椭圆的六种基本题型
一、定义及求方程
1．已知椭圆的左右焦点分别为，点A在椭圆上，点B在的延长线上，且，则点B的轨迹是（ ）
A．两条平行线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
【答案】D
【分析】结合椭圆和圆的定义求得正确答案.
【详解】根据椭圆的定义可知，
由于，所以，
即，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.
故选：D
2．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则点到另一个焦点的距离是（ ）
A．6 B．26 C．4 D．14
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义及椭圆上一点到焦点的距离等于6 ，可得的长.
【详解】解：根据椭圆的定义，
又椭圆上一点到焦点的距离等于6，
，则，
故选：D.
3．已知平面上两点，，的周长为18.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)当动点P满足时，求点P的纵坐标.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据周长可得动点满足的几何性质，根据椭圆的定义可得动点的轨迹方程.
（2）设，根据可得关于的方程组，从而可求点P的纵坐标.
【详解】（1）因为的周长为18，故，
由椭圆的定义可得的轨迹为椭圆，其长轴长，故，
而半焦距，故，
故方程为：.
（2）设，则，，
因为，故，所以，
而，解得，
故点P的纵坐标为.
4．求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点；
(2)经过点P，Q.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据题意得到半焦距，然后利用椭圆的定义求出，再根据的关系即可求解；
(2)已知椭圆过两点，设其方程为，将点代入解方程组即可求解.
【详解】（1）由题意知：椭圆的焦点在纵轴上，且.
由椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点距离之和等于.，，
所以
故椭圆方程为.
（2）根据题意，设椭圆的方程为，，
又由椭圆经过和，则有，解可得，；
则要求的椭圆方程为，
即其标准方程为.
5．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【答案】
【分析】由圆的外切与内切，结合椭圆定义得出点轨迹是椭圆，然后可求得其方程．
【详解】设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的圆心分别为、，
将圆方程分别配方得，，
，半径，，半径，
当⊙M与外切时，有，①
当⊙M与内切时，有，②
将①②两式的两边分别相加，得，由椭圆的定义知，M的轨迹是以、为焦点的椭圆，
设椭圆方程为，则有a＝6，c＝3，．从而所求椭圆方程为．
6．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；
(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）通过焦距可得到，继而得到焦点坐标，通过椭圆的定义可算出，再结合算出，即可得到答案；
（2）通过定义算出，结合离心率算出再通过算出，然后分焦点在轴或在轴的情况得到椭圆的方程
（1）
由焦距是4可得，又焦点在y轴上，所以焦点坐标为，，
由椭圆的定义可知，
所以，所以，所以椭圆的标准方程为；
（2）
由题意知，即，又，所以，
所以，
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为，
所以椭圆的方程为或
7．（1）求焦点的坐标分别为，且过点的椭圆的方程.
（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点、的椭圆标准方程.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由题意椭圆的焦点在轴上，且，结合即得解；
（2）设椭圆的方程为，待定系数即得解
【详解】（1）由题意，椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为
由椭圆定义，
故
故椭圆的标准方程为：
（2）不妨设椭圆的方程为：
经过两点、
故，解得
即
故椭圆的标准方程为：
8．已知焦点为，的椭圆的方程为，且，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为________.
【答案】16
【分析】由题意求得椭圆的半长轴，表示出的周长并化简，即可得答案.
【详解】设椭圆的焦距为，则，
故，
所以的周长为，
故答案为：16.
二、椭圆上的点相关的距离最值
9．若为椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，则的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得，由此求得的最大值.
【详解】，，，
即.
所以的最大值为.
故选：D
10．、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义可得出，分析可知当点为射线与椭圆的交点时，取最小值，即可得解.
【详解】在椭圆中，，，，则、，连接，
所以，
，
当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立，故的最小值为.
故选：A.
11．设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义可得，，当三点共线时，取值最大或最小.
【详解】根据椭圆的定义可得，，则，因为，则当三点共线时，取值最大或最小.
由已知得，，，，，.
图1
如图1，当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大. .
图2
如图2，当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大. .
故答案为：.
12．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可.
【详解】解：设圆的圆心为，则，
设，则，
所以
，当且仅当时取得最大值，
所以．
故选：B．
13．椭圆上任一点到点的距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】设点的坐标为，结合两点间的距离公式，化简得到，即可求解.
【详解】设点的坐标为，其中，
由，可得，
又由，
当时，取得最小值，最小值为.
故选：B.
14．已知椭圆的上焦点为F，且P是椭圆上的一点，求的最小值与最大值．
【答案】的最小值为，最大值为.
【分析】根据两点间距离公式，结合椭圆的范围、配方法进行求解即可.
【详解】设，则有，，
，
因为，所以，
因此，即的最小值为，最大值为.
15．设分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为，则的最小值为___________．
【答案】##
【分析】利用椭圆的定义，由求解.
【详解】解：因为椭圆，
所以，，
则，
连接，如图：
因为，
所以，
当三点共线时，取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
三、根据椭圆求参数
16．若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据椭圆焦点在轴上,可得,解出范围即可.
【详解】解:由题知表示焦点在轴上的椭圆,
则有: ,
解得:或.
故选:D
17．“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先根据焦点在x轴上的椭圆求出，再根据充分性，必要性的概念得答案.
【详解】由方程表示焦点在x轴上的椭圆得：，
解得或，
由充分性，必要性的概念知，
“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件.
故选：A.
18．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据椭圆的标准方程的形式，焦点在轴上的椭圆分母的大小关系可得.
【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆,则
故答案为：
19．如果方程表示焦点在轴的椭圆，那么实数的取值范围是___________.
【答案】.
【分析】先将方程变形为椭圆的标准方程，然后由焦点在轴上，列不等式可求出实数的取值范围.
【详解】由，得，
因为椭圆的焦点在轴上，
所以，解得，
即实数的取值范围是，
故答案为：.
四、焦点三角形相关问题
20．已知，是椭圆：的两个焦点，过点且斜率为的直线与交于，两点，则的周长为（ ）
A．8 B． C． D．与有关
【答案】C
【分析】根据椭圆：可求得a，由椭圆的定义可得，，并且，进而即可求得的周长．
【详解】由椭圆：，则，即，
又椭圆的定义可得，，且，
所以的周长为．
故选：C．
21．设是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若是直角三角形，则的面积等于（ ）
A． B． C．16 D．或16
【答案】D
【分析】对的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案.
【详解】依题意，，不妨设，
对于直角三角形，
若，
由，整理得,
所以.
若或为直角，
由得，
所以.
所以，的面积等于或16.
故选：D
22．椭圆的焦点为，，与y轴的一个交点为A，若，则m（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】首先根据椭圆的标准方程求出，然后再根据椭圆的定义及等腰直角三角形的几何性质求出的值，进而求出参数.
【详解】在椭圆（）中，，，，
如图，
易知，又，所以为等腰直角三角形，
即，得，即.
故选：A
23．已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，P是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，则（ ）
A．周长为14 B．面积最大值为12
C．存在点P使得 D．不可能是等腰直角三角形
【答案】BCD
【分析】对于A，利用椭圆定义求出的周长即可判断；
对于B，利用点到的最大距离即可求得面积的最大值，从而可判断；
对于C，将问题转化为方程有两解的问题，从而可判断；
对于D，分类讨论、与三种情况，利用勾股定理即可判断.
【详解】因为椭圆E：，所以，则，
对于A，不妨设，则，又，
所以周长为，故A错误；
对于B，因为当点在轴上时，点到的距离最大，且最大值为，
所以，即面积最大值为12，故B正确；
对于C，假设存在点P使得，则，
又，所以，则，
所以是方程的两根，显然，方程有两解，
所以存在点P使得，故C正确；
对于D，当时，，显然，所以不是直角三角形；
当时，，显然，所以不是直角三角形；
同理：当时，也不是直角三角形；
综上：不可能是等腰直角三角形，故D正确.
故选：BCD
.
24．已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为6，且.
(1)求椭圆的标准方程：
(2)若，求三角形的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知得，再求得即得椭圆标准方程；
（2）由椭圆定义结合勾股定理求得后即可得三角形面积．
【详解】（1）由已知，，，，∴，
椭圆标准方程为；
（2），则，
又，所以，
．
25．已知椭圆的左、右焦点分别是，且是面积为的正三角形．过垂直于的直线交椭圆M于B，C两点，则的周长为___________．
【答案】
【分析】由面积为，且其为正三角形，可得.后由中垂线性质结合椭圆定义可得答案.
【详解】如图，设，则，因面积为，且其为正三角形，又，则，则.
又直线BC过，与垂直，为正三角形，则直线BC为中垂线，
则，又，
故的周长，又C，B在椭圆上，则由椭圆定义有.
故答案为：
26．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，满足，若的面积为9，则_____________
【答案】3
【分析】利用化简得到之间的关系，即可求得.
【详解】解：，；①
又，，②
①-②得：，，
的面积为9，，，
.
故答案为：3
27．已知椭圆的两个焦点分别为，P是椭圆上的一点，且，则的面积是___________.
【答案】
【分析】结合正弦定理面积公式、余弦定理及椭圆第一定义化简，可得，进而得解.
【详解】设，由正弦定理面积公式可得①，
对，由余弦定理可得：②，
由椭圆第一定义得：③，
联立②③得，代入①式得.
故答案为：
五、离心率相关问题
28．已知点是椭圆的右焦点，椭圆上一点关于原点的对称点为，若的周长为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设椭圆的左焦点为，连接，由题意可得点也在椭圆上，且，由的周长为，
可得，又由，可得，进而有，即，
解得，将点坐标代入椭圆方程可解得，从而可得，即可求得离心率的值.
【详解】解：因为椭圆关于原点中心对称，
所以点关于原点的对称点也在椭圆上，且，
所以，
又因为的周长为，
所以①，
设椭圆的左焦点为，连接，
由，可得②，
由①②可得，
即，
所以，
所以椭圆的方程为，
代入点坐标得：，
解得，
所以，
所以离心率.
故选：C.
29．已知，为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y轴右侧的两个交点为A，B，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C． D．
【答案】B
【分析】由为等边三角形，及椭圆的对称性可得：，又，可得，利用椭圆的定义可得：，即可得出．
【详解】由为等边三角形，及椭圆的对称性可得：，
又，
∴，
∴，可得．
故选：B．
30．已知椭圆方程为的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出，，代入离心率公式求解即可.
【详解】∵椭圆的标准方程为，
∴，，∴，
∴，，
∴椭圆的离心率.
故选：B.
31．若椭圆的离心率为，则实数的取值可能是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】AC
【分析】对椭圆焦点在轴上和在轴上两种情况进行分类讨论，根据离心率的定义即可计算得出实数的取值.
【详解】当焦点在轴上时，由，得；
当焦点在轴上时，由，得．
故选：AC.
32．已知椭圆的右顶点为A，下顶点为，上顶点为，椭圆的离心率为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点的直线与椭圆相交于点（不在坐标轴上），当时，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率，等列出方程组，利用待定系数法求出椭圆方程；
（2）得到点为以为圆心，为半径的圆与椭圆的交点（不在坐标轴上），从而联立圆与椭圆方程，求出点坐标，从而利用求出答案.
【详解】（1）由题意得：，故，
又，，解得：，
故椭圆的标准方程为；
（2）因为，
所以点为以为圆心，为半径的圆与椭圆的交点（不在坐标轴上），
其中以为圆心，为半径的圆的方程为，
联立与，得：，
解得：或，其中时，点位于y轴上，不合题意，舍去；
当时，，解得：，
故.
六、弦长问题
33．已知椭圆的离心率为，长轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的左焦点且斜率为1的直线交椭圆于A，两点，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题离心率及长半轴长及之间的关系联立方程组解出，求出椭圆的方程；
（2）由题意写出直线的方程，然后与椭圆联立写出韦达定理，再由两点间距离公式求出弦长即可.
【详解】（1）由题意：，
，
，，
又，
所以，
所以椭圆的方程：；
（2）由（1），左焦点，
则直线的方程：，
设，，
由
化简得：，
所以，，
.
34．己知椭圆C的两个焦点分别为和，点在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作倾斜角为的直线l交椭圆C于A、B两点，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用焦点和椭圆上的点列方程组求解即可；
（2）联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式计算线段的长度．
【详解】（1）设椭圆C的方程为，
则，解得，
故椭圆C的方程为；
（2）过点作倾斜角为的直线l的方程为，设
联立，消去得，
，
35．已知椭圆经过点.
(1)求的方程；
(2)直线与相交于两点，求弦长的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接代入坐标即可求解.
（2）利用弦长公式以及韦达定理即可求解.
【详解】（1）由题且，
解得
的方程为.
（2）设，
联立得.
解得，
.
36．是过椭圆右焦点的弦，则弦长的最小值为______
【答案】##
【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用弦长公式，结合函数最值，求解即可.
【详解】由题可知，的坐标为，
若直线的斜率为零，易知；
若直线的斜率不为零，设其为，联立椭圆方程，
可得：，显然，
设两点的坐标分别为，
则，
则
，
因为，则，，
，即当直线的斜率不为零时，；
综上所述，，故弦长的最小值为.
故答案为：.椭圆的六种基本题型
一、椭圆定义及求椭圆方程
1．已知椭圆的左右焦点分别为，点A在椭圆上，点B在的延长线上，且，则点B的轨迹是（ ）
A．两条平行线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
2．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则点到另一个焦点的距离是（ ）
A．6 B．26 C．4 D．14
3．已知平面上两点，，的周长为18.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)当动点P满足时，求点P的纵坐标.
4．求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点；
(2)经过点P，Q.
5．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
6．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；
(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26．
7．（1）求焦点的坐标分别为，且过点的椭圆的方程.
（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点、的椭圆标准方程.
8．已知焦点为，的椭圆的方程为，且，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为________.
二、和椭圆上的点相关的距离最值问题
9．若为椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，则的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
13．椭圆上任一点到点的距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
14．已知椭圆的上焦点为F，且P是椭圆上的一点，求的最小值与最大值．
15．设分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为，则的最小值为___________．
三、已知椭圆求参数范围
16．若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
17．“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为______．
19．如果方程表示焦点在轴的椭圆，那么实数的取值范围是___________.
四、焦点三角形相关问题
20．已知，是椭圆：的两个焦点，过点且斜率为的直线与交于，两点，则的周长为（ ）
A．8 B． C． D．与有关
21．设是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若是直角三角形，则的面积等于（ ）
A． B． C．16 D．或16
22．椭圆的焦点为，，与y轴的一个交点为A，若，则m（ ）
A．1 B． C． D．2
23．已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，P是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，则（ ）
A．周长为14 B．面积最大值为12
C．存在点P使得 D．不可能是等腰直角三角形
24．已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为6，且.
(1)求椭圆的标准方程：
(2)若，求三角形的面积.
25．已知椭圆的左、右焦点分别是，且是面积为的正三角形．过垂直于的直线交椭圆M于B，C两点，则的周长为___________．
26．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，满足，若的面积为9，则_____________
27．已知椭圆的两个焦点分别为，P是椭圆上的一点，且，则的面积是___________.
五、离心率相关问题
28．已知点是椭圆的右焦点，椭圆上一点关于原点的对称点为，若的周长为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
29．已知，为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y轴右侧的两个交点为A，B，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C． D．
30．已知椭圆方程为的离心率为（ ）
A． B． C． D．
31．若椭圆的离心率为，则实数的取值可能是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
32．已知椭圆的右顶点为A，下顶点为，上顶点为，椭圆的离心率为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点的直线与椭圆相交于点（不在坐标轴上），当时，求的面积.
六、弦长问题
33．已知椭圆的离心率为，长轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的左焦点且斜率为1的直线交椭圆于A，两点，求.
34．己知椭圆C的两个焦点分别为和，点在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作倾斜角为的直线l交椭圆C于A、B两点，求线段的长度．
35．已知椭圆经过点.
(1)求的方程；
(2)直线与相交于两点，求弦长的值.
36．是过椭圆右焦点的弦，则弦长的最小值为______
