
【解】设平面ABC的法向量n=(x,y,z)
∵n· =0 n· =0
∴
即
令z=－2
则n=(3,2,－2)
∴点D到平面ABC的距离为d
d=||·|cos|=.
【课堂精练】
1.在空间直角坐标系中,点P(1,,),过P作平面yOz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为( )
A．(0, ,0) B．(0, ,)
C．(1,0 ,) D．(1,,0)
2.若A、B两点的坐标是A(3cosα,3sinα,1),B(2cosθ,2sinθ,1),则｜｜的取值范围是( )
A．[0,5] B．[ 1,5]
C．(1,5) D．[1,25]
3.点A(1,0 ,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)这四个点是否共面： (共面或不共面)
4.已知F1＝i＋2j＋3k,F2＝－2i＋3j－k,F3＝3i－4j＋5k,若F1、F2、F3共同作用于一物体上,使物体从点M1(1,－2,1)移到点M2(3,1,2),则合力所做的功是
5.(2003年春季高考·上海)已知三棱柱ABC—A1B1C1,在某个空间直角坐标系中, ={,0}, ={m,0,0},={0,0,n},其中m、n＞0.
图9—29
(1)证明：三棱柱ABC—A1B1C1是正三棱柱;
(2)若m=n,求直线CA1与平面A1ABB1所成角的大小.
【学习领悟】
【课外提高】
1.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),关于下列叙述
①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x,－y,z);
②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x,－y,－z);
③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x,－y,z);
④点P关于原点对称的点的坐标是P4(－x,－y,－z).
其中正确的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
2.已知a＝(1－t,1－t,t),b＝(2,t,t),则｜b－a｜的最小值是( )
A． B．
C． D．
3.已知向量a＝(1,1,0),b＝(－1,0 ,2),且ka＋b与2a－b互相垂直,则k值是( )
A．1 B． C． D．
4.已知空间三点A(1,1,1)、B(－1,0 ,4)、C(2,－2,3),则与的夹角θ的大小是
5.在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD＝9P°,AD∥BC,AB＝BC＝a,AD＝2a,PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角.
(1)若AE⊥PD,E为垂足,求证：BE⊥PD;(2)求异面直线AE与CD所成的角.
6、棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？
第73 课时 棱 柱
【考点目标】
理解棱柱的概念和性质,掌握棱柱的侧面积公式并能运用公式进行有关计算．能正确画出直棱柱、正棱柱的直观图．会解决棱柱的直截面的有关问题．
【目标解读】
1.棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱的概念。
2.棱柱的性质
(1)棱柱的每一个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的每一个侧面都是矩形；正棱柱的每一个侧面都是全等的矩形。
(2)棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。
(3)过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
3.平行六面体与长方体
(1)有关概念：平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体的概念。
(2)性质：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分。长方体一条对角长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。
4.有关计算
S直棱柱侧=底面周长×高，
S正棱柱侧=直截面周长×棱长；
V棱柱=底面积×高=直截面积×棱长。
5.直棱柱、正棱柱直观图的作法（略）。
【典例分析】
［例1］三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为d,=s,则三棱柱ABC—A1B1C1的体积为_____.
【解法一】(补形法,如图9—30)将三棱柱补成四棱柱,
则V三棱柱=V四棱柱=ds
图9—30 图9—31
【解法二】(分割法,如图9—31)连结A1B1A1C
则
【评述】 割补法是求体积常用的方法.
［例3］如图9—32,平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形.AA1与底面两条相邻边A1B1、A1D1成相等的锐角,求证：(1)A1A⊥BD;
(2)平面AA1C1C⊥平面A1B1C1D1.
图9—32
【证明】(1)∵底面A1B1C1D1为菱形,
∴A1C1⊥B1D1且E1为A1C1、B1D1的中点,A1C1平分∠B1A1D1,
即∠B1A1C1＝∠C1A1D1．
作AF⊥平面A1B1C1D1于F,则F在A1C1上
∵B1D1⊥A1C1,
∴AA1⊥B1D1
又BD B1D1 ∴AA1⊥BD
(2)∵AF⊥平面A1B1C1D1,又AFAA1C1C,
∴平面AA1C1C⊥平面A1B1C1D1．
［例4］如图9—33,若A1B1C1—ABC是正三棱柱,D是AC的中点.
图9—33
(1)证明：AB1∥平面DBC1;
(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.
(1)【证明】连结B1C、DC1、DB、BC1,并设B1C∩BC1＝E,连结DE,
∵ABC—A1B1C1为正三棱柱
,则B1BCC1为矩形,
∴E为B1C的中点,又D为AC的中点,
∴DE AB1,DE平面DBC1,
∴AB1∥平面DBC1.
(2)【解】∵平面ABC⊥平面BCC1B1,作AG⊥BC于G,则AG⊥平面BCC1B1,DF⊥BC于F,则DF⊥平面BCC1B1,且DF=AG.
∵DE⊥BC1,DF⊥平面BCC1,
∴EF⊥BC1,
∴∠DEF为二面角D—BC1—C的平面角.在△ABC中,
设边长为a,EＧ⊥BF,EF2＝FG·FB,EF＝
DF＝
∴∠DEF＝45°
【评述】 转化是数学的基本思想,本题中,证线面平行转化为线线平行,求二面角的大小转化为求平面角的大小.故要掌握这种转化思想.
【课堂精练】
1.设M＝｛正四棱柱｝,N＝｛直四棱柱｝,P＝｛长方体｝,Q＝｛直平行六面体｝,则四个集合的关系为( )
A.M P N Q B.M P Q N
C.P M N Q D.P M Q N
2.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是( )
A.棱柱有一条侧棱与底面垂直
B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直
C.棱柱有一个侧面是矩形,且与底面垂直
D.棱柱有两个侧面是矩形,且与底面垂直
【解析】A、C、D均为充要条件.
3.已知长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( )
A. 2 B.
C. 5 D. 6
4.在长方体ABCD—A1B1C1D1的上底面内有任意一点P,AP与交于A点的三条棱所成的角分别为α、β、γ,则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝_____．若AP与交于A点的三个面所成的角分别为α、β、γ,则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ ．
5、如图9—34在三棱柱ABC—A1B1C1中,底面边长AB＝AC＝2b,BC＝2b,AA1＝l,且∠A1AB＝∠A1AC＝60°,求这个三棱柱的侧面积及体积.
图9—34
【学习领悟】
【课外提高】
1.一个棱柱是正四棱柱的条件是( )
A.底面是正方形,有两个侧面是矩形
B.底面是正方形,有两个侧面垂直于底面
C.底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱
2.平行六面体成直平行六面体的一个充分必要条件是( )
A.它有两个矩形的侧面
B.它的一条侧棱垂直于底面
C.它有两条侧棱垂直于底面一边
D.它有两个侧面都垂直于底面
3.长方体的高等于h,底面积等于Q,垂直于底的对角面的面积等于M,则此长方体的侧面积等于 .
4.一个侧棱柱的高是h,直截面的周长是P,侧棱和底面所成的角是α,则它的侧面积是
5.在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB1＝BB1
(1)求证：AB1⊥BC1．
(2)求二面角A—BC1—C正切值．
6、(2003年春季高考·北京)正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4.E、F分别为棱AB、BC的中点,EF∩BD=G.
(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1;
(2)求点D1到平面B1EF的距离d;
(3)求三棱锥B1—EFD1的体积V.
第74课时 棱 锥
【考点目标】
1.掌握棱锥的定义、性质、表面积和体积公式.
2.掌握正棱锥的性质,并能熟练运用正棱锥的基本元素所构成的直角三角形求解、证明有关问题.
【目标解读】
1．棱锥的的概念：棱锥、正棱锥的概念。
2．棱锥的性质：
（1）正棱锥各侧棱长相等，侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底面上的高相等（斜高）。
（2）棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
（3）如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。
3．有关计算：
【典例分析】
［例1］根据下列条件,填写三棱锥P—ABC顶点P在底面ABC内的射影O的位置：
(1)三条侧棱相等( )
(2)侧棱和底面所成的角相等( )
(3)侧面与底面所成的角相等( )
(4)P到△ABC三边距离相等且O在△ABC内部( )
(5)三条侧棱两两垂直( )
(6)相对棱互相垂直( )
(7)PA＝PB＝PC,∠ACB＝90°( )
【解】(1)外心 (2)外心 (3)内心或旁心 (4)内心 (5)垂心 (6)垂心 (7)AB的中点
［例2］已知两条异面直线段的长分别为a、b,夹角为θ,距离为h,求证：以此二异面直线段为对棱的四面体的体积为abhsinθ.
图9—34
【证明】如图9—34,四面体ABCD中,AB＝a,CD＝b,AB、CD夹角为θ,距离为h,过B作BE∥CD,过C作CE∥BD交BE于E,连AE,则∠ABE＝θ或π－θ.因为CD∥平面ABE,∴AB与CD的距离为h,即CD到平面ABE的距离,即C到平面ABE的距离,即棱锥C—ABE底面ABE上的高,显然VC—ABE＝VA—BCE＝V A—BCD,VC—ABE＝·AB·BE·hsinθ＝abhsinθ
∴VA—BCD＝abhsinθ．
【评述】锥体的体积求解常常利用“等积变形”.
［例3］如图9—35,设三棱锥S—ABC的三个侧棱与底面ABC所成角都是60°,又∠BAC＝60°,且SA⊥BC．
图9—35
(1)求证S—ABC为正三棱锥;
(2)已知SA＝a,求S—ABC的全面积．
(1)【证明】正棱锥的定义中,底面是正多边形;顶点在底面上射影是底面的中心,两个条件缺一不可．作三棱锥S—ABC的高SO,O为垂足,连结AO并延长交BC于D．
因为SA⊥BC,所以AD⊥BC,又侧棱与底面所成的角都相等,
从而O为△ABC的外心,
OD为BC的垂直平分线,
所以AB＝AC．又∠BAC＝60°,
故△ABC为正三角形,且O为其中心,所以S－ABC为正三棱锥．
(2)【解】只要求出正三棱锥S—ABC的侧高SD与底面边长,则问题易于解决．在Rt△SAO中,由于SA＝a,∠SAO＝60°,所以SO＝a,AO＝a,因O为重心,所以AD＝AO＝a,BC＝2BD＝2ADcot60°＝a,OD＝AD＝a．
在Rt△SOD中,SD2＝SO2＋OD2＝(a)2＋(a)2＝,则SD＝a．
于是,SS－ABC全＝sin60°＋3··a·a＝a2．
【评述】 (1)求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S正棱锥底＝cosα·S正棱锥侧(α为侧面与底面所成的二面角),就本题cosα＝,S△ABC＝,所以SS－ABC侧＝a2÷＝a2,于是也可求出全面积．
(2)注意到高SO＝a,底面边长BC＝a是相等的,因此这类正三棱锥还有高与底面边长相等的性质,反之亦真．
(3)正三棱柱中,若侧棱与底面边长相等,则变成四个面都是正三角形的三棱锥,这时可称为正四面体,因此正四面体是特殊的正三棱锥,但正三棱锥不一定是正四面体．正方体沿相邻三个面上的对角线切割就形成正四面体．正四面体内对应元素相等．
【课堂精练】
1.(2003年春季高考·上海)若正三棱锥底面边长为4,体积为1,则侧面和底面所成二面角的大小等于_____.(结果用反三角函数值表示)
2.当圆锥的侧面积和底面积的比值是时,圆锥的轴截面顶角是( )
A.120° B.90° C.45° D.30°
3.一个圆锥的轴截面顶角为120°,母线长为1 cm,过顶点作圆锥的截面中最大截面面积为_____.
4．四棱锥P—ABCD中,底面是一个矩形,AB＝3,AD＝1,又PA⊥AB,PA＝4,∠PAD＝60°．
(1)求四棱锥P—ABCD的侧面积;
(2)求二面角P—BC—D的大小．
【学习领悟】
【课外提高】
1.若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( )
A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
2.正三棱锥底面边长为8,侧棱长为4,如果过底面一条边作截面,与相对的侧棱有交点,则截面面积的最小值为_____.
3.若四面体一条棱长为x,其余棱长都是2 cm,当四面体体积最大时,x取值是_____.
4.在三棱锥S—ABC中,侧面SAC⊥底面ABC,△SAC是边长为4的正三角形,△ACB为直角三角形,∠ACB＝90°,BC＝4.
(1)求证：侧面ASC⊥侧面BSC;
(2)求SB与底面ABC所成的角;
(3)求二面角S—AB—C的正切值.
5.正三棱锥P—ABC中,AB＝a,相邻两个侧面所成的二面角为θ．
图9—36
(1)若BD⊥PC,求BD的长;
(2)求这棱锥的侧面积．
第75 课时 多面体与正多面体
【考点目标】
了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式.
【目标解读】
1.有关概念：多面体、凸多面体、正多面体、简单多面体的概念。
2.多面体的概念有如下关系：
{多面体}{简单多面体}{凸多面体}{正多面体}
{凸多面体}{棱柱}{正棱柱}{正方体}
{凸多面体}{棱锥}{正棱锥}{正四面体}
3.欧拉公式
(1)欧拉公式：V+F-E=2。其中V表示简单多面体的顶点数、F表示面数、E表示棱数。
(2)由欧拉公式可以推出正多面体只有五种，即正四、六、八、十二、二十面体。
【典例分析】
［例1］连结正方体相邻面的中心,得到一个正八面体,那么这个正八面体与正方体的体积之比是_____.
【分析】设正方体棱长为1,则正八面体的棱长为,体积V八面体=2 × × ()2×.
图9—35
∴体积之比为1∶6.
［例2］一个凸多面体的棱数为30,面数为12,则它的各面多边形的内角总和为( )
A.5400° B.6480°
C.7200° D.7920°
【解】由欧拉公式V=E－F+2=20
∴内角总和为(V－2)×360°=6480°
［例3］如图9—36,在棱长为a的正四面体ABCD内,作一个正三棱柱A1B1C1—A2B2C2,当A1取在什么位置时,三棱柱的体积最大？
图9—36
【解】设AA1=x(0＜x＜a)
∵平面A1B1C1∥平面BCD.
又四面体ABCD为正四面体
∴四面体AA1B1C1也是正四面体
则A1B1=B1C1=C1A1=x
这两四面体的高分别为a和x则棱柱的高等于(a－x)∴V三棱柱
当x=a取等号
∴当点A1为棱AB上的分点时,体积最大为a3.
【评述】 本题关键是建立目标函数V=x2(a－x),然后通过配凑用均值不等式求最值,也可用求导的方法.
【课堂精练】
1.在一个倒置的正三棱锥容器内放一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都相切,过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )
2．一个正多面体的每个面都是三角形,从每个顶点引出的棱都有4条,则该正多面体为( )
A.正四面体 B.正六面体
C.正八面体 D.正十二面体
3．正多面体只有___种,分别为正
4.长方体的一个顶点上三条棱长为3,4,5,且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的表面积是( )
A.20π B.25π
C.50π D.200π
5.半径为R的球的内接正四面体和外切正四面体的棱长之比为_____.
【学习领悟】
【课外提高】
1.空间有8个点,任何三个点不共线,任何四点不共面,经过每两点的所有直线中有_____对异面直线.
2.如图，点O为正四面体内一点且OA=OB=OC=OD,则∠AOB的余弦值为( )
A.－ B.
C.－ D.
3.正方体的内切球与外接球半径之比为_____.
4.正三棱锥相邻两侧面所成的二面角的大小,不能为( )
A.90° B.60° C.120° D.150°
5.C60是由60个C原子构成的分子,它是一个形如足球的多面体,这个多面体有60个顶点,每一顶点处都有三条棱,面的形状只有五边形和六边形,求五边形和六边形的个数.
第76课时 球
【考点目标】
掌握球的定义、性质、直观图画法,球面积及球的体积公式,会运用球的截面,把有关球的问题转化为平面问题,会计算球面距离.
【目标解读】
1.球的概念和性质
(1)有关概念：球面与球的概念。
(2)球的性质：用一个平面截球，截面是圆面。球的截面有如下的性质：
①球心与截面圆心的连线垂直于截面
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有下面的关系：
2.有关计算
(1)球的体积：
(2)球的表面积：
【典例分析】
［例1］如图9—37,在北纬45°的纬度圈上有A、B两点,它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上,设地球的半径为R,求A、B两点的球面距离.
图9—37
【解】如图9—37设北纬45°圈的圆心为O′,地球中心为O,
则∠AO1B＝160°－70°＝90°,∠OBO1＝45°,OB＝R,
∴O1B＝O1A＝R,AB＝R,连接AO、AB,则AO＝BO＝AB＝R,
∴∠AOB＝60°,∴＝2πR＝πR
故A、B两点间球面距离为πR．
【评述】 为求A、B两点间球面的距离,要把它组织到△AOB中去分析.只要求得∠AOB的度数便可求得球面距离.注意余弦定理的应用.
［例2］求半径为R的球的内接长方体体积的最大值.
图9—38 图9—39
【解】作截面ACC1A1,设∠CAC1=θ
则C1C=2Rsinθ
AC=2Rcosθ
∴AB=Rcosθ.
∴V=AB2·CC1=2R2cos2θ·2Rsinθ
=4R3·cos2θsinθ
=4R3=
当且仅当2sin2θ=cos2θ,即tanθ=时取等号.
【评述】 立体几何中的最值问题,首先确定目标函数再求其最值.
［例3］已知球的半径为R,在球内作一个内接圆柱,这个圆柱底面半径与高为何值时,它的侧面积最大 侧面积的最大值是多少
图9—40
【解】如图9—40为轴截面,令圆柱的高为h,底面半径为r,侧面积为S,则()2＋r2＝22,即h=2．
∵S＝2πrh＝4πr·＝4π≤4π＝2πR2,
取等号时,内接圆柱底面半径为R，高为R．
［例4］在球内有相距9 cm的两个平行截面,面积分别为49π cm2、400πcm2,则球的表面积为_____.
图9—41
【分析】作球的一个大圆O,当两个截面在球心O的同侧时=9
解得R=25.
当两个截面在球心O两侧时.
=9无解.
∴S表=2500π cm2.
【评述】 立体几何中的相互位置关系,也应注意分类讨论.
【课堂精练】
1.下列四个命题中,其中错误的个数是( )
①经过球面上任意两点,可以作且只可以作一个球的大圆
②球面积是它大圆面积的四倍
③球面上两点的球面距离,是这两点所在截面圆上,以这两点为端点的劣弧的长
A.0 B.1 C.2 D.3
2.球面上有3点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这3点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为( )
A.4 B.2
C.2 D.
3.已和轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是( )
A.6∶5 B. 5∶4 C.4∶3 D．3∶2
4.A、B是半径为R的球面上的两点,它们的球面距离是,则过A、B的平面中,与球心的最大距离为_____.
5.半径为R的半球,一正方体的四个顶点在半球的底面上,四个顶点在半球的球面上,则该正方体的表面积为_____.
【学习领悟】
【课外提高】
1.下列命题
①过球面上任意两点只能作一个球的大圆
②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径
③用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面
④球是与定点的距离等于定长的所有点的集合
其中正确的是( )
A.①②③ B.②③④
C.②③ D.②④
2.(2003年高考·新课程)一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )
A.3π B.4π
C.3π D.6π
3.三个球的半径之比为1∶2∶3,则最大球的体积是其他两球体积之和的_____倍.
4.在球面上有四点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两垂直,且PA＝PB＝PC＝a,那么这个球的面积是_____.
5.如图9—42,把地球当作半径为R的球,地球上A、B两地都在北纬45°,A、B两点的球面距离是R,A在东经20°,求B点的位置.
图9—42
6.已知球面上的三点A、B、C,AB=6,BC=8,AC=10,球的半径为13,求球心到平面ABC的距离.
第77 课时 空间角
【考点目标】
掌握异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的平面角的概念及求法.
【目标解读】
1.异面直线所成的角
（1）异面直线所成的角的定义。
（2）异面直线所成的角通常有两种方案可用：平移和向量的数量积，其范围为
2、直线与平面所成的角
（1）直线与平面所成的角的定义。
（2）直线与平面所成的角常用射影转化法，其范围是
3、二面角的平面角
（1）二面角的平面角、直二面角的定义。
（2）作二面角的平面角的常用方法有：
①定义法：以棱上任一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的两条射线，则形成二面角的平面角。
②三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P作另一个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连接PB，由三垂线定理得PB与棱垂直，于是∠PBA是二面角的平面角（或其补角）
3 垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别交两个面的交线，构成二面角的平面角。
(3)二面角除常用的传统法外，还有向量法。此外还可以利用面积的射影定理来求二面角，即Scosθ=S射，它的优点是不必作出二面角的平面角。
【典例分析】
［例1］直三棱柱A1B1C1—ABC,∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
图9—43
【解法一】如图9—82,连结D1F1,
则D1F1 BC
∴D1F1
设点E为BC中点
∴D1F1 BE EF1
∴∠EF1A或补角为所求
由余弦定理可求得cosEF1A=.
【解法二】建立如图9—82所示的坐标系,设BC=1
则A(－1,0,0),F1(－,0,1),B(0,－1,0),D1(－,－,1)
即 =(,0,1), =(－, ,1)
∴cos<, >=
【评述】 解法一与解法二从两个不同角度求异面直线所成的角.解法一体现传统方法作—证—算;解法二把角的求解转化为向量运算,应注意体会两种方法的特点
［例2］在正四面体ABCD中,E为AD的中点,求直线CE与平面BCD成的角.
图9—44
【分析】求线面角的关键在于找出斜线在平面内的射影,即找垂面,有了垂面即可在垂面内作交线的垂线,线面角即可作出,然后转化到三角形中求解.
【解】取BC的中点F,连结AF、DF
∵正四面体ABCD
∴BC⊥AF,BC⊥DF
∴BC⊥面AFD,
∴面AFD⊥面BCD
过E作EH⊥DF于H,则EH⊥面BCD
则∠ECH为CE与面BCD所成的角.
在Rt△CEH中,sinECH=.
即CE与平面BCD成的角为arcsin.
［例3］如图9—45,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB＝2,BC＝BB1＝1,E为D1C1的中点,求二面角E—BD—C的正切值.
图9—45
【解法一】∵ABCD—A1B1C1D1是长方体,
∴作EF⊥面BCD,则F为CD的中点,过F作FM⊥BD,连EM,由三垂线定理知EM⊥BD,
∴∠EMF就是二面角E—BD—C的平面角,又∵AB＝2,BB1＝BC＝1,EF＝1,FM＝1×＝
∴tanEMF＝.
【解法二】∵S△BDF＝S△EBD·cosθ
而S△BDF＝BD·FM＝··＝,又BD＝,ED＝BE＝
∴ED2+BE2＝BD2
∴DE⊥EB 故S△EBD＝ED·EB＝
∴cosθ＝;tanθ＝.
【解法三】过E作棱BD的垂线EM,过C点作棱BD的垂线CN,E、C是异面直线EM、CN上两点,CE＝.EM＝,
FM⊥BD,CN⊥BD,F为CD中点,
∴MN＝DM＝
∴2＝cosθ
cosθ＝,tanθ＝.
【评述】 选此题意在通过此题使学生掌握二面角平面角的作法及求法.即三垂线定理及逆定理法,投影法,利用异面直线上两点间的距离公式法.
【课堂精练】
1.异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一点,则过P点且与a、b所成的角都是30°的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2.平面α的斜线与α所成的角为30°,则此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为( )
A.30° B.60° C.90° D.150°
3.在边长为a的正三角形ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B—AD—C后,BC＝a,这时二面角B—AD—C的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.一条直线与直二面角的两个面所成的角分别是α和β,则α＋β的范围是_____.
5.在平面角为锐角的二面角α—EF—β中,A∈EF,AGα,∠GAE＝45°,若AG与β所成角为30°,则二面角α—EF—β的平面角为 .
6、如图9—85,底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC—A1B1C1,∠C＝,AA1＝AC,D是CC1的中点.
图9—46
(1)求证：平面AB1D⊥平面AB1B
(2)求二面角B—B1D—A的大小.
【学习领悟】
【课外提高】
1.如图9—86,四面体ABCD中,E、F分别是AC、BD的中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角等于( )
图9—47
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.在正方体A—C1中,E、F分别为D1C1与AB的中点,则A1B1与截面A1ECF所成的角为( )
A.arctan B.arccos
C.arcsin D.都不对
3.二面角α—l—β的平面角为120°,A、B∈l,ACα,BDβ,AC⊥l,BD⊥l,若AB＝AC＝BD＝1,则CD的长为 ．
4.在直角坐标系中,设A(－2,3),B(3,－2),沿x轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后,｜AB｜＝4,则θ的值为
5.空间一点P到二面角α—l—β的两个面的距离分别是1和,到棱的距离是2,求这二面角的大小．
6.过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD,设PA＝AB＝a,
(1)求二面角B—PC—D的大小;
(2)求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小.
第78课时 空间距离
【考点目标】
掌握点到点,点到线,点到面,线到线,线到面,面到面的距离的定义,熟练地进行它们之间的转化,并能通过作辅助图形,应用解三角形的有关知识,求出这些距离.
【目标解读】
1.七种空间中的距离：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、平行直线间的距离、异面直线间的距离、直线与平面间的距离、两平行平面间的距离。
2.求距离的一般方法和步骤
求距离的思想方法和步骤与求角相似，其基本步骤与求角相似，其基本步骤是：（1）找出或作出有关距离的图形；（2）证明它符合定义；（3）在平面内计算。
空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可用体积关系或向量法。
【典例分析】
［例1］设n是平面α的法向量,AB是平面α的一条斜线,A∈α,则点B到平面α的距离为_____.
图9—48
【解】AB与平面α所成的角为θ,θ=arcsin.
∴点B到平面α的距离为|.
［例2］设l1、l2是两条异面直线,其公垂向量为n,又C、D分别是l1、l2上任一点,求证：l1、l2间的距离d=.
图9—49
【证明】设AB为公垂线段
= + +
∴·n=n· ∴|·n|=|·n|
∴| |=
【点评】例1、例2是从向量角度求距离,注意体会与传统方法的区别.
［例3］如图9—50,已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,求异面直线BD与B1C的距离.
图9—50
【解法一】连结AC交BD的中点O,取CC1的中点M,连结BM交B1C于E,连AC1,则OM∥AC1,过E作EF∥OM交OB于F,则EF∥AC1,又斜线AC1的射影为AC,BD⊥AC,∴BD⊥AC1 ∴EF⊥BD,
同理AC1⊥B1C,EF⊥B1C ∴EF为BD与B1C的公垂线.
由于M为CC1的中点,△MEC∽△BEB1,
∴
BM＝EF∥OM
,故BF＝a,EF＝a.
【解法二】(转化为直线到平面的距离)BD∥平面B1D1C,B1C面B1D1C,故BD与B1C的距离就是BD到平面B1D1C的距离,由,即
【解法三】(转化为两平行平面间距离)易证：平面B1D1C∥平面A1BD,AC1⊥平面A1BD,用等积法易证A到面A1BD距离为a,
同理可知C1
到面B1D1C距离为a,而A1C＝a.
故两平面间距离为a.
即BD与B1C距离为a.
【解法四】(垂面法)如图9—51,BD∥平面B1CD1,
图9—51
B1D1⊥A1C1,B1D1⊥OO1,B1D1⊥面OO1C1C,面OO1C1C∩面B1D1C＝O1C,O1∈B1D1,
故O到面D1B1C的距离为Rt△O1OC斜边上的高,
h=.
图9—52
【解法五】(极值法)如图9—93,在B1C上取一点M,作ME⊥BC交BC于E,过E作EN⊥BD交BD于N,易知MN为BD与B1C的公垂线时,MN最小.
设BE＝x,CE＝ME＝a－x EN＝,
MN＝
∴当x=a时,MNmin＝a.
【解法六】建立如图9—52所示的坐标系
则 =(a,a,0), =(0,a,0)－(a,a,a)=(－a,0,－a)
设DB与B1C的公垂向量n=(x,y,z)
则n· =0,n· =0.
令x=－1,则n=(－1,1,1)
又∵ =(a,0,0)∴d=
【课堂精练】
1.ABCD为正方形,P为平面ABCD外一点,PD⊥AD,PD＝AD＝2,二面角P—AD—C为60°,则P到AB的距离是( )
A.2 B.
C.2 D.
2.直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1＝1,AB＝4,BC＝3,∠ABC＝90°,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l,则A1C1与l的距离为( )
A.1 B.
C. D.2.6
3.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是( )
A. B.
C. D.a
4.A、B是直线l上的两点,AB＝4,AC⊥l于A,BD⊥l于B,AC＝BD＝3,又AC与BD成60°的角,则C、D两点间的距离是_____.
5.PA⊥平面ABC,AB＝AC＝13,BC＝10,PA＝5,则P点到直线BC的距离为 .
6、如图9—53在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝,AB＝a,AD＝3a且∠ADC＝arcsin,又PA⊥平面ABCD,PA＝a.求：
图9—53
(1)二面角P—CD—A的大小;
(2)点A到平面PBC的距离.
【学习领悟】
【课外提高】
1.平面α内的∠MON＝60°,PO是α的斜线,PO＝3,∠POM＝∠PON＝45°,那么点P到平面α的距离是( )
A. B. C. D.
2.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,E是CC1的中点,则E到A1B的距离是( )
A.a B. C. D.
3.正△ABC边长为2,则A、B、C距离为的平面共有 个.
4.△ABC的三个顶点在平面α的同侧,且到α的距离分别是a、b、c,则其重心到平面α的距离是 .
5.ABCD是正方形,边长为7 cm,MN∥AB交BC于M,交DA于N,若AN＝3 cm,沿MN把正方形折成如图9—54所示的二面角A—MN—D,大小为60°,求图中异面直线MN与BD间的距离．
图9—54
6.已知直线l上有两定点A、B,线段AC⊥l,BD⊥l,AC=BD=a且AC与BD成120°角.求AB与CD间的距离.
素质能力过关检测(A)
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共150分，考试时间120分钟.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设m、n是两条不同的直线，那么使m∥n成立的一个必要不充分条件是m、n( )
A.与同一个平面垂直
B.与同一条直线垂直
C.与同一个平面所成的角相等
D.与同一条直线相交
2.下面四个立体图形为正方体或正四面体，E、F、G、H分别是其棱的中点，这四个点不共面的一个图是(
3.设长方体的三条棱长分别为a、b、c，若长方体所有棱长的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则等于( )
A. B. C. D.
4.下列命题是真命题的是( )
A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量，满足||＞||，且与同向，则＞
D.若两个非零向量与满足+=0，则∥
5.已知平面α∥平面β，不在同一直线上的三点M，A，B在α内，空间一点P满足：存在实数x，y，使得，则( )
A.在α内不在β内
B.在β内不在α内
C.既在α内又在β内
D.既不在α内又不在β内
6.设地球的半径为R，在纬度为α的纬线圈上有A、B两地，若这两地的纬线圈上的弧长为πRcosα，则A、B两地之间的球面距离为( )
A.πR B.πRsinα
C.αR D.R（π－2α）
7.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条定长为b的线段.若Q是A1D1内的定点，P是C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积( )
A.是变量且有最大值
B.是变量且有最小值
C.是变量且无最小值
D.是常量
8.三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA+PB=4，PC=1，则此棱锥的体积( )
A.有最大值，无最小值
B.有最小值，无最大值
C.有最大值，无最小值
D.无最大值，也无最小值
9.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点A关于直线BD1、A1C的对称点分别为P、Q，则P、Q两点间的距离等于( )
A. B. C. D.
10.在正三棱锥A—BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC=a，则正三棱锥A—BCD的体积为( )
A.a3 B.a3
C .a3 D.a3
11.下图是正方体的一个展开图，当用它合成原来的正方体时，与边P重合的边是（ ）
A.K B.L C.H D.Q
12.平面α、β所成的锐角为40°，过空间中一个定点P作与α、β所成的角都等于 80°的平面角，这样的平面有且仅有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求（1）EF的长，（2）折起后∠EOF的大小.
18.（本小题满分12分）
在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，PA为平面ABC的斜线，且∠PAB=∠PAC= 60°
（1）求PA与平面ABC所成的角；
（2）PA为多少时，P点在平面ABC内的射影O恰好在BC上？
19.（本小题满分12分）
在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，
（1）求向量的坐标；
（2）设向量和的夹角为θ，求cosθ的值.
20.（本小题满分12分）
四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的菱形，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=1，E为PA的中点.
（1）求证：平面EDB⊥平面ABCD；
（2）求点E到平面PBC的距离；
（3）求二面角A—EB—D的正切值.
21.（本小题满分12分）
在所有棱长为a的正三棱柱ABC—A1B1C1中，D为BC的中点.
（1）求证：AD⊥BC1；
（2）求二面角A—BC1—D的大小；
（3）求点B1到平面ABC1的距离.
22.（本题满分14分）
有两块直角三角板ABC和ADC，公共的斜边AC=2，∠BAC=30°，∠CAD=45°，沿AC折起△ABC，使二面角A—CD—B为直二面角.
素质能力过关检测(B)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.(2003年高考·北京)
已知α,β是平面,m,n是直线,下列命题中不正确的是( )
A.若m∥n,m⊥α,则n⊥α
B.若m∥α,α∩β=n,则m∥n
C.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
D.若m⊥α,mβ,则α⊥β
2.两条直线分别平行于两个互相垂直的平面,那么这两条直线的位置关系一定是( )
A.互相垂直
B.不能互相平行
C.异面直线
D.平行、相交或异面
3.若直线a与b无公共点,则下列判断正确的是( )
A.与a,b都垂直相交的直线只有一条
B.一定存在过a且和b垂直的平面
C.过a且平行于b的平面至少有一个
D.过a而不过b的平面必定与b平行
4.已知l,m,n是直线,α,β是平面,下列真命题是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.设α—l—β是直二面角,若m⊥l,则m⊥β
C.若m,n在α内的射影依次是一个点和一条直线,且m⊥n,则nα或n∥α
D.设m,n是异面直线,若m∥α,则n与α相交
5.ABCD是空间四边形,已知AB=CD,AD=BC,但AB≠AD,M,N是对角线的中点,则( )
A.MN与AC、AB都不垂直
B.MN与AC、AB中之一垂直
C.MN与AC、AB都垂直
D.无法确定MN与AC、AB是否垂直
6.(2003年春季高考·北京)如图,在正三角形ABC中,D、E、F分别为各边的中点,G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点.将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度数为( )
图9—55
A.90° B.60° C.45° D.0°
7.正方体A′B′C′D′—ABCD中,BC′与截面BB′D′D所成的角是( )
A. B.
C. D.arctan2
8.条件甲：“四棱锥的所有侧面都是全等三角形,”条件乙：“这四棱锥是正四棱锥”,则条件甲是条件乙的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
9.在正三棱锥P—ABC中,M、N分别是PB、PC的中点且面AMN⊥面PBC,则正三棱锥的侧面积与底面积之比为( )
A.∶ B.∶
C. 3∶2 D.∶1
10.(2003年高考·新课程)棱长为a的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为( )
A. B. C. D.
11.正方体A′B′C′D′—ABCD的棱长为a,EF在AB上滑动,且|EF|=b(b＜a),Q点在D′C′上滑动,则四面体A′—EFQ的体积为( )
A.与E、F位置有关
B.与Q位置有关
C.与E、F、Q位置都有关
D.与E、F、Q位置均无关,是定值
12.高为5,底面边长为4的正三棱柱形容器(下有底),可放置最大球的半径是( )
A. B.2 C. D.
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.在三棱柱ABC—A′B′C′中,A′A⊥AB,C′B⊥AB,AC=3,AB=2,则A′C′与AB所成的角的正弦值是_____.
14.已知PA、PB、PC是从P点出发的三条射线,每两条射线间的夹角都是60°,则PC与平面PAB所成的角的余弦值是_____.
15.二面角M—l—N的一个平面M内有一条直线AB,它与棱l的夹角为45°,与平面N所成的角为30°,则这个二面角的大小为_____.
16.一种涂料恰好能喷涂棱长为10 cm的一个正方体的所有表面,那么按同样施工标准(即每单位面积所用的涂料相同),能喷涂半径等于_____的一只球.
三、解答题(本大题共6小题,共74分)
17.(11分)已知：正方形ABCD和正方形ABEF.边长都为2,沿AB将正方形ABEF折起,M为BE的中点
图9—55 图9—56
(1)当二面角E—AB—C为120°时,求异面直线AE与DM成的角.
(2)继续沿AB折起.当AE=DM时,求二面角E—AC—C的大小.
18.(11分)已知三棱锥P—ABCD中PA⊥面ABCD,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°，AB=2,PA=4,E为PC的中点.
(1)求证：平面BDE⊥平面ABCD.
(2)求B—DE—C的大小.
19.(11分)如图9—57,已知二面角α—PQ—β为60°,点A与点B分别在平面α和β上,点C在棱PQ上,∠ACP＝∠BCP＝30°,CA＝CB＝a.
图9—57
(1)求证：AB⊥PQ;
(2)求点B到平面α的距离;
(3)设R是线段CA上的点,直线BR与平面α所成角为45°,求线段CR的长度．
20.(2003年高考·上海)(12分)已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,A1A⊥平面ABCD,AB=4,AD=2.若B1D⊥BC,直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°,求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.
图9—58
21.(2003年高考·北京)(15分)如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为3,侧棱AA1=,D是CB延长线上一点,且BD=BC.
图9—59
(Ⅰ)求证：直线BC1∥平面AB1D;
(Ⅱ)求二面角B1—AD—B的大小;
(Ⅲ)求三棱锥C1—ABB1的体积.
22.(14分)(2000年高考·全国)如图9—60,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°．
图9—60
(1)证明：C1C⊥BD;
(2)假定CD＝2,CC1＝,设面C1BD为α,
面CBD为β,求二面角α—BD—β的平面角的余弦值;
(3)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.
第九章 直线、平面、简单几何体
高中新课程复习导学 高三第一轮复习资料·数学
【知识网络】
第66课时 平面、空间两条直线
【考点目标】
1.掌握平面的基本性质,会利用性质证明简单的共点、共线、共面问题.
2.了解空间两条直线的位置关系;掌握两条直
线所成的角和距离的概念,会计算给出的异面直线的公垂线段的长.
【目标解读】
1、 平面：几何里的平面是无限延伸的。
2、 平面的基本性质：平面的基本性质包括三个公理有三个推论，它们是立方体几何的
理论基础。
（1）、公理1是判断直线在平面内的依据。
（2）、公理2是判断两平面相交、作两个平面的交线、证明点在直线上或多点共线的依据。
（3）、公理3及其推论均是确定平面的依据，所谓“确定”是“有且只有”或“存在且唯一”的意思。
3、斜二测画法是画水平放置的平面直观图的方法。
4、空间两条直线的位置关系包括：平行、相交与异面。
5、平行直线：掌握三线平行公理、等角定理及其推论。
6、异面直线：掌握异面直线的概念、异面直线的判定、异面直线所成的角及其异面直线的距离。
【典例分析】
［例1］回答下列问题：
(1)若a∥b,b∥c,那么a∥c吗？a、b、c共面吗？
(2)过直线外一点作该直线的平行线,能作几条？怎样作法？
(3)过直线外一点作该直线的垂线,能作几条？
(4)分别和两条异面直线都相交的两条直线,其位置关系如何？
(1)【分析】由平行公理知,a∥c.但a,b,c不一定共面,例如平行六面体中相互平行的棱.
【答案】a∥c,a,b,c不一定共面.
(2)【解析】由平行公理可知,这样的直线有且只有一条.可在直线和直线外一点确定的平面内.用平面几何知识作已知直线的平行直线.
【答案】1条.
(3)【解析】过直线外一点作该直线的垂面,则该平面内任何一条过已知点的直线都符合要求.
【答案】无数条.
(4)【解析】当有四个交点时(图9—1)可用反证法证明AB、CD为异面直线;当有三个交点时(图9—2),AB、AC为相交直线.
图9—1 图9—2
【答案】异面或相交 .
［例2］如图9—3,四面体AB—CD中,E、G分别为BC、AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=2∶3,DH∶HA=2∶3.
求证：EF、GH、BD交于一点.
图9—3
【证明】连结GE、HF,
∵E、G分别为BC、AB的中点
∴GE∥AC.
又∵DF∶FC=2∶3 DH∶HA=2∶3.
∴HF∥AC ∴GE∥HF,
故G、E、F、H四点共面.
又∵EF与GH不能平行.
∴EF与GH相交,设交点为O.
则O∈面ABD,O∈面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD.
∴EF、GH、BD交于一点.
【注】证明线共点,常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法,而第三条直线又往往是两平面的交线.
［例3］如图9—4,已知α∩β=a,bα,cβ,b∩a=A,c∥a,求证b与c是异面直线.
图9—4
【证明】假设b与c不是异面直线,即b与c在同一平面γ内,则γ∩α=b,γ∩β=c,
∵a∥c,∴a∥γ,又aα,且α∩γ=b,
∴a∥b,这与b∩a=A矛盾,
因此b与c不能共面,故b、c为异面直线.
【注】 反证法是一种重要的证明问题的方法,其一般步骤为：1°否定结论AB C.2°而C不合理(与公理、定理、题设矛盾),因此假设错误.3°肯定原结论成立.
【课堂精练】
1、下列命题哪个是真命题( )
A.空间不同三点确定一个平面
B.空间两两相交的三条直线确定一个平面
C.空间任何有三个内角是直角的四边形是平面四边形
D.和同一直线都相交的三条平行直线在同一平面内
2、如图9—5,直线a,b相交于O,且a,b成60°角,过O与a,b都成60°角的直线有( )
图9—5
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
3、如图9—6,正方形ABCD—A1B1C1D1的棱长为a, 那么：(1)哪些棱所在直线与直线BA1成异面直线？ .
图9—6
(2)直线BA1与CC1所成的角大小为 .
(3)直线BA1与B1C所成角的大小为 .
(4)异面直线BC与AA1的距离为 .
(5)异面直线BA1与CC1的距离是 .
4、在二面角α—l—β中, A、B∈α,C、D∈l, ABCD是矩形,P∈β,PA⊥α,且PA＝AD,M、N依次是AB、PC的中点.
(1)证明：MN是异面直线AB和PC的公垂线;
(2)求异面直线PA与MN所成的角.
【学习领悟】
【课外提高】
1.两条相交直线l、m都在平面α内且都不在平面β内.命题甲：l和m中至少有一条与β相交,命题乙:平面α与β相交,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.非充分非必要条件
2.a、b为异面直线,且分别在平面α、β内,若α∩β=l,则直线l必定( )
A.分别与a、b相交 B.至少与a、b之一相交
C.与a、b均不相交 D.至多与a、b之一相交
3.一个四边形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底的长均为1的等腰梯形,那么原四边形的面积是_____.
4.(2003年高考·上海)在正四棱锥P—ABCD中,若侧面与底面所成二面角的大小为
60°,则异面直线PA与BC所成角的大小等于_____.(结果用反三角函数值表示)
5.已知△ABC在平面α外,它的三边所在直线分别交平面α于P、Q、R,求证：P、Q、R三点共线.
6、三个平面两两相交,有三条交线,求证这三条交线相交于一点或互相平行
第67 课时 直线与平面平行
【考点目标】
掌握空间直线和平面的位置关系以及直线与平面平行的性质定理和判定方法,并用以论证和解决有关问题.
【目标解读】
1、直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行。
2、直线与平面平行的判定
（1）、直线与平面平行的判定：直线与平面平行的判定，除用定义外，主要是用判定定理，此外还用到其它特殊位置关系的性质定理。
①（定义）如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。
②（判定定理）如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和平面平行。
③如果平面外的两条平行直线中有一条和平面平行，那么另一条也和这个平面平行。
④如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面。
⑤一个平面和不在这个平面内的一条直线都垂直于另一个平面，那么这条直线平行于这个平面。
（2）直线和平面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
【典例分析】
［例1］如图9—7,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB,且AM=FN,求证：MN∥平面BCE.
图9—7
【证法一】过M作MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q为垂足(图9—11),连结PQ,
∵MP∥AB,NQ∥AB,∴MP∥NQ,又NQ=BN=
CM=MP,
∴MPQN是平行四边形.
∴MN∥PQ,PQ 平面BCE.
而MN 平面BCE,∴MN∥平面BCE.
【证法二】过M作MG∥BC,交AB于G(如图9—8),连结NG,
图9—8
∵MG∥BC,BC平面BCE.
MG平面BCE,
∴MG∥平面BCE.
又
∴GN∥AF∥BE,同样可证明GN∥平面BCE.
面MG∩NG=G,
∴平面MNG∥平面BCE.又MN 平面MNG,
∴MN∥平面BCE.
【注】 证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法①利用直线和平面平行的判定定理,通过“线线”平行,证得“线面”平行;②利用两平面平行的性质定理,通过“面面”平行,证得“线面”平行.
［例2］如图9—9,设a,b是异面直线,AB是a、b的公垂线,过AB的中点O作平面α与a、b分别平行,M、N分别是a、b上的任意两点,MN与α交于点P,求证：P是MN的中点.
【证明】连结AN,交平面α于点Q,连PQ,
∵b∥α,b 平面ABN,平面ABN∩α＝OQ,
∴b∥OQ,又O为AB的中点,
∴Q为AN的中点.
∵a∥α a平面AMN且平面AMN∩α=PQ
∴a∥PQ,
∴P为MN的中点.
【注】 本题重点考查直线与平面平行的性质.
［例3］如图9—10,四面体A—BCD被一平面所截,截面EFGH是一个矩形.
图9—10
(1)求证：CD∥平面EFGH.
(2)求异面直线AB、CD所成的角.
(1)【证明】∵截面EFGH是一个矩形,
∴EF∥GH,又GH 平面BCD.
∴EF∥平面BCD,而EF 面ACD,面ACD∩面BCD=CD
∴EF∥CD,
∴CD∥平面EFGH.
(2)【解】由(1)知CD∥EF,同理AB∥FG,由异面直线所成角的定义知∠EFG即为所求的角.
∴AB、CD所成角为90°.
【注】 欲证线面平行,可先证线线平行,欲证线线平行,可先证线面平行,反复运用直线与平面平行的判定、性质,在同一题中也经常用到.
【课堂精练】
1.直线a与平面α内的两条直线都垂直,则a与α的位置关系是( )
A.垂直 B.平行
C.斜交 D.上述都有可能
2.关于直线a、b、l以及平面M、N,下列命题中正确的是( )
A.若a∥M,b∥M,则a∥b
B.若a∥M,b⊥a,则b⊥M
C.若aM,bM,且l⊥a,l⊥b,则l⊥M
D.若a⊥M,a∥N,则M⊥N
3..在四面体ABCD中,M、N分别是面△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是 .
4、四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,侧面PBC内,有BE⊥PC于E,且BE=a,试在AB上找一点F,使EF∥平面PAD.
【学习领悟】
【课外提高】
1.a、b是两条异面直线,A是不在a,b上的点,则下列结论成立的是( )
A.过A有且只有一个平面平行于a、b
B.过A至少有一个平面平行于a、b
C.过A有无数个平面平行于a,b
D.过A且平行a,b的平面可能不存在
2.若两直线a与b相交,且a平行于平面α,则b与α的位置关系_____.
3.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内,斜边AB∥α, AB=2,AC、BC分别和平面α成45°和30°角,则AB到平面α的距离为_____.
4.下列命题中正确的是_____.
①一直线和两条平行线中的一条垂直必和另一条也垂直;
②空间四点A、B、C、D,若直线AB和直线CD是异面直线,那么直线AC和直线BD也是异面直线;
③空间四点若不在一个平面内,则其中任意三点不在同一直线上;
④两条平行线中的一条与一个平面平行,那么另一条也平行于这个平面.
5.如图9-11，已知l是过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线,(1)求证：D1B1∥l;
(2)若AB=a,求l与D1间的距离.
图9-11
6.如图9-12，已知：△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别为AC、AB的中点,沿DE将△ADE折起,使A到A′的位置,若平面A′DE⊥平面BCDE,M是A′B的中点,求证：ME∥面A′CD.
图9—12
第 68 课时 直线与平面垂直
【考点目标】
掌握直线与平面垂直的判定与性质,正确理解点到平面的距离、平行直线到平面的距离;并会利用上述知识论证和解决有关问题.
【目标解读】
1.直线与平面垂直的判定和性质
(1)直线与平面垂直的判定
①（定义）如果一条直线和和一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。
②（判定定理1）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
③（判定定理2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
④（面面垂直的性质定理）如果两个平面垂直，那么第一平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
⑤（两平面平行的性质定理）如果两个平面平行，那么与其中一个平面垂直的直线也与另一个平面垂直。
⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。
⑦如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面。
(2)如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
2.斜线在平面上的射影
(1)过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
(2)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
(3)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
【典例分析】
【例1】 如果β⊥α,γ⊥α,β∩γ＝a,求证a⊥α.
图9—13
【证法一】设β∩α＝AB,γ∩α＝BC在平面α内任取一点P,过P作PM⊥AB,PN⊥BC
则PM⊥β,PN⊥γ
∵β∩γ＝a ∴PM⊥a,PN⊥a
∵PM α,PN α
PM∩PN＝P ∴a⊥α.
【证法二】过a上一点E,作EE′⊥α,∵E∈a,
aβ,E∈β,β⊥α
∴EE′β 同理EE′γ
∴EE′＝γ∩β
∵γ∩β＝a∴a与EE′重合,∴a⊥α.
【证法三】假设a不垂直于平面α,过a上一点E,作EE′⊥α,∵E∈a,a β,β⊥α
∴EE′β 同理EE′γ,
∴EE′＝β∩γ,这与β∩γ＝a矛盾.
∴a⊥α.
〖点评〗 选本题意在通过本题使学生掌握线面垂直的判定方法.特别是线面垂直的判定定理,在无条件情况下,要创造条件(即作垂线)把线面关系转化为线线关系.同一法、反证法也是证明线面垂直的一种方法.
［例2］如图9—14,四边形ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过A且垂直SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G,求证：AE⊥SB, AG⊥SD.
图9—14
【证明】∵平面AEFG⊥SC,∴SC⊥AE,又SA⊥平面ABCD,
∴SA⊥BC又AB⊥BC
∴BC⊥平面SAB, AE平面SAB∴BC⊥AE又AE⊥SC∴AE⊥平面SBC,
∴AE⊥SB同理可证AG⊥SD.
〖点评〗 选此题意在使学生通过此题掌握证不共面的线线垂直的方法.一般是先证线面垂直,即证其中一线垂直于过另一线的平面.合理选择平面是解题的关键.
［例3］如图9—15,ABCD为直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥平面ABCD.PA=a.
图9—15
(1)求证：PC⊥CD.
(2)求点B到直线PC的距离.
(1)【证明】取AD的中点E,连AC、CE,则ABCE为正方形,△CED为等腰直角三角形,
∴AC⊥CD.
∵PA⊥平面ABCD,
∴AC为PC在平面ABCD上的射影,∴PC⊥CD.
(2)【解】连BE交AC于O,则BE⊥AC,又BE⊥PA,AC∩PA=A,
∴BE⊥平面PAC.
过O作OH⊥PC于H,则BH⊥PC,
∵PA=a,AC=a,PC=a,
∴OH=·,
∵BO=a,
∴BH=a.
【课堂精练】
1.“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.四面体ABCD的四个面中,是直角三角形的面至多有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件__ ___时,有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况).
4．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1与AB的中点.
(1)求A1B1与截面A1ECF所成的角.
(2)求点B到截面A1ECF的距离.
【学习领悟】
【课外提高】
1.(2003年高考·新课程)下列五个正方体图形中,l是正方体的一条对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出l⊥面MNP的图形的序号是_____.(写出所有符合要求的图形序号)
2.已知直线a∥平面α,且a与α之间的距离为4m(m＞0),则到直线a的距离和到平面α的距离都为3 m的点的集合是( )
A.一个平面 B.两个相交平面
C.一条直线 D.两条平行直线
3.△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2 cm,3 cm,4 cm,且它们在α的同侧,则△ABC的重心到平面α的距离为_____.
4.(2000年高考·全国)如图,E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 ．(要求：把可能的图的序号都填上)
5.如图9—16,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面∠ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,
图9—16
求证：(1)BC⊥平面PAB;
(2)AE⊥平面PBC,
(3)PC⊥平面AEF.
6.如图9—17,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M为AB边上的一个动点,求PM的最小值.
图9—17
第69 课时 两个平面平行
【考点目标】
掌握两平面平行的判定和性质,正确理解两平行平面间的距离,并能利用上述知识解决有关问题.
【目标解读】
1.两平面的位置关系：平行和相交。
2.两平面平行的判定与性质
（1）、两平面平行的判定
①如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行。
②如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
③垂直于同一直线的两个平面平行。
④平行于同一平面的两个平面平行。
（2）两平面平行的性质
①如果两个平面平行，那么，其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
②如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
【典例分析】
［例1］如图9—18在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点,求证：
(1)AP⊥MN;
(2)平面MNP∥平面A1BD.
图9—18
【证明】(1)连BC1、B1C,则B1C⊥BC1,BC1是AP在面BB1C1C上的射影.
∴AP⊥B1C,又B1C∥MN,∴AP⊥MN．
(2)连结B1D1,∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点,
∴PN∥B1D1,又B1D1∥BD
∴PN∥BD,又PN不在平面A1BD上,
∴PN∥平面A1BD.
同理MN∥平面A1BD,又PN∩MN＝N
∴平面PMN∥平面A1BD.
【评述】 将空间问题转化为平面问题,是解决立体几何问题的重要策略,关键在于选择或添加适当的平面或线.由于M、N、P都为中点,故添加B1C、BC1作为联系的桥梁.
［例2］a和b是两条异面直线．
(1)求证：分别过a和b存在平面α和β,使α∥β．
(2)求证：a,b间的距离等于平面α与β的距离．
图9—19
【证明】(1)在直线a上取一点P,过P作b′∥b,在直线b上取一点Q,过Q作a′∥a,设a、b′确定一个平面α,a′、b确定一个平面β,a′∥a,aα,
∴a′∥α,同理b∥α,又a′、bβ,
∴α∥β,因此分别过a和b存在平面α和β,使α∥β．
(2)设AB是a和b的公垂线,则AB⊥b,AB⊥a,
∴AB⊥a′,a′和b是β内的相交直线,
∴AB⊥β．同理AB⊥α,因此a、b间的距离等于α与β间的距离．
【评述】 本题实际上提供了求异面直线间的距离的一种方法：为求两异面直线间的距离,可把两异面直线设法放置在两平行平面内,求出两平行平面间的距离．把线线距离转化为面面距离．
［例3］如图9—20,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=a.
图9—20
(1)求证：平面AD1B1∥平面C1DB.
(2)求证：A1C⊥平面AD1B1.
(3)求平面AB1D1与平面BC1D之间的距离.
(1)【证明】∵D1B1∥DB,∴D1B1∥平面C1DB,
同理AB1∥平面C1DB,
又D1B1∩AB1=B1 ∴平面AD1B1∥平面C1DB.
(2)【证明】∵A1C1⊥D1B1,而A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的射影,
∴A1C1⊥D1B1,
同理A1C⊥AB1,D1B1∩AB1=B1
∴A1C⊥平面AD1B1.
(3)【解】设A1C∩平面AB1D1=M,
A1C∩平面BC1D=N,O1、O分别为上底面A1B1C1D1、下底面ABCD的中心,
则M∈AO1,N∈C1O,且AO1∥C1O
MN的长即等于平面AD1B1与平面C1DB的距离.
即MN=A1M=NC=A1C=a.
【课堂精练】
1.若平面α∥平面β,直线aα,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数多条与a平行的直线
D.存在惟一一条与a平行的直线
2.设a,b是两条互不垂直的异面直线,过a,b分别作平面α、β,对于下面四种情况①b∥α,②b⊥α, ③α∥β,④α⊥β,可能的情况有( )
A.1种 B.2种
C.3种 D.4种
3、.a、b、c为三条不重合直线,α、β、γ为三个不重合的平面,直线均不在平面内,给出六个命题：
其中正确的命题是 (将正确的序号都填上).
4、两条线段AB、CD所在的直线是异面直线,CD 平面α,AB∥α,M、N分别是AC、BD的中点,且AC是AB、CD的公垂线段.
(1)求证：MN∥α.
(2)若AB=CD=a,AC=b,BD=c,求线段MN的长
【学习领悟】
【课外提高】
1.下列命题中,错误的是( )
A.三角形的两条边平行一个平面,则第三边也平行于这个平面
B.平面α∥平面β,aα,过β内的一点B有惟一的一条直线b,使b∥a
C.α∥β,γ∥δ,α、β、γ、δ的交线为a、b、c、d,则a∥b∥c∥d
D.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件
2.(2003年高考·上海)在下列条件中,可判断平面α与β平行的是( )
A.α、β都垂直于平面γ
B.α内存在不共线的三点到β的距离相等
C.l,m是α内两条直线,且l∥β,m∥β
D.l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β
3. 已知AB、CD是夹在两平行平面α、β之间的两条线段,AB⊥CD,AB=2,AB与平面α成30°角,则线段CD的范围是( )
A.() B.+∞
C.(1,) D.[1,+∞
4．设平面α∥β,A、C∈α,B、D∈β,直线AB与CD交于S,若AS＝18,BS＝9,CD＝34,则CS＝ .
5.如图9—36,平面α∥平面β,A、C∈α,B、D∈β,点E、F分别是线段AB、CD的中点,求证EF∥β.
图9-21
6.在四棱锥P—ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,
(1)求证：MN∥平面PAD;
(2)当MN⊥平面PCD时,求二面角P—CD—B的大小
第70 课时 两个平面垂直
【考点目标】
掌握两平面垂直的定义、判定、性质,熟练掌握两平面垂直的性质、判定的应用,并用以解决实际问题
【目标解读】
两平面垂直的判定与性质
1.两平面垂直的判定
(1)（定义）两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直。
(2)（判定定理）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
2.两个平面垂直的性质
（1）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
（2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。
【典例分析】
［例1］ 如图9—22，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=
60°,∠BSC=90°,求证：平面ABC⊥平面BSC.
图9—22
【证明】∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°.
∴AB=AC,取BC的中点O,连AO、SO,则AO⊥BC,SO⊥BC,
∴∠AOS为二面角的平面角,
设SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°,
∴BC=a,SO=a,
AO2=AC2－OC2=a2－a2=a2,
∴SA2=AO2+OS2,
∴∠AOS=90°,从而平面ABC⊥平面BSC.
【评述】要证两平面垂直,证其二面角的平面角为直角.这也是证两平面垂直的常用方法.
［例2］如图9—23,在三棱锥S—ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.
图9—23
(1)求证：AB⊥BC;
(2)若设二面角S—BC—A为45°,SA=BC,求二面角A—SC—B的大小.
(1)【证明】作AH⊥SB于H,
∵平面SAB⊥平面SBC.∴AH⊥平面SBC,
又SA⊥平面ABC,
∴SA⊥BC,SA在平面SBC上的射影为SB,
∴BC⊥SB,又SA∩SB=S,
∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.
(2)【解】∵SA⊥平面ABC,
∴平面SAB⊥平面ABC,又平面SAB⊥平面SBC,
∴∠SBA为二面角S—BC—A的平面角,
∴∠SBA=45°.设SA=AB=BC=a,
作AE⊥SC于E,连EH,则EH⊥SC,∠AEH为二面角A—SC—B的平面角,
AH=a,AC=a,SC=a,AE=a
∴sinAEH=,二面角A—SC—B为60°.
【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法
［例3］如图9—24,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD=a,M、N分别是AB、PC的中点.
图9—24
(1)求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小;
(2)求证：平面MND⊥平面PCD
(1)【解】PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,
∴PD⊥CD,故∠PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角,在Rt△PAD中,PA=AD,
∴∠PDA=45°
(2)【证明】取PD中点E,连结EN,EA,则EN CD AM，
∴四边形ENMA是平行四边形,
∴EA∥MN.
∵AE⊥PD,AE⊥CD,
∴AE⊥平面PCD,
从而MN⊥平面PCD,
∵MN平面MND,
∴平面MND⊥平面PCD.
【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直,本题中要证MN⊥平面PCD较困难,转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了.另外,在本题中,当AB的长度变化时,可求异面直线PC与AD所成角的范围.
【课堂精练】
1.在三棱锥A—BCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD是锐角三角形,那么必有( )
A.平面ABD⊥平面ADC
B.平面ABD⊥平面ABC
C.平面ADC⊥平面BCD
D.平面ABC⊥平面BCD
2.直三棱柱ABC—A1B1C1中,
∠ACB=90°,AC=AA1=a则点A到平面A1BC的距离是( )
A. a B.a C.a D.a
3.三个平面两两垂直,它们的三条交线交于一点O,P到三个面的距离分别是3,4,5,则OP的长为( )
A.5 B.5 C.3 D.2
4．如图9—42,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点.
图9—25
(1)求证：平面MNF⊥平面ENF.
(2)求二面角M—EF—N的平面角的正切值.
【学习领悟】
【课外提高】
1.下列命题中,错误的是( )
A.若一直线垂直于一平面,则此直线必垂直于此平面内所有直线
B.若一个平面通过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直
C.若一直线垂直于一个平面内的一条垂线,则此直线平行于这个平面
D.若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它也和这条斜线垂直
2.m、n表示直线,α、β、γ表示平面,给出下列四个命题：
①α∩β=m,nα,n⊥m,则α⊥β
②α⊥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m⊥n
③α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,则m⊥α
④m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β
其中正确命题为( )
A.①与② B.②与③
C.③与④ D.②与④
3.棱长都是2的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,∠BAD=60°,则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为_____.
4.E、F分别是正方形ABCD的边AB和CD的中点,EF、BD相交于O,以EF为棱将正方形折成直二面角,则∠BOD=_____.
5．四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方体,PA⊥底面ABCD,E为AB的中点,且PA=AB.
(1)求证：平面PCE⊥平面PCD;
(2)求点A到平面PCE的距离.
第71课时 空间向量及其运算
【考点目标】
理解空间向量的概念、掌握空间向量的加法、减法、数乘和数量积运算及其性质.
【目标解读】
1.空间向量及其加减与数乘运算
(1)空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
(2)空间向量的加法、减法与数乘向量的意义（略）
(3)空间向量的加法与数乘运算满足如下运算律：
1 法交换律：a+b=b+a
②加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)
③数乘分配律：λ(a+b)= λa+λb
2.共线向量与共面向量
(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
(2)共线向量定理：对于空间任意向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
推论：如果直线l为经过已知点A且平行于已知非零向量 a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式ta.
其中向量a叫做直线l的方向向量。
(2)共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使p=xa+yb。
推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使
2.平面向量的基本定理
平面向量的基本定理：如果有三个a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc.
推论：设O、A、B、C，是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序数组x,y,z,使
3.两向量的数量积
(1)已知空间两个向量a,b则a,b的数量积为：其中〈a,b>表示向量a,b的夹角，其范围为【0，π】.
(2)空间向量的数量积有如下性质：
(3)空间向量满足如下运算律：
【典例分析】
［例1］对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C,有=x+y+z(x、y、z∈R),则x+y+z=1是四点P、A、B、C共面的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】若四点P、A、B、C共面,根据共面定理知：
=λ+ω(λ,ω∈R)
∴－=λ(－)+ω(－)
=(1－λ－ω)+λ+ω
令x=1－λ－ω,y=λ,z=ω.
即=x+y+z,
x+y+z=1
反之若x+y+z=1,则x=1－y－z代入已知条件得
=(1－y－z)+y+z
于是,－=y(－)+2(－)
即：=y
由共面向量定理知P、A、B、C四点共面.故选C.
［例2］对于任何空间四边形,试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面.
【分析】要证明EF、BC、AD平行于同一平面(E、F分别为AB、CD的中点),只要证明相应向量与、共面即可.
【证明】如图9—26,利用多边形加法法则可得,
＝＋＋,＝＋＋ ①
图9—26
又E、F分别是AB、CD的中点,
故有 ②
将②代入①后,两式相加得
2,
∴＝
即、共面,
∴EF与AD、BC平行于同一平面.
【评注】本题若用立体几何知识去证明,有一定的难度,由此体会向量法证明的优越性.
［例3］直三棱柱ABC—A1B1C1中,BC1⊥AB1,BC1⊥A1C,求证：AB1＝A1C.
图9—27
【证明】∵
,∴.
同理
,
∴
=0.
设D为BC的中点,则
∴2＝0,∴BC⊥AD
∴AB＝AC,又A1A＝B1B,∴A1C＝AB1.
【说明】 从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题,要用到空间多边形法则、向量的运算、数量积以及平行、相等和垂直的条件.
【课堂精练】
1.在以下四个式子：a+b·c,a·(b·c),a(b·c),|a·b|=|a|·|b|中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
2.点O、A、B、C为空间四个点,又、、为空间的一个基底,则( )
A.O、A、B、C四点不共线
B.O、A、B、C四点共面,但不共线
C.O、A、B、C四点中任三点不共线
D.O、A、B、C四点不共面
3.已知a+3b与7a－5b垂直,且a－4b与7a－2b垂直,则
4.如图，已知四边形ABCD中,=a－2c,=5a+6b－8c,对角线AC、BD的中点分别为E、F,则=_____.
5、在平行四边形ABCD中,AB＝AC＝1,∠ACD＝90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B、D间的距离.
【学习领悟】
【课外提高】
1.若A、B、P三点共线,O为空间任意一点,＝α＋β (α,β∈R),则α＋β等于( )
A．0 B．1
C．与点O有关 D．不确定
2.若｛a、b、c｝为空间的一个基底,则下列各项中能构成基底的一组向量是( )
A．a,a＋b,a－b B．b,a＋b,a－b
C．c,a＋b,a－b D．a＋b,a－b,a＋2b
3.已知ABCD为矩形,P点为平面ABCD外一点,且PA⊥面ABCD,G为△PCD的重心,若＝x＋y z,则x＝ ,y＝ ,z＝ .
4.已知空间四边形ABCD,求值·＋·＋·＝ .
5.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,求异面直线BA1与AC所成的角.
6.求证：空间四边形对角线互相垂直的充要条件是对边平方和相等.
第72 课时 空间向量的坐标运算
【考点目标】
1.理解空间右手直角坐标系,掌握空间点的坐标、向量坐标的意义.
2.熟练掌握向量运算的坐标表示,两点间的坐标公式,夹角公式.
3.熟练掌握a∥b,a⊥b的坐标表示.
4.会运用公式解决几何中的有关问题(平行、垂直、夹角、距离等问题).
【目标解读】
1.空间直角坐标坐标系
在空间中选定一点O和一个单位正交基底{I,j,k},以O为原点，分别以I,j,k的方为x,y,z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz,点O叫做坐标原点，向量I,j,k都叫坐标向量。
在单位正交基底I,j,k中与向量对应的有序数组（x,y,z）,叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z).其中x,y,z分别叫做点A的横、纵、竖坐标。
2.向量的直角坐标运算
∥a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3（λ∈R）
或
设A（x1,y1,z1）,B(x2,y2,z2),则
3.夹角公式和距离公式
（1） 夹角公式：
设则
(2)空间两点间的距离公式：设A（x1,y1,z1）,B(x2,y2,z2)则
【典例分析】
［例1］已知a=(cosα,1,sinα), b=(sinα,1,cosα)则向量a+b与a－b的夹角是( )
A.90° B.60° C.30° D.0°
【解法一】∵|a|=|b|
∴(a+b)·(a－b)=a2－b2=|a|2－|b|2=0
∴(a+b)⊥(a－b) (选A)
【解法二】 a+b=(sinα+cosα,2,sinα+cosα)
a－b=(cosα－sinα,0,sinα－cosα)
=0
∴
［例2］(2000年高考·二省一市)如图，直棱柱ABC—A1B1C1,底面△ABC中,CA＝CB＝1,∠BCA＝90°,棱AA1＝2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.
(1)求的长;(2)求cos<,>的值;(3)求证A1B⊥C1Ｍ．
(1)【解】依题意得B(0,1,0),N(1,0 ,1),
∴．
(2)【解】A1(1,0 ,2),B(0,1,0),C(0,0 ,0),B1(0,1,2)
∴＝(1,－1,2),＝(0,1,2), ·＝3,｜｜＝,｜｜＝.∴cos<, >＝.
(3)【证明】C1(0,0 ,2),Ｍ(,,2),
＝(－1,1,－2),,
∴·＝0 ∴A1B⊥C1M.
【评述】 本题已知条件和结论具有一定的解题方向性,它明确告诉我们用向量的方法.因此,用向量法解立体几何问题是今后高考的一个方向,读者应引起足够的重视.
［例3］设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(－5,－4,8),求D到平面ABC的距离.
【解】设平面ABC的法向量n=(x,y,z)
∵n· =0 n· =0
∴
即
令z=－2
则n=(3,2,－2)
∴点D到平面ABC的距离为d
d=||·|cos
【课堂精练】
1.在空间直角坐标系中,点P(1,,),过P作平面yOz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为( )
A．(0, ,0) B．(0, ,)
C．(1,0 ,) D．(1,,0)
2.若A、B两点的坐标是A(3cosα,3sinα,1),B(2cosθ,2sinθ,1),则｜｜的取值范围是( )
A．[0,5] B．[ 1,5]
C．(1,5) D．[1,25]
3.点A(1,0 ,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)这四个点是否共面： (共面或不共面)
4.已知F1＝i＋2j＋3k,F2＝－2i＋3j－k,F3＝3i－4j＋5k,若F1、F2、F3共同作用于一物体上,使物体从点M1(1,－2,1)移到点M2(3,1,2),则合力所做的功是
5.(2003年春季高考·上海)已知三棱柱ABC—A1B1C1,在某个空间直角坐标系中, ={,0}, ={m,0,0},={0,0,n},其中m、n＞0.
图9—29
(1)证明：三棱柱ABC—A1B1C1是正三棱柱;
(2)若m=n,求直线CA1与平面A1ABB1所成角的大小.
【学习领悟】
【课外提高】
1.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),关于下列叙述
①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x,－y,z);
②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x,－y,－z);
③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x,－y,z);
④点P关于原点对称的点的坐标是P4(－x,－y,－z).
其中正确的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
2.已知a＝(1－t,1－t,t),b＝(2,t,t),则｜b－a｜的最小值是( )
A． B．
C． D．
3.已知向量a＝(1,1,0),b＝(－1,0 ,2),且ka＋b与2a－b互相垂直,则k值是( )
A．1 B． C． D．
4.已知空间三点A(1,1,1)、B(－1,0 ,4)、C(2,－2,3),则与的夹角θ的大小是
5.在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD＝9P°,AD∥BC,AB＝BC＝a,AD＝2a,PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角.
(1)若AE⊥PD,E为垂足,求证：BE⊥PD;(2)求异面直线AE与CD所成的角.
6、棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？
第73 课时 棱 柱
【考点目标】
理解棱柱的概念和性质,掌握棱柱的侧面积公式并能运用公式进行有关计算．能正确画出直棱柱、正棱柱的直观图．会解决棱柱的直截面的有关问题．
【目标解读】
1.棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱的概念。
2.棱柱的性质
(1)棱柱的每一个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的每一个侧面都是矩形；正棱柱的每一个侧面都是全等的矩形。
(2)棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。
(3)过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
3.平行六面体与长方体
(1)有关概念：平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体的概念。
(2)性质：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分。长方体一条对角长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。
4.有关计算
S直棱柱侧=底面周长×高，
S正棱柱侧=直截面周长×棱长；
V棱柱=底面积×高=直截面积×棱长。
5.直棱柱、正棱柱直观图的作法（略）。
【典例分析】
［例1］三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为d,=s,则三棱柱ABC—A1B1C1的体积为_____.
【解法一】(补形法,如图9—30)将三棱柱补成四棱柱,
则V三棱柱=V四棱柱=ds
图9—30 图9—31
【解法二】(分割法,如图9—31)连结A1B1A1C
则
【评述】 割补法是求体积常用的方法.
［例3］如图9—32,平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形.AA1与底面两条相邻边A1B1、A1D1成相等的锐角,求证：(1)A1A⊥BD;
(2)平面AA1C1C⊥平面A1B1C1D1.
图9—32
【证明】(1)∵底面A1B1C1D1为菱形,
∴A1C1⊥B1D1且E1为A1C1、B1D1的中点,A1C1平分∠B1A1D1,
即∠B1A1C1＝∠C1A1D1．
作AF⊥平面A1B1C1D1于F,则F在A1C1上
∵B1D1⊥A1C1,
∴AA1⊥B1D1
又BD B1D1 ∴AA1⊥BD
(2)∵AF⊥平面A1B1C1D1,又AFAA1C1C,
∴平面AA1C1C⊥平面A1B1C1D1．
［例4］如图9—33,若A1B1C1—ABC是正三棱柱,D是AC的中点.
图9—33
(1)证明：AB1∥平面DBC1;
(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.
(1)【证明】连结B1C、DC1、DB、BC1,并设B1C∩BC1＝E,连结DE,
∵ABC—A1B1C1为正三棱柱
,则B1BCC1为矩形,
∴E为B1C的中点,又D为AC的中点,
∴DE AB1,DE平面DBC1,
∴AB1∥平面DBC1.
(2)【解】∵平面ABC⊥平面BCC1B1,作AG⊥BC于G,则AG⊥平面BCC1B1,DF⊥BC于F,则DF⊥平面BCC1B1,且DF=AG.
∵DE⊥BC1,DF⊥平面BCC1,
∴EF⊥BC1,
∴∠DEF为二面角D—BC1—C的平面角.在△ABC中,
设边长为a,EＧ⊥BF,EF2＝FG·FB,EF＝
DF＝
∴∠DEF＝45°
【评述】 转化是数学的基本思想,本题中,证线面平行转化为线线平行,求二面角的大小转化为求平面角的大小.故要掌握这种转化思想.
【课堂精练】
1.设M＝｛正四棱柱｝,N＝｛直四棱柱｝,P＝｛长方体｝,Q＝｛直平行六面体｝,则四个集合的关系为( )
A.M P N Q B.M P Q N
C.P M N Q D.P M Q N
2.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是( )
A.棱柱有一条侧棱与底面垂直
B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直
C.棱柱有一个侧面是矩形,且与底面垂直
D.棱柱有两个侧面是矩形,且与底面垂直
【解析】A、C、D均为充要条件.
3.已知长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( )
A. 2 B.
C. 5 D. 6
4.在长方体ABCD—A1B1C1D1的上底面内有任意一点P,AP与交于A点的三条棱所成的角分别为α、β、γ,则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝_____．若AP与交于A点的三个面所成的角分别为α、β、γ,则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ ．
5、如图9—34在三棱柱ABC—A1B1C1中,底面边长AB＝AC＝2b,BC＝2b,AA1＝l,且∠A1AB＝∠A1AC＝60°,求这个三棱柱的侧面积及体积.
图9—34
【学习领悟】
【课外提高】
1.一个棱柱是正四棱柱的条件是( )
A.底面是正方形,有两个侧面是矩形
B.底面是正方形,有两个侧面垂直于底面
C.底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱
2.平行六面体成直平行六面体的一个充分必要条件是( )
A.它有两个矩形的侧面
B.它的一条侧棱垂直于底面
C.它有两条侧棱垂直于底面一边
D.它有两个侧面都垂直于底面
3.长方体的高等于h,底面积等于Q,垂直于底的对角面的面积等于M,则此长方体的侧面积等于 .
4.一个侧棱柱的高是h,直截面的周长是P,侧棱和底面所成的角是α,则它的侧面积是
5.在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB1＝BB1
(1)求证：AB1⊥BC1．
(2)求二面角A—BC1—C正切值．
6、(2003年春季高考·北京)正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4.E、F分别为棱AB、BC的中点,EF∩BD=G.
(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1;
(2)求点D1到平面B1EF的距离d;
(3)求三棱锥B1—EFD1的体积V.
第74课时 棱 锥
【考点目标】
1.掌握棱锥的定义、性质、表面积和体积公式.
2.掌握正棱锥的性质,并能熟练运用正棱锥的基本元素所构成的直角三角形求解、证明有关问题.
【目标解读】
1．棱锥的的概念：棱锥、正棱锥的概念。
2．棱锥的性质：
（1）正棱锥各侧棱长相等，侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底面上的高相等（斜高）。
（2）棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
（3）如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。
3．有关计算：
【典例分析】
［例1］根据下列条件,填写三棱锥P—ABC顶点P在底面ABC内的射影O的位置：
(1)三条侧棱相等( )
(2)侧棱和底面所成的角相等( )
(3)侧面与底面所成的角相等( )
(4)P到△ABC三边距离相等且O在△ABC内部( )
(5)三条侧棱两两垂直( )
(6)相对棱互相垂直( )
(7)PA＝PB＝PC,∠ACB＝90°( )
【解】(1)外心 (2)外心 (3)内心或旁心 (4)内心 (5)垂心 (6)垂心 (7)AB的中点
［例2］已知两条异面直线段的长分别为a、b,夹角为θ,距离为h,求证：以此二异面直线段为对棱的四面体的体积为abhsinθ.
图9—34
【证明】如图9—34,四面体ABCD中,AB＝a,CD＝b,AB、CD夹角为θ,距离为h,过B作BE∥CD,过C作CE∥BD交BE于E,连AE,则∠ABE＝θ或π－θ.因为CD∥平面ABE,∴AB与CD的距离为h,即CD到平面ABE的距离,即C到平面ABE的距离,即棱锥C—ABE底面ABE上的高,显然VC—ABE＝VA—BCE＝V A—BCD,VC—ABE＝·AB·BE·hsinθ＝abhsinθ
∴VA—BCD＝abhsinθ．
【评述】锥体的体积求解常常利用“等积变形”.
［例3］如图9—35,设三棱锥S—ABC的三个侧棱与底面ABC所成角都是60°,又∠BAC＝60°,且SA⊥BC．
图9—35
(1)求证S—ABC为正三棱锥;
(2)已知SA＝a,求S—ABC的全面积．
(1)【证明】正棱锥的定义中,底面是正多边形;顶点在底面上射影是底面的中心,两个条件缺一不可．作三棱锥S—ABC的高SO,O为垂足,连结AO并延长交BC于D．
因为SA⊥BC,所以AD⊥BC,又侧棱与底面所成的角都相等,
从而O为△ABC的外心,
OD为BC的垂直平分线,
所以AB＝AC．又∠BAC＝60°,
故△ABC为正三角形,且O为其中心,所以S－ABC为正三棱锥．
(2)【解】只要求出正三棱锥S—ABC的侧高SD与底面边长,则问题易于解决．在Rt△SAO中,由于SA＝a,∠SAO＝60°,所以SO＝a,AO＝a,因O为重心,所以AD＝AO＝a,BC＝2BD＝2ADcot60°＝a,OD＝AD＝a．
在Rt△SOD中,SD2＝SO2＋OD2＝(a)2＋(a)2＝,则SD＝a．
于是,SS－ABC全＝sin60°＋3··a·a＝a2．
【评述】 (1)求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S正棱锥底＝cosα·S正棱锥侧(α为侧面与底面所成的二面角),就本题cosα＝,S△ABC＝,所以SS－ABC侧＝a2÷＝a2,于是也可求出全面积．
(2)注意到高SO＝a,底面边长BC＝a是相等的,因此这类正三棱锥还有高与底面边长相等的性质,反之亦真．
(3)正三棱柱中,若侧棱与底面边长相等,则变成四个面都是正三角形的三棱锥,这时可称为正四面体,因此正四面体是特殊的正三棱锥,但正三棱锥不一定是正四面体．正方体沿相邻三个面上的对角线切割就形成正四面体．正四面体内对应元素相等．
【课堂精练】
1.(2003年春季高考·上海)若正三棱锥底面边长为4,体积为1,则侧面和底面所成二面角的大小等于_____.(结果用反三角函数值表示)
2.当圆锥的侧面积和底面积的比值是时,圆锥的轴截面顶角是( )
A.120° B.90° C.45° D.30°
3.一个圆锥的轴截面顶角为120°,母线长为1 cm,过顶点作圆锥的截面中最大截面面积为_____.
4．四棱锥P—ABCD中,底面是一个矩形,AB＝3,AD＝1,又PA⊥AB,PA＝4,∠PAD＝60°．
(1)求四棱锥P—ABCD的侧面积;
(2)求二面角P—BC—D的大小．
【学习领悟】
【课外提高】
1.若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( )
A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
2.正三棱锥底面边长为8,侧棱长为4,如果过底面一条边作截面,与相对的侧棱有交点,则截面面积的最小值为_____.
3.若四面体一条棱长为x,其余棱长都是2 cm,当四面体体积最大时,x取值是_____.
4.在三棱锥S—ABC中,侧面SAC⊥底面ABC,△SAC是边长为4的正三角形,△ACB为直角三角形,∠ACB＝90°,BC＝4.
(1)求证：侧面ASC⊥侧面BSC;
(2)求SB与底面ABC所成的角;
(3)求二面角S—AB—C的正切值.
5.正三棱锥P—ABC中,AB＝a,相邻两个侧面所成的二面角为θ．
图9—36
(1)若BD⊥PC,求BD的长;
(2)求这棱锥的侧面积．
第75 课时 多面体与正多面体
【考点目标】
了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式.
【目标解读】
1.有关概念：多面体、凸多面体、正多面体、简单多面体的概念。
2.多面体的概念有如下关系：
{多面体}{简单多面体}{凸多面体}{正多面体}
{凸多面体}{棱柱}{正棱柱}{正方体}
{凸多面体}{棱锥}{正棱锥}{正四面体}
3.欧拉公式
(1)欧拉公式：V+F-E=2。其中V表示简单多面体的顶点数、F表示面数、E表示棱数。
(2)由欧拉公式可以推出正多面体只有五种，即正四、六、八、十二、二十面体。
【典例分析】
［例1］连结正方体相邻面的中心,得到一个正八面体,那么这个正八面体与正方体的体积之比是_____.
【分析】设正方体棱长为1,则正八面体的棱长为,体积V八面体=2 × × ()2×.
图9—35
∴体积之比为1∶6.
［例2］一个凸多面体的棱数为30,面数为12,则它的各面多边形的内角总和为( )
A.5400° B.6480°
C.7200° D.7920°
【解】由欧拉公式V=E－F+2=20
∴内角总和为(V－2)×360°=6480°
［例3］如图9—36,在棱长为a的正四面体ABCD内,作一个正三棱柱A1B1C1—A2B2C2,当A1取在什么位置时,三棱柱的体积最大？
图9—36
【解】设AA1=x(0＜x＜a)
∵平面A1B1C1∥平面BCD.
又四面体ABCD为正四面体
∴四面体AA1B1C1也是正四面体
则A1B1=B1C1=C1A1=x
这两四面体的高分别为a和x则棱柱的高等于(a－x)∴V三棱柱
当x=a取等号
∴当点A1为棱AB上的分点时,体积最大为a3.
【评述】 本题关键是建立目标函数V=x2(a－x),然后通过配凑用均值不等式求最值,也可用求导的方法.
【课堂精练】
1.在一个倒置的正三棱锥容器内放一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都相切,过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )
2．一个正多面体的每个面都是三角形,从每个顶点引出的棱都有4条,则该正多面体为( )
A.正四面体 B.正六面体
C.正八面体 D.正十二面体
3．正多面体只有___种,分别为正
4.长方体的一个顶点上三条棱长为3,4,5,且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的表面积是( )
A.20π B.25π
C.50π D.200π
5.半径为R的球的内接正四面体和外切正四面体的棱长之比为_____.
【学习领悟】
【课外提高】
1.空间有8个点,任何三个点不共线,任何四点不共面,经过每两点的所有直线中有_____对异面直线.
2.如图，点O为正四面体内一点且OA=OB=OC=OD,则∠AOB的余弦值为( )
A.－ B.
C.－ D.
3.正方体的内切球与外接球半径之比为_____.
4.正三棱锥相邻两侧面所成的二面角的大小,不能为( )
A.90° B.60° C.120° D.150°
5.C60是由60个C原子构成的分子,它是一个形如足球的多面体,这个多面体有60个顶点,每一顶点处都有三条棱,面的形状只有五边形和六边形,求五边形和六边形的个数.
第76课时 球
【考点目标】
掌握球的定义、性质、直观图画法,球面积及球的体积公式,会运用球的截面,把有关球的问题转化为平面问题,会计算球面距离.
【目标解读】
1.球的概念和性质
(1)有关概念：球面与球的概念。
(2)球的性质：用一个平面截球，截面是圆面。球的截面有如下的性质：
①球心与截面圆心的连线垂直于截面
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有下面的关系：
2.有关计算
(1)球的体积：
(2)球的表面积：
【典例分析】
［例1］如图9—37,在北纬45°的纬度圈上有A、B两点,它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上,设地球的半径为R,求A、B两点的球面距离.
图9—37
【解】如图9—37设北纬45°圈的圆心为O′,地球中心为O,
则∠AO1B＝160°－70°＝90°,∠OBO1＝45°,OB＝R,
∴O1B＝O1A＝R,AB＝R,连接AO、AB,则AO＝BO＝AB＝R,
∴∠AOB＝60°,∴＝2πR＝πR
故A、B两点间球面距离为πR．
【评述】 为求A、B两点间球面的距离,要把它组织到△AOB中去分析.只要求得∠AOB的度数便可求得球面距离.注意余弦定理的应用.
［例2］求半径为R的球的内接长方体体积的最大值.
图9—38 图9—39
【解】作截面ACC1A1,设∠CAC1=θ
则C1C=2Rsinθ
AC=2Rcosθ
∴AB=Rcosθ.
∴V=AB2·CC1=2R2cos2θ·2Rsinθ
=4R3·cos2θsinθ
=4R3=
当且仅当2sin2θ=cos2θ,即tanθ=时取等号.
【评述】 立体几何中的最值问题,首先确定目标函数再求其最值.
［例3］已知球的半径为R,在球内作一个内接圆柱,这个圆柱底面半径与高为何值时,它的侧面积最大 侧面积的最大值是多少
图9—40
【解】如图9—40为轴截面,令圆柱的高为h,底面半径为r,侧面积为S,则()2＋r2＝22,即h=2．
∵S＝2πrh＝4πr·＝4π≤4π＝2πR2,
取等号时,内接圆柱底面半径为R，高为R．
［例4］在球内有相距9 cm的两个平行截面,面积分别为49π cm2、400πcm2,则球的表面积为_____.
图9—41
【分析】作球的一个大圆O,当两个截面在球心O的同侧时=9
解得R=25.
当两个截面在球心O两侧时.
=9无解.
∴S表=2500π cm2.
【评述】 立体几何中的相互位置关系,也应注意分类讨论.
【课堂精练】
1.下列四个命题中,其中错误的个数是( )
①经过球面上任意两点,可以作且只可以作一个球的大圆
②球面积是它大圆面积的四倍
③球面上两点的球面距离,是这两点所在截面圆上,以这两点为端点的劣弧的长
A.0 B.1 C.2 D.3
2.球面上有3点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这3点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为( )
A.4 B.2
C.2 D.
3.已和轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是( )
A.6∶5 B. 5∶4 C.4∶3 D．3∶2
4.A、B是半径为R的球面上的两点,它们的球面距离是,则过A、B的平面中,与球心的最大距离为_____.
5.半径为R的半球,一正方体的四个顶点在半球的底面上,四个顶点在半球的球面上,则该正方体的表面积为_____.
【学习领悟】
【课外提高】
1.下列命题
①过球面上任意两点只能作一个球的大圆
②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径
③用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面
④球是与定点的距离等于定长的所有点的集合
其中正确的是( )
A.①②③ B.②③④
C.②③ D.②④
2.(2003年高考·新课程)一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )
A.3π B.4π
C.3π D.6π
3.三个球的半径之比为1∶2∶3,则最大球的体积是其他两球体积之和的_____倍.
4.在球面上有四点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两垂直,且PA＝PB＝PC＝a,那么这个球的面积是_____.
5.如图9—42,把地球当作半径为R的球,地球上A、B两地都在北纬45°,A、B两点的球面距离是R,A在东经20°,求B点的位置.
图9—42
6.已知球面上的三点A、B、C,AB=6,BC=8,AC=10,球的半径为13,求球心到平面ABC的距离.
第77 课时 空间角
【考点目标】
掌握异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的平面角的概念及求法.
【目标解读】
1.异面直线所成的角
（1）异面直线所成的角的定义。
（2）异面直线所成的角通常有两种方案可用：平移和向量的数量积，其范围为
2、直线与平面所成的角
（1）直线与平面所成的角的定义。
（2）直线与平面所成的角常用射影转化法，其范围是
3、二面角的平面角
（1）二面角的平面角、直二面角的定义。
（2）作二面角的平面角的常用方法有：
①定义法：以棱上任一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的两条射线，则形成二面角的平面角。
②三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P作另一个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连接PB，由三垂线定理得PB与棱垂直，于是∠PBA是二面角的平面角（或其补角）
3 垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别交两个面的交线，构成二面角的平面角。
(3)二面角除常用的传统法外，还有向量法。此外还可以利用面积的射影定理来求二面角，即Scosθ=S射，它的优点是不必作出二面角的平面角。
【典例分析】
［例1］直三棱柱A1B1C1—ABC,∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
图9—43
【解法一】如图9—82,连结D1F1,
则D1F1 BC
∴D1F1
设点E为BC中点
∴D1F1 BE EF1
∴∠EF1A或补角为所求
由余弦定理可求得cosEF1A=.
【解法二】建立如图9—82所示的坐标系,设BC=1
则A(－1,0,0),F1(－,0,1),B(0,－1,0),D1(－,－,1)
即 =(,0,1), =(－, ,1)
∴cos<, >=
【评述】 解法一与解法二从两个不同角度求异面直线所成的角.解法一体现传统方法作—证—算;解法二把角的求解转化为向量运算,应注意体会两种方法的特点
［例2］在正四面体ABCD中,E为AD的中点,求直线CE与平面BCD成的角.
图9—44
【分析】求线面角的关键在于找出斜线在平面内的射影,即找垂面,有了垂面即可在垂面内作交线的垂线,线面角即可作出,然后转化到三角形中求解.
【解】取BC的中点F,连结AF、DF
∵正四面体ABCD
∴BC⊥AF,BC⊥DF
∴BC⊥面AFD,
∴面AFD⊥面BCD
过E作EH⊥DF于H,则EH⊥面BCD
则∠ECH为CE与面BCD所成的角.
在Rt△CEH中,sinECH=.
即CE与平面BCD成的角为arcsin.
［例3］如图9—45,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB＝2,BC＝BB1＝1,E为D1C1的中点,求二面角E—BD—C的正切值.
图9—45
【解法一】∵ABCD—A1B1C1D1是长方体,
∴作EF⊥面BCD,则F为CD的中点,过F作FM⊥BD,连EM,由三垂线定理知EM⊥BD,
∴∠EMF就是二面角E—BD—C的平面角,又∵AB＝2,BB1＝BC＝1,EF＝1,FM＝1×＝
∴tanEMF＝.
【解法二】∵S△BDF＝S△EBD·cosθ
而S△BDF＝BD·FM＝··＝,又BD＝,ED＝BE＝
∴ED2+BE2＝BD2
∴DE⊥EB 故S△EBD＝ED·EB＝
∴cosθ＝;tanθ＝.
【解法三】过E作棱BD的垂线EM,过C点作棱BD的垂线CN,E、C是异面直线EM、CN上两点,CE＝.EM＝,
FM⊥BD,CN⊥BD,F为CD中点,
∴MN＝DM＝
∴2＝cosθ
cosθ＝,tanθ＝.
【评述】 选此题意在通过此题使学生掌握二面角平面角的作法及求法.即三垂线定理及逆定理法,投影法,利用异面直线上两点间的距离公式法.
【课堂精练】
1.异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一点,则过P点且与a、b所成的角都是30°的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2.平面α的斜线与α所成的角为30°,则此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为( )
A.30° B.60° C.90° D.150°
3.在边长为a的正三角形ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B—AD—C后,BC＝a,这时二面角B—AD—C的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.一条直线与直二面角的两个面所成的角分别是α和β,则α＋β的范围是_____.
5.在平面角为锐角的二面角α—EF—β中,A∈EF,AGα,∠GAE＝45°,若AG与β所成角为30°,则二面角α—EF—β的平面角为 .
6、如图9—85,底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC—A1B1C1,∠C＝,AA1＝AC,D是CC1的中点.
图9—46
(1)求证：平面AB1D⊥平面AB1B
(2)求二面角B—B1D—A的大小.
【学习领悟】
【课外提高】
1.如图9—86,四面体ABCD中,E、F分别是AC、BD的中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角等于( )
图9—47
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.在正方体A—C1中,E、F分别为D1C1与AB的中点,则A1B1与截面A1ECF所成的角为( )
A.arctan B.arccos
C.arcsin D.都不对
3.二面角α—l—β的平面角为120°,A、B∈l,ACα,BDβ,AC⊥l,BD⊥l,若AB＝AC＝BD＝1,则CD的长为 ．
4.在直角坐标系中,设A(－2,3),B(3,－2),沿x轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后,｜AB｜＝4,则θ的值为
5.空间一点P到二面角α—l—β的两个面的距离分别是1和,到棱的距离是2,求这二面角的大小．
6.过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD,设PA＝AB＝a,
(1)求二面角B—PC—D的大小;
(2)求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小.
第78课时 空间距离
【考点目标】
掌握点到点,点到线,点到面,线到线,线到面,面到面的距离的定义,熟练地进行它们之间的转化,并能通过作辅助图形,应用解三角形的有关知识,求出这些距离.
【目标解读】
1.七种空间中的距离：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、平行直线间的距离、异面直线间的距离、直线与平面间的距离、两平行平面间的距离。
2.求距离的一般方法和步骤
求距离的思想方法和步骤与求角相似，其基本步骤与求角相似，其基本步骤是：（1）找出或作出有关距离的图形；（2）证明它符合定义；（3）在平面内计算。
空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可用体积关系或向量法。
【典例分析】
［例1］设n是平面α的法向量,AB是平面α的一条斜线,A∈α,则点B到平面α的距离为_____.
图9—48
【解】AB与平面α所成的角为θ,θ=arcsin.
∴点B到平面α的距离为|.
［例2］设l1、l2是两条异面直线,其公垂向量为n,又C、D分别是l1、l2上任一点,求证：l1、l2间的距离d=.
图9—49
【证明】设AB为公垂线段
= + +
∴·n=n· ∴|·n|=|·n|
∴| |=
【点评】例1、例2是从向量角度求距离,注意体会与传统方法的区别.
［例3］如图9—50,已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,求异面直线BD与B1C的距离.
图9—50
【解法一】连结AC交BD的中点O,取CC1的中点M,连结BM交B1C于E,连AC1,则OM∥AC1,过E作EF∥OM交OB于F,则EF∥AC1,又斜线AC1的射影为AC,BD⊥AC,∴BD⊥AC1 ∴EF⊥BD,
同理AC1⊥B1C,EF⊥B1C ∴EF为BD与B1C的公垂线.
由于M为CC1的中点,△MEC∽△BEB1,
∴
BM＝EF∥OM
,故BF＝a,EF＝a.
【解法二】(转化为直线到平面的距离)BD∥平面B1D1C,B1C面B1D1C,故BD与B1C的距离就是BD到平面B1D1C的距离,由,即
【解法三】(转化为两平行平面间距离)易证：平面B1D1C∥平面A1BD,AC1⊥平面A1BD,用等积法易证A到面A1BD距离为a,
同理可知C1
到面B1D1C距离为a,而A1C＝a.
故两平面间距离为a.
即BD与B1C距离为a.
【解法四】(垂面法)如图9—51,BD∥平面B1CD1,
图9—51
B1D1⊥A1C1,B1D1⊥OO1,B1D1⊥面OO1C1C,面OO1C1C∩面B1D1C＝O1C,O1∈B1D1,
故O到面D1B1C的距离为Rt△O1OC斜边上的高,
h=.
图9—52
【解法五】(极值法)如图9—93,在B1C上取一点M,作ME⊥BC交BC于E,过E作EN⊥BD交BD于N,易知MN为BD与B1C的公垂线时,MN最小.
设BE＝x,CE＝ME＝a－x EN＝,
MN＝
∴当x=a时,MNmin＝a.
【解法六】建立如图9—52所示的坐标系
则 =(a,a,0), =(0,a,0)－(a,a,a)=(－a,0,－a)
设DB与B1C的公垂向量n=(x,y,z)
则n· =0,n· =0.
令x=－1,则n=(－1,1,1)
又∵ =(a,0,0)∴d=
【课堂精练】
1.ABCD为正方形,P为平面ABCD外一点,PD⊥AD,PD＝AD＝2,二面角P—AD—C为60°,则P到AB的距离是( )
A.2 B.
C.2 D.
2.直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1＝1,AB＝4,BC＝3,∠ABC＝90°,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l,则A1C1与l的距离为( )
A.1 B.
C. D.2.6
3.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是( )
A. B.
C. D.a
4.A、B是直线l上的两点,AB＝4,AC⊥l于A,BD⊥l于B,AC＝BD＝3,又AC与BD成60°的角,则C、D两点间的距离是_____.
5.PA⊥平面ABC,AB＝AC＝13,BC＝10,PA＝5,则P点到直线BC的距离为 .
6、如图9—53在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝,AB＝a,AD＝3a且∠ADC＝arcsin,又PA⊥平面ABCD,PA＝a.求：
图9—53
(1)二面角P—CD—A的大小;
(2)点A到平面PBC的距离.
【学习领悟】
【课外提高】
1.平面α内的∠MON＝60°,PO是α的斜线,PO＝3,∠POM＝∠PON＝45°,那么点P到平面α的距离是( )
A. B. C. D.
2.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,E是CC1的中点,则E到A1B的距离是( )
A.a B. C. D.
3.正△ABC边长为2,则A、B、C距离为的平面共有 个.
4.△ABC的三个顶点在平面α的同侧,且到α的距离分别是a、b、c,则其重心到平面α的距离是 .
5.ABCD是正方形,边长为7 cm,MN∥AB交BC于M,交DA于N,若AN＝3 cm,沿MN把正方形折成如图9—54所示的二面角A—MN—D,大小为60°,求图中异面直线MN与BD间的距离．
图9—54
6.已知直线l上有两定点A、B,线段AC⊥l,BD⊥l,AC=BD=a且AC与BD成120°角.求AB与CD间的距离.
素质能力过关检测(A)
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共150分，考试时间120分钟.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设m、n是两条不同的直线，那么使m∥n成立的一个必要不充分条件是m、n( )
A.与同一个平面垂直
B.与同一条直线垂直
C.与同一个平面所成的角相等
D.与同一条直线相交
2.下面四个立体图形为正方体或正四面体，E、F、G、H分别是其棱的中点，这四个点不共面的一个图是(
3.设长方体的三条棱长分别为a、b、c，若长方体所有棱长的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则等于( )
A. B. C. D.
4.下列命题是真命题的是( )
A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量，满足||＞||，且与同向，则＞
D.若两个非零向量与满足+=0，则∥
5.已知平面α∥平面β，不在同一直线上的三点M，A，B在α内，空间一点P满足：存在实数x，y，使得，则( )
A.在α内不在β内
B.在β内不在α内
C.既在α内又在β内
D.既不在α内又不在β内
6.设地球的半径为R，在纬度为α的纬线圈上有A、B两地，若这两地的纬线圈上的弧长为πRcosα，则A、B两地之间的球面距离为( )
A.πR B.πRsinα
C.αR D.R（π－2α）
7.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条定长为b的线段.若Q是A1D1内的定点，P是C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积( )
A.是变量且有最大值
B.是变量且有最小值
C.是变量且无最小值
D.是常量
8.三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA+PB=4，PC=1，则此棱锥的体积( )
A.有最大值，无最小值
B.有最小值，无最大值
C.有最大值，无最小值
D.无最大值，也无最小值
9.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点A关于直线BD1、A1C的对称点分别为P、Q，则P、Q两点间的距离等于( )
A. B. C. D.
10.在正三棱锥A—BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC=a，则正三棱锥A—BCD的体积为( )
A.a3 B.a3
C .a3 D.a3
11.下图是正方体的一个展开图，当用它合成原来的正方体时，与边P重合的边是（ ）
A.K B.L C.H D.Q
12.平面α、β所成的锐角为40°，过空间中一个定点P作与α、β所成的角都等于 80°的平面角，这样的平面有且仅有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求（1）EF的长，（2）折起后∠EOF的大小.
18.（本小题满分12分）
在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，PA为平面ABC的斜线，且∠PAB=∠PAC= 60°
（1）求PA与平面ABC所成的角；
（2）PA为多少时，P点在平面ABC内的射影O恰好在BC上？
19.（本小题满分12分）
在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，
（1）求向量的坐标；
（2）设向量和的夹角为θ，求cosθ的值.
20.（本小题满分12分）
四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的菱形，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=1，E为PA的中点.
（1）求证：平面EDB⊥平面ABCD；
（2）求点E到平面PBC的距离；
（3）求二面角A—EB—D的正切值.
21.（本小题满分12分）
在所有棱长为a的正三棱柱ABC—A1B1C1中，D为BC的中点.
（1）求证：AD⊥BC1；
（2）求二面角A—BC1—D的大小；
（3）求点B1到平面ABC1的距离.
22.（本题满分14分）
有两块直角三角板ABC和ADC，公共的斜边AC=2，∠BAC=30°，∠CAD=45°，沿AC折起△ABC，使二面角A—CD—B为直二面角.
素质能力过关检测(B)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.(2003年高考·北京)
已知α,β是平面,m,n是直线,下列命题中不正确的是( )
A.若m∥n,m⊥α,则n⊥α
B.若m∥α,α∩β=n,则m∥n
C.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
D.若m⊥α,mβ,则α⊥β
2.两条直线分别平行于两个互相垂直的平面,那么这两条直线的位置关系一定是( )
A.互相垂直
B.不能互相平行
C.异面直线
D.平行、相交或异面
3.若直线a与b无公共点,则下列判断正确的是( )
A.与a,b都垂直相交的直线只有一条
B.一定存在过a且和b垂直的平面
C.过a且平行于b的平面至少有一个
D.过a而不过b的平面必定与b平行
4.已知l,m,n是直线,α,β是平面,下列真命题是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.设α—l—β是直二面角,若m⊥l,则m⊥β
C.若m,n在α内的射影依次是一个点和一条直线,且m⊥n,则nα或n∥α
D.设m,n是异面直线,若m∥α,则n与α相交
5.ABCD是空间四边形,已知AB=CD,AD=BC,但AB≠AD,M,N是对角线的中点,则( )
A.MN与AC、AB都不垂直
B.MN与AC、AB中之一垂直
C.MN与AC、AB都垂直
D.无法确定MN与AC、AB是否垂直
6.(2003年春季高考·北京)如图,在正三角形ABC中,D、E、F分别为各边的中点,G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点.将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度数为( )
图9—55
A.90° B.60° C.45° D.0°
7.正方体A′B′C′D′—ABCD中,BC′与截面BB′D′D所成的角是( )
A. B.
C. D.arctan2
8.条件甲：“四棱锥的所有侧面都是全等三角形,”条件乙：“这四棱锥是正四棱锥”,则条件甲是条件乙的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
9.在正三棱锥P—ABC中,M、N分别是PB、PC的中点且面AMN⊥面PBC,则正三棱锥的侧面积与底面积之比为( )
A.∶ B.∶
C. 3∶2 D.∶1
10.(2003年高考·新课程)棱长为a的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为( )
A. B. C. D.
11.正方体A′B′C′D′—ABCD的棱长为a,EF在AB上滑动,且|EF|=b(b＜a),Q点在D′C′上滑动,则四面体A′—EFQ的体积为( )
A.与E、F位置有关
B.与Q位置有关
C.与E、F、Q位置都有关
D.与E、F、Q位置均无关,是定值
12.高为5,底面边长为4的正三棱柱形容器(下有底),可放置最大球的半径是( )
A. B.2 C. D.
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.在三棱柱ABC—A′B′C′中,A′A⊥AB,C′B⊥AB,AC=3,AB=2,则A′C′与AB所成的角的正弦值是_____.
14.已知PA、PB、PC是从P点出发的三条射线,每两条射线间的夹角都是60°,则PC与平面PAB所成的角的余弦值是_____.
15.二面角M—l—N的一个平面M内有一条直线AB,它与棱l的夹角为45°,与平面N所成的角为30°,则这个二面角的大小为_____.
16.一种涂料恰好能喷涂棱长为10 cm的一个正方体的所有表面,那么按同样施工标准(即每单位面积所用的涂料相同),能喷涂半径等于_____的一只球.
三、解答题(本大题共6小题,共74分)
17.(11分)已知：正方形ABCD和正方形ABEF.边长都为2,沿AB将正方形ABEF折起,M为BE的中点
图9—55 图9—56
(1)当二面角E—AB—C为120°时,求异面直线AE与DM成的角.
(2)继续沿AB折起.当AE=DM时,求二面角E—AC—C的大小.
18.(11分)已知三棱锥P—ABCD中PA⊥面ABCD,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°，AB=2,PA=4,E为PC的中点.
(1)求证：平面BDE⊥平面ABCD.
(2)求B—DE—C的大小.
19.(11分)如图9—57,已知二面角α—PQ—β为60°,点A与点B分别在平面α和β上,点C在棱PQ上,∠ACP＝∠BCP＝30°,CA＝CB＝a.
图9—57
(1)求证：AB⊥PQ;
(2)求点B到平面α的距离;
(3)设R是线段CA上的点,直线BR与平面α所成角为45°,求线段CR的长度．
20.(2003年高考·上海)(12分)已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,A1A⊥平面ABCD,AB=4,AD=2.若B1D⊥BC,直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°,求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.
图9—58
21.(2003年高考·北京)(15分)如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为3,侧棱AA1=,D是CB延长线上一点,且BD=BC.
图9—59
(Ⅰ)求证：直线BC1∥平面AB1D;
(Ⅱ)求二面角B1—AD—B的大小;
(Ⅲ)求三棱锥C1—ABB1的体积.
22.(14分)(2000年高考·全国)如图9—60,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°．
图9—60
(1)证明：C1C⊥BD;
(2)假定CD＝2,CC1＝,设面C1BD为α,
面CBD为β,求二面角α—BD—β的平面角的余弦值;
(3)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.
第九章 直线、平面、简单几何体