2.3二次函数与一元二次方程、不等式专项练习
1．不等式解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或或
2．若对于一切实数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．关于的不等式的解集是,则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．若，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
5．设a，b，c为常数，且，若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．或
7．已知函数（），若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．关于的不等式的解集为，且，则实数a的值等于（ ）
A．－2 B．2 C． D．－1或2
9．(多选)不等式对任意恒成立，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．(多选)已知，是关于x的方程的两个实根，则（ ）
A．或 B．
C． D．
11．(多选)已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．不等式的解集为 D．不等式的解集为
12．(多选)已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
13．不等式的解集是______.
14．已知恰有3个整数满足不等式，求的取值范围_________.
15．已知不等式的解集为或，则关于x的不等式的解集为___________.
16．已知下列命题:
①不等式的解集为：或；
②不等式的解集为：；
③不等式的解集为：；
④若不等式对任意都成立，则；正确的有_____________.（将你认为正确的命题的序号填在横线上）
17．已知二次函数满足，且：
(1)求的解析式；
(2)若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围．
18．设.
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式.2.3二次函数与一元二次方程、不等式专项练习
1．不等式解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或或
【答案】D
【分析】解高次不等式使用穿根法求解.
【详解】根据高次不等式的解法，使用穿根法如图得不等式的解集为或或
故选：D.
2．若对于一切实数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】，不等式恒成立无实数根，利用判别式小于零可得答案．
【详解】∵对于一切实数不等式恒成立，
∴二次函数的图象在轴上方，
∴无实数根，
∴，解得，故选：A．
3．关于的不等式的解集是,则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根先将不等式,写为,对整体换元,再进行全分离求最值,分新元是否为零,再用基本不等式即可得出结果.
【详解】解:由题知,关于的不等式的解集是,
因为,
不妨取,,
即对于,即,
当时,,
当时,,
当且仅当,即时取等,
故,故,
综上: .故选:A
4．若，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，分，，，讨论求解.
【详解】解：当时，原不等式化为，不恒成立，不符合题意；
当时，由对应二次函数的性质可知，要使恒成立，
只需满足解得；
当时，由对应二次函数的图象及性质可知，不符合题意．
综上可得，a的取值范围是．故选：C
5．设a，b，c为常数，且，若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次不等式和对应二次方程的关系，找出之间的关系后进行求解即可.
【详解】依题意，根据二次不等式和对应二次方程的关系可知，的两根为，根据韦达定理：，故，，又，即，解得.故选：B
6．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】C
【分析】先解二次不等式求得的等价条件，再利用充分不必要条件的性质与数轴法即可求得的取值范围.
【详解】因为，所以，
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，则，故，
所以实数的取值范围为．故选：C．
7．已知函数（），若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件得到有两个不等的实根，得出的取值范围，再根据的范围得出，所以要满足题意，则有，解之可得实数的取值范围.
【详解】函数，集合，中为整数的解有且仅有一个，
所以方程有两个实根，即，
解得或（舍去），
当时，又，，
所以要使集合有且只有一个元素，则有，
解得，故．故选：．
8．关于的不等式的解集为，且，则实数a的值等于（ ）
A．－2 B．2 C． D．－1或2
【答案】C
【分析】分和两种情况解不等式，再结合已知求解即可.
【详解】解：因为
所以，当时，不等式的解集为，所以，解得，
当时，不等式的解集为，所以，解得，
所以，实数a的值等于，故选：C
9．(多选)不等式对任意恒成立，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】将题设不等式化为标准的一元二次不等式，由其恒成立得，再结合不等式的性质变形后判断ACD选项即可，对于B，则举反例排除.
【详解】对于A，将整理为，
因为对任意恒成立，所以，
即，整理得，故A正确；
对于B，令，则，满足题意，故B错误；
对于C，由A知，即，故C正确；
对于D，，故D正确.故选：ACD.
10．(多选)已知，是关于x的方程的两个实根，则（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】A.根据判别式即可求得k的取值范围；B，C，D选项，先用韦达定理求出以及的值，变形化简可以推出.
【详解】由已知得，，解得或，A正确；
由韦达定理可得，，则
∵
∴，B正确；
当时，，此时无意义；
当时，
当k=0时，，C错误；
当时，，此时无意义；
当时，，D正确. 故选：ABD.
11．(多选)已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．不等式的解集为 D．不等式的解集为
【答案】AD
【分析】根据给定的解集，借助根与系数的关系用a表示b，c，再逐项判断作答.
【详解】因关于的不等式的解集为，则是方程的二根，且，
于是得，即有，
，即，A正确；
，B不正确；
不等式化为：，解得，即不等式的解集为，C不正确；
不等式化为：，即，解得，
所以不等式的解集为，D正确.故选：AD
12．(多选)已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【答案】AC
【分析】利用一元二次不等式的解集的特点，结合一元二次方程的韦达定理，对选项逐一分析即可.
【详解】对于A，由二次不等式解集的特点易知，故A正确；
对于B，因为不等式的解集为或，故或是方程的两个实根，
所以由韦达定理得，，即，
代入，得，即，解得，故B错误；
对于C，将代入，得，即，
因式分解得，解得或，故C正确；
对于D，因为，所以，故D错误.故选：AC.
13．不等式的解集是______.
【答案】
【分析】不等式等价转化为或，求解集即可.
【详解】由题设，
所以或，可得或或，
故不等式解集为.故答案为：
14．已知恰有3个整数满足不等式，求的取值范围_________.
【答案】或或
【分析】由题可得，然后分整数为3,4,5或4,5,6或5,6,7讨论即得.
【详解】∵，
∴，由恰有3个整数满足不等式，则，
则当恰有3,4,5满足不等式时，，解得；
当恰有4,5,6满足不等式时，，解得；
当恰有5,6,7满足不等式时，，解得.
∴的取值范围为或或.故答案为：或或.
15．已知不等式的解集为或，则关于x的不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】根据不等式的解集求得参数的关系，再代入后解不等式．
【详解】由题意，所以，
不等式为，所以，，
，故答案为：．
16．已知下列命题:
①不等式的解集为：或；
②不等式的解集为：；
③不等式的解集为：；
④若不等式对任意都成立，则；正确的有_____________.（将你认为正确的命题的序号填在横线上）
【答案】①④
【分析】解二次不等式可判断出命题①的正误；解不等式可判断出命题②的正误；解不等式可判断命题③的正误；由不等式对任意都成立得出或，进而可判断出命题④的正误；
【详解】对于命题①，由，可得，解得或，
所以，不等式的解集为：或，命题①正确；
对于命题②，解不等式，得，
所以，不等式的解集为，命题②错误；
对于命题③，如下图所示：
利用穿针引线法可知，不等式的解集为或，
命题③错误；
对于命题④，当，即当，则有，合乎题意；
当时，若不等式对任意都成立，
则，解得.
所以，若不等式对任意都成立，则，命题④正确；
故答案为：①④.
【点睛】本题考查不等式有关命题真假的判断，涉及不等式的解法、二次不等式恒成立以及基本不等式，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.
17．已知二次函数满足，且：
(1)求的解析式；
(2)若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围．
【答案】(1); (2)
【分析】（1）设二次函数，利用题目条件可以得到关于的方程组，解方程组得到，即可得到解析式；
（2）因为的取值不同，函数的图象不同，所以我们可以先分类讨论，其次函数图象恒在函数图象上方，即有恒成立，于是问题转化为一元二次不等式恒成立问题，即可利用求解.
【详解】（1）设二次函数，，由题意知：
，整理得：，
即：，解得：，∴.
（2）由（1）知，的图象开口向上，
时，，解得：或，
∴当，，图象在轴下方，当，，图象在轴上方，
对于，当时，，当时，图象在图象的上方，不合题意，舍去；
当时，，开口向上，当时，图象在图象的上方，不合题意，舍去；
当时，，开口向下，函数的图象恒在图象的上方，即恒成立，
即：恒成立，即：恒成立，，
即有：，即：.综上，的取值范围是：.
18．设.
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【分析】（1）由已知可得，原题可转化为对一切实数成立，对是否为0进行讨论. 当时，结合二次函数的性质即可求得；
（2）原不等式可化为，即求解含参的一元二次不等式.根据与0的关系首先进行分类讨论，结合时，的两个根的大小情况，即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得对一切实数x恒成立，
可转化为对一切实数成立.
当时，不满足题意；
当时，要是恒成立，
则需满足，解得. 所以实数a的取值范围为.
（2）原不等式可化为.
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，解得，，.
当时，因为，所以不等式的解集为；
解可得.
当，此时，所以不等式的解集为；
当，此时，所以不等式的解集为；
当，此时，所以不等式的解集为.
综上所述，
当，不等式的解集为；
当，不等式的解集为；
当，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
