法向量在立体几何中的应用[下学期]
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法向量在立体几何中的应用
为了和国际数学接轨，全日制普通高级中学教科书中增加了向量的内容，随着课程改革的进行，向量的应用将会更加广泛，这在2004年高考数学试题中得到了充分的体现。向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角，但在教学中，我们的应用还不够，特别是法向量的应用，教科书中只给了一个概念：如果非零向量 ，那么 叫做平面 的法向量，实质上，法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理变得思路清晰且规范。本文将介绍法向量在空间几何证明、计算中的应用。
（一）直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 ，则直线 和平面 所成的角 等于向量 所成的锐角（若所成的角为钝角，则为其补角）的余角，即 。
(2003全国（理）18题) 如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形, ，侧棱，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心。（Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点到平面的距离。
（Ⅰ）解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
设，则， ， ，
， ， ，
∴ , ，
∴ ， ，
由 得， ，
∴ ， ， ，设平面的法向量为 ，则 ， ，由， 得，
，令 得， ，
∴平面 的一个法向量为 ，
∴ 与的夹角的余弦值是 ，
∴ 与平面所成角为 。
当直线与平面平行时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向量与平面的法向量垂直，我们可利用这一特征来证明直线与平面平行。
（二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直，那么这条直线和这个平面平行。
（2004年高考湖南（理）19题）如图，在底面是菱形的四棱锥中， , ，，点在上，且 ，
（I）证明： ；
（II）求以为棱， 与为面的二面角的大小；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使？证明你的结论。
（Ⅲ）解：以为坐标原点，直线分别为轴、轴，过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别为， ，
∴ ， ，
设平面的法向量为，则由题意可知， ，
由 得，
∴ 令得， ，
∴平面的一个法向量为
设点是棱上的点，，则
，
由 得，
∴ ， ∴当是棱的中点时， 。
同样，当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向量与平面的法向量平行，我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直。
（三）设二面角的两个半平面和的法向量分别为，设二面角的大小为，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补，当二面角的锐角时， ；当二面角为钝角时， 。
我们再来看2004年高考湖南（理）19题：
（Ⅱ）解：由题意可知， , ,
∵ ∴ 为平面的一个法向量，
设平面的法向量为 ，则由题意可知， ,
由 得，
∴ 令 得， ，
∴平面的一个法向量为，
∴向量与夹角的余弦值是 ， ∴ ，
由题意可知，以为棱，与为面的二面角是锐角，
∴所求二面角的大小为 。
我们知道当两个平面的法向量互相垂直时，两个平面所成的二面角为直角，此时两个平面垂直，我们可用这一特征来证明两个平面垂直。
（四）设两个平面和的法向量分别为，若，则这两个平面垂直。
（1996年全国（文）23题）在正三棱柱中， ， 分别是上的点，且 ，求证：平面平面 。
证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则 ， ， ，， ，
∴ ， ，
设平面的法向量为 ，则由题意可知，，
由 得，
∴ 令得， ，
∴平面的一个法向量为 ，
由题意可知，平面的一个法向量为
∴ ∴平面平面
（五）设平面的法向量为，是平面外一点， 是平面内一点，则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值，即 。
我们再来看2003年全国（理）18题：
（Ⅱ）解：设 ，则 ， ， ， ，
∴ ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
由 ， 得，
，令 得， ，
∴平面的一个法向量为 ，而 ，
∴点 到平面的距离 。
我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离，故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离。
（六）设向量与两异面直线都垂直（我们也把向量称为两异面直线的法向量），分别为异面直线上的点，则两异面直线的距离等于法向量上的投影的绝对值，即。
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为了和国际数学接轨，全日制普通高级中学教科书中增加了向量的内容，随着课程改革的进行，向量的应用将会更加广泛，这在2004年高考数学试题中得到了充分的体现。向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角，但在教学中，我们的应用还不够，特别是法向量的应用，教科书中只给了一个概念：如果非零向量 ，那么 叫做平面 的法向量，实质上，法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理变得思路清晰且规范。本文将介绍法向量在空间几何证明、计算中的应用。
（一）直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 ，则直线 和平面 所成的角 等于向量 所成的锐角（若所成的角为钝角，则为其补角）的余角，即 。
(2003全国（理）18题) 如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形, ，侧棱，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心。（Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点到平面的距离。
（Ⅰ）解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
设，则， ， ，
， ， ，
∴ , ，
∴ ， ，
由 得， ，
∴ ， ， ，设平面的法向量为 ，则 ， ，由， 得，
，令 得， ，
∴平面 的一个法向量为 ，
∴ 与的夹角的余弦值是 ，
∴ 与平面所成角为 。
当直线与平面平行时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向量与平面的法向量垂直，我们可利用这一特征来证明直线与平面平行。
（二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直，那么这条直线和这个平面平行。
（2004年高考湖南（理）19题）如图，在底面是菱形的四棱锥中， , ，，点在上，且 ，
（I）证明： ；
（II）求以为棱， 与为面的二面角的大小；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使？证明你的结论。
（Ⅲ）解：以为坐标原点，直线分别为轴、轴，过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别为， ，
∴ ， ，
设平面的法向量为，则由题意可知， ，
由 得，
∴ 令得， ，
∴平面的一个法向量为
设点是棱上的点，，则
，
由 得，
∴ ， ∴当是棱的中点时， 。
同样，当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向量与平面的法向量平行，我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直。
（三）设二面角的两个半平面和的法向量分别为，设二面角的大小为，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补，当二面角的锐角时， ；当二面角为钝角时， 。
我们再来看2004年高考湖南（理）19题：
（Ⅱ）解：由题意可知， , ,
∵ ∴ 为平面的一个法向量，
设平面的法向量为 ，则由题意可知， ,
由 得，
∴ 令 得， ，
∴平面的一个法向量为，
∴向量与夹角的余弦值是 ， ∴ ，
由题意可知，以为棱，与为面的二面角是锐角，
∴所求二面角的大小为 。
我们知道当两个平面的法向量互相垂直时，两个平面所成的二面角为直角，此时两个平面垂直，我们可用这一特征来证明两个平面垂直。
（四）设两个平面和的法向量分别为，若，则这两个平面垂直。
（1996年全国（文）23题）在正三棱柱中， ， 分别是上的点，且 ，求证：平面平面 。
证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则 ， ， ，， ，
∴ ， ，
设平面的法向量为 ，则由题意可知，，
由 得，
∴ 令得， ，
∴平面的一个法向量为 ，
由题意可知，平面的一个法向量为
∴ ∴平面平面
（五）设平面的法向量为，是平面外一点， 是平面内一点，则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值，即 。
我们再来看2003年全国（理）18题：
（Ⅱ）解：设 ，则 ， ， ， ，
∴ ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
由 ， 得，
，令 得， ，
∴平面的一个法向量为 ，而 ，
∴点 到平面的距离 。
我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离，故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离。
（六）设向量与两异面直线都垂直（我们也把向量称为两异面直线的法向量），分别为异面直线上的点，则两异面直线的距离等于法向量上的投影的绝对值，即。
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