课件26张PPT。二 面 角2007级高三第一轮复习 O A B a O (一) 二面角 1.半平面的定义 一个平面内的一条直线将这个平面分成两部分,其中每一部分都叫半平面.?
a2.二面角的定义 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角;这条直线叫做二面角的棱;这两个半平面叫二面角的面.
?
?
3.二面角的表示法:
棱为AB,面为?,?.
记作二面角?-AB-?
A B<1>.先画一个平面的轮廓(一般为平行四边形)4.二面角的画法<2>.以平行四边形的任意一边作为二面角的棱,再作另一个平行四边形,不与前一平面重合. <3>.最后完成两个半平面. ?
?
A B 指出下面图中各个二面角的面与棱及二面角的记法: <1> <2> <3> <4>
? M
a a ? l N l
? ? N
M二面角?-a-?<1>.面是( ),棱是( ),记作( ）<2>.面是( ),棱是( ),记作( ）<3>.面是( ),棱是( ),记作( ）<4>.面是( ),棱是( ),记作( )?,? a M,N l?,? a二面角?-a-?二面角M-l-N二面角M-l-N M,N l(二) 二面角的平面角1.定义:
以二面角的棱上任意一点为端点.
在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角. ?AOB为二面角?-a-?的 平面角 A B定义要点: <1>.棱上的一点 <2>.两条射线分别在两个平 面内 <3>.射线要垂直于棱 ? a
?
O
1.定义:
<1> <2> <3>下面图中有没有二面角的平面角? 为什么? O1
C a
O2 D ?
? ? C
O D
a ? C ?
O a
D
?2.二面角的度数等于它的平 面角的度数 拿一张正三角形的纸片ABC,以它的高AD为折痕,折成一个二面角,指出这个二面角的面? 棱和平面角.答:这个二面角的面为( )和( ),
棱为( ),平面角为( ). A
B D C A
B D C
ABD ADC
AD
∠BDC3.二面角的平面角的画法.<1>第一种画法:
点P在二面角棱上时,
<2>第二种画法:
点P在二面角的一个面内时, ?
a
? ?
a
?经过P点分别在两个面内作棱的垂线, 这两条射线组成了二面角的平面角.
经过P点分别作另一个面和棱的垂线,连接两个垂足的这条线段与过P点所作的棱的垂线组成了二面角的平面角
P
P
A
B A
O 二面角的平面角的画法<3>第三种画法:
点P在二面角的两个面外时, 这两条垂线确定的平面与二面角的两个面的两条交线就组成了二面角的平面角 O A B a
? ?
P
经过P点分别作两个面的垂线. A B证明: ∵PA⊥ ? ,∴PA ⊥a
∵PB⊥ ?, ∴PB ⊥a
∴a⊥ 面APB
∴a ⊥ AO,a ⊥ BO
∴∠AOB是二面角?-a- ?的平面角4.例题
如图,山坡上的倾斜度(坡面与水平面所成的二面角的度数)是60°,山坡上有一条直道CD,它和坡脚的水平线AB的夹角是30°,沿着这条路上山,行走100米后升高多少米??
? H G
A B
D
30
C 由题意画出二面角?-AB-?, ?为山坡坡面, ?为水
平平面,过D作DH⊥?,垂足为H,线段DH长度就是所求
的高度,过D作DG⊥AB,垂足为G,连接GH
∵ DH⊥ ?,DG⊥BC
∴ GH⊥BC
∴∠DGH是二面角?-AB-?
的平面角, ∠DGH=60°
由此,在Rt△DCG中,DG=DC*sin30°
在Rt△DGH中,DH=DC*sin60°*sin30°
=100*sin30°*sin60 °
=25?3 ≈43.3(米) 答:沿直道前进100米,升高约为43.3米。解:5.在30°二面角的一个面内有一个点,它到另一个面的距离是10厘米,求它到棱的距离.
a
?
?
A
O
P
课堂小结:
1.二面角的平面角的概念.2.二面角的平面角的画法.3.二面角的平面角的应用.作业 P45 1,2 制作：蔡友生 创意：蔡友生3.二面角的平面角的画法.<1>第一种画法:
点P在二面角棱上时,
<2>第二种画法:
点P在二面角的一个面内时, ?
a
? ?
a
?经过P点分别在两个面内作棱的垂线, 这两条射线组成了二面角的平面角.
经过P点分别作另一个面和棱的垂线,连接两个垂足的这条线段与过P点所作的棱的垂线组成了二面角的平面角
P
P
A
B A
O 二面角的平面角的画法<3>第三种画法:
点P在二面角的两个面外时, 这两条垂线确定的平面与二面角的两个面的两条交线就组成了二面角的平面角 O A B a
? ?
P
经过P点分别作两个面的垂线. A B(二) 二面角的的平面角1.定义:
以二面角的棱上任意一点为端点.
在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角. ?
? H G
A B
D
30
C 由题意画出二面角?-AB-?, ?为山坡坡面, ?为水
平平面,过D作DH⊥?,垂足为H,线段DH长度就是所求
的高度,过D作DG⊥AB,垂足为G,连接GH
∵ DH⊥ ?,DG⊥BC
∴ GH⊥BC
∴∠DGH是二面角?-AB-?
的平面角, ∠DGH=60°
由此,在Rt△DCG中,DG=DC*sin30°
在Rt△DGH中,DH=DC*sin60°*sin30°
=100*sin30°*sin60 °
=25?3 ≈43.3(米) 答:沿直道前进100米,升高约为43.3米。解:再见！课件22张PPT。二面角 2. 二面角与平面和
平面的垂直关系 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.一、二面角的定义二面角2、二面角的表示方法二面角?－AB－ ?二面角?－ l－ ?二面角C－AB－ D二面角C－AB－ E1、定义二面角二、二面角的平面角 1、定义二面角的平面角必须满足：二面角的平面角的范围: 0??180? 二面角的大小用它的平面角的大小来度量 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角注意:(与顶点位置无关)∠APB= ∠A1P1B12、作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内ABABABO—定义法—三垂线(逆)定理法—垂面法二面角练习：
指出下列各图中的二面角的平面角：二面角B--B’C--Al二面角?--l--?OEOO二面角A--BC--DD14C D解：在PB上取不同于P 的一点O，在?内过O作OC⊥AB交PM 于C，在 ? 内作OD⊥AB交PN于D，连结CD，可得：设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45o∴CO=a，DO=a， PC a ， PD a又∵∠MPN=60o ∴CD=PC a∴∠COD=90o因此，二面角的度数为90o二面角例1.如图,已知P是二面角 棱上一点，过
P 分别在?、?内引射线PM、PN，且∠MPN=600，
∠BPM =∠BPN =450，求此二面角的度数。∠COD是二面角 的平面角①②③一“作”
二“证”
三“计算”二面角CO解：O二面角例3．如图P 为二面角 内一点，PA⊥?,PB⊥?,
且PA=5，PB=8，AB =7，求这二面角的度数。例 4 已知在一个60?的二面角的棱l上有两个点A,B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，且AC⊥l，BD⊥l ，又知AB=4cm,AC=6cm，BD=8cm, 求线段CD的长。二面角从一条直线出发的两个半
平面所组成的图形叫做二
面角。这条直线叫做二面
角的棱。这两个半平面叫
做二面角的面。 二 面 角 ?－AB－ ?
二 面 角 C－AB－ D
二 面 角 ?－ l－ ?1、二面角的平面角必须满足
三个条件
2、二面角的平面角的大小与
其顶点在棱上的位置无关
3、二面角的大小用它的平面
角的大小来度量 1、定义法
2、三垂线（逆）定理法
3、垂面法1、找到或作出二面角的平面角
2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算所求的角一“作”二“证”三“计算”1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是练 习:60o二面角3. 如图，已知A、B是120?的二面角?—l—?棱l上的两点，线段AC，BD分别在面?，?内，且AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。l ∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,
∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ，
∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO O在Rt △COD中，DO=AB=319E解：在平面?内，过A作AO⊥l ，使
AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是
二面角?—l—?的平面角，即 ∠OAC ＝120?，∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2，
∴D二面角?ODC?BOB’两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。求证： α ⊥β∴AB⊥CD，垂足为点B在平面β内过B点作直线BE ⊥ CD，则∠ABE是二面角α- CD -β的平面角。又AB ⊥ BE，即二面角α- CD –β是直二面角∴ α ⊥β三、平面和平面的垂直关系CDBAE两个平面垂直的性质定理：PbcaPcab练 习2、如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面互相垂直已知：a // α， a ⊥β求证： α ⊥βbABSCFE4、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2， ∠ DAC = ∠ BAC = ∠ BAD = 600，
求证：平面 BCD ⊥平面ADCACBDO5、已知PA ⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA = PD，M、N分别是AB、PC的中点，
求证：（1）MN // 平面PAD；
（2）平面PMC ⊥平面PDC6、已知△ABC中，O为AC中点， ∠ ABC=900，P为△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，求证：平面PAC ⊥平面ABCPABCO7、PD ⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，在所有的平面中共有多少对互相垂直的平面？PDABC课件21张PPT。9.6 两个平面垂直的判定和性质(一) 二面角
目录基本概念
引入
图形
范例
练习
小结
作业角的概念 从平面内一点出发的两条射线所组成的图形OBA基本概念：1、半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。2、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。记为：二面角α-AB-β
或者二面角α-l-β
或者二面角A-l-B这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。l二面角的画法(1)直立式(2)正卧式 角图形构成表示法?O顶点边边AB二面角从平面内一点出发的两条射线所组成的图形.从空间一条直线出
发的两个半平面所
组成的图形.定义射线点射线半平面棱半平面?AOB二面角?a?或?AB?a??棱面面AB 二面角的平面角定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角． (3)二面角的大小用它的平面角来度量.二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.注.（1）平面角的顶点在棱上(2)平面角的两边分别在两个半平面内,且都垂直于棱.(4)二面角的范围是[0,π].平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角的作法1.利用定义. BAOa?2.作棱的垂面. ?ABO3.利用三垂线定理及其逆定理.aAOD例1、已知锐二面角?－ l－ ? ，A为面?内一点，A到? 的距离为 2 ，到 l 的距离为 4，求二面角 ?－ l－ ? 的大小。解：过 A作 AO⊥ ?于O，过A作 AD⊥ l 于D，连OD则由三垂线定理得 OD⊥ l∴AO=2 ，AD=4∵ AO为 A到?的距离 ， AD为 A到 l 的距离∴∠ADO就是二面角 ?－ l－ ? 的平面角∵sin∠ADO= ∴ ∠ADO=60°∴二面角 ?－ l－ ? 的大小为60 °在Rt△ADO中，AO
AD17???aPAB例2:已知:二面角?-a-?是300,P??,P到?的距离为10cm. 求点P到棱a的距离.解:过P引?的垂线PB,垂足为B,则PB=10cm.过B在?内作a的垂线AB,垂足为A,连接PA即线段PA为所求.∵ PB?? , AB?a , ∴PA?a?PAB是二面角?-a-?的平面角为300.在Rt△PBA中PA=2PB=20cm.小结P39# 1 , 2作业谢 谢课件14张PPT。1. 平 面 的 斜 线 和 平 面 所 成 的 角9.7 直线和平面所成的角与二面角1. 线线角——异面直线所成的角 直线a,b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线a1∥a, b1∥b, 我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。一. 复 习 自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影； 这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。2. 射 影 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。 斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段。ACB 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影； 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。 斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。射影长 定理 从平面外
一点向这个平面所引 的垂线段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长（3）垂线段比任何一条斜线段都短ABHC与FG在平面ABCD上的射影分别是什么？FG与EA在平面ABCD上的射影分别是什么？BC与A点DC与BCHC与EF在平面ABCD上的射影分别是什么？DC与AB三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一
条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。0BAAO是平面? 的斜线，A是斜足，OB是平面? 的垂线，B是垂足，AB是斜线在平面的射影，θ1 是斜线与射影所成的角.AD是平面 上任一过斜足A的直线θ1与θ的大小关系如何？ θ2与θ的大小关系如何？ θ1二. 新 授1. 线面角——平面的斜线和平面所成的角0BACθ1最小角原理θ1与θ的大小关系如何？在Rt△OAB中，在Rt △AOC中，∵OB＜OC，∴sinθ1＜sin θ∴θ1＜θ
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内任意的直线所成的一切角中最小的角。 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角(即斜射角)，叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 ?的角。直线和平面所成角的范围是[0?，90?]。平面的斜线和平面所成的角例题 例1.如图，OA是平面?的斜线，OB⊥平面 ?于B，AC是 ?内不与AB重合的任意直线，∠OAB=? ，∠BAC= ? ，∠OAC=? ，
求证：cos ? =cos ? cos?OABC?——线面角（斜射角）， ?——射非角
?——斜非角变式：练习5.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？4.已知斜线段的长是它在平面β上射影的2倍，求斜线和平面β所成的角。 如图，斜线段AB是其射影OB的两倍，求AB与平面β所成的角。 如果两条直线与一个平面所成的角相等，它们平行吗？ 3. AB与平面?斜交，B为斜足，AO与平面?垂直，O为垂足，BD是?内的直线， ∠ABD=60? ,∠OBD=45?，求斜线AB和平面所成的角。 例2.线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米，N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β所成角的余弦值。O∠MOM'就是MN与β所成的角课件21张PPT。广东茂名市第一中学 祝本初 整理制作 2. 二面角与平面和
平面的垂直关系9.7 直线和平面所成的角与二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.一、二面角的定义二面角2、二面角的表示方法二面角?－AB－ ?二面角?－ l－ ?二面角C－AB－ D二面角C－AB－ E1、定义二面角二、二面角的平面角 1、定义二面角的平面角必须满足：二面角的平面角的范围: 0??180? 二面角的大小用它的平面角的大小来度量 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角注意:(与顶点位置无关)∠APB= ∠A1P1B12、作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内ABABABO—定义法—三垂线(逆)定理法—垂面法二面角练习：
指出下列各图中的二面角的平面角：二面角B--B’C--Al二面角?--l--?OEOO二面角A--BC--DD14C D解：在PB上取不同于P 的一点O，在?内过O作OC⊥AB交PM 于C，在 ? 内作OD⊥AB交PN于D，连结CD，可得：设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45o∴CO=a，DO=a， PC a ， PD a又∵∠MPN=60o ∴CD=PC a∴∠COD=90o因此，二面角的度数为90o二面角例1.如图,已知P是二面角 棱上一点，过
P 分别在?、?内引射线PM、PN，且∠MPN=600，
∠BPM =∠BPN =450，求此二面角的度数。∠COD是二面角 的平面角①②③一“作”
二“证”
三“计算”二面角CO解：O二面角例3．如图P 为二面角 内一点，PA⊥?,PB⊥?,
且PA=5，PB=8，AB =7，求这二面角的度数。例 4 已知在一个60?的二面角的棱l上有两个点A,B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，且AC⊥l，BD⊥l ，又知AB=4cm,AC=6cm，BD=8cm, 求线段CD的长。二面角二面角从一条直线出发的两个半
平面所组成的图形叫做二
面角。这条直线叫做二面
角的棱。这两个半平面叫
做二面角的面。 二 面 角 ?－AB－ ?
二 面 角 C－AB－ D
二 面 角 ?－ l－ ?1、二面角的平面角必须满足
三个条件
2、二面角的平面角的大小与
其顶点在棱上的位置无关
3、二面角的大小用它的平面
角的大小来度量 1、定义法
2、三垂线（逆）定理法
3、垂面法1、找到或作出二面角的平面角
2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算所求的角一“作”二“证”三“计算”1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是练 习:60o二面角3. 如图，已知A、B是120?的二面角?—l—?棱l上的两点，线段AC，BD分别在面?，?内，且AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。l ∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,
∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ，
∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO O在Rt △COD中，DO=AB=319E解：在平面?内，过A作AO⊥l ，使
AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是
二面角?—l—?的平面角，即 ∠OAC ＝120?，∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2，
∴二面角D二面角?ODC?BOB’两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。求证： α ⊥β∴AB⊥CD，垂足为点B在平面β内过B点作直线BE ⊥ CD，则∠ABE是二面角α- CD -β的平面角。又AB ⊥ BE，即二面角α- CD –β是直二面角∴ α ⊥β三、平面和平面的垂直关系CDBAE两个平面垂直的性质定理：PbcaPcab练 习2、如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面互相垂直已知：a // α， a ⊥β求证： α ⊥βbABSCFE4、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2， ∠ DAC = ∠ BAC = ∠ BAD = 600，
求证：平面 BCD ⊥平面ADCACBDO5、已知PA ⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA = PD，M、N分别是AB、PC的中点，
求证：（1）MN // 平面PAD；
（2）平面PMC ⊥平面PDC6、已知△ABC中，O为AC中点， ∠ ABC=900，P为△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，求证：平面PAC ⊥平面ABCPABCO7、PD ⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，在所有的平面中共有多少对互相垂直的平面？PDABC课件18张PPT。三垂线定理斜线和平面的交点叫做斜足。斜线上一点与斜足间的线段叫做斜线段。
PO是平面α的斜线,
O为斜足; PA是平面α
的垂线, A为垂足; AO
是PO在平面α内的射影.如果一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,那么这条直线叫做平面的斜线自一点P向平面 引垂线，垂足A叫做点P在平面 内的正射影（简称射影）性质定理判定定理性质定理 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个
平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线
垂直。三垂线定理 1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交，也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和
平面内的一条直线垂直的判定定理。对三垂线定理的说明：三垂线定理三垂线定理×面ABCD →面α
直线A1C →斜线 a
直线B1B →垂线 b××面ABCD →面α
面B1BCC1→面β
直线A1C →斜线 a
直线AB →垂线 b面ABCD →面α
直线A1C →斜线 a
直线B1B →垂线 bABCDB1A1 D1C1已知：长方体AC1中，
BD1为体对角线，当底面ABCD满足条件 时，
有BD1 ⊥ A1C1 当AC ⊥ BD时结论成立。解：例1:B1例2、 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC证明：∵ P 是平面ABC 外一点
PA⊥平面ABC
∴AC是斜线PC在平面ABC上
的射影
∵BC?平面ABC 且AC ⊥ BC
∴由三垂线定理得
PC ⊥ BC 例3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，
AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD
又DD1⊥平面ABCD
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的
射影
∵AC在平面AC内，∴BD1⊥AC 而AB1， AC相交于点A且都在平面
AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C证明：连结BD， 请同学思考：如何证明BD1⊥AB1 连结A1B三垂线定理三垂线定理三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面
内的射影和平面内的
一条直线垂直三由线面垂直，线射垂直得出线斜垂直
解题回顾 例4、一段笔直的道路旁有一条河，河对岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，不过河怎样求出电塔顶A与道路的距离？ 解：在道边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°，再在道边取一点D，使水平角CDB等于45°，测得C、D的距离等于20m三垂线定理 ∵BC是AC在地平面内的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC ∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m ∴BC=20m， 因此斜线段AC的长度就是电塔顶A与道路的距离。三垂线定理课堂练习： 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与面对
角线BD垂直，你能说出理由吗？ 三垂线定理 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果
和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也
和这条斜线垂直。 小 结3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”1°定理中四条线均针对同一平面而言2°应用定理关键是找“平面”这个参照系三垂线定理线射垂直线斜垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直
三垂线定理的逆定理？ 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一
条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
已知：PA，PO分
别是平面? 的垂线和斜
线，AO是PO在平面?
的射影,a ? ? ,a ⊥PO
求证：a ⊥AO三垂线定理的逆定理例 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，
那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：∠BAC在平面?内，点P??，PE⊥AB，PF⊥AC，
PO⊥? ，垂足分别是E、F、O，PE=PF
求证：∠BAO=∠CAOP 如图，在空间四边形ABCD中, PA⊥面ABC, AC⊥BC, 若A在PB、PC上的射影分别是E、F，
求证：EF⊥PB补充作业：
1.点P在△ABC的射影为O，
且PA、PB、PC两两垂直，
求证：O为△ABC的垂心2.平面α内有一个正六边形，
它的中心是O，边长为2cm，
OH⊥α ，OH=4cm，求点H到
这个六边形顶点和边的距离。课件18张PPT。三垂线定理 什么叫平面的斜线、垂线、射影？斜线斜足垂足垂线斜线段在平面上的射影
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理已知 PA、PO分别是平面?的垂线、斜线，AO是PO在平面?上的射影。a? ?，a⊥AO。求证： a⊥PO证明：∵PA⊥?,a ? ?∴a⊥平面PAOPA ⊥aa⊥PO∴∵AO⊥a∴直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。注意：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？ 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一
条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
已知：PA，PO分
别是平面? 的垂线和斜
线，AO是PO在平面?
的射影,a ? ? ,a ⊥PO三垂线定理的逆定理成立吗？求证：a ⊥AO如何证明？ 1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交，也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和
平面内的一条直线垂直的判定定理。对三垂线定理的说明：三垂线定理三垂线定理×面ABCD →面α
直线A1C →斜线 a
直线B1B →垂线 b××面ABCD →面α
面B1BCC1→面β
直线A1C →斜线 a
直线AB →垂线 b面ABCD →面α
直线A1C →斜线 a
直线B1B →垂线 bPCBA例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC证明：∵ P 是平面ABC 外一点
PA⊥平面ABC
∴PC是平面ABC的斜线
∴AC是PC在平面ABC上的射影
∵BC?平面ABC 且AC ⊥ BC
∴由三垂线定理得
PC ⊥ BC例2已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，
PMCABBC⊥AM证明:∵ PB=PC,M是BC的点PM ⊥BC∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上的射影求证：BC⊥AM∴∴练1：PA⊥正方形ABCD所在平面
求证：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD证明:AO⊥BDAO是PO在ABCD上的射影PO⊥BDPC⊥BD∵∵∵PA⊥正方形ABCD所在平面∴同理课堂练习练2：如图所示，在正方体AC1中，求证：A1C⊥BC1 ∴B1C是A1C在面BCC1B1上的
射影 C B A1 B1 C1A D D1证明：由三垂线定理知A1C⊥BC1 ∵A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C☆正方体的面对角线垂直与它异面的体对角线三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。课堂小结AaPoα 线射垂直，线斜垂直 线斜垂直，线射垂直 例1、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C例2、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？ 解：在道边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°再在道边取一点D，使水平角CDB等于45°，测得C、D的距离等于20m三垂线定理 ∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC ∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m ∴BC=20m， 因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。三垂线定理例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，
那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：∠BAC在平面?内，点P??，PE⊥AB，PF⊥AC，
PO⊥? ，垂足分别是E、F、O，PE=PF
求证：∠BAO=∠CAO分析： 要证 ∠BAO=∠CAO
只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥ACP ???证明：∵ PO ⊥? ∴OE、OF是PE、PF在?内的射影∵ PE=PF∴ OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥AB??OE⊥AB同理可得OF⊥AC结论成立O F E 例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD
求证：AD⊥BCO在Rt△APE中，AE= PA2+PE2= 练4、设PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4，
PC=6，求点P到平面ABC的距离。解: 作PH⊥平面ABC，连AH交BC于E，连PE∵PA、PB、PC两两垂直
∴PA⊥平面PBC ∴PA⊥BCAH为PA在平面ABC内的射影∴BC⊥AH课件26张PPT。三垂线定理 思考平面内有没有直线与平面的斜线PO垂直？ 什么叫平面的斜线、垂线、射影？斜线斜足垂足垂线斜线段在平面上的射影E引例： 如图所示，如何利用直角三角板, 在长方体的上底面a内画一条直线a，使得它与线EB垂直？分析：a ⊥EB a ⊥ EA a ⊥ AB问题1 针对平面α 而言，直线AB,EB,AE,a分别是
平面的什麽线？（垂线，斜线，射影等？）
问题2：上面的引例用“斜线，射 影，
平面内的线”如何表述？
已知： PA、PO分别是平面?的垂线、斜线，AO是PO在平面?上的射影。a? ?，a⊥AO。
讨论： a⊥PO 是否成立，为什么？在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直.
即 线 ⊥射 则 线⊥斜三垂线定理三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。直接用三垂线定理证明下列题目：
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC证明(1)∵ PA⊥平面ABC
∴PC是平面ABC的斜线
∴AC是PC在平面ABC上的射影
(2)∵BC?平面ABC 且BC ⊥ AC
∴由三垂线定理得 PC ⊥ BC例2 直接利用三垂线定理证明下列各题。(只需要找出每题中的三条垂线即可)(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点
求证：PC⊥BD(3) 在正方体AC1中，求证： A1C⊥B1D1 ，A1C⊥BC1(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，
求证： BC⊥AM(1)(2)(3)三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？解题回顾三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是： ①相交直线 ②异面直线使用三垂线定理还应注意些什么？解题回顾直线a 一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。例如：当 b⊥? 时，
b⊥OA注意：如果将定理中
“在平面内”的条件
去掉，结论仍然成立
吗？但 b不垂直于OP 解题回顾三垂线定理包含几种垂直关系？②线射垂直①线面垂直③ 线斜垂直直 线 和
平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直线射垂直线斜垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直
三垂线定理的逆定理？ 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一
条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
已知：PA，PO分
别是平面? 的垂线和斜
线，AO是PO在平面?
的射影,a ? ? ,a ⊥PO
求证：a ⊥AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。定
理逆
定
理例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，
那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：∠BAC在平面?内，点P??，PE⊥AB，PF⊥AC，
PO⊥? ，垂足分别是E、F、O，PE=PF
求证：∠BAO=∠CAO分析： 要证 ∠BAO=∠CAO
只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥ACP ???证明：∵ PO ⊥? ∴OE、OF是PE、PF在?内的射影∵ PE=PF∴ OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥AB??OE⊥AB同理可得OF⊥AC结论成立例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD
求证：AD⊥BC∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.证明：作AO⊥平面BCD于点O，
连接BO，CO，DO，则BO，
CO，DO分别为AB，AC，
AD在平面BCD上的射影。O∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心，三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。定
理逆
定
理1. 在正方体AC1中，E、G分别是AA1和
CC1的中点， F在AB上，且C1E⊥EF，
则EF与GD所成的角的大小为（ ）
(A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90°DM EB1是EC1在平面AB1
内的射影EB1 ⊥EF
DG∥AM∥EB1
EF ⊥DG练习与作业2.已知 PA、PB、PC两两垂直，
求证：P在平面ABC内的射影是
△ABC的垂心。3.经过一个角的顶点引这个角
所在平面的斜线，如果斜线和
这个角两边的夹角相等，那么
斜线在平面上的射影是这个角
的平分线所在的直线。4.在ABCD—A1B1C1D1中，
求证：AC1⊥平面BC1D例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点
求证：PO⊥BD，PC⊥BD(3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，
求证：BC⊥AM(1)(2)(3)(1) PA⊥正方形ABCD所在平
面，O为对角线BD的中点，
求证：PO⊥BD，PC⊥BD证明:∵ABCD为正方形
O为BD的中点∴ AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影??PO⊥BD(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，
M是BC的中点，
求证：BC⊥AMBC⊥AM证明:∵ PB=PC
M是BC的中点??PM ⊥BC∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上的射影??(3) 在正方体AC1中，
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1 ∵在正方体AC1中
A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C
∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影证明：同理可证， A1C⊥B1D1由三垂线定理知
A1C⊥BC1 证明：a⊥POPA⊥?
a ? ?AO⊥aa⊥平面PAOPO?平面PAOPA ⊥a
