1.8 三角函数的简单应用同步课时训练（含解析）

1.8 三角函数的简单应用——2022-2023学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练
1.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角与时间t(s)满足函数关系式，则当时，角的大小，单摆的频率分别是( )
A.， B.2， C.， D.2，
2.在信息传递中多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号（形如，某种“信号净化器”可产生形如的波，只需要调整参数，就可以产生特定的波（与干扰波波峰相同，方向相反的波）来“对抗”干扰.现有波形信号的部分图像，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波（标准正弦函数图像），应将波形净化器的参数分别调整为( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
3.一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s（cm）与时间t（s）的函数关系式是，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l为( )
A. B. C. D.
4.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖的坐标为.若针尖的初始坐标为，当秒针从过点的位置（此时）开始走时，点P的纵坐标y与时间t（单位：秒）的函数关系式为( )
A. B. C. D.
5.电流强度I（安培）随时间t（秒）变化的函数的图象如图所示，则时的电流强度为( )
A.0安培 B.安培 C.安培 D.安培
6.音叉是呈“Y”型的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定的值为( )
A.200 B.400 C. D.
7.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数，则下列时间段内人流量是增加的是( )
A. B. C. D.
8. （多选）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )
A.该质点的运动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
D.该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零
9. （多选）如图，摩天轮的半径为40 m，其中心O点距离地面的高度为50 m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且20 min转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中( )
A.经过10min，点P距离地面10m
B.若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的
C.第17 min和第43 min时点P距离地面的高度相同
D.摩天轮转动一圈，点P距离地面的高度不低于70 m的时间为min
10. （多选）筒车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的筒车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒，经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是( )
A. B.当时，函数单调递增
C.当时，的最大值为 D.当时，
11.某城市一年中12个月的平均气温y与月份x的关系可近似地用函数来表示.已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为_____________℃.
12.某港口的水深y（米）随着时间t（时）呈现周期性变化，经研究可用来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，则的取值范围为_________.
13.国际油价在某一时间内呈现正弦型波动规律：（单位：美元），t为天数，,.现采集到下列信息:最高油价为80美元,当天时，油价最低,则的最小值为_________.
14.如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域BAC内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路边上分别建两个仓库M，N，（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求，（单位：km），.
(1)设，将工厂与村庄的距离PA表示为的函数，记为，求出函数的解析式及定义域；
(2)当为何值时，有最大值 并求出该最大值.
15.在股票市场上，投资者常根据股票走势图来操作.股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在MBC段的走势图可近似地用函数的图像中从最高点M到最低点C的这段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号.老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与MBC段关于直线对称，已知点B,D的坐标分别是.
（1）求出的值，并写出MBC段y关于x的函数解析式；
（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？
答案以及解析
1.答案：A
解析：当时，，由函数解析式易知单摆的周期为，故单摆的频率为.
2.答案：B
解析：本题考查三角函数图像的性质.设干扰信号对应的函数解析式为.由题图得（T为干扰信号的周期，解得，.函数的最大值为，.将代入，解得，，，..欲消除的波需要选择相反的波，即，故选B.
3.答案：D
解析：因为周期，所以，则.
4.答案：C
解析：解法一 t时刻秒针针尖经过的圆弧对应的角为，以x轴正半轴为始边，所在射线为终边，得对应的角为，
则对应的角为，
由可知在单位圆上，所以t时刻的纵坐标，故选C.
解法二 时，纵坐标，排除BD；时，观察图形，此时P不可能位于y轴正半轴，即纵坐标，排除A.选C.
5.答案：A
解析：由题图知，函数的周期，所以，则，将点代入，可得，，.又，，故函数解析式为，将代入函数解析式，得.
6.答案：D
解析：由题图可得，，，即，则.故选D.
7.答案：C
解析：由，，得，，所以函数的增区间为，.当时，，而，故选C.
8.答案：BC
解析：由题图可知，运动周期为，故A错误；该质点的振幅为5 cm，B正确；由简谐运动的特点知，质点在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确，D错误.故选BC.
9.答案：ACD
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，
设是以x轴的非负半轴为始边，（表示点P的起始位置）为终边的角，
由点P的起始位置在最高点知，，
又由题知OP在t min内转过的角为，即，
所以以x轴的非负半轴为始边，OP为终边的角为，
即点P的纵坐标为，
所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式是.
当时，，A正确；当转速减半时，周期变为原来的2倍，B错误；，，C正确；由得，解得，，即，，因此一个周期内高度不低于70 m的时长为，D正确.故选ACD.
10.答案：AD
解析：解法一 由题意可知的最小正周期，所以，即.如图，由题意原问题可转化为P从A出发，沿圆周按逆时针方向匀速运动，
，，所以，所以，且，连接OP，则.根据三角函数的定义可得，即，（题眼）
所以，故选项A正确；当时，，所以函数在时不单调递增，故选项B错误；当时，，所以当，即时函数取得最大值6，所以的最大值为6，故选项C错误；当时，，此时，即，所以，故选项D正确.
综上可知，选AD.
解法二 因为，所以，（题眼）
又点，，所以，所以，所以，故选项A正确；
令，由题意可知的最小正周期，，所以时，该水斗旋转了半个周期，即转化为点P沿从A运动到，所以P的纵坐标y没有一直在增加，所以当时，不单调递增，故选项B错误；
从运动过程可知，y的最大值为6，即的最大值为6，故选项C错误；关于选项D的判断可参考解法一.
综上可知，选AD.
11.答案：20.5
解析：当时，；当时，.解得.所以当时，.
12.答案：
解析：由题意可知（为辅助角），
由题意可得，故，
由，
解得.
故答案为.
13.答案：
解析：由题意得，，又因为，所以时，最小.最小值为.
14.答案：(1)，函数的定义域为
(2)当时，有最大值，最大值为
解析：(1)过点P作，垂足为D，连接PA.
在中，，故，
在中，，，，故，.
在中，，
所以，函数的定义域为.
(2)由(1)可知，，
即
.
又，故，
所以当，即时，取最大值1，
.即当时，有最大值，最大值为.
15.答案：（1）的坐标分别是，
且DEF段与MBC段关于直线对称，
，
.
令，
当时，，
段y关于x的函数解析式为.
（2）由题意得DEF段y关于x的函数解析式为.
若股价至少是买入价的两倍，则，即，解得，
故买入16天后股价至少是买入价的两倍.