5.4三角函数的图像和性质
1．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知常数，函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．下列点中，曲线的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称 D．的解析式可改写成
8．函数与在上的图象相交于M，N两点，O为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选）已知函数,下列结论中正确的是（ ）
A．函数的周期是
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的最小值是
D．函数的图象关于点对称
10．（多选）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A． B．直线是曲线的一条对称轴
C． D．在区间上单调递增
12．（多选）已知函数，则（ ）
A．的图像关于y轴对称 B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增 D．的图像关于点对称
13．函数的最小正周期是______.
14．函数的最大值为______.
15．已知函数的最小正周期为，则的值为___________.
16．函数的部分图象如图所示，则的值等于__________.
17．函数的部分图象如下图所示：
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的值域．
18．已知函数在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数的解析式和最小正周期；
(2)求函数在区间上的最值及对应的x的取值；
(3)当时，写出函数的单调区间．
19．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求的最大值和对应的取值；
(3)求在的单调递增区间.5.4三角函数的图像和性质
1．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】逐个判断各个选项中函数的单调性和奇偶性即可．
【详解】解：对于A项，函数为周期函数，在（0，+∞）上不是增函数，故A项错误，
对于B项，函数是偶函数，故B项错误，
对于C项，函数是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，故C项错误，
对于D项，函数是奇函数，且在R上单调递增，故D项正确，故选：D.
2．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的周期公式即可求解.
【详解】由题意可知，，所以函数的最小正周期为.故选：B.
3．函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先化简，再根据复合函数单调性列不等式解出单调区间.
【详解】因为，所以求单调减区间等价求单调增区间，
因为，所以
所以单调减区间为，故选：B
4．已知常数，函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦型三角函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】，
由于且在区间上是严格增函数，
所以，
即的取值范围是. 故选：B
5．下列点中，曲线的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式可化简得到，令，可求得函数的对称中心，对比选项可得结果.
【详解】，
令，解得：，此时；
的对称中心为；
则当时，对称中心为.故选：C.
6．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用奇偶性可排除AD；根据从正方向无限接近时可排除C，由此可得结果.
【详解】由得：，则定义域为；
，
为奇函数，图象关于原点对称，可排除AD；
当从正方向无限接近时，，，，则，可排除C. 故选：B.
7．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称 D．的解析式可改写成
【答案】B
【分析】对于A，由，可得，又由于在上不单调，从而可得在区间上也不单调，即可判断为错误；
对于B，因为，取最小值，所以得的图象关于直线对称，从而判断为正确；
对于C，由选项B可得的图象关于直线对称，从而判断为错误；
对于D，由诱导公式可得，从而判断为错误.
【详解】解：对于A，当时，，因为在上不单调，所以在区间上也不单调，故错误；
对于B，当时，，又因为，取最小值，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，由选项B可知，所以的图象关于直线对称，故错误；
对于D，因为，故错误.故选：B.
8．函数与在上的图象相交于M，N两点，O为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过解三角方程求得的坐标，从而求得的面积.
【详解】依题意，，则
由，得，
，.
，，
解得，所以或（不妨设），
所以，
所以，线段中点坐标为，
所以.故选：D
9．（多选）已知函数,下列结论中正确的是（ ）
A．函数的周期是
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的最小值是
D．函数的图象关于点对称
【答案】AC
【分析】根据的解析式,由可求其周期,令即可求对称轴,根据,即可求最值,根据对称中心是令,即可判断选项D正误.
【详解】解:由题知,
,
故选项A正确;
令,
解得: ,
令,
令,
故选项B错误;
因为,
所以,
故选项C正确;
因为对称中心纵坐标为1,
故选项D错误.故选:AC
10．（多选）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用正余弦函数的单调性可得出每个选项中两个三角函数值的大小，即可选出答案.
【详解】因为，且函数在上单调递增，则，故选项A错误；
因为，且函数在上单调递减，则，
即，故选项B正确；
因为，且函数在上单调递减，则，故选项C错误；
因为，且函数在上单调递减，则，故选项D正确.
故选：BD
11．（多选）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．
B．直线是曲线的一条对称轴
C．
D．在区间上单调递增
【答案】BC
【分析】根据求得，结合三角函数的对称性、周期性、单调性求得正确答案.
【详解】依题意，
由于，所以，A选项错误.
则，
，所以直线是曲线的一条对称轴，B选项正确.
的最小正周期，所以，C选项正确.
由得，所以不是的递增区间，D选项错误.故选：BC
12．（多选）已知函数，则（ ）
A．的图像关于y轴对称
B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增
D．的图像关于点对称
【答案】AC
【分析】对于A，通过判断函数的奇偶性求解，对于BCD，作出函数的图像，利用图像判断.
【详解】由，得，，所以的定义域关于原点对称．又，所以函数为偶函数，其图像关于y轴对称，故A正确．
当时，，作出函数在时的简图，再由的图像关于y轴对称得函数的简图，如图．
根据函数图像知，函数不具有周期性，且在区间上单调递增，函数图像不关于点对称，故B，D错误，C正确．故选：AC．
13．函数的最小正周期是______.
【答案】
【分析】根据正弦型函数的周期公式求解即可.
【详解】的最小正周期是. 故答案为：
14．函数的最大值为______.
【答案】
【分析】利用三角函数的基本关系式将化为关于的二次函数，从而利用配方法即可得解.
【详解】因为，
又，所以当时，.故答案为：.
15．已知函数的最小正周期为，则的值为___________.
【答案】
【分析】根据正切型三角函数确定最小正周期的表达式，即可求的值.
【详解】解：函数的最小正周期为，所以.故答案为：.
16．函数的部分图象如图所示，则的值等于__________.
【答案】或
【分析】根据图象可求得三角函数解析式，计算出一个周期内的函数值即可求得结果.
【详解】由图象可知，，周期，可得
将代入可得，所以
经计算可知，，
所以，
易得
所以. 故答案为：
17．函数的部分图象如下图所示：
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)； (2)．
【分析】（1）根据给定函数图象依次求出，再代入作答；
（2）在的条件下，求出（1）中函数的相位范围，再利用正弦函数的性质计算作答．
【详解】（1）依题意得，令函数的周期为，则，，
由得：，而，于是得，
所以函数的解析式是：.
（2）由（1）知，当时，，则当，即时，
当，即时，，所以函数在上的值域是．
18．已知函数在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数的解析式和最小正周期；
(2)求函数在区间上的最值及对应的x的取值；
(3)当时，写出函数的单调区间．
【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)减区间；增区间
【分析】（1）由函数的图象的最值点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．
（2），根据正弦函数性质求得函数在区间上的最值及对应的x的取值；
（3）当时，分两种情况讨论，可写出函数的单调区间．
【详解】（1）由函数在一个周期内的图象可得：
，
再根据五点法作图可得,
（2），
时，函数在区间上的最大值为
时，函数在区间上的最小值为
（3），故函数的单调减区间是；
，故函数的单调增区间是；
19．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求的最大值和对应的取值；
(3)求在的单调递增区间.
【答案】(1)；(2)当时，函数有最大值；(3).
【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式即得；
（2）根据正弦函数的图象和性质即得；
（3）根据正弦函数的单调性结合条件即得.
【详解】（1）因为函数，
所以的最小正周期为；
（2）因为，
由，可得，
当时，函数有最大值；
（3）由，可得，
又，函数的单增区间为.
