2004－2005学年度下学期
高中学生学科素质训练
高二数学同步测试（4）— 简单几何体
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一个棱柱为正四棱柱的条件是 （ ）
A．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
B．底面是正方形，有两个侧面是矩形
C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D．每个底面是全等的矩形
2．下列命题中正确的一个是 （ ）
A．四棱柱是平行六面体 B．直平行六面体是长方体
C．底面是矩形的四棱柱是长方体 D．六个面都是矩形的六面体是长方体
3．在底面边长与侧棱长均为a的正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知M为A1B1的中点，则M
到BC的距离是 （ ）
A．a B．a C．a D．a
4．若四棱锥的四个侧面与底面所成的角都相等，则其底面四边形必是 （ ）
A．矩形 B．菱形 C．圆外切四边形 D．圆内接四边形
5．三棱柱的底是边长为4的正三角形, 侧棱长为8，一条侧棱和底面的两边成45°
角，则这三棱柱的侧面面积为 （ ）A．32 B．4（+1） C．16（+1） D．32（+1）
6．如图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后，图形是 （ ）
A B C D
7．正三棱锥S－ABC的高SO＝h，斜高SM＝l, 点P在SO上且
分SO所成的比是1 ：2，则过P点且平行于底面的截面面积是 （ ）
A．(l2－h2) B．(l2－h2) C．(l2－h2) D．(l2－h2)
8．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 （ ）
A． B．12a2 C．18a2 D．24a2
9．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部
分的体积的比是 （ ）
A．1∶2∶3 B．1∶7∶19 C．3∶4∶5 D．1∶9∶27
10．设正多面体的每个面都是正n边形，以每个顶点为端点的棱有m条，棱数是E，面数是
F，则它们之间的关系不正确的是 （ ）
A．nF=2E B．mV=2E C．V+F=E+2 D．mF=2E
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题满分24分，每小题6分，各题只要求直接写出结果．
11．长方体高为ｈ，底面积为Ｑ，垂直于底面的对角面面积为Ｍ，则长方体的全面积为 ．
12．直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1与CC1上的点，且AP=C1Q，则四棱锥B－APQC的体积= ．
13．已知正四棱锥S－ABCD的侧面与底面所成的角为60°，过边BC的截面垂直于平面ASD，交平面ASD于EF，则二面角S－BC－E的平面角为 ．
14．矩形ABCD的边长分别为a，b(a<2b)，
E是DC的中点，把矩形沿AE、BE折成
一个三棱锥的三个侧面(C、D重合)，则
最大的侧面与底面所成的二面角的正弦
值是 ．
三、解答题：本大题满分76分．
15．（12分）在棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两成60°角，PA=a，PB=b，PC=c，求三
棱锥P—ABC的体积.
16．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC＝60，
PC⊥平面ABCD，PC＝1，E为PA的中点．
（1）求证：平面EDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角A－EB－D的正切值；
（3）求点E到平面PBC的距离．
17．（12分）正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB1、CC1上的点，
且EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：
（1）截面与底面所成的角；
（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.
18．（12分）C70 分子是与C60分子类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面都是五边形或六边形。求C70分子中五边形和六边形的个数．
19．（14分）斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，顶点A1在底面的射影O
是△ABC的中心，异面直线AB与CC1所成的角为45°.
（1）求证：AA1⊥平面A1BC；
（2）求二面角A1－BC—A的平面角的正弦值；
（3）求这个斜三棱柱的体积.
20．（14分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，已知垂直底面，
且，．
（1）求证：平面平面；
（2）若为侧棱上的一点，当为何值时，
平面，证明你的结论；
（3）若，求二面角的大小．
参考答案（四）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 C D A C D B A B B D
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11． 12． 13．30° 14．
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) 解：如图，设顶点A在平面PBC上的射影
为O，连结PO，由题知PA、PB、PC两两成60°角，
∴PO是∠BPC的平分线，在平面PBC上，过O作OE⊥PB，
连结AE，则AE⊥PB
16．(12分) (1) 证明：连结AC交BD于O，连EO ∵ O是AC中点，E是PA中点
∴ EO∥PC ∵ PC⊥平面ABCD，∴ PC⊥AO，PC⊥BO ∴ EO⊥AO，EO⊥BO
∴ EO⊥平面ABCD ∵ EO 平面EDB ∴ 平面EDB⊥平面ABCD．
(2) 解：∵ 平面EDB⊥平面ABCD，交线为BD，又AO⊥BD ∴ AO⊥平面EDB
过O作OM⊥BE于M，连AM，则AM⊥BE∴ AMO为二面角A－BE－D的平面角
在Rt△EOB中，OB＝，EO＝PC＝
∴ EB＝1 ∵ BE×OM＝OE×OB
∴ OM＝＝ ∵ 在Rt△AOM中，OA＝
∴ tan AMO＝ ＝ ．
(3) 解：∵ EO∥PC，PC 平面PBC，∴ EO∥平面PBC ∴ E到平面PBC的距离就是O到平面PBC的距离
∵ 平面PBC⊥平面ABCD交线为BC，过O作OF⊥BC于F
∴ OF⊥平面PBC，OF即为所求
∵ 菱形ABCD中，ABC＝60
∴ OF＝OB·sin OBF＝×＝
即点E到平面PBC的距离为 ．
17．(12分) 解（1）延长ED交CB延长线于F，
为截面与底面所成二面角的平面角. 在Rt△AEC中，EC=AC，故得∠EAC=45°.
（2）设AB=a，则，
.
18．(12分) 解：设有x个五边形和有y个六边形，则F=x+y,V=70,E=
答：略。
19．（14分）由已知可得A1-ABC为正三棱锥，∠A1AB=45°
∴∠AA1B=∠AA1C=90°即AA1⊥A1B,AA1⊥A1C
∴AA1⊥平面A1BC
（1）连AO并延长交BC于D,则AD⊥BC，连A1D,
则∠ADA1为所求的角.由已知可得 AD＝Absin60°＝,
AA1=Absin45°=,∴sin∠ADA1=
（2）在Rt△AA1D中，A1D=∴A1O=
∴V柱＝S△ABC·A1O=·4·sin60°·.
20．(14分) 证明：（１）平面ABCD，.又，
故平面SCD，平面SBC，故平面SBC平面SCD.
（2）时，AE//平面SCD.
法一：取SB的中点E，BC的中点F，连结AF，则AF//CD，EF//SC.
故EF//平面SCD，AF//平面SCD；平面AEF//平面SCD.
而AE平面AEF，AE//平面SCD
法二：取SB、SC的中点分别为E、G，连结EG、DG.则GE//BC，GE=BC，
又AD//BC，AD=BC，故AD//GE且AD=GE.
于是四边形AEGD为平行四边形。故AE//DG，又DG平面SCD，
故AE//平面SCD.
（3）作COBD于O，又SD平面BCD，故SDCO，
从而CO平面SBD ，作CHSB于H，
连结OH，则OH为CH在平面SBD上的射影，
故OHSB，CHO为二面角C－ＳＢ－Ｄ的平面角.
设AD=a，则BC=CD=2a 于是SA=AB=a ，
故SD==2a 则 CO=a
则CH=
而sinCHO
故CHO 二面角C－SB－D为
另解：……三角形SBO是三角形SBC在平面SBD上的射影.
设二面角C－SB－D的平面角为
则cos=,故=
A
B
C
A1
B1
C1
O
D
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- 5 -2004－2005学年度下学期
高中学生学科素质训练
高二数学同步测试（2）— 直线和平面的位置关系
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题（本题每小题5分，共50分）
1．下列命题：① 一条直线在平面内 的射影是一条直线；② 在平面内射影是直线的图形一
定是直线；③ 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等；④ 两斜线与平面所成的角
相等，则这两斜线互相平行.其中真命题的个数是 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．下列命题中正确的是 （ ）
A．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这
两条直线互为异面直线
B．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交
C．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行
D．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线
垂直
3．相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线在平面α内的
射影所成的角是 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．已知A、B两点在平面α的同侧，AC⊥α于C，BD⊥α于D，并且AD∩BC＝E，EF⊥
α于F，AC＝a，BD=b，那么EF的长等于 （ ）
A． B． C． D．
5．PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC与平面PAB
所成角的余弦值是 （ ）
A． B． C． D．
6．Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，D是BC的中点，AC＝2，DE⊥平面ABC，
且DE＝1，则点E到斜边AC的距离是 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是（ ）
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PD⊥BD D．PA⊥BD
8．如果α∥β，AB和AC是夹在平面α与β之间的
两条线段，AB⊥AC，且AB＝2，直线AB与平面
α所成的角为30°，那么线段AC的长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若a, b表示两条直线，表示平面，下面命题中正确的是 （ ）
A．若a⊥, a⊥b，则b// B．若a//, a⊥b，则b⊥α
C．若a⊥,b，则a⊥b D．若a//, b//，则a//b
10．如果直角三角形的斜边与平面平行，两条直角边所在直线与平面所成的角分别为
，则 （ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本题每小题6分，共24分）
11．已知△ABC，点P是平面ABC外一点，点O是点P在平面ABC上的射影，（1）若点P
到△ABC的三个顶点的距离相等，那么O点一定是△ABC的 ；（2）若
点P到△ABC的三边所在直线的距离相等且O点在△ABC内，那么O点一定是△ABC
的 ．
12．已知△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC所在平面外一点P到此三角形
三个顶点的距离都是14，则点P到平面ABC的距离是
13．如图所示，矩形ABEF与矩形EFDC相交于EF，
且BE⊥CE，AB＝CD＝4，BE＝3，CE＝2，
∠EAC＝α，∠ACD＝β，则cosα∶cosβ＝ ．
14．AB∥CD，它们都在平面内，且相距28．EF∥，且相距15．
EF∥AB，且相距17．则EF和CD间的距离为 ．
三、解答题（共76分）
15．（12分）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.
16．（12分）A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求AB与平面BCD所成角的余弦值.
17．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、
PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若PDA＝45，求EF与平面ABCD所成的角的大小．
18．（12分）在中，，线段平面，点在平面上的射
影为H.求证：H不可能是的垂心.
19．（14分）AB是⊙O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，
P为⊙O所在平面外一点，且PA⊥⊙O， PB与平面所成角为45
（1）证明：BC⊥平面PAC ；
（2）求点A到平面PBC的距离．
20．（14分）如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，
AN⊥PC于N.
（1）求证：BC⊥面PAC；
（2）求证：PB⊥面AMN.
（3）若PA=AB=4，设∠BPC=θ，试用tanθ表示△AMN
的面积，当tanθ取何值时，△AMN的面积最大？
最大面积是多少？
参考答案（二）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D A D D C D C B
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．外心、内心 12．7 13． 5：4 14． 39或25
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分） 解：连结BC1交B1C于O，连结A1O
在正方体ABCD—A1B1C1D1中各个面为正方形，设棱长为a,
∵A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,∴A1B1⊥BC1.∵BC1⊥B1C,∴BC1⊥平面A1B1CD
∴A1O为A1B在平面A1B1CD内的射影,∴∠BA1O是A1B与平面A1B1CD所成的角
在Rt△A1BO中，∴A1B=a,OB=a,∴sinBA1O=
又∵∠BA1O为锐角,∴∠BA1O=30°,即A1B和平面A1B1CD所成的角为30°
16．(12分) 解（1）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°， AC=AD=2，AB=3， ∴△ABC≌△ABD，BC=BD.取CD的中点M，连AM、BM，则CD⊥AM，CD⊥BM. ∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD.
（2）过A作于O，∵CD⊥平面ABM，∴CD⊥AO，∴AO⊥面BCD，
∴BM是AB在面BCD内的射影，这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角.
在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，.
在△ACD中， AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD是正三角形，AM=.
在Rt△BCM中，BC=，CM=1，.
17．(12分) 证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE
（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点
∴ FO∥PA …………① 在△ABC中，
∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又
∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②
综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD
∵ EF 平面EFO ∴ EF∥平面PAD．
（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD
∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC
∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF．
（3）若PDA＝45，则 PA＝AD＝BC ∵ EOBC，FOPA
∴ FO＝EO 又 ∵ FO⊥平面AC ∴ △FOE是直角三角形 ∴ FEO＝45．
18．（12分）证明：假设是的垂心
连结并延长与相交
∵平面
∴是在平面内的射影
又∵
∴ 又∵平面
∴是在平面内的射影
∴
这与矛盾
∴不可能是的垂心
19．（14分）解：（1）∵PA⊥平面ABC ∴PA⊥BC
∵AB是⊙O的直径，C为圆上一点∴BC⊥AC
∴BC⊥平面PAC
（2）过A作AD⊥PC于D∵BC⊥平面PAC，BC平面PBC
∴PAC⊥PBC，PC为交线 ∴AD⊥平面PBC ∴AD即为A到平面PBC的距离.
依题意，∠PBA为PB与面ABC所成角，即∠PBA＝45°∴PA=AB=2，AC=1，
可得PC=∵AD×PC＝PA×AC
∴AD＝， 即A到平面PBC的距离为…
20．（14分）（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC.
∴PA⊥BC，又AB为斜边，∴BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC.
（2）证明：∵BC⊥平面PAC，AN平面PAC ∴BC⊥AN，又AN⊥PC，且BC∩PC=C，
∴AN⊥面PBC，又PB平面PBC.∴AN⊥PB，
又∵PB⊥AM，AM∩AN=A ，∴PB⊥平面AMN.
（3）解：在Rt△PAB中，PA=AB=4，∴PB=4，
∵PM⊥AB，∴AM=PB=2，∴PM=BM=2
又∵PB⊥面AMN，MN平面AMN.∴PB⊥MN,
∵MN=PM·tanθ=2tanθ,∵AN⊥平面PBC，MN平面PBC.∴AN⊥MN
∵AN=
∴当tan2θ=,即tanθ=时，S△AMN有最大值为2，
∴当tanθ=时，S△AMN面积最大，最大值为2．
F
E
P
D
C
B
A
O
PAGE
- 5 -2004－2005学年度下学期
高中学生学科素质训练
高二数学同步测试（1）— 平面的基本性质，两直线的位置关系
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题（本题每小题5分，共50分）
1．若直线上有两个点在平面外，则 （ ）
A．直线上至少有一个点在平面内 B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外 D．直线上至多有一个点在平面内
2．在空间中，下列命题正确的是 （ ）
A．对边相等的四边形一定是平面图形
B．四边相等的四边形一定是平面图形
C．有一组对边平行且相等的四边形是平面图形
D．有一组对角相等的四边形是平面图形
3．在空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．用一个平面去截正方体，则截面形状不可能是 （ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
5．如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，
那么异面直线EF与SA所成的角等于 （ ）
A．90° B．45°
C．60° D．30°
6．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．相交或异面
7．异面直线a、b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为 （ ）
A．[30°，90°] B．[60°，90°] C．[30°，60°] D．[60°，120°]
8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，
① BM与ED平行； ② CN与BE是异面直线；
③ CN与BM成角； ④ DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②④
C.③④ D．②③④
9．梯形ABCD中AB//CD，AB平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位
置关系只能是 （ ）
A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．异面或相交
10．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE ：EB＝AF ：FD
＝1 ：4，又H、G分别为BC、CD的中点，则 （ ）
A．BD//平面EFGH且EFGH是矩形 B．EF//平面BCD且EFGH是梯形
C．HG//平面ABD且EFGH是菱形 D．HE//平面ADC且EFGH是平行四边形
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二．填空题（本题每小题6分，共24分）
11．若直线a, b与直线c相交成等角，则a, b的位置关系是 ．
12．在四面体ABCD中，若AC与BD成60°角，且AC＝BD＝a，则连接AB、BC、CD、DA的中点的四边形面积为 ．
13．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝4，则异面直线AB1与 A1D所成的角的余弦值为 ．
14．把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，
使A、C的距离等于a，如图所示，则异面直线AC
和BD的距离为 ．
三、解答题（共76分）
15．（12分）已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线 .
16．（12分）在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足
=k.求证：M、N、P、Q共面.
17．（12分）已知：平面
求证：b、c是异面直线
18．（12分）如图，已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，
并且BE∶EC=AF∶FD=1∶2，EF=，求AB和CD所成角的大小.
19．（14分）四面体A-BCD的棱长均为a，E、F分别为楞AD、BC的
中点，求异面直线AF与CE所成的角的余弦值．
20．（14分）在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的
中点.
（1）求证：四边形B′EDF是菱形；
（2）求直线A′C与DE所成的角；
参考答案（一）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 D C D C B D A C B B
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．平行、相交或异面 12． 13． 14．
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) 证明：∵A、B、C是不在同一直线上的三点
∴由A、B、C确定一个平面, 又
16．(12分) 证明：∵AM∶MB=CN∶NB
∴MN∥AC ∵DQ∶QA=DP∶PC ∴PQ∥AC∴MN∥PQ ∴M、N、P、Q共面.
17．(12分) 反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交
18．(12分) 解：连结BD，在BD上取点G，使BG∶GD=1∶2，
连结EG、FG，在△BCD中，∵ ∴EG∥CD
同理FG∥AB
∴EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD
所成的角.
在△BCD中， ∴EG∥CD，CD=3，BG∶GD=1∶2 ∴EG=1
在△ABD中， ∴FG∥AB，AB=3，FG∶AB=2∶3 ∴FG=2
在△EFG中，EG=1，FG=2，EF=，由余弦定理，得
∴∠EGF=120°,EG和FG所成的锐角为60°.∴AB与CD所成的角为60°.
19．（14分）
解： 连接FD，在面AFD内过E作EO∥AF交FD于O，则∠OEC为异面直线AF与CE的所成角.
且O为DF的中点。又∵E为AD的中点，∴EO=.
∵⊿ABC和⊿ACD均为等边三角形，且边长为 AF、CE分别是它们的中位线，
∴，在Rt⊿DFC中，
.
在⊿OEC中，
.
即异面直线AF与CE所成的角的余弦值为.
20．(14分) （1）证明：由题目中图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=a,
下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EGABA′B′知，
B′EGA′是平行四边形.
∴B′E∥A′G,又A′F DG,∴A′GDF为平行四边形.
∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面
故四边形B′EDF是菱形.
（2）解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，
则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角.
在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a，A′P=a
由余弦定理得cos∠A′CP=，故A′C与DE所成角为arccos.
N
D C M
E A B
F
α
β
a
b
A
c
A
B
C
D
E
F
O
PAGE
- 5 -2004－2005学年度下学期
高中学生学科素质训练
高二数学同步测试（6）— 空间向量
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在下列命题中：①若、共线，则、所在的直线平行；②若、所在的直线是异
面直线，则、一定不共面；③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定
也共面；④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为
．其中正确命题的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是 （ ）
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
3．若向量、 （ ）
A． B．
C． D．以上三种情况都可能
4．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共
面，则实数λ等于 （ ）
A． B． C． D．
5．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若， 则 （ ）
A．+－ B．－+ C．－++ D．－+－
6．已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，则向量与之间的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．以上都不对
7．若、均为非零向量，则是与共线的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
8．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的
中线长为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．已知 （ ）
A．－15 B．－5 C．－3 D．－1
10．已知，，，点Q在直线OP上运动，则当
取得最小值时，点Q的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n= ．
12．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，
若＝，则x＋y＋z＝ ．
13．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，
G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，
以｛，，｝为基底，则＝ ．
14．设||＝1，||＝2，2＋与－3垂直，＝4－，
＝7＋2， 则<,>＝ ．
三、解答题（本大题满分76分）
15．(12分) 如图，一空间四边形ABCD的对边
AB与CD，AD与BC都互相垂直，
用向量证明：AC与BD也互相垂直．
16．（12分））如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，
E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出A、B1、E、D1的坐标；
（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．
17．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、
PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若PDA＝45，求EF与平面ABCD所成的角的大小．
18．（12分）在正方体中，如图Ｅ、Ｆ分别是
，ＣＤ的中点，
（1）求证：平面ADE；
（2）求．
19．（14分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，
，E是PC的中点，作交PB于点F.
（1）证明 平面；
（2）证明平面EFD；
（3）求二面角的大小．
20．（14分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.
（1）求A1B与平面ABD所成角的大小
（结果用反三角函数值表示）；
（2）求点A1到平面AED的距离.
参考答案（六）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D D C A B A C
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11． 12． 0 13． 14．0°
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) 证明： . 又，
即.……① .
又，即.……②
由①+②得：即..
16．(12分) 解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2)
(2)∵ ＝(0, -2, 2)，＝(0, 1, 2) ∴ ||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2,
∴ cos ， ＝ EQ \F(·, ||·||) ＝ ＝ ．∴ AB1与ED1所成的角的余弦值为．
17．(12分) 证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，
BC＝2b，PA＝2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，
D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c) ∵ E为AB的中点，F为PC的中点
∴ E (a, 0, 0)，F (a, b, c)
(1)∵ ＝(0, b, c)，＝(0, 0, 2c)，＝(0, 2b, 0)
∴ ＝(＋) ∴ 与、共面
又∵ E 平面PAD ∴ EF∥平面PAD．
(2) ∵ ＝(-2a, 0, 0 ) ∴ ·＝(-2a, 0, 0)·(0, b, c)＝0
∴ CD⊥EF．
(3) 若PDA＝45，则有2b＝2c，即 b＝c， ∴ ＝(0, b, b)，
＝(0, 0, 2b) ∴ cos ，＝＝ ∴ ，＝ 45
∵ ⊥平面AC，∴ 是平面AC的法向量 ∴ EF与平面AC所成的角为：90－，＝ 45．
18．(12分) 解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，
则D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），
E（1，1，），F（0，，0），
则＝（0，，－1），＝（1，0，0），
＝（0，1，）， 则＝0，
＝0， ，.
平面ADE.
（２）（1，1，1），C（0，1，0），故＝（1，0，1），＝（－1，－，－），
＝－1＋0－＝－， ，，
则cos. .
19．（14分）解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设
(1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.
依题意得
底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心，
故点G的坐标为且
. 这表明.
而平面EDB且平面EDB，平面EDB。
(2)证明：依题意得。又故
, 由已知，且所以平面EFD.
(3)解：设点F的坐标为则
从而所以
由条件知，即 解得 。
点F的坐标为 且
,即，故是二面角的平面角.
∵且
,所以，二面角C—PC—D的大小为
20．(14分) 解：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，
则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1） A1（2a，0，2）
E（a，a，1） G（）.
，
，解得a=1.
.
A1B与平面ABD所成角是.
（2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）
平面AA1E，又ED平面AED.
∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E=AE，
∴点A在平面AED的射影K在AE上.
设， 则
由，即， 解得.
,即
即点A1到平面AED的距离为.
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- 3 -2004－2005学年度下学期
高中学生学科素质训练
高二数学同步测试（3）— 平面和平面的位置关系
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
1、 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题中正确的是 （ ）
A．垂直于同一平面的两平面平行
B．垂直于同一直线的两平面平行
C．与一直线成等角的两平面平行
D．RtABC在平面的射影仍是一个直角，则ABC所在平面与平面平行
2．ABCD是一个四面体，在四个面中最多有几个是直角三角形 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知、是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题：
①若、∥,则∥； ②若∥、∥,则∥；
③若∩＝，∥，则∥，∥；④若⊥，⊥，则∥．
其中真命题的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知二面角α－AB－β的平面角为θ，α内一点C到β的距离为3，到棱AB的距离为4，
则tanθ等于 （ ）
A． B． C． D．
5．下列命题：① 若直线a//平面，平面⊥平面β，则⊥β; ② 平面⊥平面β，平
面β⊥平面γ，则⊥γ；③ 直线a⊥平面，平面⊥平面β，则a//β； ④ 平面//
平面β，直线a平面，则a//β．其中正确命题的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．二面角α－AB－β的平面角为锐角，C是α内的一点
（它不在棱AB上），点D是C在平面β内的射影，点E
是AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，那么（ ）
A．∠CEB>∠DEB B．∠CEB<∠DEB
C．∠CEB=∠DEB D．无法确定
7．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：，，，那么必有（ ）
A． B． C． D．
8．已知：矩形ADEF⊥矩形BCEF，记∠DBE＝α，
∠DCE＝β，∠BDC＝θ，则 （ ）
A．sinα＝sinβsinθ B．sinβ＝sinαcosθ
C．cosα＝cosβcosθ D．cosβ＝cosαcosθ
9．若有平面与，且，则下列命
题中的假命题为 （ ）
A．过点且垂直于的直线平行于 B．过点且垂直于的平面垂直于
C．过点且垂直于的直线在内 D．过点且垂直于的直线在内
10．空间三条射线PA，PB，PC满足∠APC=∠APB=60°，∠BPC=90°，则二面角B-PA-C 的度数 （ ）
A．等于90°
B．是小于120°的钝角
C．是大于等于120°小于等于135°的钝角
D．是大于135°小于等于150°的钝角
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题满分24分，每小题6分，各题只要求直接写出结果.
11．如图所示，E、F、G是正方体ABCD－A1B1C1D1相应棱的中点，
则（1）面EFG与面ABCD所成的角为 ；
（2）面EFG与面ADD1A1所成的角为 ．
12．斜线PA、PB于平面α分别成40°和60°，则∠APB的取
值范围为
13．在直角△ABC中，两直角边AC＝b，BC＝a，CD⊥AB于D，
把这个Rt△ABC沿CD折成直二面角A－CD－B后，
cos∠ACB＝ ．
14．如图，两个矩形ABCD和ABEF中，AD＝AF＝1，
DC＝EF＝2，则AB与CF所成角θ的大小范
围是 ．
三、解答题：本大题满分76分.
15．（本小题满分12分）
求证：．
16．（本小题满分12分）正方体ABCD-A′B′C′D′棱长为1．
（1）证明：面A′BD∥面B′CD′；
（2）求点B′到面A′BD的距离．（14分）
17．（本小题满分12分）如图，平面α∥平面β，点A、C∈α，B、D∈β，点E、F分
别在线段AB、CD上，且，求证：EF∥β.
18．（本小题满分12分）如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形.（1）求证：BC⊥AD；
（2）若点D到平面ABC的距离不小于3，求二面角A—BC—D的平面角的取值范围；
（3）求四面体ABCD的体积的最大值.
19．（本小题满分14分）在长方体中，，底边上有且
只有一点使得平面平面.
（1）求异面直线与的距离；
（2）求二面角的大小.
20．（本小题满分14分）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.
（1）证明AD⊥D1F;
（2）求AE与D1F所成的角;
（3）证明面AED⊥面A1FD1;
（4）．
参考答案（三）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C A A A A D B
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11． 12． 13． 14．
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) 证明：过b上一点作平面与α相交于b′
16．(12分) （1）证明：∵A’D∥B’C，DB∥D’B’
又∵A’D∩DB＝D，B’C∩D’B’＝B’ ∴面A’BD∥面B’CD’
（2）解法一：易知B′到平面A′BD的距离d等于A到平面A′BD的距离，
且△A′BD为等边三角形
由可知
解得 ∴
解法二：易知B′到面A′BD的距离d等于A到面A′BD的距离
沿A′BD截下三棱锥A-A′BD，易知是一个正三棱锥
过A作AF⊥A′BD，则AF即为A到平面A′BD的距离
如右图，DE为A′B的中线，且F为△A′BD的中心
，
即A到平面A′BD的距离为.
17．(12分) 证明：过A作AH∥CD交β于H，连结HD、HB、BD、AC.
∵α∥β ∴AH=CD∴四边形AHDC是平行四边形，
∴AC∥HD, 过F作FG∥HD交AH于G，连结GE
∴AC∥GF∥HD ∴GF∥β，∴,∵ ∴,∴EG∥BH ∴EG∥β
∵EG∩GF=G ∴平面EGF∥β ∵EF平面EGF ∴EF∥β
18．(12分) （1）证明：取BC中点O，连结AO、DO
∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形
∴AO⊥BC，DO⊥BC
∴BC⊥平面AOD ∵AD平面AOD ∴BC⊥AD
（2）解：由（1）知∠AOD为二面角A—BC—D的平面角，
设∠AOD=θ,作DE⊥AO于E，由（1）知平面AOD⊥平面ABC，
且平面AOD∩平面ABC=AO
∴DE⊥平面ABC，DE为D到平面ABC的距离，
又DO=BD=2 ∴DE=DOsinθ=2sinθ ∵DE≥3
∴sinθ≥ ∵θ∈(0,π)∴θ∈［］
（3）∵S△ABC=×42=4 ∵DE=DOsinθ=2sinθ,θ∈［］
∴DE≤2,DE的最大值为2 ∵VD—ABC=×S△ABC×DE=×4×DE
∴当DE最大时，有VD—ABC=×4×2=8∴四面体ABCD的体积的最大值为8.
19．（14分）证明:(1)过作于
∵平面平面且平面平面
∴平面∴
又∵ ∴平面
∴又∵满足条件的只有一个
∴以为直径的圆必与相切，
切点为，为的中点
∴ ∴
∵平面，∴
又∵，所以为异面直线与的公垂线段
的长度为所求距离
（2）取中点，连结，则平面, 过作于，连结，则,∴为二面角的平面角
又∵ ,，在中 ∴
20．(14分) 解法一:（1）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1. 又D1F面DC1， ∴AD⊥D1F.
（2）取AB中点G,连结A1G，FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.
设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角，
因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，
∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角.
（3）由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1，
所以面AED⊥面A1FD1.
（4）连结GE，GD1. ∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1，
∵AA1=2,面积S△A1GE=S□ABB1A1－2S△A1AG－S△GBE=
又
解法二：利用用向量求解
解析：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A1（2，0，2），D1（0，0，2），
（1） ∵ ,，得，∴ AD⊥D1F;
（2）又，得 ∴ AE与D1F所成的角为90°
（3） 由题意：，
设平面AED的法向量为，设平面A1FD1的法向量为，
由
由
得
∴ 面AED⊥面A1FD1.
（4）∵AA1=2，，
平面A1FD1的法向量为
， ∴E到平面A1FD1的距离，
．
PAGE
- 5 -2004－2005学年度下学期
高中学生学科素质训练
高二数学同步测试（5）— 球
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．① 当平面到球心的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆；
② 过球面上两点只能作一个球大圆； ③ 过空间四点总能作一个球；
④ 球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.以上四个命题中正确的有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．若球的大圆的面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的 （ ）
A．3倍 B．27倍 C．3倍 D．倍
3．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4Л，那么这个球的半径为 （ ）
A．4 B．2 C．2 D．
4．长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球
的表面积是 （ ）
A．20π B．25π C．50π D．200π
5．在棱长为a的正方体内有一个内切球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，
该直线被球面截在球内的线段长为 （ ）
A． B． C． D．
6．半径为R的两个球，一个球的球心在另一个球的球面上，则两球的交线圆的周长为（ ）
A． B． C． D．2
7．过正三棱锥一侧棱及其外接球的球心O所作截面如图所示，
则它的侧面三角形的顶角为（ ）
A．60° B．90°
C．120° D．arccos
8．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，则三
棱柱的体积为 （ ）
A． B． C． D．
9．若地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，且这两点间的球面距离为，则北
纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为 （ ）
A． B． C． D．
10．如图，水平地面上有一个大球，现有如下方法测量球的大小，
用一个锐角为45°的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边
紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA＝5cm，
则球的表面积为 （ ）
A．100πcm2 B．100(3＋2)πcm2
C．100(3－2)πcm2 D．200πcm2
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题满分24分，每小题6分，各题只要求直接写出结果．
11．一个平面和一个球相切于A点，从球面上一点B作该平面的垂线BC，垂足是C，若AC＝4，BC＝3，则此球的半径是 ．
12．在120°的二面角内放一个半径为5的球，分别切两个半平面于点A、B，那么这两个切点A、B在球面上的最短距离是 ．
13．已知球内接正方体的表面积为S，则球体积等于 .
14．用底面半径2R的圆柱形铁罐做一种半径为R的球型产品的外包装，一听4个，铁罐的高度至少应为 ．
三、解答题：本大题满分76分．
15．（12分） 如果球、正方体与等边圆柱（底面直径与母线相等）的体积相等，求它们的表面积的大小关系．
16．（12分）A、B、C是半径为1的球面上三点，B、C间的球面距离为，点A与B、C两点间的球面距离均为，且球心为O，求：
①∠AOB，∠BOC的大小；
②球心到截面ABC的距离；
③球的内接正方体的表面积与球面积之比．
17．（12分）圆锥的内切半球的大圆在圆锥底面上，已知圆锥的全面积与半球的面积之比为18：5，如图，求圆锥的底面半径与母线长之比．
18．（12分）如图，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，
求这个球的表面积．
19．（14分）如图,半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为，求半球的表面积和体积．
20．（14分）设棱锥M－ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如图，△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．
参考答案（五）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C C B D D B B
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11． 12． 13． 14． 2R
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) 解：设球的半径为R、正方体的棱长为a , 等边圆柱的底面半径为r, 且它们的体积都为V,
则：, ．
, ．
16．(12分) 解：①∵球面距离（θ为劣弧所对圆心角）, 故易得∠AOB=，∠BOC=，∠AOC=
②∵OA=OB=OC=1 ∴AB=AC=，BC=1,∴S⊿OBC = ， S⊿ABC=
V0-ABC=·1=·d ∴ d=
③设球的内接正方体棱长为a则a=2 ∴a=, S正方体∶S球面=6·∶4Л=2∶Л
17．(12分) 解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，球半径为R，作圆锥的轴截面SAB，E、F为切点，
18．(12分) 解:设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距
离为d。在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,
∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′.
由正弦定理，得 =2r,∴r=a. 又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共线，球的半径R=。
又PO′===a，∴OO′=R － a=d=,(R－a)2
=R2 – (a)2，解得R=a,∴S球=4πR2=3πa2.
19．（14分）解:设球的半径为r,过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α，则α截半球面得半圆，α截正方体得一矩形，且矩形内接于半圆，如图所示，则矩形一边长为，另一边长为·=2，
∴r2=()2+()2=9，∴r=3，故S半球=2πr2+πr2=27π，
V半球=πr3=18π，
即半球的表面积为27π，体积为18π.
20．(14分) 解：如图，∵ AB⊥AD，AB⊥MA
∴ AB⊥平面MAD,设E、F分别为AD、BC的中点，
则EF∥AB ∴ EF⊥平面MAD, ∴ EF⊥ME
设球O是与平面MAD、平面ABCD、平面MBC都相切的球，
由对称性可设O为△MEF的内心，
则球O的半径r满足：r ＝
设AD＝EF＝a，∵ S△MAD＝1,∴ ME＝，MF＝
∴ r＝ EQ \F(2,a＋\F(2,a)＋) ≤ ＝－1,
且当a＝，即a＝时，上式等号成立
∴ 当AD＝ME＝时，与平面MAD、平面ABCD、平面MBC都相切的球的最大半径为－1．
再作OG⊥ME于G，过G作GH⊥MA于H，易证OG∥平面MAB
∴ G到平面MAB的距离就是球心O到平面MAB的距离,∵ △MGH∽△MAE，∴ ＝ ，
其中MG＝－(－1)＝1，AE＝，MA＝＝
∴ HG＝ ＝ , ∵ ＞－1
∴ 点O到平面MAB的距离大于球O的半径,同样，点O到平面MCD的距离大于球O的半径
∴ 球O在棱锥M－ABCD中，且不可能再大，因而所求的最大球的半径为－1．
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