2006年辽宁数学高三专题－函数的对称性和周期性-人教版[整理].doc[下学期]

函数奇偶性、对称性与周期性
奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论
（一）函数图象本身的对称性（自身对称）
1、 的图象关于直线对称。
2、 的图象关于直线对称。
3、 的图象关于直线对称。
4、 的图象关于直线对称。
5、 的图象关于点对称。
6、 的图象关于点对称。
7、 的图象关于点对称。
8、 的图象关于点对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、函数与图象关于直线对称。
2、函数与图象关于直线对称
3、函数与图象关于直线对称
4、函数与图象关于直线对称
即直线对称
5、函数与图象关于X轴对称。
6、函数与图象关于Y轴对称。
7、函数与图象关于原点对称
（三）函数的周期性
1、 的周期为
2、 的周期为
3、 的周期为
4、 的周期为
5、 的周期为
6、 的周期为
7、 的周期为
8、 的周期为
9、 的周期为
10、有两条对称轴和（ 周期
11、有两个对称中心和 周期
12、有一条对称轴和一个对称中心 周期
13、奇函数满足 周期。
14、偶函数满足 周期。
二、例题讲授
例题1
（1）已知是定义在实数集R上奇函数，时，，求的解析式。
（2）已知满足，时，，求的解析式。
（3）已知奇函数满足，时，，求
（4）已知满足，时，，求的解析式。
例题2
（1）已知， 求
（2）已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程在上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根．
（3）已知，求的值
例题3
（１）设函数的定义域为R，若的图象关于对称，则函数满足
A、　　　　　　　B、
C、 D、
（２）函数与函数的图象关于关于__________对称
（３）函数和函数的图象关于关于__________对称
（４）设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。的图象关于__________对称。
（５）设函数的定义域为R，则下列命题中，①若是偶函数，则图象关于y轴对称；②若是偶函数，则图象关于直线对称；③若，则函数图象关于直线对称；④与图象关于直线对称，其中正确命题序号为_______。
例题５
2、 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0,]，都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)，且f(1)=a>0。
（1）求 f() 及f()
（2）证明f(x)是周期函数
（3）记an=f(2n+),求证：an=a
三、自我检测
1、如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么
A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)
3、 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是
A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5
4、 F(x)＝[1＋]f(x)，(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于0，则f(x)
A.是奇函数 B.是偶函数 C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数
5、 设f(x)是(－∞，∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1，f(x)＝x，则f(7.5)＝( )
A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5
6、 设f(x)是定义在（－∞，+∞）上的函数，对一切x∈R均有f(x)+f(x+3)=0，且
当－17、 定义在上的偶函数满足且当时,.求的单调区间
提示： ，
f()=f(n·)=f[+(n－1)·]=f()·f[(n－1)·