2.2基本不等式专项练习
1．，且都是正数，则的最大值是（ ）
A．400 B．100 C．40 D．20
【答案】A
【分析】利用基本不等式，可得答案.
【详解】，当且仅当，等号成立.故选：A.
2．已知，且，则的最大值为（ ）
A． B．25 C．36 D．49
【答案】C
【分析】由基本不等式可直接求解.
【详解】因为，，即，当且仅当时取到等号，故的最大值为36.故选：C
3．设，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为2 D．
【答案】B
【分析】选项A，符号相同，取倒数不等号方向发生改变；选项B，同正，分子小，分母大；选项C，使用基本不等式，等号条件不成立；选项D，一个数大于1，一个数小于1.
【详解】选项A，由，则，故A错误；
选项B，由，则，故B正确；
选项C，由，则，，，所以，故C错误；
选项D， 由选项C分析可知，，，，故D错误.故选：B.
4．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果.
【详解】由已知，利用基本不等式得出，
因为，则，，
所以，，
∴.故选：C.
5．设，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】先得到，解出，再对式子变形，利用基本不等式求出最大值.
【详解】因为，所以，解得：，
故，
当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为.
6．已知，且，则的最小值为（ ）
A．13 B．14 C． D．
【答案】C
【分析】由题意知,把代入中可得,然后再让所求式子乘上, 通过化简, 便可利用基本不等式性质即可求得最小值.
【详解】，，
，
,
当且仅当时，即，而又,所以 ，
此时不等式可取等号. 所以的最小值为，故选：C.
7．若正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．16 B．13 C．20 D．15
【答案】A
【分析】根据，再结合基本不等式求解即可．
【详解】因为正数a，b满足，
则，
当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值16．故选：A．
8．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数，则的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】将分离常数为，由，可得，且，，再结合基本不等式求解即可.
【详解】由，
又，所以，且，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为6.故选：A.
9．已知，，且满足，则的最大值为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．1
【答案】D
【分析】由题可得，利用基本不等式可得 ，进而即得.
【详解】因为，，，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的最大值为1. 故选：D.
10．(多选)已知，且，则（ ）
A．的范围 B．的范围是
C． D．的最小值是
【答案】ACD
【分析】对于A，B选项可由基本不等式及其推论判断正误；
对于C，D选项，先由可得，后利用基本不等式可得选项正误.
【详解】对于A，由基本不等式，有，当且仅当时取等号.解不等式，注意到，
则，当时取最大值1.故A正确.
对于B，由基本不等式，可得，两不等式均当且仅当时取等号.则，当且仅当时取等号，解不等式，注意到，
得，此时.又，故，
则.综上.故B错误.
对于C，因，，
则，则.
又由，可得.
故，
当且仅当，即或时取等号.因，故取不到等号.
则.故C正确.
对于D，由C分析可知：
当且仅当，即时取等号.得的最小值是.故D正确.故选：ACD
11．(多选)若实数m，n>0，满足．以下选项中正确的有（ ）
A．mn的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为5 D．的最小值为
【答案】AD
【分析】根据来验证A项
展开基本不等式求解B项.
把用来表示得
验证C项.
证明，然后验证D
【详解】根据基本不等式
当且仅当时有最大值，所以A正确.
当且仅当时有最小值为，所以B不正确.
令则
又因为当且仅当时取得最小值，所以的最小值为，所以C不正确.
又根据基本不等式当且仅当时取得等号，所以即
当且仅当时取得等号.
所以的最小值为.故D正确.故选：AD
12．(多选)下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则的最大值为；
B．若，则函数的最大值为；
C．若，，，则的最小值为
D．已知，则函数.
【答案】BD
【分析】A选项利用基本不等式，可求得最小值为，BD选项都可以利用凑定法，改变形式，利用基本不等式可求得最值，判断答案，C选项利用和的不等关系，得到关于的不等式可解答案.
【详解】当，，，，当且仅当时，取等号，故选项A不正确.
当时，，
当且仅当时等号成立，所以选项B正确.
当，，，故即，
整理得
，当且仅当时，取等号，所以选项C不正确.
, ,，
当且仅当时等号成立，所以D正确.故选：BD
13．(多选)下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．若，，则
B．若，则函数的最大值为1
C．若，，则的最小值为
D．若，，则的最大值为1
【答案】ACD
【分析】利用不等式的性质即可判断A；采用配凑法并利用基本不等式即可判断B；将已知化为，进而得出并利用基本不等式即可判断C；直接运用基本不等式即可判断D．
【详解】对于A：∵c＜d＜0，则－c＞－d＞0，又∵a＞b＞0，则－ac＞－bd＞0，∴ac＜bd，故A正确；
对于B，若，得，则函数，当且仅当时等号成立，故B错误；
对于C，若，则，
所以，
当且仅当且，即时等号成立，故C正确；
对于D，因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确，故选：ACD．
14．已知正实数，满足，则的最小值为______.
【答案】
【分析】由，结合基本不等式求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
因为为正实数，所以，
所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，故答案为：.
15．已知均为实数且，，则的最小值为______.
【答案】3
【分析】由可得，再将变形为，利用基本不等式即可求解.
【详解】由，可得，
因为，所以，，
则，
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为3.故答案为：3
16．已知，且，则的最大值_______
【答案】
【分析】将已知等式配凑为，利用基本不等式可求得结果.
【详解】，
，（当且仅当时取等号），
的最大值为.故答案为：.
17．已知.
(1)若.求证：；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析；(2)4
【分析】（1）结合基本不等式证得不等式成立.
（2）结合基本不等式转化已知条件，从而求得的最小值.
【详解】（1）由，所以.
所以
，
当且仅当，时取等号，即，由此得证.
（2）依题意，，
所以，当且仅当时等号成立，
整理得，解得，所以的最小值为.
18．（1）对于两个正数，，我们把称为它们的调和平均数，称为它们的几何平均数. 求证：两个正数的调和平均数不大于它们的几何平均数；
（2）已知，，且，求的最小值及取最小值时，的值.
【答案】（1）见解析；（2）；
【分析】（1）利用完全平方公式得到，再将其变形转化即可证得；
（2）利用基本不等“1”的妙用即可得解.
【详解】（1）因为，，所以，
所以，即，故，
所以，则，即，故，
上述不等式当且仅当，即时，等号成立，所以.
（2）因为，，，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最小值为，此时.
19．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设．
(1)当时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？
【答案】(1) (2)选择长宽分别为的海报纸.
【分析】（1）先表示出阴影部分的面积，代入，可求出阴影部分的高，进而得到海报纸的面积；
（2）表示出各自的关系式，转化为条件下的最值问题，最后运用基本不等式可得答案.
【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为所以阴影部分的面积：，所以即：，
由图像知：，
（2）由（1）知：
，当且仅当即，
即等号成立.
综上，选择长宽分别为的海报纸.2.2基本不等式专项练习
1．，且都是正数，则的最大值是（ ）
A．400 B．100 C．40 D．20
2．已知，且，则的最大值为（ ）
A． B．25 C．36 D．49
3．设，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为2 D．
4．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．设，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．已知，且，则的最小值为（ ）
A．13 B．14 C． D．
7．若正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．16 B．13 C．20 D．15
8．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数，则的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
9．已知，，且满足，则的最大值为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．1
10．(多选)已知，且，则（ ）
A．的范围 B．的范围是
C． D．的最小值是
11．(多选)若实数m，n>0，满足．以下选项中正确的有（ ）
A．mn的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为5 D．的最小值为
12．(多选)下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则的最大值为；
B．若，则函数的最大值为；
C．若，，，则的最小值为
D．已知，则函数.
13．(多选)下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．若，，则
B．若，则函数的最大值为1
C．若，，则的最小值为
D．若，，则的最大值为1
14．已知正实数，满足，则的最小值为______.
15．已知均为实数且，，则的最小值为______.
16．已知，且，则的最大值_______
17．已知.
(1)若.求证：；
(2)若，求的最小值.
18．（1）对于两个正数，，我们把称为它们的调和平均数，称为它们的几何平均数. 求证：两个正数的调和平均数不大于它们的几何平均数；
（2）已知，，且，求的最小值及取最小值时，的值.
19．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设．
(1)当时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？
