(共14张PPT)
两异面直线
所成的角和距离
高中数学立体几何
兴中电教工作室
Xams@
制作：唐雁文
不在同一平面内
共 面
空间的两条直线的位置关系有：
相交、平行、异面
两条都是平行直线，但是它们之间有什么区别？
“定量”研究平行线，必须引入“距离”的概念
a
b
c
A与b是相交直线，a与c也是相交直线，它们之间又有什么区别？
“定量”研究相交直线，必须引入“角”的概念
直线a与b， 直线a与c, 都是异面直线，它们有什么区别？
a
M
b
c
N
a
M
b
c
d
直线a与b， 直线a与c, 直线a与d
都是异面直线，它们有什么区别？
异面直线所成的角的定义
a
M
b
a1
b1
直线a,b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线a1∥a, b1∥b, 我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
o
.
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
a
M
b
a1
b1
o
.
a2
b2
o1
.
O是空间中的任意一点
所成的锐角是否相等？
点o常取在两条异面直线中的一条上
a
M
b
o
点o常取在两条异面直线中的一条上
相交直线所成角的大小，就是异面直线所成角的大小
相交直线a,b所成的角？
异面直线所成的角？
异面直线所成的角的范围？
0
0°
﹤
90°
≤
例
正方体ABCD-A1B1C1D1，求：
①A1B与CC1所成的角是多少度？
②A1B1与CC1所成的角是多少度？
③ A1C1与BC所成的角是多少度？
A1
A
B
B1
C
D
C1
D1
“垂直”
“相交垂直”
“异面垂直”
④在正方体ABCD-A1B1C1D1棱中，与棱B1B垂直的棱有几条？
=
+
异面直线距离的定义：
和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
与这两条异面直线都垂直相交的直线有多少条？
定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线
定义：两条异面直线的公垂线在两条异面直线间的线段，叫两异面直线的距离
例：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4cm, BC=3cm, B1B=2cm. 求：
①异面直线A1A与BC的距离；
②异面直线A1A与C1D1的距离；
③异面直线A1B1与BC的距离；
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，AB⊥A1A于A， AB⊥BC于B。
所以AB是异面直线A1A与BC的公垂线段。
AB的长度就是异面直线A1A与BC的距离。
因为AB=4cm, 所以A1A与BC的距离为4cm
异面直线A1B与CC1的距离是多少？为什么？
例：设图中的正方体的棱长为a，
A1
A
B
B1
C
D
C1
D1
①图中哪些棱所在的直线与BA1成异面直线
③求异面直线A1B与C1C1的距离
②直线BA1与C1C所成角的大小
④求异面直线A1B与B1C1的距离
小结：
①本节学习了立体几何中的三个重要概念：
两异面直线所成的角；两异面直线的公垂线；两异面直线的距离。
② 两异面直线所成的角 ；满足 0°﹤ ≤90°。
通常采用平移的方法化异面直线为相交直线所成的角
0
0
③对于两异面直线的公垂线；两异面直线的距离，本节只是最基本的方法，今后还会有更多的处理方法。
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。《棱锥、圆锥的体积》说案
一、说教材
《棱锥、圆锥的体积》这节课安排在人教版高中立体几何第二章第九节，计划分两个课时完成；是体积公理和柱体体积的后续内容，又是学习棱台、圆台体积的必要基础。第一课时的教学目的是让学生掌握“割补法”求体积的方法，求出锥体的体积,同时培养学生猜想、类比、论证、转化的能力。《棱锥、圆锥的体积》这节教材，揭示了立体几何中一种常用的计算体积的方法，著名的生物学家达尔文说：“最有价值的知识是关于方法和能力的知识”，因此，应该利用这节课培养学生学习方法、提高学习能力，引导学生完成以下两个教学目标：
1. 运用“割补法”的求积思想，把三棱锥补成三棱柱，由棱柱的体积公式导出三棱锥的体积公式，使学生掌握立体几何中一种常用的计算体积的方法。
2. 运用祖暅原理，从特殊到一般，由三棱锥的体积公式得出n棱锥以及圆锥的体积公式，培养学生猜想、类比、论证、转化的数学思想方法和能力。
教学的重点是锥体体积公式的导出和论证，其中锥体体积的证明又是教学的难点。
二、说教法和学法
根据《教学大纲》中“坚持启发式，反对注入式”的教学要求，也为遵循使课上得有趣、生动、高效的原则，针对本节课概念性强，思维量大，练习题不多的特点，整节课的教法以启发学生观察思考、分析讨论为主，采用“多媒体引导点拨”的教学方法，以多媒体演示为载体，以“引导思考”为核心，设计课件展示，并引导学生沿着积极的思维方向，逐步达到即定的教学目标，发展学生的逻辑思维能力；学生在教师营造的“可探索”的环境里，积极参与，生动活泼地获取知识，掌握规律、主动发现、主动发展。
这节课的核心是定理的形成教学，教学的指导思想是：遵循由已知（柱体体积）探究未知（锥体体积）、由具体（三棱锥）到一般（锥体）的认识规律，启发学生反复思考，不断内化成为自己的认知结构。
三、说教学程序
1. 温故知新，引入课题
课的开始，教师让学生记下课题并提出问题：“你知道棱柱和圆柱的体积公式吗？”“你知道推导公式时用到的有关体积的两个公理吗？”，由于是旧知识复习，估计学生会很轻松地回答出来。这一步骤的目的是让学生转入教学状态，同时也符合“推陈出新”的教学基本规律。
接着教师利用多媒体创设了问题情景——知道柱体的体积公式，能求锥体的体积吗？激起学生对问题的解决产生兴趣。
2. 猜想推测，激发兴趣
为探究棱锥的体积，可以从三棱锥开始，事物的普遍性往往寓于特殊性之中，从最简单的情形入手容易找到突破口，从简单到复杂也是学生的认知规律；教师让学生分割三棱柱成为三棱锥，从而进行猜想——你能推测出三棱锥的体积公式吗？
猜想是发现的先导，可以激发学生的学习兴趣，然后教师用实物做实验，用以证实。
3. 层层推进，证明定理
猜想和实验都不能代替证明，从特殊实例和知识冲突中引导学生必须解决：“等底面积等高的两个锥体的体积相等”这个问题。然后通过交流、演算以及教师的点拨，而使学生掌握了定理的证明。
锥体体积证明的教学步骤是：
1. 先把三棱锥补成一个三棱柱；
2. 再把这个三棱柱分割成三个三棱锥；
3. 由于这三个三棱锥有相等的底面积和相等的高，所以它们的体积相等，且等于三棱柱体积的三分之一。于是得到：V三棱锥=
4. 引导学生把三棱锥体积的结论推广到四棱锥、五棱锥以至n棱锥；
5. 引导学生把公式推广到圆锥；
通过层层铺垫，逐步深入，使公式具有普遍意义，可以看出整个学习过程，学生是主动的、积极的。
1. 初步运用，提高能力
练习的设计遵循初步运用的原则，一个题目三个层次，由浅入深、循序渐进，都用于加深体积公式理解应用和巩固：
1. 已知：正三棱柱S-ABC底面边长为1，三条侧棱SA、SB、SC的夹角为60°，求V锥S-ABC。
2. 把上题中的60°改为90°，求V锥S-ABC。
3. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，能求正三棱锥C-AB1D1的高吗？
问题（1）是结合正三棱锥的性质设计的，用于巩固体积公式，也说明了求解体积问题的一般步骤；问题（2）似是问题（1）的翻版，实际上解题的角度发生了改变，由此引导学生在计算三棱锥体积时，如何选择底面和高，才便于解题这个问题，就顺理成章了。问题（3）用到“体积法”求高，是为下一节课铺垫，时间不够可以留作思考题。
1. 归纳小结，强化思想
本节教材蕴涵丰富的数学思想方法，比如求体积公式时用到“割补法”“类比法”“转化法”，解决实际问题时用到“公式法”“观察法”“体积法”等，教学时应善于启发学生小结思维过程，使学生逐渐掌握证明数学题的思想方法，养成良好的学习习惯。
2. 布置作业
1. 看书2.9棱锥圆锥的体积
2. 习题十三1、2、3、4
板书设计（略）
《棱锥、圆锥的体积》
说课教案
徐启昌
牡丹江分局高级中学[文件] sxglija0021.doc
[科目] 数学
[年级] 高中
[章节]
[关键词] 平面垂直
[标题] 两个平面垂直的判定和性质(二)
[内容]
两个平面垂直的判定和性质(二)
教学目标
1.使学生掌握两个平面垂直的性质定理及其证明.并能应用判定定理和性质定理解决简单问
题；
2.通过两个定理的两种引入方式，培养学生观察，归纳、猜想、证明的科学思维方式及辩证
思维能力.
教学重点和难点
性质定理的引入及证明.
教学用具
两个互相垂直的平面，一根直的细木棍.
教学设计过程
师:上一节课我们学习了面面垂直的定义和判定面面垂直的定理.如果两个平面相交，所成
的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.判定定理是用来判定两个平面垂直的方法
.请问判定定理是如何叙述的呢
生:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
师:好.应用定理的关键是在其中一个平面中寻找另一个平面的垂线.下面我们一起来解决
上节课留的思考题.
(板书)如图，四边形BCDE是正方形，AB⊥面BCDE，则图中所示7个平面中，有几对平面互相
垂直
生:共7组.
AB⊥面BCDE，
所以 面ABE⊥面BCDE，
面ABC⊥面BCDE，
面ABD⊥面BCDE，
且AB⊥BC，AB⊥CE，AB⊥CD.
又正方形BCDE，
所以 BC⊥BE，
所以 BC⊥面ABE.
因为 面ABC⊥面ABE，
因为 DE∥BC，
所以 DE⊥面ABE，
故 面ADE⊥面ABE.
又 CD⊥BC，
因为 CD⊥面ABC，
所以 面ACD⊥面ABC.
又 CE⊥BD，
所以 CE⊥面ABD，
故 面ACE⊥面ABD.
师:通过对本题的研究，我们对判定定理有了更深入的理解.下面我们一起来研究面面垂直
有哪些性质.
生:两个平面互相垂直，所成的二面角是直二面角.
师:很好.这是由定义的双重性得到的，定义既提供了两个平面垂直的判定方法，又指出了
两个平面互相垂直的性质.上节课我们由线面垂直，推出面面垂直，也就是面面垂直的判定
定理.那么现在从面面垂直出发，能否得到线面垂直呢
(取出教具，并拿细木棍在其中一个面上移动)
生:当棍与棱垂直时，棍与另一平面垂直.
师:很好.如果棍与棱不垂直时，棍与面垂直吗
生:不垂直.
师:好.也就是说只有当棍与棱垂直时，棍才与面垂直.那么是不是与棱垂直，就一定与面
垂直呢
保持棍与棱相交垂直，将棱移开平面，使之与平面不垂直
生:不是，棍必须在平面内.
师:意思是说当棍在面内时，如果棍与棱垂直，则它与面垂直.好，请你整理一下刚才
的想法，该怎样叙述这个命题的内容呢 注意面面垂直的大前提.
生:如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
师:很好，下面我们一起来完成命题的证明.先分析命题的条件和结论，然后画出图形，再
结合图形，用符号语言叙述已知，求证.
生:已知如图，α⊥β，α∩β=AB，CDα，CD⊥AB.
求证:CD⊥β.
师:这个命题的结论是线面垂直.考虑已学过的判定线面垂直的方法有哪些，由本题的已知
看看哪个方法最适合.
生:由已知CD⊥AB，AB在β内，想证CD⊥β，只需在β内再找一条直线与CD垂直.
师:很好.但β内没有这样的直线.应该怎样作出这条直线呢
生:因为α⊥β，根据定义作出这个二面角的平面角，就是90°.
在平面β内，过D作DE⊥AB，
因为 CD⊥AB，
所以 ∠CDE是α-AB-β的平面角，
又 α⊥β，
所以 ∠CDE=90°
即CD⊥DE.
又ABβ，DEβ，
故 CD⊥β.
师:好.利用两个平面垂直的定义，作出直线CD⊥AB，最终证明了AB⊥β.它就是面面垂直
的性质定理.也可称为线面垂直的判定定理.
(板书)剖析:(1)面面垂直?线面垂直
(2)为判定或作出线面垂直提供依据.
师:这个定理由面面垂直出发，借助于线线垂直，结论是线面垂直.给我们提供了解决线面
垂直的一种新的思路——寻找面面垂直.这一点也是这一定理最突出的作用.
师:下面继续来看，保持面面垂直的条件不变，交换一下命题的条件和结论，看看结论是否
有价值.(与学生一起分析得出)
命题1 α⊥β，α∩β=AB，CDα，CD⊥β，则CD⊥AB.
命题2 α⊥β，α∩β=AB，CD⊥AB，CD⊥β，则CDα.
师:命题1，由ABβ，CD⊥β，可得CD⊥AB，与α⊥β的大前提无关，不做研究.命题2，
条件重复，去掉CD⊥AB.这个结论正确吗
(取出教具，保持棍与面垂直，将棍移出平面，引导学生说出棍上必须有一个点在面α上，
才可以保证棍在面内)
师:好，修改一下命题.(擦去AB⊥CD，添加C∈α，或D∈α)
师:现在的命题正确吗 要证直线在平面内，直接证法是依据公理1，需要在直线上找到两点
在平面内.已知只有一点C∈α，再找合题意的点很困难.应该采用什么对策
生:利用反证法.
假设CDα，过点C作CE⊥AB于E.
因为 α⊥β，
所以 CE⊥β.
又CD与CE确定平面γ，
令γ∩β=a，
则CD⊥a,CE⊥a.
所以在平面γ内，有两条直线CD，CE，同时垂直直线a，
这与平面几何定理矛盾!
所以 CDα.
师:很好.这也是面面垂直的一个性质，它的作用是判定直线在平面内.用语言叙述就是:
(板书在命题1的位置)
如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面
内.
师:请同学们打开书p.41.书上给出了面面垂直的两个性质定理.我们看一下定理的证明.看
书的同时，指出书上所用的证明方法是同一法，有唯一性定理做保证.定理内容是:经过空
间一点有且只有一条直线与一个平面垂直.
师:上面我们研究了面面垂直的两个性质定理.定理1是判定线面垂直的有效方法，性质2是
判定直线在平面内的一种方法.从应用上看，定理1更广泛一些.
例 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面.
已知:α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a，
求证:α⊥γ.
师:本题条件是面面垂直，结论是线面垂直.选择适当的判定线面垂直的方法，给出证明.
证法一:
设α∩γ=b,β∩γ=c,在γ内任取一点P，作PM⊥b于M，PN⊥C于N.
因为 α⊥γ，β⊥γ，
所以 PM⊥α，PN⊥β.
因为 α∩β=a，
所以 PM⊥a，PN⊥a,
所以 α⊥γ.
证法二:
任取P∈a,过点P作b⊥γ.
因为 α⊥γ.
所以 bα，
因为 β⊥γ，
因此 bβ，
故 α∩β=b.
由已知 α∩β=a，
所以 a与b重合，
所以 α⊥γ.
证法三:
设α⊥γ于b,β⊥γ于C.
在α内作b′⊥b,
所以 b′⊥γ.
同理在β内作C′⊥C,有C′⊥γ，
所以 b′∥c′,又b′β，c′β,
所以 b′∥β.
又b′α，α∩β=a，
所以 b′∥a，
故 a⊥γ.
师:这道题的三种证法，从三个不同角度入手，解决了线面垂直的问题，证法一利用线线垂
直得面面垂直的判定定理.证法二通过面面垂直的性质利用同一法.证法三则利用线线平行
解决线面垂直问题.
师:好，我们用两节课的时间完成了面面垂直的判定和性质定理的推导和证明.到此，有关
垂直的内容可以做一小结.
我们知道，立体几何中，主要依靠线面关系的不断转化解决问题.由线线垂直到线面垂直，
再到面面垂直；也可由面面垂直到线面垂直，再到线线垂直.以线面垂直为核心，结合线与
面之间垂直和平行的关系，可以得到有关垂直的结构图.(与同学一起小结)
线线垂直 线面垂直 面面垂直
三垂线定理 线线平行 面面平行
师:结合已知，灵活的应用这些定理，就可以寻找到解题思路，从而顺利的解决有关垂直的
位置关系的问题.
思考题
1.如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，(正三棱柱指底面为正三角形，侧棱与底面垂直的三棱
柱)E∈BB1，且BE=EB1
求证:截面A1EC⊥侧面AC1.
2.影响异面直线上两点间距离的因素有哪些，如何求出异面直线上两点间距离.
课堂教学设计说明
本节课的重点内容是面面垂直的两个性质定理.定理1的引入采用观察、归纳的方法，定理2
的引入采用更改命题的条件和结论的方法，这两种方法正是进行科学研究的典型方法.
到此有关垂直的定理全部讲完.因此本节课设计了以线面垂直的判定为核心的例题，试图通
过本题，对有关垂直的问题，给出证题的基本思路.在本课的最后，对垂直关系做一小结，
使学生理清结构，形成解决有关垂直问题的证明体系.[文件] sxglija0022.doc
[科目] 数学
[年级] 高中
[章节]
[关键词] 平面垂直
[标题] 两个平面垂直的判定和性质(三)
[内容]
两个平面垂直的判定和性质(三)
教学目标
1.使学生掌握利用有关定理推导出导面直线上两点间距离的方法；
2.通过公式的推导及对例题的剖析，培养学生在分析解决问题时严谨的逻辑思维能力.
教学重点和难点
异面直线上两点间距离的推导过程
教学用具
两根直细木棍，其上分别有一个用醒目颜色标识的点.
教学设计过程
师:上节课我们小结了有关垂直的定理，整理了解决与垂直问题有关的问题的解题思路，并
且留下了两个思考题.首先看第一题:
(板书)如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，E∈BB1，且BE=EB1.
求证:截面A1EC⊥侧面AC1.
师:这道题的结论是面面垂直.要想解决这个问题，需要在其中一个平面中找到或作出另一
平面的一条垂线，也就是转化为解决线面垂直的问题.分析已知，由正三棱柱可知:ΔABC
，ΔA1B1C1都是正三角形，而侧棱AA1⊥面ABC.由面面垂直的判定定理可证侧面AC1与底面A
BC垂直.于是在面ABC内可作出侧面AC1的垂线.可在平面A1EC中如何找到一条直线垂直于侧
面AC1呢 这一点是从已知到未知的
关键所在，解决了这一点，也就搭起了从已知到未知的桥梁.哪位同学解决了这个问题呢
生甲:取AC中点F，连结BF，作FG∥AA1交A1C于G，连结GE.
因为FG∥AA1，F是AC中点，
所以 FG∥=AA1.
又因为 正三棱柱ABC-A1B1C1，
所以 AA1∥=BB1，
又因为 BE=BB1,
所以 FG∥=BE，
所以 四边形FGEB是平行四边形.
所以 BF∥GE.
又因为 正ΔABC，
所以 BF⊥AC，
又因为 AA1⊥面ABC
所以 AA1⊥BF
因此 BF⊥面AC1
所以 GE⊥面AC1
所以 面AEC⊥面AC1.
师:很好.充分利用线面之间垂直关系，在平面ACE内找到了直线EG，EG⊥面AC1，使问题得
以解决.
生乙:还可以延展平面A1EC.分别延长CE，C1B1交于点D，连结A1D.
因为 正三棱柱ABC-A1B1C1
所以 AA1⊥面A1B1C1，
所以 A1A⊥A1D.
又因为 BE=BB1，BB1∥=CC1，
所以 在ΔDCC1中，有DB1=B1C1.
又因为 正ΔA1B1C1，
所以 A1B1=B1C1=DB1,
所以 ∠A1C1B1=∠B1A1C1,
∠B1DA1=∠B1A1D，
因此 ∠C1A1D=90°，即A1C1⊥A1D.
故 A1D⊥面A1C.
又 A1D面A1EC，
所以 面A1EC⊥面A1C.
师:生乙的证明给的很新颖.通过延展平面.在更广的范围内寻找给A1D⊥面AC1.充分利用
平面几何的知识，解决两条直线A1D⊥A1C1的问题.学习立体几何的同时，不要忘记:当在
同一平面内时，平面几何的定理仍然适用.
师:好，下面请同学继续回答第二个问题:“影响异面直线上两点间距离的因素有哪些 ”
生:有三种因素:
1.异面直线的距离；
2.两点在直线上的位置；
3.两条异面直线所成的角.
师:很好.下面我们一起看一下，他所叙述的三点能不能影响异面直线上两点的距离，确定
了这三点是不是距离就确定了.(取出两根细木棍，为叙述方便，称两点为A、B.演示上述
三个方面变化对两点距离的影响.如果回答的三个方面不准确，可通过演示最终解决)
师:通过演示，可以看出，要想确定异面直线上两点的距离，必须要控制这三个因素.一是
异面直线的距离——用公垂线段的长控制.二是两点在直线上的位置——用点到公垂线垂足
的距离控制.三是两条异面直线的方向——用两直线所成角控制.
下面我们给出这三组数据，一起来推导异面直线上两点间的距离公式.
(板书)已知两条异面直线a,b所成角为θ，它们的公垂线段AA′，长度为d.在直线a，b上分
别取点E，F，设A′F=m，AF=n，求EF.
师:要画出两条异面直线，需要用一个平面衬托.选择什么样的平面呢 结合已知仔细想一
下.
生:因为两条异面直线所成的角是要作出来才好用的，所以选择过直线b且与直线a平行的平
面.
师:满足条件的平面有无数个，哪个位置最好
生:过公垂线段在直线b上的垂足A，作直线a′∥a,则a′,b确定平面a.
师:这个平面选的好.因为AA′⊥a,所以AA′⊥a′，又AA′⊥b，所以AA′⊥α.下面我们
作出这个图形，来求解EF.
师:观察图形，要求EF，需充分利用已知数据，应想办法将条件集中.
生:过E作EG⊥a′于G，连结GF.
因为 a∥a′，
所以 a，a′确定平面β.
因为 AA′⊥α，
所以 β⊥α.
又 EG⊥α′，
因此 EG⊥α′，
所以 ΔEFG为直角三角形，
且 EG∥AA′，
所以 四边形A′AGE是平行四边形，
所以 AG=A′E=m,EG=AA′=d.
又 AF=n，
所以 在ΔGAF中，
GF=.
所以 在RtΔEFG中，
EF=.
师:好，通过将公垂线段AA′在面β内平移到EG，构造出直角ΔEGF，且将已知的4个数据集
中到两个三角形中来，可谓点睛之笔、如果点F在A的另一侧，(可在上图中标出点F，以方便
说明)则
，
.
这就是异面直线上两点间距离公式:(板书)
师:分析公式，与平面几何中的余弦定理相类似，可类比记忆.要利用公式计算距离，需提
供4个数据m，n，d，θ，要一一指实后再代入计算.所以这个公式应用起来并不方便.而图形
构造好后，公式的推导过程倒是简单自然.因此，遇到具体问题时常常按推导过程逐一进行
计算，最终求出这两点的距离.所以对这个公式，把握的重点是推导的方法.
师:通过公式的推导，我们还可以得到几点启示.
看直角ΔEFG，EG＜EF，而EG=AA′，所以异面直线的距离是异面直线上两点的距离中最小的.
我们知道，求异面直线的距离很困难，原因是公垂线段难找.看图形，对于异面直线a，b公
垂线段AA′不易作出，而EG=AA′.要作出EG则非常方便，只需过E作EG⊥α即可.所以要求
两条异面直线的距离，过其中一直线作一平面与另一直线平行，将线线距离转化为线面距离
，可直接在线上取一点作这个平面的垂线，为控制垂足的位置，作出这个平面的垂面，就是
β，找到交线，垂足一定落在交线上，也就是再将线面距离转化为两条平行线间的距离，这
个问题在平面几何中已经解决.由此我们得到一种求两条异面直线距离的方法，即将异面直
线距离转化为线面距离，再转化为两条平行线间的距离，最终使问题得到解决.同时，由于
直线b必与平面β相交于点A，(否则b∥a′∥a)所以总可以过A作AA⊥a于A′，则AA′就是a,
b的公垂线，说明两条异面直线的公垂线确实存在.
师:下面我们来看一道练习题，请同学打开书，看p.43练习3.
(在60°二面角的棱上，有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的
线段.已知:AB=4 cm，AC=6 cm，BD=8 cm.利用异面直线上两点距离公式求CD)
师:依题意作出图形.要利用公式需要找清4个数据.请一位同学说一下.
生:两条异面直线是AC，BD.
由于AB⊥AC，AB⊥BD.
所以AB是AC，BD的公垂线段，这三个数据都有了，只差AC，BD所成的角.
师:应该怎样去求两条异面直线所成的角呢
生:首先作出这个角.
师:好，回忆作异面直线所成角的方法是:选定一点，作平行线.结合已知，将点选在哪
儿最好
生:已知二面角的平面角为60°，所以选点A，过A在β内作AE∥BD，则AE⊥AB，又据AC⊥AB
，所以∠CAE为二面角的平面角，也是这两条异面直线所成的角.
师:很好，求出了这个角应该是60°，四个数据都已指实，可以代入公式计算了.
生:=2(cm).
师:通过这道练习题，我们应该可以体会到，这个公式确实用起来不太方便，如果这道题没
有要求利用公式，你会求解吗
生:在β内分别过D作AB的平行线，过A作BD平行线，两线交于G，连结CG.
因为 BD∥AG，BD⊥AB，
所以 AG⊥AB.
又因为 AC⊥AB，
所以 ∠GAC为二面角α?AB?β的平面角，
所以 ∠GAC=60°，且AB⊥面AGC.
又因为 BDGA中，
所以 DG=AB=4,AG=BD=8,且 DG⊥面AGC，
所以 DG⊥CG.
在ΔAGC中，
在RtΔCGD中，
(cm).
师:思路清楚.通过构造二面角的平面角将已知条件相对集中，最终通过解三角形求得结果
，这是解决这类问题常用的方法，请同学注意理解掌握.
师:这一节课我们重点解决了异面直线上两点间距离的问题，得到了距离公式.同时通过例
题的解决及公式的推导，再一次将线面垂直关系转化的思路和方法展示出来，目的是使同学
能够熟练的进行线面位置关系的转化，以解决立体几何中的有关问题.
课堂教学设计说明
本节课是面面垂直的判定和性质的最后一节课.将有关垂直问题的小结放在上一节课，目的
是使学生对线面的垂直关系有一总体的把握.本节由一个例题开始，正是为了使学生能够更
深入的体会定理，熟悉线面关系是如何转化的，掌握解决这类问题的基本思路.异面直线上
两点的距离公式是定理，可以直接给出证明.本节课从分析影响两点间距离的因素入手，既
可以调动学生的积极性，又可以教会学生，如何寻找变量，然后加以控制，最终得到结论.
这种方法是定量研究某一问题时，经常采用的科学方法.
