9.2 直线与平面平行
【教学目标】
1. 了解直线和平面的位置关系(直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行).
2. 掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能灵活运用它们解题.
【知识梳理】
一、直线与平面的位置关系
位置关系 图 示 表示方法 公共点个数
直线在平面内 a 无数个
直线不在平面内 直线与平面平行 a∥ 没有
直线与平面相交 直线与平面斜交 a=A 一个
直线与平面垂直 a 一个
二、直线和平面平行的判定方法：
①a∩α=ф a∥α(定义法)；
②判定定理；
③b⊥a, b⊥α, a a∥α；
④∥,a a∥
⑤空间向量怎么证线面平行？
【点击双基】
1.设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是
A.α⊥β且m⊥β B.α∩β=n且m∥n C.m∥n且n∥α D.α∥β且mβ
答案：D
2.（2004年北京，3）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
解析：①②显然正确.③中m与n可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交.
答案：A
3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是
A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定
解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，
过直线a作与α、β都相交的平面γ，
记α∩γ=b，β∩γ=c，
则a∥b且a∥c，
∴b∥c.
又bα，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l.
答案：C
4.（文）设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34，①当S在α、β之间时，SC=_____________，②当S不在α、β之间时，SC=_____________.
解析：∵AC∥BD，∴△SAC∽△SBD，①SC=16，②SC=272.
答案：①16 ②272
（理）设D是线段BC上的点，BC∥平面α，从平面α外一定点A（A与BC分居平面两侧）作AB、AD、AC分别交平面α于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，则EG=_____________.
解析：解法类同于上题.
答案：
5.在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.
解析：连结AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由==得MN∥AB，
因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
答案：平面ABC、平面ABD
【典例剖析】
例1. 如果平面和这个平面外的一条直线l同时垂直于直线m，求证：l.
证法一：设m=A, 过A和直线l作平面，
设=a,∵m, ∴ma．
l和a的位置关系有相交和平行两种情况，
若l和a相交，∵ma，ml，则m．
又m, 且和同过点A，
∴和重合．∵l，∴l，与已知l矛盾．
∴la，又l，a，∴l．
注：由ma，ml，不能直接推出la，∵尽管l和a同在平面内，但m不一定在内．“两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”，此结论只有当这三条直线都在同一平面内时才成立．
证法二：在直线l上任取一点P，过P作直线nm．
∵m, ml, ∴n, ∴nl．
过l和n作平面，设=a，
∵n,∴na,又nl,且l、a、n都在平面内．
∴la, 又l, a, ∴l．
注：此证法中，先将直线m平移到与直线l相交，然后再过两条相交直线作平面，这样所得交线a、直线l以及直线n都在同一平面内，且l和a都与直线n垂直，便可得la．将两条异面直线中的一条平移，得到两条相交直线，是对异面直线的常见处理方式，请同学们结合此例仔细体会证法二的妙处．
证法三：设a，b是平面内的一组基底，l、m分别是l、m上的一个非零向量，
∵m，∴ma=mb=0，又ml，∴ml=0．
以a、b、m为空间基底，则存在实数x，y，z，使得l=xa+yb+zm．
∴ml=m(xa+yb+zm)=xma+ymb+zm2=0+0+zm2=0．
∵m20，∴z=0，则l=xa+yb，∴l与a、b共面．
又已知直线l不在平面内，∴l．
变式一：若a∥,b⊥,则b⊥a。
变式二：a∥b, a∥, b b∥
例2：如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。
证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，如图，连结PQ，∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ，又NQ=BN=CM=MP，∴MPQN是平行四边形。∴MN∥PQ，又PQ 平面BCE，而MN平面BCE，∴MN∥平面BCE。
证法二：过M作MG∥BC，交AB于G（如图），连结NG，∵MG∥BC，BC 平面BCE，MG 平面BCE，∴MG∥平面BCE，又，∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE，而MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE，MN 平面MNG，∴MN∥平面BCE。
证法三：
证法四：
例3：如图，设a,b是异面直线,AB是a,b的公垂线,过AB的中点O作平面α与a,b分别平行,M,N分别是a,b上的任意两点,MN与α交于点P,求证P是MN的中点.
证明:连接AN,交平面α与点Q,连PQ,∵b∥α,b平面ABN,平面ABN∩α=OQ,∴b∥OQ，又O为AB的中点，∴Q为AN的中点。∵a∥α，a平面AMN且平面AMN∩α=PQ，∴a∥PQ。∴P为MN的中点。
思维点拨：直线与平面的性质定理是解决本题的关键。
例4：直角三角形ABC的一条直角边AB＝A，另一条直角边BC不在平面内，若ABC在上的射影仍是直角，求证：BC
证明：如图，过B、C分别作α的垂线，垂足分别为B′、C′，则∠AB′C′是∠ABC在α上的射影.
∴∠AB′C′＝90°
又∵BB′⊥α，AB′α，B′C′α，
∴AB′⊥BB′，C′B′⊥BB′.
∵B′A∩BB′＝B′，
∴C′B′⊥平面AB′B.
∵B′C′∩B′B＝B′，
∴AB′⊥平面BB′C′C.
∵BC面BB′C′C，
∴BC⊥AB′.
∵∠ABC＝90°，AB∩AB′＝Ａ，
∴BC⊥平面ABB′.
∴BC∥B′C′.
∴BC∥α.
例5：如图，四面体A—BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形。
(1)求证：CD∥平面EFGH。(2)求异面直线AB，CD所成的角。(3)若AB＝a，CD=b，求截面EFGH面积的最大值。
（1）证明：∵截面EFGH是一个矩形，∴EF∥GH， 又GH平面BCD。∴EF∥面BCD，而EF面ACD，面ACD∩面BCD=CD。∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH。
（2）解：由（1）知CD∥EF，同理AB∥FG，由异面直线所成角的定义知∠EFG即为所求的角。易得∠EFG=90。
（3）答案：ab/4
说明：欲证线面平行，先证线线平行，欲证线线平行，可先证线面平行，反复用直线与平面的判定、性质，在同一题中也经常用到。
【知识方法总结】
1. 直线与平面的位置关系有三种:线在面内, 线面平行, 线面相交. 后两种又可统称为“直线在平面外”；2. 在判定和证明直线与平面的位置关系时, 除熟练运用判定定理和性质定理外, 切不可丢弃定义, 因为定义既可作判定定理使用, 亦可作性质定理使用；3. 线面关系的判定和证明, 要注意线线关系, 面面关系与它之间的相互转化.
【作业】
A
D
D
C
B
F
E
E
M
P
Q
N
m
a
P l
n
m
l
D
A
B
C
E
H
F
G
D
a A9.9空间距离
【教学目标】
1.掌握空间两条直线的距离的概念，能在给出公垂线的条件下求出两异面直线的距离.
2.掌握点与直线，点与平面，直线与平面间距离的概念.
3.计算空间距离时要熟练进行各距离间的相互转化.以点线距离，点面距离为主，在计算前关键是确定垂足，作出辅助图形再应用解三角形知识.
4.能借助向量求点面、线面、面面距离
【知识梳理】
1.点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.
2.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.
3.两个平面平行，它们的公垂线段的长度叫做这两个平面的距离.
4.两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.
5.借助向量求距离
（1）点面距离的向量公式
平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点M为平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.
（2）线面、面面距离的向量公式
平面α∥直线l，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈l，平面α与直线l间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.
平面α∥β，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈β，平面α与平面β的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.
（3）异面直线的距离的向量公式
设向量n与两异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.
【点击双基】
1.ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A—BD—C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为
A. B. C. D.1
解析：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求.易证CE=1.∴选D.
答案：D
2.在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到α的距离是
A.13 B.11 C.9 D.7
解析：作PO⊥α于点O，连结OA、OB、OC，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC.
∴O是△ABC的外心.
∴OA===5.
∴PO==11为所求.∴选B.
答案：B
3.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是
A. a B. a C. a D. a
解析：A到面MBD的距离由等积变形可得.
VA—MBD=VB—AMD.易求d=a.
答案：D
4.A、B是直线l上的两点，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC与BD成60°的角，则C、D两点间的距离是_______.
解析：CD=.
答案：
5.设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是_____________；点P到BC的距离是_____________.
解析：作AD⊥BC于点D，∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AD.∴AD是PA与BC的公垂线.易得AB=2，AC=2，BC=4，AD=，连结PD，则PD⊥BC，P到BC的距离PD=.
答案：
【典例剖析】
【例1书】设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8).求D到平面ABC的距离。
【例2书】如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、O、O1分别是A1B、AC、A1C1的中点，且OH⊥O1B，垂足为H。
（1） 求证：MO∥平面BB1C1C；
（2） 分别求MO与OH的长；
（3） MO与OH是否为异面直线A1B与AC的公垂线？为什么？求这两条异面直线的距离。
【例3书】如图所示，已知四边形ABCD、EADM都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED与AC的中点，
求：（1）PM与FQ所成的角；
（2）P点到平面EFB的距离；
（3）异面直线PM与FQ的距离。
【例4】如图，已知二面角-l -的大小为1200，点A，
B，ACl 于点C，BDl 于点D，且AC=CD=DB=1.求：
（1）A、B两点间的距离；
（2）AB与CD所成角的大小；
（3）AB与CD的距离.
解：设则
（1），
A、B两点间的距离为2.
（2），
AB与CD所成角为600为.
（3）设与AB、CD都垂直的非零向量为，
由得①；
由得②，
令x=1，则由①、②可得z=-1，，由法则四可知，AB与CD的距离为
.
【说明】对于图形是“斜”的，求夹角与距离的问题，虽然不便于建立空间直角坐标系，同样也可以利用平面的法向量转化为向量的计算问题.
【例5书】如图，已知二面角α—PQ—β为60°，点A和点B分别在平面α和平面β内，点C在棱PQ上，∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a.
（1）求证：AB⊥PQ；
（2）求点B到平面α的距离；
（3）设R是线段CA上的一点，直线BR与平面α所成的角为45°，求线段CR的长度.
【知识方法总结】
【作业】
l
D
C
B
A9.7空间向量及其坐标运算（B）
【教学目标】
掌握空间点的坐标及向量的坐标和向量的坐标运算法则、空间中两点间距离及两向量的夹角公式的坐标、∥的坐标表示；会求平面的法向量。培养学生的建系意识，并能用空间向量知识解决有关问题。
【知识梳理】
1．空间向量的直角坐标运算律：
（1），则，
，，
， ，
．
（2）若，则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
2 模长公式：若，
，．
3．夹角公式：．
4．两点间的距离公式：若，
，
【点击双基】
1.若a=（2x，1，3），b=（1，－2y，9），如果a与b为共线向量，则
A.x=1，y=1 B.x=，y=－ C.x=，y=－ D.x=－，y=
解析：∵a=（2x，1，3）与b=（1，－2y，9）共线，故有==.
∴x=，y=－.应选C.
答案：C
2.在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是
①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z） ②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z） ③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z） ④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z）
A.3 B.2 C.1 D.0
解析：P关于x轴的对称点为P1（x，－y，－z），关于yOz平面的对称点为P2（－x，y，z），关于y轴的对称点为P3（－x，y，－z）.故①②③错误.
答案：C
3.已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是
A.1 B. C. D.
解析：ka+b=k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2），2a－b=2（1，1，0）－
（－1，0，2）=（3，2，－2）.∵两向量垂直，∴3（k－1）＋2k－2×2=0.∴k=.
答案：D
4.已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），则与的夹角θ的大小是_________.
解析：=（－2，－1，3），=（－1，3，－2），
cos〈，〉=
==－，∴θ=〈，〉=120°.
答案：120°
5.已知点A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若，则| |的值是__________.
解析：设点P（x，y，z），则由=2，得（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，4－z），即则||==.
答案：
【典例剖析】
【例1】 已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量.
解：设面ABC的法向量n=（x，y，1），则n⊥且n⊥，即n·=0，且n·=0，即
2x+2y+1=0，
4x+5y+3=0，
特别提示
一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解.
【例2】 在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.
（1）求证：SC⊥BC；
（2）求SC与AB所成角的余弦值.
解法一：如下图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0）， =（2，，－2），=（－2，，0）.
（1）∵·=0，∴SC⊥BC.
（2）设SC与AB所成的角为α，∵=（0，，0），·=4，||| |=4，
∴cosα=，即为所求.
解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，∴SC⊥BC.
（2）如下图，过点C作CD∥AB，过点A作AD∥BC交CD于点D，连结SD、SC，则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角.∵四边形ABCD是平行四边形，CD=，SA=2，SD===5，∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即为所求.
特别提示
本题（1）采用的是“定量”与“定性”两种证法.题（2）的解法一应用向量的数量积直接计算，避免了作辅助线、平移转化的麻烦，但需建立恰当的坐标系；解法二虽然避免了建系，但要选点、平移、作辅助线、解三角形.
【例3】 如下图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求的长；
（2）求cos〈〉的值；
（3）求证：A1B⊥C1M.
（1）解：依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴｜｜==.
（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴=（1，－1，2），=（0，1，2），·=3，｜｜=，｜｜=.
∴cos〈，〉==.
（3）证明：C1（0，0，2），M（，，2），
=（－1，1，－2），=（，，0），∴·=0，∴A1B⊥C1M.
深化拓展
根据本题条件，还可以求直线AC1与平面A1ABB1所成的角.（答案是arcsin）
【例4】 如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.
（1）证明AD⊥D1F；
（2）求AE与D1F所成的角；
（3）证明面AED⊥面A1D1F.
解：取D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，则A（2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）.
（1）∵· =（2，0，0）·（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F.
（2）∵·=（0，2，1）·（0，1，－2）=0，
∴AE⊥D1F，即AE与D1F成90°角.
（3）∵·=（2，2，1）·（0，1，－2）=0，
∴DE⊥D1F.∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面AED.
∵D1F面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1F.
思考讨论
本题是高考题，标准答案的解法较为复杂，而运用代数向量求解则轻而易举，充分显示出代数化方法研究几何图形的优越性，这应作为立体几何复习的一个重点去掌握.通过坐标法计算数量积去证垂直，求夹角、距离，是高考的重点.
【知识方法总结】
立体几何中的平行与垂直的问题,利用向量解决,书写较长,但思维力度不大,特别是建立一个合适的空间直角坐标系,利用坐标来计算,更能体现出优越性;
【作业】
即∴n=（，－1，1），单位法向量n0=±=±（，－，）.9.4两个平面平行
【教学目标】
掌握两平面平行的判定和性质，并用以解决有关问题.
【知识梳理】
1．空间两个平面的位置关系
位置关系 图 示 表示法 公共点个数
两平面平行 没有公共点
两平面相交 =l 有一条公共直线
2．两个平面平行的判定
类别 语言表述 图 示 字母表示 应 用
判定 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 证两平面平行
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
垂直于同一条直线的两个平面平行．
3．两个平面平行的性质
类别 语言表述 图 示 字母表示 应 用
性质 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面． a 证直线和平面平行
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． ab 证两条直线平行
性质 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. a 证直线和平面垂直
【点击双基】
1、（2005年春季北京）下列命题中，正确的是…………（ ）
A.经过不同的三点有且只有一个平面
B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
D.垂直于同一个平面的两个平面平行
2、设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α②b⊥α③α∥β④α⊥β,其中可能的情况有……（ ）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D.4种
3、α、β是两个互不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是………………………… （ ）
A. α、β都平行于直线a、b
B. α内有三个不共线点到β的距离相等
C. a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
D. a、b是两条异面直线，且a∥α，a∥β，b∥β
4、a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：
① ；②；③；
④；⑤；⑥；
其中正确的命题是 。（将正确的序号都填上）
【典例剖析】
例1．已知a和b是两条异面直线，求证：过a且平行于b的平面必平行于过b且平行于a的平面．
证法一：过直线a和直线b上一点B作平面．
设=c，∵a，∴ac．即ca．
c，a，∴c．又b，
b，c．
且bc=B(事实上，若b和c重合，∵ca，则ba，与a、b是异面直线矛盾)
∴．
证法二：假设平面和平面不平行，
则和必相交，设= c，
又∵a，a，∴ac，
同理可证bc， ∴ab，
与a、b是异面直线矛盾，
∴平面平面．
【例2书】设平面α∥平面β， AB、CD是两条异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β，求证：MN∥平面α。
【例3书】如图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1∥CC1，求证：平面A1CBC1∥平面ACD1.
【例4书】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：（1）AP⊥MN; （2）平面MNP∥平面A1BD.
【知识方法总结】
1. 证明面面平行的主要方法: ①利用定义; ②利用判定定理. 另外证面面平行还可利用“垂直于同一条直线的两个平面互相平行”来证.
2. 面面平行关系, 通常转化为线面关系, 而线面关系又可转化为线线关系.
【作业】
优化设计
α
C
A
M
N
E
β
D
B
A
B
C
A1
D1
C1
A
D
C
B
A1
B1
C1
D1
M
P
N
l
aP b
aP b
a'
b'
a
a
b
a
a
B
c
b
a
c
b
a9.1 平面、空间两条直线
【教学目标】
1.掌握平面基本性质的三条公理及公理3的三条推论，能运用它们证明空间的共点、共线、共面问题.
2.了解空间两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定和性质.
3.掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离）.
名 称 内容 作 用
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 判定直线在平面内的依据
公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 两个平面相交的依据
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 确定一个平面的依据
推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面
推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面
【知识梳理】
1.平面的基本性质
2.. 空间两条直线的位置关系
位置关系 图 示 表示方法 公共点个数
两直线共面 相 交 一个
平行 a∥b 没有
异面 a、b是异面直线 没有
3. 异面直线（不同在任何一个平面内的两条直线）
画法：
异面直线判定：①用定义（多用反证法）；②判定定理：平面内一点和平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线。
异面直线所成的角：过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成锐角（或直角）。θ∈(0,π／2]；若两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直。
空间两直线垂直又相交垂直与异面垂直两种情况。
异面直线的公垂线及距离：
（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线（公垂线存在且唯一）
（2）公垂线段：公垂线夹在异面直线之间的部分
（3）异面直线间的距离 （即公垂线段的长）
注：①若一个平面过一条直线并与另一条直线平行，则这直线与平面的距离就等于异面直线间的距离。
②若两个平行平面分别过两条异面直线则两平行平面的距离等于两异面直线间的距离。
4.等角定理：
一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
推论：两条相交直线分别与另外两条直线平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等 。
5.平行公理：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
【点击双基】
1、若a、b是异面直线，则只需具备的条件是…………（ ）
A.a 平面α， b平面β，a与b不平行
B. a 平面α， b平面β，，a与b不公共点
C.a∥直线c，，b与a不相交
D.a⊥平面α，b是α的一条直线
2、如图，直线a、b相交与点O且a、b成600，过点O 与a、b都成600角的直线有（ ）
A.1 条 B.2条 C.3条 D.4条
3、(2004年北京朝阳区模拟题)如图，正四面体S-ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是…………（ ）
A. B. C. D.
4、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，那么
（1） 哪些棱所长的直线与直线BA1成异面直线？ 。
（2） 直线BA1与CC1所成角的大小为 。
（3） 直线BA1与B1C所成角的大小为 。
（4） 异面直线BC与AA1的距离为 。
（5） 异面直线BA1与CC1的距离为 。
5、(2002全国)正六棱柱ABCDED-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角为 。
【典例剖析】
例1.如图，平面相交于直线a，平面,相交于直线b，平面相交于直线c，已知a与b不平行。求证：a，b，c三条直线必过同点。
证明：设a∩b=P则Pa， Pb
∵α∩β=a，β∩γ=b ∴Pα，Pβ，Pγ
∵p∩β而α∩γ =c
∴pc ∴a.b.c相交于一点P
[说明]欲证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该交点在第三条直线上
变式一：（教材例1）如图，四面体ABCD中，E、Ｇ分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3，DH：HA=2：3，求证：EF、GH、BD交于一点．
证明：连结GE、HF，则GE∥AC，又∵DF：FC=2：3，DH：HA=2：3 ∴HF∥AC，∴GE∥HF，故G、E、F、H四点共面。又∵EF与GH不能平行，∴EF与GH相交，设交点为O，则O∈面ABD，O∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD，∴EF、GH、BD交于一点．
变式二：平面相交于直线a，平面,相交于直线b，平面相交于直线c，若a与b平行。则a，b，c三条直线还过同一点吗？(不，平行)
例2.三个不同平面可能把空间分成几部分？
解：1四部分（互相平行） 2六部分（两种情况） 3七部分 4八部分
变式一：长方体的各个面将空间分成几个部分？(27)
变式二、四面体的各个面将空间分成几个部分？(15)
例3.(教材例2)A是BCD平面外一点，E、F分别是BC、AD的中点，
(1)求证：EF与BD是异面直线；
(2)若ACBD，AC＝BD，求EF与BD所成的角。
例4.(教材例3)长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝a，BC=b,AA1=c,且a>b，求：
(1)下列异面直线之间的距离：AB与CC1；AB与A1C1； AB与B1C。
(2)异面直线D1B与AC所成角的余弦值。
【知识方法总结】
1. 证明共面问题的主要方法有：①先由公理3或其推论证明某些元素确定一个平面，再证其余元素都在此平面内； ② 指出给定的元素中的某些元素在平面内，某些元素(与前述元素有公共元素，但两部分必须包括所有元素)在平面内，再通过公共元素来证明与重合；2.求异面直线所成的角，常用平移转化法,即平移一条(或两条)作出夹角,再解三角形; 当用上述方法烦琐或无法平移时, 可考虑两条异面直线是否垂直；3.求两条异面直线间距离主要利用公垂线.
【作业】
优化设计
b
a
α
A
b
a
A
α
b
a
b
b
a
a
b
a
A
a
b
c
a
b
O
H
G
F
E
D
C
B
A
P
O
a
b
600
S
A
C
B
D9.11多面体与正多面体
【教学目标】
了解多面体、正多面体的概念
【知识梳理】
1若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体．
２把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体．
３每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体．
4.正多面体有且只有5种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体
【点击双基】
1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是
答案：B
2.正多面体只有_____________种，分别为________________.
答案：5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体
3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，则直线AM与CN所成的角的余弦值是_____________.
解析：过N作NP∥AM交AB于点P，连结C1P，解三角形即可.
答案：
【典例剖析】
【例1】 已知甲烷CH4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ等于
A.－ B. C.－ D.
解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得
cosθ==－（设正方体的棱长为2）.
答案：A
【例2】 试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离.
解：如图，设正八面体的棱长为4a，以中心O为原点，对角线DB、AC、QP为x轴、y
轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－2a，0）、B（2a，0，0）、C（0，2a，0）、P（0，0，2a），设E为BC的中点，连结PE、QE、OE，则∠PEQ=2∠PEO即为所求二面角的平面角，∵OE=2a，OP=2a，∴tan∠PEO=，∠PEQ=2arctan.设n=（x，y，z）是AB与PC的公垂线的一个方向向量，则有n·=x+y=0，n·=y－z=0，解得
n=（－1，1，1），所以向量=（－2a，2a，0）在n上的射影长d==即为所求.
特别提示
由于正多面体中的等量关系、垂直关系比较多，所以便于建立直角坐标系，运用解析法处理.要注意恰当选取坐标原点，一般取其中心或顶点（如正四棱柱）.
【例3】 三个12×12 cm的正方形，如图，都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片〔如图（1）〕，把6片粘在一个正六边形的外面〔如图（2）〕，然后折成多面体〔如图（3）〕，求此多面体的体积.
解法一： 补成一个正方体，如图甲，V=V正方体 =×123=864 cm3.
甲 乙
解法二：补成一个三棱锥，如图乙，V=V大三棱锥－3V小三棱锥=864 cm3.
思考讨论
补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体，这是求多面体体积的常用方法.
【知识方法总结】
【作业】9.3-2三垂线定理
【教学目标】
正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能运用它解决有关垂直问题。
【知识梳理】
1．斜线长定理
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
③垂线段比任何一条斜线段都短．
2．重要公式
如图，已知OB平面于B，OA是平面的斜线，A为斜足，直线AC平面，设OAB=1，又CAB=2，OAC=．那么
cos=cos1cos2．
3．直线和平面所成的角
①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．
②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0的角．
4．三垂线定理和三垂线定理的逆定理
名称 语言表述 图 示 字母表示 应 用
三垂线定 理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. ①证两直线垂直②作点线距③作二面角 的平面角
三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直. 同 上
重要提示
三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直，此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”．
【点击双基】
1．下列命题中，正确的是 ( )
(A)垂直于同一条直线的两条直线平行
(B)平行于同一平面的两条直线平行
(C)平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线
(D)a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是两条相交直线，则a、b也是相交直线
2．直线a、b在平面内的射影分别为直线a1、b1，下列命题正确的是 ( )
(A)若a1b1，则ab (B)若ab，则a1b1
(C)若a1b1，则a与b不垂直 (D)若ab，则a1与b1不垂直
3．直线a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是一个点和不过此点的一条直线，则a与b是 ( )
(A)异面直线 (B)相交直线
(C)异面直线或相交直线 (D)异面直线或平行直线
4．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各顶点的距离都相等，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的 ( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
5．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各边的距离都相等，且P点在平面ABC内的射影在△ABC的内部，则射影是△ABC的 ( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
6．P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC，若PABC，PBAC，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的 ( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
7．从平面外一点向这个平面引两条斜线段，它们所成的角为．这两条斜线段在平面内的射影成的角为(90<180)，那么与的关系是 ( )
(A)< (B)> (C) (D)
8．已知直线l1与平面成30角，直线l2与l1成60角，则l2与平面所成角的取值范围是 ( )
(A)[0,60] (B)[60,90] (C)[30,90] (D)[0,90]
【典例剖析】
例1．如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对棱也互相垂直．
已知：四面体ABCD中，ABCD，ADBC；
求证：ACBD；
证法一：作AO平面BCD于O，
连OB、OC、OD，∵ABCD，∴OBCD，同理，由ADBC得ODBC，
∴O是△BCD的垂心，∴OCBD，从而ACBD．
证法二：设=a，=b，=c，则=b a，=c a，=c b，
∵ABCD，ADBC，∴a(c b)=0，c(b a)=0，则ac=ab，ac=cb．
∴ab=cb，即ab cb=0，从而有b(c a)=0，故．
例2．如图，在三棱锥PABC中，ACB=90，ABC=60，PC平面ABC，AB=8，PC=6，M、N分别是PA、PB的中点，设△MNC所在平面与△ABC所在平面交于直线l．
(1)判断l与MN的位置关系，并进行证明；
(2)求点M到直线l的距离．
解：(1)lMN，证明如下：
∵M、N分别是PA、PB的中点，
∴MNAB，MN平面ABC，AB平面ABC，
∴MN平面ABC．又∵MN平面MNC，
平面MNC平面ABC=l，∴MNl．
(2)取AC的中点Q，连MQ，则MQPC，
而PC平面ABC，∴MQ平面ABC．
作QD直线l于D，连MD，则MD直线l．
线段MD的长即为M到直线l的距离．
在Rt△ABC中，可求得AC=4，∴QC=2．
又MQ=PC=3，QCD=30，∴QD=QC=．
于是 MD==2．
例3.如图，P 是ΔABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC。若O和Q分别是ΔABC和
ΔPBC的垂心，试证：OQ⊥平面PBC。
证明： ∵O是ΔABC的垂心，∴BC⊥AE。 ∵PA⊥平面ABC，根据三垂线定理得BC⊥PE。∴BC⊥平面PAE。∵Q是ΔPBC的垂心，故Q在PE上，则OQ平面PAE，∴OQ⊥BC。
∵PA⊥平面ABC，BF平面ABC，∴BF⊥PA，又∵O是ΔABC的垂心，∴BF⊥AC，故BF⊥平面PAC。因而FM是BM在平面PAC内的射影。因为BM⊥PC，据三垂线定理的逆定理，FM⊥PC，从而PC⊥平面BFM。又OQ平面BFM，所以OQ⊥PC。
综上知 OQ⊥BC，OQ⊥PC，所以OQ⊥平面PBC。
说明：此题涉及直线与平面垂直，需用三垂线定理及逆定理。
例4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直角三角形，∠ABC=，2AB=BC=BB1=a，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE。
（1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1C⊥BC1；（3）求证：DE⊥平面BB1C1C。
证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴侧面与底面垂直，即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，又∵AB⊥BC，∴A1B1⊥B1C1
从而A1B1⊥平面BB1C1C。
（2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C，而A1B1⊥平面BB1C1C，
∴ A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C，由三垂线定理得A1C⊥BC1
（3）∵直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，∴D为A1C的中点，E为B1C的中点，∴DE∥A1B1，而由（1）知A1B1⊥平面BB1C1C，∴DE⊥平面BB1C1C。
例5．如图P是ABC所在平面外一点，PA＝PB，CB平面PAB，M是PC的中点，
N是AB上的点，AN＝3NB
（1）求证：MNAB；（2）当APB＝90，AB＝2BC＝4时，求MN的长。
（1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，
∴，∵ 平面 ，∴ 平面
∴是在平面内的射影 ，取 的中点，连结
，∵∴，又，∴
∴，∴，由三垂线定理得
（2）∵，∴，∴，∵平面
∴，且，∴
【知识方法总结】
运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”，如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的连线就是斜线在平面上的射影。
【作业】
1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E在上底面A1B1C1D1内，A1B1E=60，A1B1=2B1E，求证：AEB1E
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为是底面AC的中心，P为棱A1B1上任意的一点，则直线OP与AM所在的角等于。
A 90度 B 60度 C 45 度 D 30度
3. 如图：在平面β内有△ABC，在平面β外有点S，斜线SA⊥AC，SB⊥BC，且斜线SA、SB分别与平面β所成的角相等，(1) 求证：AC＝BC；(2) 又设点S与平面β的距离是4cm，AC⊥BC，且AB=6cm，求点S与直线AB的距离。
4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，沿对角线BD将BCD折起，使点C在平面ABD上的射影O恰在AB上。（1）求证：BC平面ACD；（2）求点A到平面BCD的距离；（3）求直线AB与平面BCD所成的角的大小。
5.直线a平行于平面，l为平面的斜线，a直线l在内的射影，求证：l a。
6.G为ABC的垂心，GP平面ABC，且APBP，求证：APCP
C
D
A
B
O
O a
A
P
O a
A
P
D
C
O
B
A
a
b
c
C
A
P
B
D
M
N
Q
l9.5两个平面垂直
【教学目标】
掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题.
【知识梳理】
1．定义
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2．两个平面垂直的判定和性质
类别 语言表述 图 示 字母表示 应 用
判定 根据定义．证明两平面所成的二面角是直二面角． AOB是二面角a的平面角，且AOB=90，则 证两平面垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
性质 如果两个平面垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角． ，AOB是二面角a的平面角，则AOB=90 证两条直线垂直
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． a 证直线和平面垂直
重要提示
1．两个平面垂直的性质定理，即：“如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和垂直的平面，设=l，在内作直线al，则a．
2．三种垂直关系的证明
(1)线线垂直的证明
①利用“两条平行直线中的一条和第三条直线垂直，那么另一条也和第三条直线垂直”；
②利用“线面垂直的定义”，即由“线面垂直线线垂直”；
③利用“三垂线定理或三垂线定理的逆定理”．
(2)线面垂直的证明
①利用“线面垂直的判定定理”，即由“线线垂直线面垂直”；
②利用“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面”；
③利用“面面垂直的性质定理”，即由“面面垂直线面垂直”；
④利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面”.
(3)面面垂直的证明
①利用“面面垂直的定义”，即证“两平面所成的二面角是直二面角；
②利用“面面垂直的判定定理”，即由“线面垂直面面垂直”.
【点击双基】
1、 在三棱锥A-BCD中，若AD⊥BC,BD⊥AD,⊿BCD是锐角三角形，那么必有……（）
A、平面ABD⊥平面ADC B、平面ABD⊥平面ABC
C、平面ADC⊥平面BCD D、平面ABC⊥平面BCD
2、直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是（ ）
A 、a B 、a C、 D、 a
3、设两个平面α、β，直线l ，下列三个条件：① l ⊥α; ② l∥β;③α⊥β,若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数是（ ）
A 、3 B 、2 C、 1 D、 0
4、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值为 。
5、夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段＆这两个平面所成的角分别是450和300，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为 。
【典例剖析】
例1．如果，，=a，那么a．
证明：如图，设=m，=n，
在平面内任取一点P(Pm,Pn)，
过P作PAm于A，作PBn于B，
∵，，∴PA，PB．
∵=a，∴a，a，∴PAa，PBa．
PA、PB是平面内的两条相交直线．∴a平面．
【例2书】如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠SSB=∠ASC=600, ∠BSC=900,求证：平面ABC⊥平面BSC。
【例3书】如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC，
（1） 求证：AB⊥BC;
（2） 若设二面角S-BC-A为450，SA=BC,求两面角S-SC-B的大小。
【例4书】已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D，
（1） 确定D的位置，并证明你的结论；
（2） 证明：平面AB1D⊥平面AA1D ;
（3） 若AB：AA1=,求平面AB1D与平面AB1A1所成的角的大小。
补：例5．由一点S引不共面的三条射线SA、SB、SC，设ASB=，BSC=，ASC=，其中，，均为锐角，则平面ASB平面BSC的充要条件是
coscos=cos．
证明：必要性．
如图(1) 过点A作ADSB于D.
∵平面ASB平面BSC ∴AD平面BSC．
过D作DESC于E，连AE，则AESC．
在Rt△ADS中，cos=；在Rt△DES中，cos=；
例3．
在Rt△AES中，cos=，由此可得
coscos===cos． 必要性得证．
充分性．如图2，过点A作AA1SB于A1，过点A1作A1C1SC于C1.
在Rt△AA1S中，cos=；
在Rt△A1C1S中，cos=;
∵cos=coscos==,
∴SC1=SAcos．
过A作AC1SC，垂足为C1，
在Rt△AC1S中，SC1=SAcos．
由此得SC1=SC1，即C1与C1重合，故SCAC1．
而SCA1C1，且AC1A1C1=C1，∴SC平面AA1C1，∴SCAA1．
又∵SBAA1，SBSC=S，∴AA1平面BSC，
而AA1平面ASB，∴平面ASB平面BSC．充分性得证．
【知识方法总结】
1. 证面面垂直一般先从现有的直线中找平面的垂线；否则用作辅助线解决之，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和垂直的平面，设=l，在内作直线al，则a．
2.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化条件和转化应用。
【作业】
优化设计
A
B
O
C
S
C
B
E
H
A
S
A
C1
A11
B
C
A
B1
B
a O
A
a
l
a
B
a O
A
m
A
P
n
B
a
S
E
(1)
D
A
B
C
(2)
C1
C1
S
A1
A
B
C9.3 直线与平面垂直
【教学目标】
掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并能灵活运用它们解题.
【知识梳理】
1．直线与平面垂直的判定
类别 语言表述 应 用
判 定 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直, 那么这条直线和这个平面垂直 证直线和平面垂直
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面 证直线和平面垂直
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面 证直线和平面垂直
2．直线与平面垂直的性质
类别 语言表述 图 示 字母表示 应 用
性质 如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的任何一条直线都垂直 ab 证两条直线垂直
如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行 ab 证两条直线平行
3．点到平面的距离
从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．
4．直线和平面的距离
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．
【点击双基】
1.“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
答案：B
2.给出下列命题，其中正确的两个命题是
①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行 ②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 ③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α ④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
解析：①错误.如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交.②正确.如下图，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β且E、F分别为AB、CD的中点，过C作CG∥AB交平面β于G，连结BG、GD.
设H是CG的中点，则EH∥BG，HF∥GD.
∴EH∥平面β，HF∥平面β.
∴平面EHF∥平面β∥平面α.
∴EF∥α，EF∥β.
③错误.直线n可能在平面α内.
④正确.如下图，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作a′∥a，b′∥b，则a′、b′确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一确定的.
答案：D
3.在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S—EFG中必有
A.SG⊥平面EFG B.SD⊥平面EFG C.FG⊥平面SEF D.GD⊥平面SEF
解析：注意折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥
平面EFG.选A.
答案：A
4.在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件_____________时，有A1C⊥B1D1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
答案：A1C1⊥B1D1或四边形A1B1C1D1为菱形等
5.设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则
（1）A点到CD1的距离为________；
（2）A点到BD1的距离为________；
（3）A点到面BDD1B1的距离为_____________；
（4）A点到面A1BD的距离为_____________；
（5）AA1与面BB1D1D的距离为__________.
答案：（1） （2） （3） （4） （5）
【典例剖析】
例1.已知直线AB与平面相交于点B，且与内过B点的三条直线BC，BD，BE所成的角都相等，求证：AB与平面垂直．
证明：在上取，
∵与、、所成的角都相等，
∴．
则()0，
即0，从而AB⊥CD．
又，∴()0，
即0，故AB⊥CE．而CDCE=C，所以AB⊥平面．
例2.如图9-10, 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=AB, D是CC1的中点,F是A1B的中点.求证: (1) DF平面ABC; (2) AFBD
分析 要证“线面平行”, 可通过“线线平行”
或“面面平行”进行转化；而证明“线线垂直”，除考虑三垂线定理及其逆定理外，还可由线面垂直证得.
证明 (1)(方法1)取AB中点G, 连FG,CG.
∵F是A1B的中点, ∴FG∥A1A 且,
又D是CC1的中点, 于是FG与DC平行且相等, 从而CDFG是平行四边形. ∴FD∥CG. ∵FD平面ABC, CG平面ABC, FD∥平面ABC.
(方法2)取的中点, 连, 是的中点, .
从而平面, 同理平面.
是平面内的两条相交直线, 平面//平面.
故平面.
(2) 是正三棱柱, 平面,.
, 且是的中点, .
由(1)知, , 又, 平面,
, 平面, 由三垂线定理知.
例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF是异面直线AC，A1D的公垂线，则EF与BD1的关系为（ ）
A.相交不垂直 B.相交垂直
C.异面直线 D.平行直线
证明：连结AB1，CB1
∵D1D⊥平面ABCD
∥ ∴DB是D1B在平面ABCD上的射影
而AC平面ABCD，且AC⊥DB，由三垂线定理有
D1B⊥AC，同理可证D1B⊥B1C
∴D1B⊥平面ACB1 （1）
∵B1C∥A1D，而EF⊥A1D
∴EF⊥B1C
又∵EF⊥AC
∴EF⊥平面ACB1 （2）
由（1）（2）及线面垂直的性质定理，知EF//BD1。
［注］本题看似平行问题，但要利用线面垂直的判定，性质定理，说明了平行问题与垂直问题的紧密联系
例4．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90,AC=1,CB=，侧棱AA1=1，侧面A A1 B1B的两条对角线交于点D，B1C1的中点为M，求证：CD平面BDM
证明：连结，∵∴，在直三棱柱中
，∴平面，∵，
∴，∴，∵是侧面的两条对角
线的交点，∴是与的中点，∴，连结
，取的中点，连结，则，
∵平面，∴平面，∴是在
平面内的射影。在中，
在中，，∴
∴，∴，∴平面.
【知识方法总结】
线面垂直关系的判定和证明, 要注意线线垂直关系, 面面垂直关系与它之间的相互转化
【作业】
1.优化设计
2.如图，矩形所在的平面，分别是的中点，
（1）求证：平面； （2）求证：
（3）若，求证：平面
a
b
a
b
A
B
C
D
E9.8空间角
【教学目标】
掌握二面角及其平面角的概念，能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小
【知识梳理】
空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。其取值范围分别是：0° ≤90°、0°≤ ≤90°、0° ≤180°.空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法和向量法.
【点击双基】
1．如果平面的一条斜线长是它在这个平面上射影长的3倍，那么这条斜线与平面所成角的余弦值为……………………………..( )
A. B. C. D.
2.平面α的斜线与α所成的角为30°,则此斜线和α内所有不过斜足的直线所成的角的最大值为………………………………..( )
A. 30° B.60° C.90° D.150°
3.如果向量a=(1,0,1),b=(0,1,1)分别平行于平面α,β且都与此两平面的交线l垂直,则二面角α-l-β的大小是………………..( )
A. 90° B. 30° C.45° D.60°
4.在△ABC中,M,N分别是AB,AC的中点,PM⊥平面ABC,当BC=18,PM=时,PN和平面ABC所成的角是 .
5.PA,PB,PC是从P点引出的三条射线,他们之间每两条的夹角都是60 °,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为 .
【典例剖析】
一、异面直线所成的角：
例1（04高考广东18（2））如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2。E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=BF=1。求直线EC1与FD1所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，
把与所成角看作向量的夹角，
用向量法求解。
思路二：平移线段C1E让C1与D1
重合。转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。（图1）
解法一：以A为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D1(0,3,2)、E (3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2),于是设EC1与FD1所成的角为，则:
∴直线与所成的角的余弦值为
解法二：延长BA至点E1,使AE1=1,连结E1F、DE1、D1E1、DF，有
D1C1//E1E, D1C1=E1E,则四边形D1E1EC1是平行四边形。则E1D1//EC1.于是∠E1D1F为直线与所成的角。
在Rt△BE1F中，.
在Rt△D1DE1中,
在Rt△D1DF中,
在△E1FD1中,由余弦定理得：
∴直线与所成的角的余弦值为.
[说明]“转化”是求异面直线所成角的关键。平移线段法，或化为向量的夹角。一般地，异面直线l1、l2的夹角的余弦为：.
二、直线和平面所成的角
斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设 为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有或（图2）
图2
特别地 时，，；时，，或。
例2如图3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=900，侧棱AA1=2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小。
解 以C为坐标原点，CA所在直线为轴，
CB所在直线为 轴，所在直线为轴，
建立直角坐标系，设，图3则
，，， 图3
∴ ， ， ，，
∵ 点E在平面ABD上的射影是的重心G，
∴ 平面ABD， ∴ ，解得 。
∴ ， ，
∵ 平面ABD， ∴ 为平面ABD的一个法向量。
由
得 ，
∴ 与平面ABD所成的角为 ，即 。
[说明] ① 因规定直线与平面所成角，两向量所成角，所以用此法向量求出的线面角应满足。②一般地，设n是平面M的法向量，AB是平面M的一条斜线，A为斜足，则AB与平面M所成的角为：
.
三、二面角的求法：
1.几何法：二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法：
①直接利用定义，图4(1).
②利用三垂线定理及其逆定理，图4(2).最常用。
③作棱的垂面，图4(3).
图4
另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角；
2.向量法：①从平面的法向量考虑，设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量 的夹角为，则有或 （图5）
图5
②如果AB、CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为。
例3.在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。
解析1.定义法 过D作DE ⊥PC于E，过E作EF ⊥PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解△DEF即可。
解析2.垂面法 易证面PAB⊥面PBC，过A作AM ⊥BP于M，显然AM ⊥面PBC，从而有AM ⊥PC，同法可得AN ⊥PC，再由AM与AN相交与A得PC ⊥面AMN。设面AMN交PC于Q，则为二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解。
解析3.利用三垂线求解 把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D。
易证面PEDA ⊥PDC，过E作EF ⊥ PD于F，显然PF ⊥面PDC，在面PCE内，过E作EG ⊥PC于G，
连接GF，由三垂线得GF⊥ PC 即为二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可。
解析4. 射影面积法 由解析3的分析过程知，△PFC为△ PEC在面PDC上的射影，由射影面积公式得 ，余下的问题比较容易解决！
解析5.在面PDC内，分别过D、B作DE ⊥PC于E，BF ⊥PC于F，连接EF即可。
利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理求出 即可。
[说明].用几何法求二面角的方法比较多，常见的有：
（1）定义法 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析１
（2）三垂线求解 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析２
（3）垂面法 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析３
例4如图6，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱， D是CB延长线上一点，且BD=BC, 求二面角B1-AD-B的大小。
解 取BC的中点O，连AO。
由题意 平面平面，，
∴平面，
以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系， 图6
则 ，，，，
∴ ， ， ，
由题意 平面ABD， ∴ 为平面ABD的法向量。
设 平面的法向量为 ，则 ， ∴ ， ∴ ，
即 。 ∴ 不妨设 ，
由 ，
得。 故所求二面角的大小为。
[说明]在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取时，会算得，从而所求二面角为，但依题意只为。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。
【知识方法总结】1空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来计算的，对空间各种角概念必须深刻理解。平行和垂直可以看作是空间角的特殊情况。
2. 几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。
3.向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化。主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算。
补充练习：1.（01天津）如图，以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz，其中Ox//BC，Oy//AB．E为VC中点，正正四棱锥底面边长为2a，高为h．（Ⅰ）求
（Ⅱ）记面BCV为α，面DCV为β，若∠BED是
二面角α—VC—β的平面角，求∠BED．
2．（04高考四川卷）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，
∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M。求证：(1)CD⊥平面BDM；(2) 求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。
练习答案：1.解：（I）由题意知B（a，a，0），C（―a，a，0），D（―a，―a，0），E 由此得
由向量的数量积公式有
（II）若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，则，即有=0．
又由C（－a，a，0），V（0，0，h），有且
即这时有
2. 分析：要证CD⊥平面BDM，只需证明直线CD与平面BDM内的两条相交直线垂直即可；要求二面角，需找出二面角的平面角或转化为 两直线的夹角。考虑几何法或向量法求解。
解法一：(1)如图连结CA1、 AC1、CM，则CA1=.为等腰三角形。又知D为其底边的中点，∴CD⊥A1B. ∵A1C1=1,C1B1=.
∴A1B1=.又BB1=1,∴A1B=2.∵为直角三角形，D为A1B的中点，
∴又
∴⊿CDM≌CC1M,
∵A1B、DM为平面BDM内的两条相交直线，∴CD⊥平面BDM。
(2)F 、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则 ∥CD,FG=CD,∴FG=,FG⊥BD,由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知，∴⊿BB1D是边长为1的正三角形。于是。又
，即所求二面角的大小为。
解法二：以C为原点建立坐标系。
(1),
则，
∵A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，∴CD⊥平面BDM。
(2)设BD的中点为G,连结B1G,则
，
，∴的夹角等于所求二面角的平面角。
。
C
P
D
B
Ｑ
B
A
P
O
A
N
M
B
O
A
Ｎ
Ｍ
解析二
A
C
P
D
B
G
F
E
解析三
A
C
4(3)
4(2)
4(1)
P
O
P
D
B
A
解析一
Ｅ
Ｆ
B
D
P
C
A
解析四
E
F
G
B
D
P
C
A
解析五
Ｅ
Ｆ9.6空间向量及其运算（B）
【教学目标】
(1)了解空间向量基本概念；掌握空间向量的加、减、数乘、及数量积的运算；了解空间向量共面概念及条件；理解空间向量的基本定理。
(2)理解空间直角坐标系的概念，会用坐标来表示向量；理解空间向量的坐标运算；会用向量工具来解决一些立体几何问题。
【知识梳理】
1、共线向量定理：对空间任意两个向量（），的充要条件是存在实数使。显然。
2、直线的向量参数表示式：
点P在直线L上的充要条件是存在实数t，使（是直线L的方向向量）或=(1t)。若有=x，则x+y=1。
3、共面向量定理：两个向量不共线，则向量与向量共面的率要条件是存在实数对x，y使=。
推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：，或对空间任意一点O有：。
4、空间向量的基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任意一向量，存在惟一有序实数对x、y、z使得=。
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的三个有序实数x、y、z使=x+。特别地，当x+y+z=1时，则必有P、A、B、C四点共面。
5、定义：，或，用于求两个向量的数量积或夹角；
6、，用于证明两个向量的垂直关系；
7、，用于求距离。
【点击双基】
1.在以下四个式子中正确的有
a+b·c，a·（b·c），a（b·c），|a·b|=|a||b|
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
解析：根据数量积的定义，b·c是一个实数，a+b·c无意义.实数与向量无数量积，故a·（b·c）错，|a·b|=|a||b||cos〈a，b〉|，只有a（b·c）正确.
答案：A
2.设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是
A.{a+b，b－a，a} B.{a+b，b－a，b}
C.{a+b，b－a，c} D.{a+b+c，a+b，c}
解析：由已知及向量共面定理，易得a+b，b－a，c不共面，故可作为空间的一个基底，故选C.
答案：C
3.在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，向量、、是
A.有相同起点的向量 B.等长的向量
C.共面向量 D.不共面向量
解析：∵－==，
∴、、共面.
答案：C
4.已知a=（1，0），b=（m，m）（m＞0），则〈a，b〉=_____________.
答案：45°
5.已知四边形ABCD中，=a－2c，=5a+6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则=_____________.
解析：∵=++，
又=++，
两式相加，得2=（+）+（+）+（+）.
∵E是AC的中点，
故+=0.同理，+=0.
∴2= +=（a－2c）+（5a+6b－8c）=6a+6b－10c.∴=3a+3b－5c.
答案：3a+3b－5c
【典例剖析】
【例1书】在平行四边形ABCD中，AB=AC=1,∠ACD=900,将它沿对角线AC折起，使AB与CD成600角，求B、D间的距离。
【例2书】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，
求证：（1）BD1⊥平面ACB1;
(2)BE=ED1
例3．在正三棱柱ABCA1B1C1中，(1)已知AB1BC1，求证：AB1A1Ｃ；(2)当AB=2，AA1=4时，求异面直线BC1与A1C所成角的余弦值．
解：(1)设=a，=b，=c，则=a+c，=b a+c，=b c．
∵，∴(a+c)(b a+c)=0，即c2 a2+ab=0．
又设==x，=h，则h2 x2+x2=0，∴x2=2h2．
=(a+c)(b c)=ab c2=x2 h2=h2 h2=0．
(2)==，=(b a+c)(b c)=b2 c2 ab= 14
设异面直线BC1与A1C所成的角为，
则cos=|cos<, >|==．
即异面直线BC1与A1C所成角的余弦值为．
例4.已知空间四边形中,且分别是的中点,是中点.求证:
分析:要证,只须证明即可.而要证,必须把用一组已知的空间基向量来表示.又已知条件为且因此可选为已知的基向量.
证明:连结由线段中点公式得:
,又
且,
说明:①在证明两直线垂直或两异面直线所成的角时,不妨考虑用向量来解决;
②在具体的过程中,要注意向量转化时的选择,尽可能简洁.
例5.如图,在平行六面体中,是的中点.
求证:∥面.
分析:要证明∥面,只需证明∥面,进一步只需证明与面中的一组基向量共面.
证明:设因为为平行四边形,
,又O是的中点,
∥,,
若存在实数使成立,则
因为不共线,,.
所以是共面向量,
因为不在所确定的平面内,
∥面,又面,
∥面.
【知识方法总结】
在处理立体几何中的平行与垂直的问题或两异面直线所成的角时,用向量来解决思维简单，是一种行之有效的方法。
【作业】
M
E
D
B1
A1
B
D1
C1
C
A
O9.13立体几何的综合问题
【教学目标】
1、初步掌握“立几”中“探索性”“发散性”等问题的解法
2、提高立体几何综合运用能力，能正确地分析出几何体中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合和变形。
【点击双基】
1.若Rt△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在α外，则△ABC在α上的射影是
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.一条线段或一钝角三角形
解析：当平面ABC⊥α时，为一条线段，结合选择肢，知选D.
答案：D
2.长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为
A.1+ B.2+ C.3 D.2
解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形.
答案：C
3.设长方体的对角线长为4，过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为60°，则长方体的体积是
A.27 B.8 C.8 D.16
解析：先求出长方体的两条棱长为2、2，设第三条棱长为x，由22+22+x2=42x=2，∴V=2×2×2=8.
答案：B
4.棱长为a的正方体的各个顶点都在一个球面上，则这个球的体积是_____________.
解析：易知球的直径2R=a.所以R=a.所以V=R3= a3.
答案：a3
5.已知△ABC的顶点坐标为A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则△ABC的面积是_____________.
解析：=（1，1，1），=（2，1，3），cos〈，〉==，∴sinA=.∴S=||||sinA=··= .
答案：
【典例剖析】
【例1】 在直角坐标系O—xyz中，=（0，1，0），=（1，0，0），=（2，0，0）， =（0，0，1）.
（1）求与的夹角α的大小；
（2）设n=（1，p，q），且n⊥平面SBC，求n；
（3）求OA与平面SBC的夹角；
（4）求点O到平面SBC的距离；
（5）求异面直线SC与OB间的距离.
解：（1）如图，= －=（2，0，－1），= + =（1，1，0），则||==，||==.
cosα=cos〈，〉===，α=arccos.
n·=0，
n·=0.
∵=（2，0，－1），= －=（1，－1，0），
2－q=0， p=1，
1－p=0. q=2，
（3）OA与平面SBC所成的角θ和OA与平面SBC的法线所夹角互余，故可先求与n所成的角.
=（0，1，0），||=1，|n|==.
∴cos〈，n〉===，
即〈，n〉=arccos.∴θ=－arccos.
（4）点O到平面SBC的距离即为在n上的投影的绝对值，
∴d=|·|== .
（5）在异面直线SC、OB的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离，故先求与SC、OB均垂直的向量m.
设m=（x，y，1），m⊥且m⊥，
则m·=0，且m·=0.
2x－1=0， x=，
x+y=0， y=－.
∴m=（，－，1），d′=|·|= =.
特别提示
借助于平面的法向量，可以求斜线与平面所成的角，求点到平面的距离，类似地可以求异面直线间的距离.本题选题的目的是复习如何求平面的法向量，以及如何由法向量求角、求距离.
【例2】 如图，已知一个等腰三角形ABC的顶角B=120°，过AC的一个平面α与顶点B的距离为1，根据已知条件，你能求出AB在平面α上的射影AB1的长吗 如果不能，那么需要增加什么条件，可以使AB1=2
解：在条件“等腰△ABC的顶角B=120°”下，△ABC是不能唯一确定的，这样线段AB1也是不能确定的，需要增加下列条件之一，可使AB1=2：
①CB1=2；②CB=或AB=；③直线AB与平面α所成的角∠BAB1=arcsin；④∠ABB1=arctan2；⑤∠B1AC=arccos；⑥∠AB1C=π－arccos；⑦AC=；⑧B1到AC的距离为；⑨B到AC的距离为；⑩二面角B—AC—B1为arctan2等等.
思考讨论
本题是一个开放型题目，做这类题的思维是逆向的，即若AB1=2，那么能够推出什么结果，再回过来考虑根据这一结果能否推出AB1=2.
【例3】 （2004年春季北京）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=，
（1）求证：BC⊥SC；
（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.
剖析：本题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
（1）证法一：∵底面ABCD是正方形，
∴BC⊥DC.∵SD⊥底面ABCD，
∴DC是SC在平面ABCD上的射影.
由三垂线定理得BC⊥SC.
证法二：∵底面ABCD是正方形，
∴BC⊥DC.∵SD⊥底面ABCD，
∴SD⊥BC.又DC∩SD=D，
∴BC⊥平面SDC.∴BC⊥SC.
（2）解法一：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，
∴可以把四棱锥S—ABCD补形为长方体A1B1C1S—ABCD，如上图，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，∵SC⊥BC，BC∥A1S，∴SC⊥A1S.
又SD⊥A1S，∴∠CSD为所求二面角的平面角.
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，
在Rt△SDC中，由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°，
即面ASD与面BSC所成的二面角为45°.
解法二：如下图，过点S作直线l∥AD，
∴l在面ASD上.
∵底面ABCD为正方形，∴l∥AD∥BC.
∴l在面BSC上.
∴l为面ASD与面BSC的交线.
∵SD⊥AD，BC⊥SC，∴l⊥SD，l⊥SC.
∴∠CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.
（以下同解法一）.
（3）解法一：如上图，∵SD=AD=1，∠SDA=90°，
∴△SDA是等腰直角三角形.
又M是斜边SA的中点，
∴DM⊥SA.
∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，
∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.
由三垂线定理得DM⊥SB.
∴异面直线DM与SB所成的角为90°.
解法二：如下图，取AB的中点P，连结MP、DP.
在△ABS中，由中位线定理得PM∥BS.
∴DM与SB所成的角即为∠DMP.
又PM2=，DP2=，DM2=.
∴DP2=PM2+DM2.∴∠DMP=90°.
∴异面直线DM与SB所成的角为90°.
【知识方法总结】
【作业】
∴
即
∴
∴
即n=（1，1，2）.
（2）∵n⊥平面SBC，∴n⊥且n⊥，即9.12球
【教学目标】
了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球的有的内接、外切几何问题的解法．
【知识梳理】
（1）球的概念：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球。半圆的圆心叫做球心。连接球心与球上任意一点的线段叫做球半径。连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆。被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。
（2）球的截面圆的性质：①球心到截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系：r2=R2－d2。
（3）两点的球面距离的定义：在球面大圆上两点间的劣弧的长度。
（4）球的表面积与体积：S球面=4πR2，V=4/3πR3。
【点击双基】
1.下列四个命题中错误的个数是
①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆 ②球面积是它大圆面积的四倍 ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：①③错误.
答案：C
2.（2004年江苏，4）一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是
A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3
答案：C
3.若三球的半径之比是1∶2∶3，那么半径最大的球体积是其余两球体积和的_______倍.
A.4 B.3 C.2 D.1
解析：三球体积之比为1∶8∶27.
答案：B
4.（2004年北京，理11）某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm，该地球仪的半径是_____________cm，表面积是_____________cm2.
解析：如图所示，
∵2πr=12π，∴r=6（cm）.
设地球仪半径为R，则==sin60°.
∴R=4（cm），
表面积S=4πR2=192π（cm2）.
答案：4 192π
5.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是
A.20π B.25π C.50π D.200π
解析：设球的半径为R，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=.∴S球=4π×R2=50π.
答案：C
【典例剖析】
【例1】 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为
A.4 B.2 C.2 D.
解法一：过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，则O′是△ABC的中心，则O′A=r=2，又因为∠AOC=θ=，OA=OC知OA=AC<2O′A.其次，OA是Rt△OO′A的斜边，故OA>O′A.所以O′A解法二：在正三角形ABC中，应用正弦定理，得AB=2rsin60°=2.
因为∠AOB=θ=，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R=OA=AB=2.
解法三：因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=r=3，D是BC的中点.
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R.
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得R2=R2+9，所以R=2.
特别提示
1.本题以球为载体考查了直线的关系、解三角形等知识，将空间图形的计算转化为平面图形中求正三角形外接圆半径及勾股定理的使用，并运用方程的思想.
2.正确区别球面上两点之间的直线距离与球面距离；计算A、B两点间的球面距离关键是搞清纬度、经度、经度差、纬度差等概念，具体步骤是：
（1）计算线段AB的长度；
（2）计算A、B到球心O的张角；
（3）计算球大圆在A、B两点间所夹的劣弧长.
【例2】 已知球的两个平行截面的面积分别为49π、400π，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积.
剖析：先画出过球心且垂直于已知截面的球的大圆截面，再根据球的性质和已知条件列方程求出球的半径.注意：由于球的对称性，应考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧或异侧的情形，加以分类讨论.
解：下图为球的一个大圆截面.
π·O1A2=49π，
则O1A=7.
又π·O2B2=400π，
∴O2B=20.
（1）当两截面在球心同侧时，OO1－OO2=9=－，解得R2=625，S球=4πR2=2500π.
（2）当两截面在球心异侧时，OO1+OO2=9=+，无解.
综上，所求球的表面积为2500π.
特别提示
球的截面的性质是解决与球有关的问题的重要一环，特别是有关球的计算问题中，R2=d2+r2（R、r、d分别表示球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离）起着重要的作用.
【例3】 已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大 侧面积的最大值是多少
解：下图为轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，
则（）2＋r2=R2，
即h=2.
∵S=2πrh=4πr·
=4π
≤4π=2πR2，取等号时，内接圆柱底面半径为R，高为R.
【知识方法总结】
【作业】9.10棱柱与棱锥
【教学目标】
1． 理解棱柱、棱锥的有关概念，掌握棱柱、棱锥的性质；
2． 会画棱柱、棱锥的直观图，能运用前面所学知识分析论证多面体内的线面关系，并能进行有关角和距离的计算。
【知识梳理】
一、棱柱
（1） 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
（2） 棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；
②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
（3） 棱柱的分类：
1 按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱，…，n棱柱.
2 按侧棱与底面的位置关系分类:
(4)特殊的四棱柱
四棱柱 平行六面体 直平行六面体
长方体 正四棱柱 正方体
(5)长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.
(6)棱柱的体积公式:,是棱柱的底面积,是棱柱的高.
二、棱锥
1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥。
如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2、性质
Ⅰ、正棱锥的性质
(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
Ⅱ、一般棱锥的性质
定理 如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比。
3、棱锥的体积
V=Sh，其S是棱锥的底面积，h是高。
【点击双基】
1.设M=｛正四棱柱｝，N=｛直四棱柱｝，P=｛长方体｝，Q=｛直平行六面体｝，则四个集合的关系为
A.MPNQ B.MPQN C.PMNQ D.PMQN
解析：理清各概念的内涵及包含关系.
答案：B
2.如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在
A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部
解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，知AC⊥面ABC1，从而面ABC1⊥面ABC，因此，C1在底面ABC上的射影H必在两面的交线AB上.
答案：A
3.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D—ABC的体积为
A. B. C. a3 D. a3
答案：D
4.（2003年春季上海）若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于_______.（结果用反三角函数值表示）
解析：取BC的中点D，连结SD、AD，则SD⊥BC，AD⊥BC.
∴∠SDA为侧面与底面所成二面角的平面角，设为α.在平面SAD中，作SO⊥AD与AD交于O，则SO为棱锥的高.
AO=2DO，∴OD=.
又VS—ABC=·AB·BC·sin60°·h=1，
∴h=.∴tanα===.
∴α=arctan.
答案：arctan
5.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为__________.
解析：由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比，S侧1∶S侧2∶S侧3=
1∶4∶9，所以锥体被分成三部分的侧面积之比为1∶3∶5.
答案：1∶3∶5
【典例剖析】
【例1】 已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF的体积.
解法一：连结A1C1、B1D1交于O1，过O1作O1H⊥B1D于H，
∵EF∥A1C1，
∴A1C1∥平面B1EDF.∴C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离.
∵平面B1D1D⊥平面B1EDF，
∴O1H⊥平面B1EDF，即O1H为棱锥的高.
∵△B1O1H∽△B1DD1，
∴O1H==a，
V=S·O1H=··EF·B1D·O1H=··a·a·a=a3.
解法二：连结EF，设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1+h2=B1D1=a，∴V=V+V=·S·（h1+h2）= a3.
解法三：V=V－V－V=a3.
特别提示
求体积常见方法有：①直接法（公式法）；②分割法；③补形法.
【例2】 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD.
（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC 试证明你的结论.
（2）当a=4时，求D点到平面PBC的距离.
（3）当a=4时，求直线PD与平面PBC所成的角.
剖析：本题主要考查棱锥的性质，直线、平面所成的角的计算和点到平面的距离等基础知识.同时考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力.
本题主要是在有关的计算中，推理得到所求的问题，因而尽量选择用坐标法计算.
解：（1）以A为坐标原点，以AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，当a=2时，BD⊥AC，又PA⊥BD，故BD⊥平面PAC.故a=2.
（2）当a=4时，D（4，0，0）、C（0，2，0）、C（4，2，0）、P（0，0，2）、 =（0，2，－2），=（4，0，0）.
设平面PBC的法向量为n，则n·=0，n·=0，即（x，y，z）·（0，2，－2）=0，（x，y，z）·（4，0，0）=0，得x=0，y=z，取y=1，故n=（0，1，1）.则D点到平面PBC的距离d==.
（3） =（4，0，2），cos〈，n〉==>0，证〈，n〉=α，设直线PD与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=sin（－α）=cosα=.
所以直线PD与平面PBC所成的角为arcsin.
【例3】 如图，设三棱锥S—ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC.
（1）求证：S—ABC为正三棱锥；
（2）已知SA=a，求S—ABC的全面积.
（1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可.作三棱锥S—ABC的高SO，O为垂足，连结AO并延长交BC于D.
因为SA⊥BC，所以AD⊥BC.又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为△ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB=AC.又∠BAC=60°，故△ABC为正三角形，且O为其中心.所以S－ABC为正三棱锥.
（2）解：只要求出正三棱锥S—ABC的侧高SD与底面边长，则问题易于解决.在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=60°，所以SO=a，AO=a.因O为重心，所以AD=AO=a，BC=2BD=2ADcot60°=a，OD=AD=a.
在Rt△SOD中，SD2=SO2＋OD2=（a）2＋（a）2=，则SD=a.
于是，（SS－ABC）全=·（a）2sin60°＋3··a·a=a2.
深化拓展
（1）求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S正棱锥底=cosα·S正棱锥侧（α为侧面与底面所成的二面角）.就本题cosα=，S=a2，所以（SS－ABC）侧=a2÷=a2.于是也可求出全面积.
（2）注意到高SO=a，底面边长BC=a是相等的，因此这类正三棱锥还有高与底面边长相等的性质，反之亦真.
（3）正三棱锥中，若侧棱与底面边长相等，则变成四个面都是正三角形的三棱锥，这时可称为正四面体，因此正四面体是特殊的正三棱锥，但正三棱锥不一定是正四面体.
【知识方法总结】
【作业】
底面是平行四边形
侧棱与底面垂直
底面是矩形
底面是正方形
棱长都相等
