课件35张PPT。§9.3直线和平面平行与平面和平面平行一. 直线和平面平行二. 平面和平面平行三. 习题一 观察实例：
1. 教室中墙面与地面的相交线与地面的位置关系3. 天花板与墙面的相交线和地面的位置关系.2. 两墙面的相交线和地面的位置关系.4. 电线杆、加固电线杆的铁缆和地面的位置关系. 直线和平面平行二. 直线和平面的位置关系直线与平面相交-----一条直线和一个平面有且只有
一个公共点.表示为: 2. 直线与平面平行-------一条直线与一个平面没有公共点 .表示为: 直线在平面内——一直线和平面有两个或两个以上的
公共点. 表示为: 三. 直线与平面平行的判定和性质定理判定定理: 如果不在同一平面内的一条直线和平面
内的一条直线平行,那么这条直线和这个
平面平行.性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,经过这条
直线的平面和这个平面相交,那么这条直
线和交线平行. 四 . 例题已知 E、F 分别是空间四边形四条边 AB、AD的中点，
求证： EF // 平面BCD.求证: 如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行
的一条直线,那么这条直线在此平面内.直线和平面的位置关系2. 直线不在平面内1. 直线在平面内------有无数个公共点.用公共点的个数归纳:六. 直线和平面平行的判定定理与性质定理的应用（一）复习提问：
1. 直线与平面的位置关系有几种? 各有什么特征?2. 如果一条直线与平面相交,可不可说直线在平面外?3. 直线与平面平行的判定定理是什么?4. 直线与平面平行的性质定理是什么?（二）例题
1. 选择题:(1) 直线 m 与平面 平行的充分条件是 ( )A. 直线 m 与平面 内一条直线平行;B. 直线 m 与平面 内无数条直线平行;D. 直线 m 与平面 没有公共点;C. 直线 m 与平面 内所有直线平行;2. 如图 , 正方体 AC1 中,点N在 BD上,点M在B1 C上
且CM = DN,
求证: MN // 平面AA1B1B .D1A1BDCB1C1ANMFE空间四边形ABCD被一平面所截，E、F、G、H分别
在AC、CB、BD、DA上，截面EFGH是矩形.
(1) 求证: CD // 平面EFGH;
(2) 求异面直线AB、CD 所成的角.AEDCBGFH如图所示, P为平行四边形ABCD所在平面外一点,
M、N 分别为AB、PC 的中点，平面PAD?平面PBC =L
求证： （1）BC // L
（2）MN //平面PADE5. 如图，ABCD与ABEF是两个全等正方形，AM=NF，
求证：MN // 平面BCEPM已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,
M是 PC的中点,在 DM 上取一点G, 过 G 和ＡＰ作平面交平面ＢＤＭ于ＧＨ，
求证: AP // GH O平面和平面平行一（一）两个平面的位置关系:
1. 观察实例;2. 两个平面的位置关系:(1) 两个平面平行——没有公共点；(2) 两个平面相交——有一条公共直线；3. 两个平面平行的画法:（2）不正确画法4. 两个平面相交的画法:（二） 两个平面平行的判定定理1. 由两个平面平行的定义可得:如果两个平面平行,那么在其中一个平面内的所有
直线一定都和另一个平面平行;B. 返过来,如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行,那么这两个平面平行.问：要判定两个平面平行
1，一个平面内需要有几条直线平行与另一个平面？
2，这几条直线有什么要求吗？2. 两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.3. 推论: 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.例1. 如图 : 已知 正方体
求证: 1111 平面和平面平行的性质定理2. 设 ,平面 与 、 都相交，交线的位置关系如何?1. 如果两个平面平行,那么在其中一个平面内的一条直线与另一个平面的位置关系如何?问：平行 如何两个平行平面同时和第三个平面相交，
那么它们的交线平行. 平面和平面平行的性质定理:例1 . 求证: 夹在两个平行平面间的平行线段相等.小结：
作业：平面和平面平行二复习：1. 两个平面的位置关系: 如何两个平行平面同时和第三个平面相交，
那么它们的交线平行. 3 平面和平面平行的性质定理:练习：选择题：
（1）经过平面外两点可作该平面的平行平面的
个数为（ ）
(A). 0 (B). 1 (C). 0 或 1 (D). 1 或 2其中可能出现的情形有 ( )(A). 1 种 (B). 2种 (C). 3种 (D). 4种例1、空间四边形ABCD中，M、E、F 分别为
?BAC、 ?ACD、 ?ABD 的重心.
(1) 求证: 面MEF // 平面BCD;
(2) 求 与 面积的比值.例2. 如图,设AB、CD为夹在两个平行平面 、 之间的线段，且直线AB、CD为异面直线，M、P 分别为AB、CD 的中点，
求证： 直线MP // 平面 .书上P18 练习3《数学之友》P157
A 6，7
B 2
课件7张PPT。距离 2.点到平面的距离：3.直线到与它平行平面的距离：4．两个平行平面的距离：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，
叫做两个平面的公垂线。
（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，
叫做两个平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离。 （1）异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线
叫做异面直线的公垂线． 5．异面直线的距离：；（2）任意两条异面直线有且只有一条公垂线。(3)两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；（4）两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条； （5）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度。(6)．异面直线间距离的求法：课件16张PPT。9.2 空间的平行直线 复习提问：
1. 平行公理:2. 在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线关系如何?过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.这两条直线也互相平行. 平行于同一条直线的两条直线互相平行条件：结论：两条直线平行于同一条直线两条直线互相平行 作用：判断两直线平行的重要依据应用之关键：找一条与这两条直线都平行的直线公理4：1、平行公理平移
(1) 定义: 如果空间图形F 的所有点都沿同一方
向移动相同的距离到 F′的位置,则就说图
形 F 在空间作了一次平移. (2) 特点: 图形平移后与原图形全等.FF′3. 空间四边形概念: 顺次连接不共面的四点A、B、C、D，所
组成的四边形。(2) 空间四边形的对角线：AC、BD.练习1.在一块长方体形状木块的面AC上有一点P，过点P画一条直线和棱C 1D1平行，说明应该怎么画
解：如图（1），过点P作直线MN∥CD，分别交AD，BC于M、N， 则由公理4得，MN∥C 1D1.图（1）DCABA1B1D1C1PN3. 若E、F分别是AB、AD的中点，
则B1 F与 D 1E的关系是______________
四边形EFB1D1是________。DCBAC1B1FEA1D1图3小结：
由上可知，公理4应用的关键是找媒介
相交且相等等腰梯形例1.已知：四边形ABCD空间四边形（四顶点不共面的四边形），E、H分别是边AB，AD的中点，F、G分别是边CB，CD上的点，且
求证：四边形EFGH是梯形。
证明：如图（3），连结BD∵EH是三角形ABD的中位线∴EH∥BD，EH= BD又在△BCD中，∴FG∥BD，FG= BD根据公理4，EH∥FG，又∵FG＞EH∴四边形EFGH是梯形变题：2.若点F、G也分别是CB，CD的中点，则四边形EFGH是什么形状？变题：1. 若上题中BD=6cm，四边形EFGH的面积为28cm2，则平行线EH与GF的距离是 。
8平行四边形变题 3.在2题的基础上，若要使四边形EFGH是菱形，还需什么条件 ？变题4.若在2题中， AC+BD=a，AC BD=b，则EF2+EH2=______AC=BD M、N分别是△DAB和△DBC的重心。
则线段MN的 长是______________变题5.如图，已知AC的长为6，D 面AB点 无论B、D如何变换位置，线段MN的 长必为定值。EF小结：21.公理4：小结 ：2.公理4应用之关键——找媒介。平行于同一条直线的两条直线
互相平行?1.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1，CC1，CD1，D1A的中点，则四边形EFGH的形状是______________
2. 已知A 直线a，A∈平面 ，A∈b， 且 ∥ ，求证：作 业: 练习：2.如图（2），在正方体ABCD-A1B1C1D1中AE=A1E1，AF=A1F1，则 EF_________ E1F1.平行且等于 DCBAF1C1B1FEA1D1E1图2课件17张PPT。面面垂直的判定和性质二、二面角的平面角一、二面角的定义 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角1、定义2、求二面角的平面角方法①点P在棱上②点P在一个半平面上③点P在二面角内ABABABO—定义法—三垂线定理法—垂面法二面角二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明 1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”16D练习2：已知棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1,求二面角C1-BD-B1的大小。二面角Oarccos 问：教室的墙面和地面相交，
他们所成的二面角是什么图形？一般地，两个平面相交，如果它们所成的
二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。1、两个平面垂直的定义：2、两个互相垂直平面的画法：平面α与平面β垂直，记作α⊥β两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC，
问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相垂直？思考题？1.平面SAD⊥平面ABCD
2.平面SBD⊥平面ABCD
3.平面SCD⊥平面ABCD
4.平面SAD⊥平面SCD
5.平面SBC⊥平面SCD
6.平面SAB⊥平面SAD
7.平面SAC⊥平面SBD
例1、在四面体ABCD中，BD= ，
AB=AD=CB=CD=AC=a，
求证：平面ABD⊥平面BCDBE两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面的直线。 例2：平面P内有一个圆，直径为AB，过A作SA⊥平面P
，C为弧上任意一点，连结SB，SC
（1）求证：平面SAC⊥平面SBC
（2）若A在SB，SC上的射影分别为E、F，
求证：∠AEF为二面角C-SB-A的平面角c证明：设α ∩ β= c，过点P在平面α内作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β. 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面中 。例4求证：垂直于同一平面的两平面 的交线垂直于这个平面。
证法一证法二证法三已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,
求证： a⊥γ.
例 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法一：
a设α ∩ γ =b, β ∩ γ =c,在γ 内任取一点P，作PM ⊥ b于M，PN ⊥C于N.
因为 α⊥γ，β ⊥γ ，
所以 PM ⊥ α， PN ⊥ β.
因为 α ∩ β= a，
所以 PM ⊥ a， PN ⊥ a，
所以 a⊥γ.
小结线线垂直线面垂直面面垂直线线平行面面平行思考题：如图，在正三棱柱ABC-A1 B1C1 中，（正三棱柱指底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱），E为B B1 的中点，
求证：截面A1 EC⊥侧面AC1 。课件21张PPT。 平面的基本性质
(二) 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 复习回顾公 理 1 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理2公理3? 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们
还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一
条过这个公共点的直线。公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推论1? 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 推论1? 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 求证：过点A和直线a可以确定一个平面 所以经过点A和直线a有且只有一个平面唯一性: 如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β，那么A∈β，a β，因为B∈a，C∈a，所以B∈β，C∈β.(公理1)故不共线的三点A，B，C既在平面α内又在平面β内.所以平面α和平面β重合.(公理3)推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 推论1? 经过一条直线和这条直线外的一点，有
且只有一个平面 例1?直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图) 解：这三条直线共面，因为直线AB和直线AC相交于点A，所以直线AB和AC确定一个 平面α.(推论2)因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC α (公理1)因此直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面.例题讲解其它解法反馈练习1.三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的
个数是（? ）
A．1??????? B．2??????? C．3???????? D．1或3D2.空间四点中，三点共线是这四个点共面的( )
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分条件，也非必要条件 3.下列各个条件中，可以确定一个平面的是( )
A.三个点 B.两条不重合的直线
C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线 AD4.怎样用两根拉紧的细线来检验桌子的四条腿的底端
是否共面？ 1.公理3的三个推论：
推论1? 经过一条直线和这条直线外的一点，有且
只有一个平面
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
2.公理3及其三个推论的作用是确定平面
3.证明若干个点、线共面的方法．
(先证其中某些点、线确定一个平面,再证剩余点、线落在此平面内)五、【小结】(六）、作业
作业:《数学之友》
三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（? ）
A．1??????? B．2??????? C．3???????? D．1或3看一看下列各个条件中，可以确定一个平面的是
A.三个点 B.两条不重合的直线
C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线怎样用两根拉紧的细线来检验桌子的四条腿的底端是否共面？ 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 空间四点中，三点共线是这四个点共面的( )
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分条件，也非必要条件推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 证明：设直线a、b相交于点C,在a、b上分别取不同于点C
的点A和点B，点A，B，C是不在同一条直线上的三点（否
则与a、b为两条相交直线矛盾）由公理3，过A、B、C三点
有且只有一个平面α，因为a、b各有两点在平面α内，所
以直线a、b在α内，因此过直线a、b有平面α。
因为点A、B、C分别在直线a、b上，所以它们在过a、
b的平面内。由由公理3，过A、B、C三点的平面只有一个，过直线a、b的平面只有一个。推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 证明：设直线a、b满足a平行于b ，由平行线的定义，直线a、b在同一平面内，这就是说，过直线a、b有平面α。
设点A为直线a上任一点，则点A在直线b外，点A
和直线b在过直线a、b的平面α内，由公理3的推论1，过点A和直线b的平面只有一个。过直线a、b的平面只
有一个。解法二:因为A在直线BC外，所以过点A和直线BC确定平面α.(推论1)，因为A∈α，B∈BC，所以B∈α.故
AB α，同理AC α，所以AB，AC，BC共面.
解法三:因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α.(公理3)因为A∈α，B∈α，所以AB α.(公理1)同理BC α，AC α，所以AB，BC，
CA三直线共面.
例题讲解证共面问题，可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面，再证其余元素都在此平面内；或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内，再证两个平面重合．
怎样的直线a我们就说它在平面外？思考：课件13张PPT。直线和平面平行的性质定理1问题1
(1). 直线和平面有那些位置关系? 直线与平面α平行a∥α 无交点 直线在平面α内a α有无数个交点 直线与平面α相交a ∩ α= A 有一个交点 一、复习提问： （2）怎样判定直线和平面平行？ ①定义. ?
a∥α （3）如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？ （4）已知直线 a∥平面α，如何在平面α内找出和直线 a 平行的一条直线？
直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
求证：l ∥m
证明： ∵l ∥α
∴l 和α没有公共点； ∴l 和 m 也没有公共点； 又 l 和 m 都在平面β内，且没有公共点；
∴l ∥m.
已知：l ∥α, l β,α∩β= m 又∵m α
二、新课：说明：
(1)“线面平行 线线平行” (3) 在有线面平行的条件或要证线线平行时，可考虑应用线面平行的性质定理练习:(1).如果一条直线和一个平面平行, 这个平 面 内是否只有一条直线和已知直线平行呢? 平面内的哪些直线都和已知直线平行? 有多少条?(2).如果a∥α, 经过a 的一组平面分别和α相交于b、c、d …,b、c、d …是一组平行线吗？为什么？ (4).过平面外一点与这平面平行的直线有多少条？(3).平行于同一平面的两条直线是否平行？ 例题讲解：abcαβ 证明：过a 作平面β交平面α于直线 c ∵a∥α
∴a∥c
又 ∵a∥b
∴b∥c
∴b∥α. ∵ b α, c α
例1、已知直线 a∥直线b，直线 a∥平面α, b α
求证：b∥平面α
例2、（教材P17 例2）
求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行
的一条直线，那么这条直线在此平面内。
证明：设 l 与P 确定的平面为β，且α∩β= m'
则l ∥m' , 又 l ∥m，m∩m'= P
∴m' 和m 重合 ∴ m α 已知：l ∥α，点 P ∈α, P ∈m 且 m∥l 求证：m α
（否则过点P 有两条直线与l 平行，这与平行公理矛盾） 例3、如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，
那么它们的交线和这两条直线平行. ∴a∥l
同理b∥l
又∵a α，平面α∩ 平面β= l
已知:平面α∩ 平面β= l, a α, b β, a∥b（如图）求证：a∥l , b∥l. 故a∥l , b∥l .
证明：∵a∥b，b β，a β
∴a∥β
说明：练习：
（1）直线 a∥平面α，平面α内有 n 条互相平行的直线，
那么这 n 条直线和直线 a ( )
（A）全平行 （B）全异面
（C）全平行或全异面 （D）不全平行也不全异面
（2）直线 a∥平面α，平面α内有无数条直线 交于 一点，那
么这无数条直线中与直线 a 平行的（ ）
（A）至少有一条 （B）至多有一条
（C）有且只有一条 （D）不可能有
CB三、总结：这节课学习了直线平行平面的性质定理，这个定理也是两直线平行的判定定理，这个定理主要用来判定线线平行或用作创造应用线面平行判定定理的条件。
四、作业：教材
1、P19 习题9.3 4.
2、求证：如果两条平行线中的一条和一个 平面相交，那么另一条也这个平面相交.
课件19张PPT。你注意观察过生活中的角吗？二面角复习回顾1.在平面几何中"角"是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。 问：异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。 我们来看几个实例： 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。 一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。平面角由射线--点--射线构成。二面角由半平面--线--半平面构成。 ??lABPQ二面角的表示??l二面角?－ l－ ?二面角C－AB－ D二面角的画法练习自己动手画一个二面角角从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成边—点—边
（顶点）表示法∠AOB图形 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的度量??l二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上2.线在面内3.与棱垂直二面角的大小的范围:二面角的平面角的作法：1、定义法3、垂面法2、三垂线定理法 指出下列各图中的二面角的平面角：二面角B--B’C--Al二面角?--l--?OEOO二面角A--BC--DD练习AOD例1 已知锐二面角?－ l－ ? ，A为面?内一点，A到? 的距离为 2 ，到 l 的距离为 4，求二面角 ?－ l－ ? 的大小。解：过 A作 AO⊥?于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD则由三垂线定理得 AD⊥ l∴AO=2 ，AD=4∵ AO为 A到?的距离 ， AD为 A到 l 的距离∴∠ADO就是二面角 ?－ l－ ? 的平面角∵sin∠ADO= ∴ ∠ADO=60°∴二面角 ?－ l－ ? 的大小为60 °在Rt △ADO中，AO
AD①②③l求二面角的步骤：1、找到或作出二面角的平面角2、证明 1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”河堤斜面例 2练习 在60o的二面角 的面 内一点A到 的距离为 ，则A到 l 的距离为多少？小结一、二面角的定义二、二面角的表示方法三、二面角的平面角四、二面角的平面角的作法五、二面角的计算作业课本：P46 3，4，课件20张PPT。二面角你注意观察过生活中的角吗？萧山五中 数学组 钱海华高中《数学》第二册（下B）复习回顾1.在平面几何中"角"是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。 问：异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。 我们来看几个实例： 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。 一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。平面角由射线--点--射线构成。二面角由半平面--线--半平面构成。 ??lABPQ二面角的表示??l二面角?－ l－ ?二面角C－AB－ D二面角的画法练习自己动手画一个二面角角从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成边—点—边
（顶点）表示法∠AOB图形二面角的度量想想：如何度量二面角的大小？？ 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的度量??l二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上2.线在面内3.与棱垂直二面角的大小的范围:二面角的平面角的作法：1、定义法3、垂面法2、三垂线定理法 指出下列各图中的二面角的平面角：二面角B--B’C--Al二面角?--l--?OEOO二面角A--BC--DD练习AOD例1 已知锐二面角?－ l－ ? ，A为面?内一点，A到? 的距离为 2 ，到 l 的距离为 4，求二面角 ?－ l－ ? 的大小。解：过 A作 AO⊥?于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD则由三垂线定理得 AD⊥ l∴AO=2 ，AD=4∵ AO为 A到?的距离 ， AD为 A到 l 的距离∴∠ADO就是二面角 ?－ l－ ? 的平面角∵sin∠ADO= ∴ ∠ADO=60°∴二面角 ?－ l－ ? 的大小为60 °在Rt △ADO中，AO
AD①②③l求二面角的步骤：1、找到或作出二面角的平面角2、证明 1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”河堤斜面例 2练习 在60o的二面角 的面 内一点A到 的距离为 ，则A到 l 的距离为多少？小结一、二面角的定义二、二面角的表示方法三、二面角的平面角四、二面角的平面角的作法五、二面角的计算作业课本：P46 3，4，课件10张PPT。二面角（2）9.7 直线和平面所成的角与二面角二面角复习从一条直线出发的两个半
平面所组成的图形叫做二
面角。这条直线叫做二面
角的棱。这两个半平面叫
做二面角的面。 1 、垂线法
2、三垂线（逆）定理法
3、垂面法(定义法)1、找到或作出二面角的平面角
2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算所求的角
4、回答二面角大小一“作”二“证”三“算”四“答”例1：已知棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1,
求: 二面角C1-BD-B1的大小。二面角OO1例2：1.如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。 过PA、PB的平面PAB与
棱ι 交于O点∵PA⊥α ∴PA⊥ι ∵PB⊥β ∴PB⊥ι ∴ι⊥平面PAB∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得∴∠P= 60o ∴∠AOB=120o ∴这二面角的度数为120o解：O二面角例3.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60o ∠BPM=∠BPN=45o ，求此二面角的度数。CD解：在PB上取不同于P 的一点O，在α内过O作OC⊥AB交PM于C，在β内作OD⊥AB交PN于D，连CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45o∴CO=a， DO= a ， PC a ， PD a又∵∠MPN=60o ∴CD=PC a∴∠COD=90o因此，二面角的度数为90oa二面角D二面角取AB 的中点为E，连PE，OE∵O为 AC 中点， ∠ABC=90o∴OE∥BC且 OE BC在Rt△POE中， OE ，PO ∴∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为例4．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正切值。∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角在Rt△PBE中，BE ，PB=1，PEOE⊥AB ，因此 PE⊥AB解：二面角二面角的平面角角 的平面角 一个平面垂直于二面角的棱，并与两半平面分别相交于射线PA、PB垂足为P，则∠APB叫做二面二面角注：二面角的平面角取值范围是: [ 00,1800]作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内ABABABO—垂线法—三垂线定理法—定义法二面角
