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【单元分层训练】 2022-2023学年八年级数学下册拔尖题精选精练
专题01 二次根式单元分层训练重难点突破
【基础知识梳理练】
【知识点1 二次根式的定义】
形如（）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数.
【知识点2 二次根式有意义的条件】
（1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：.
【知识点3 判断二次根式有意义的条件】
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是
非负数；
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【知识点4 二次根式的性质】
性质1：=（），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
性质2：==，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
【知识点5 二次根式的乘除法则】
①二次根式的乘法法则：；
②积的算术平方根：；
③二次根式的除法法则：；
④商的算术平方根：.
【知识点6 最简二次根式】
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【知识点7 分母有理化】
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母
组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个
二次根式的有理化因式不止一个．
【知识点8 同类二次根式】
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
①同类二次根式类似于整式中的同类项；
②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；
③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
【知识点9 二次根式的加减法则】
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
【教材要点分类练】
【知识点1 二次根式的概念】
【例1】（2023·全国·九年级专题练习）下列式子中二次根式有（ ）
①；②；③﹣；④；⑤；⑥；⑦；⑧．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据形如的式子叫做二次根式判断即可．
【详解】解：二次根式有：①；③﹣；⑤；⑥；⑦共5个，
无意义，不是二次根式；
的根指数为3，不是二次根式；
∵，
∴，
∴不是二次根式；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握形如的式子叫做二次根式是解题的关键．
【训练1-1】（2022春·全国·八年级专题练习）在式子中，二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义判断即可，形如的代数式叫做二次根式．
【详解】解：是二次根式，符合题意，
是三次根式，不合题意，
是二次根式，符合题意，
不是二次根式，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
【训练1-2】（2022春·全国·八年级专题练习）已知是整数，a是正整数，a的最小值是（ ）
A．0 B．3 C．6 D．24
【答案】C
【分析】因为是整数，且，则6a是完全平方数，满足条件的最小正整数a为6．
【详解】解：∵，且是整数，
∴是整数，即6a是完全平方数；
∴a的最小正整数值为6．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式，把24分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键．
【训练1-3】（2022春·全国·八年级专题练习）若是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．3 B．7 C．9 D．63
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质即整数的意义判断解答．
【详解】解：∵63=7×9，
∴，
∵是整数，
∴正整数n的最小值是7，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的性质，整数的定义，正确理解整数的定义是解题的关键．
【知识点2 二次根式有意义的条件】
【例2】（2022春·湖北鄂州·八年级统考期末）式子有意义，则实数 a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的性质、以及分母有意义的条件，得出a的取值范围．
【详解】解：∵有意义，
，且，
解得：且．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，分母有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
【训练2-1】（2022春·八年级课时练习）已知a满足＋＝a，则a－2 0182＝( )
A．0 B．1 C．2 018 D．2 019
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开数的非负性，求的a的范围，然后再化简绝对值，最后，依据二次根式的定义进行变形即可．
【详解】解：等式＝a成立，则a≥2019，
∴a-2018+=a，
∴=2018，
∴a-2019=20182，
∴a-20182=2019．
故选D．
【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，求得a的取值范围是解题的关键．
【训练2-2】（2023秋·江苏无锡·八年级阶段练习）若实数a，b满足+=3，﹣=3k，则k的取值范围是（ ）
A．﹣3≤k≤2 B．﹣3≤k≤3 C．﹣1≤k≤1 D．k≥﹣1
【答案】C
【详解】依据二次根式有意义的条件即可求得k的范围．
解：若实数a，b满足+=3，又有≥0，≥0，
故有0≤≤3 ①，0≤≤3，则
﹣3≤-≤0 ②
+②可得﹣3≤﹣≤3，又有﹣=3k，
即﹣3≤3k≤3，化简可得﹣1≤k≤1．
故选C．
点睛：本题主要考查了二次根式的意义和性质．解题的关键在于二次根式具有双非负性，即≥0（a≥0），利用其非负性即可得到0≤≤3，0≤≤3，并对0≤≤3变形得到﹣3≤-≤0，进而即可转化为关于k的不等式组，求出k的取值范围.
【训练2-3】（2023秋·全国·八年级专题练习）若z适合，求z的值．
【答案】3358
【分析】本题先根据二次根式有意义的条件，得出，再根据当两个非负数的和为零时，则这两个式子必然都等于零．
【详解】解：∵要有意义，
∴， ，
∴．，
∴．
∴．
∵≥0，≥0；
∴ ，
①-②得：x-2=0，则x=2，
把x=2代入 得：y=2012，
把x=2，y=2014代入①得：y=3358，
解得：．
∴z=3358．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解二元一次方程组，解答的关键是由二次根式有意义的条件求出x＋y＝2016．
【知识点3 利用二次根式的性质化简】
【例3】（2022春·四川资阳·九年级统考期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）
A．2 B．-2 C．2a-6 D．-2a+6
【答案】A
【分析】根据数轴即可确定a的范围，然后根据绝对值和二次根式的性质得出，，再化简即可．
【详解】解：根据数轴可以得到： ，
∴，，
∴
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，以及绝对值的性质，得出，是解题的关键．
【训练3-1】（2022·全国·八年级专题练习）已知，当x分别取，，，……，时，所对应的y值的总和是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将原式化为，再根据的取值情况去掉绝对值，再根据题意得出总和即可．
【详解】∵
∴
当时，
∴
当时，
∴
∴值的总和为：
，
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，数字变化类等知识点，能根据数据得出规律是解此题的关键．
【训练3-2】（2022春·广东梅州·八年级校考阶段练习）若，，则的值是（ ）
A． B．－2 C．±2 D．
【答案】A
【分析】利用完全平方公式的变形公式，即可算出的值，根据来判断与的大小，即可算出答案．
【详解】解：∵
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
即
故选：A．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的变形式以及二次根式的化简运算，解题的关键是熟悉完全平方公式与二次根式的化简时注意正负值．
【训练3-3】（2022春·四川雅安·八年级统考期末）已知：，，且，则的值为 _____．
【答案】2或8##8或2
【分析】直接利用绝对值的意义以及二次根式的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴当，时，；
当时，；
综上所述：或8．
故答案为：2或8．
【点睛】此题主要考查了二次根式的意义与化简以及绝对值，根据绝对值的意义及二次根式的性质正确得出a，b的值是解题关键．
【知识点4 同类二次根式的概念】
【例4】（2022秋·安徽合肥·八年级校考阶段练习）能够使与是同类最简二次根式的x值是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【答案】A
【分析】根据同类最简二次根式的定义求解即可
【详解】根据题意得：
，且，，
∵，
∴，
解得：或（舍），
∴，
故选：A
【点睛】本题考查了同类最简二次根式的定义，掌握同类最简二次根式的定义是解决问题的关键
【训练4-1】（2022春·河南新乡·九年级校考阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则_______
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义得，根指数相同，被开方数也相同，且都是最简二次根式都有意义，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，
，
由①得，或；
由②得，；
由③得，，．
综上所述，．
故答案为：6
【点睛】本题主要考查最简二次根式的性质，解题的关键的掌握二次根式的性质，最简二次根式的定义．
【训练4-2】（2022秋·甘肃武威·八年级校考期中）若最简二次根式和能合并，则＝__．
【答案】5
【分析】先根据二次根式和同类二次根式的定义得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴最简二次根式和是同类二次根式，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，正确得到是解题的关键．
【训练4-3】（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）若最简二次根式和可以合并，则______．
【答案】
【分析】由最简二次根式的定义，以及同类二次根式的定义，先求出a、b的值，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵最简二次根式和可以合并，
∴和是同类二次根式，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，以及同类二次根式的定义，解题的关键是熟记所学的定义，正确求出a、b的值．
【知识点5 二次根式的混合运算】
【例5】（2022·全国·八年级专题练习）计算：
【答案】
【分析】根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确进行计算．
【训练5-1】（2021春·广东佛山·八年级统考阶段练习）计算：．
【答案】0
【分析】根据平方差公式和完全平方公式以及二次根式的运算法则即可求解．
【详解】原式=
=．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握乘法公式以及二次根式的运算法则是关键．
【训练5-2】（2021春·陕西咸阳·八年级咸阳彩虹学校校考期中）计算：
【答案】
【分析】先根据二次根式性质化简，再利用二次根式乘除法计算，最后根据二次根式加减运算法则合并同类二次根式求解即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式乘法运算、二次根式除法运算、去括号法则及合并同类二次根式，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
【训练5-3】（2022秋·北京·七年级校考期中）计算：．
【答案】
【分析】根据算术平方根、立方根、去绝对值运算、二次根式混合运算分别计算即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数混合运算，涉及算术平方根、立方根、去绝对值运算、二次根式乘法运算、二次根式加减运算、有理数加减运算等知识，熟练掌握运算法则及相关定义是解决问题的关键．
【知识点6 二次根式的化简求值】
【例6】（2022春·上海·八年级校考阶段练习）已知非零实数a，b满足，求代数式的值．
【答案】3
【分析】利用因式分解将已知化为，得出，然后代入所求代数式即可得解．
【详解】解：非零实数a，b满足，
由题意可知，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、因式分解以及分式的性质是解答此题的关键．
【训练6-1】（2022春·河南鹤壁·八年级校考期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】根据完全平方差公式、多项式乘以多项式运算法则先运算，再根据整式加减运算法则，去括号、合并同类项即可得到化简结果，最后代值利用平方差公式求解即可得到结果．
【详解】解：
，
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查整式化简求值，涉及完全平方差公式、多项式乘以多项式、整式加减运算、去括号法则、合并同类项、平方差公式及二次根式运算，熟练掌握相关运算法则及公式是解决问题的关键．
【训练6-2】（2022春·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）先化简：，再求当，时的值．
【答案】原式，当，时，原式
【分析】根据二次根式的运算法则，将代数式进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则和运算顺序，以及运用平方差公式．
【训练6-3】（2022春·广东深圳·八年级校考期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简
(2)若，
①求的值；
②直接写出代数式的值___________．
【答案】(1)5
(2)①5，②0
【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值；
（2）①先把a分母有理化可得到，从而得到，再把式子进行整理，将代入计算即可求出值；②将式子整理成，再代入，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴
．
故答案为：0
【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，正确读懂例题，对二次根式进行化简是关键．
【知识点7 二次根式的应用】
【例7】（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形．
(1)在图1中，画一个正方形，使它的面积是10；
(2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，，；
(3)在图3中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数，并且构成的三角形是直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据网格利用勾股定理和正方形的面积即可在图1中，画一个边长为的正方形即可；
（2）在图2中，根据网格即可画一个，使它的三边长分别为：，，即可；
（3）在图3中，根据网格即可画一个，使它的三边长分别为：，，即可．
【详解】（1）解：如图1中的正方形即为所求；
图中正方形的边长，
它的面积；
（2）解：如图2中的即为所求，
，，；
（3）解：如图3中的即为所求，
的三边长分别为：，，，
∵，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了作图-作三角形，二次根式的应用，勾股定理，解决本题的关键是根据网格准确画图．
【训练7-1】（2022春·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）设一个三角形的三边分别为a，b，c，p=（a+b+c），则有下列面积公式：S=（海伦公式）；S=（秦九韶公式）．
(1)一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）先求出，再由海伦公式计算即可；
（2）先求出，，，再由秦九韶公式计算即可．
【详解】（1）∵一个三角形的三边长依次为3，5，6，
∴，
由海伦公式得：；
（2）∵，，，
∴，，，
由秦九韶公式得：．
【点睛】本题考查了二次根式的应用以及三角形面积公式；熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
【训练7-2】（2022春·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是，和，因为，所以这个三角形是常态三角形．
(1)若三边长分别是，和，则此三角形______常态三角形（填“是”或“不是”）；
(2)若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为______；
(3)如图，中，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长．
【答案】(1)是
(2)
(3)的长为或
【分析】（1）直接利用常态三角形的定义判断即可；
（2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案；
（3）分两种情况利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出的长，再根据勾股定理求得的长．
【详解】（1）解：，
此三角形是常态三角形，
故答案为：是；
（2）是常态三角形，
设两直角边长为，，斜边长为，
，，
，
，
设，，
则，
此三角形的三边长之比为，
故答案为：；
（3）是常态三角形，
，
，，
，
（负值已舍），
，
，
在中，由勾股定理得，．
当时，
∵，
∴，
在中根据勾股定理得：，
∴的长为或．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及新定义．正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键．
【训练7-3】（2022春·河南驻马店·九年级校考阶段练习）阅读理解：已知，求代数式的值．王红的做法是：根据得，，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知x=，求代数式的值．
【答案】(1)-6
(2)
【分析】（1）仿照阅读材料解答即可；
（2）把已知变形可得，代入即可求出答案．
【详解】（1），
，
，
，
；
（2），
，
，
变形整理得：，
．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能将已知式子适当变形．
【能力提升创新练】
1．（2022春·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）首先把除法转化为乘法，再根据乘法运算律，结合二次根式的乘法法则，计算即可；
（2）根据有理数的乘方、绝对值和去括号法则化简各式，然后合并即可；
（3）首先根据负整数指数幂的法则、二次根式的性质、绝对值的意义化简各式，然后利用平方差公式对分母有理化，再进行合并即可；
（4）根据平方差公式变形，然后再利用完全平方公式展开，再去括号计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、有理数的乘方、绝对值、完全平方公式、平方差公式，解本题的关键在熟练掌握二次根式的运算法则．
2．（2022春·四川资阳·九年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先进行化简得，再将代入进行计算即可得．
【详解】解：原式=
=
=
=
当时，原式=．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题的关键是掌握分式化简求值．
3．（2022春·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知最简二次根式和是同类二次根式，求的平方根．
【答案】
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义列出关于x、y的方程组，解方程组得出x、y的值，再求出的值，最后求出平方根即可．
【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴，
解得：，
∴，
∴的平方根是．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，平方根的定义，最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的定义，准确进行计算．
4．（2022春·吉林长春·八年级校考期末）用定义一种新运算：对于任意实数和，规定．
(1)求的值．
(2)_____________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新运算计算即可
（2）根据新运算先计算，然后将和计算的结果再次用新运算计算即可
【详解】（1）∵，
∴
（2）∵，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算和实数的混合运算，解决问题的关键就是根据新定义按照运算规则计算
5．（2022秋·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）完成下列计算：
(1)
(2)已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可；
（2）先根据算术平方根和立方根的定义求出m和n的值，进而求出A和B，然后求的平方根即可．
【详解】（1）
；
（2）由题可得：，
解得：，
∴，，
∴，
∴的平方根为．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解答本题的关键．
6．（2022春·河北承德·八年级统考期末）观察下列各式：
；；
，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
(1)猜想：＝ ＝ ；
(2)归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ；
(3)应用：计算．
【答案】(1)，
(2)
(3)1
【分析】（1）根据所给例子解答即可；
（2）根据所给例子用含n（n为正整数）的代数式表示即可；
（3）先将改写成，然后根据规律解答即可．
【详解】（1）猜想：；
故答案为：，；
（2）由所给例子可得，．
故答案为：；
（3）
＝
＝
＝1．
【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及二次根式的性质与化简，观察出规律是解答本题的关键．
7．（2022春·陕西榆林·八年级统考期中）阅读并回答下面问题：
计算：．
设，．
原式
．
因为，，
所以，．
原式．
(1)填空：①__________；
②__________．
(2)请仿照上面的方法计算：．
【答案】(1)①②16
(2)
【分析】（1）①运用平方差公式解答；②运用完全平方公式解答；
（2）设，，原式化为，运用完全平方公式展开，根据阅读材料说明的方法解答．
【详解】（1）①原式；
②原式
；
故答案为：①；②16
（2）设，，
原式，
，
，
因为，，
所以原式．
【点睛】本题主要考查了复杂二次根式的乘法与平方和的简化计算，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
8．（2022春·山东枣庄·八年级滕州市西岗镇西岗中学校考期末）下列是二次根式进行分母有理化的计算过程：
；
；
．
(1)请根据题目，化简；
(2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接分母有理化，进而得出答案；
（2）直接分母有理化，进而合并得出答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【单元分层训练】 2022-2023学年八年级数学下册拔尖题精选精练
专题01 二次根式单元分层训练重难点突破
【基础知识梳理练】
【知识点1 二次根式的定义】
形如（）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数.
【知识点2 二次根式有意义的条件】
（1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：.
【知识点3 判断二次根式有意义的条件】
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是
非负数；
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【知识点4 二次根式的性质】
性质1：=（），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
性质2：==，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
【知识点5 二次根式的乘除法则】
①二次根式的乘法法则：；
②积的算术平方根：；
③二次根式的除法法则：；
④商的算术平方根：.
【知识点6 最简二次根式】
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【知识点7 分母有理化】
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母
组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个
二次根式的有理化因式不止一个．
【知识点8 同类二次根式】
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
①同类二次根式类似于整式中的同类项；
②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；
③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
【知识点9 二次根式的加减法则】
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
【教材要点分类练】
【知识点1 二次根式的概念】
【例1】（2023·全国·九年级专题练习）下列式子中二次根式有（ ）
①；②；③﹣；④；⑤；⑥；⑦；⑧．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【训练1-1】（2022春·全国·八年级专题练习）在式子中，二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【训练1-2】（2022春·全国·八年级专题练习）已知是整数，a是正整数，a的最小值是（ ）
A．0 B．3 C．6 D．24
【训练1-3】（2022春·全国·八年级专题练习）若是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．3 B．7 C．9 D．63
【知识点2 二次根式有意义的条件】
【例2】（2022春·湖北鄂州·八年级统考期末）式子有意义，则实数 a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【训练2-1】（2022春·八年级课时练习）已知a满足＋＝a，则a－2 0182＝( )
A．0 B．1 C．2 018 D．2 019
【训练2-2】（2023秋·江苏无锡·八年级阶段练习）若实数a，b满足+=3，﹣=3k，则k的取值范围是（ ）
A．﹣3≤k≤2 B．﹣3≤k≤3 C．﹣1≤k≤1 D．k≥﹣1
【训练2-3】（2023秋·全国·八年级专题练习）若z适合，求z的值．
【知识点3 利用二次根式的性质化简】
【例3】（2022春·四川资阳·九年级统考期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）
A．2 B．-2 C．2a-6 D．-2a+6
【训练3-1】（2022·全国·八年级专题练习）已知，当x分别取，，，……，时，所对应的y值的总和是（ ）．
A． B． C． D．
【训练3-2】（2022春·广东梅州·八年级校考阶段练习）若，，则的值是（ ）
A． B．－2 C．±2 D．
【训练3-3】（2022春·四川雅安·八年级统考期末）已知：，，且，则的值为 _____．
【知识点4 同类二次根式的概念】
【例4】（2022秋·安徽合肥·八年级校考阶段练习）能够使与是同类最简二次根式的x值是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【训练4-1】（2022春·河南新乡·九年级校考阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则_______
【训练4-2】（2022秋·甘肃武威·八年级校考期中）若最简二次根式和能合并，则＝__．
【训练4-3】（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）若最简二次根式和可以合并，则______．
【知识点5 二次根式的混合运算】
【例5】（2022·全国·八年级专题练习）计算：
【训练5-1】（2021春·广东佛山·八年级统考阶段练习）计算：．
【训练5-2】（2021春·陕西咸阳·八年级咸阳彩虹学校校考期中）计算：
【训练5-3】（2022秋·北京·七年级校考期中）计算：．
【知识点6 二次根式的化简求值】
【例6】（2022春·上海·八年级校考阶段练习）已知非零实数a，b满足，求代数式的值．
【训练6-1】（2022春·河南鹤壁·八年级校考期中）先化简，再求值：，其中，．
【训练6-2】（2022春·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）先化简：，再求当，时的值．
【训练6-3】（2022春·广东深圳·八年级校考期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简
(2)若，
①求的值；
②直接写出代数式的值___________．
【知识点7 二次根式的应用】
【例7】（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形．
(1)在图1中，画一个正方形，使它的面积是10；
(2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，，；
(3)在图3中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数，并且构成的三角形是直角三角形．
【训练7-1】（2022春·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）设一个三角形的三边分别为a，b，c，p=（a+b+c），则有下列面积公式：S=（海伦公式）；S=（秦九韶公式）．
(1)一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积．
【训练7-2】（2022春·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是，和，因为，所以这个三角形是常态三角形．
(1)若三边长分别是，和，则此三角形______常态三角形（填“是”或“不是”）；
(2)若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为______；
(3)如图，中，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长．
【训练7-3】（2022春·河南驻马店·九年级校考阶段练习）阅读理解：已知，求代数式的值．王红的做法是：根据得，，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知x=，求代数式的值．
【能力提升创新练】
1．（2022春·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
2．（2022春·四川资阳·九年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
3．（2022春·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知最简二次根式和是同类二次根式，求的平方根．
4．（2022春·吉林长春·八年级校考期末）用定义一种新运算：对于任意实数和，规定．
(1)求的值．
(2)_____________．
5．（2022秋·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）完成下列计算：
(1)
(2)已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根．
6．（2022春·河北承德·八年级统考期末）观察下列各式：
；；
，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
(1)猜想：＝ ＝ ；
(2)归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ；
(3)应用：计算．
7．（2022春·陕西榆林·八年级统考期中）阅读并回答下面问题：
计算：．
设，．
原式
．
因为，，
所以，．
原式．
(1)填空：①__________；
②__________．
(2)请仿照上面的方法计算：．
8．（2022春·山东枣庄·八年级滕州市西岗镇西岗中学校考期末）下列是二次根式进行分母有理化的计算过程：
；
；
．
(1)请根据题目，化简；
(2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：．
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