相互独立事件同时发生的概率
主讲人:何华清
[目标] 让学生掌握相互独立事件的概念，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。
[重点]1、相互独立事件概念的理解；
2、相互独立事件概率乘法公式的应用；
[难点]1、互斥事件、相互独立事件的区分
2、运用相互独立事件概率乘法公式解决一些较为复杂的概率问题；
一、基本知识概要
1.相互独立事件：
两个相互独立事件A、B同时发生的概率公式：P（A·B）=
推广：如果事件A1，A2，…彼此独立，则P（A1·A2·…）=
2.事件的积：
二、特别注意
1.事件A与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：
P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)。
特别地，当事件A与B互斥时，P(AB)＝0，于是上式变为P(A+B)＝
特别地，当事件A与B相互独立时，
2.事件间的“互斥”与“相互独立”的不同
两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，
两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.
三、例题分析：
题型一：基本概念
从一副扑克牌（５２张）中任抽一张，设Ａ＝“抽得老Ｋ”，Ｂ＝“抽得红牌”，Ｃ＝“抽得Ｊ”，判断下列每对事件是否独立？是否互斥？是否对立？
（１）Ａ与Ｂ；（２）Ｂ与Ｃ；（３）Ｃ与Ａ
小结：
题型二：互相独立事件乘法概率公式的直接应用
例2：甲、乙、丙3人各进行一次射击，如果甲、乙2人击中目标的概率是0.8，丙击中目标的概率是0.6，计算：(1)3人都击中目标的概率； (2)至少有2人击中目标的概率；(3)其中恰有1人击中目标的概率；（4）目标被击中的概率。
小结：
变式训练1：已知诸葛亮独自解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大独自解出问题的概率为0.5,老二独自解出问题的概率为0.45,老三独自解出问题的概率为0.4，问三个臭皮匠中至少有一人解出问题的概率与诸葛亮一人解出问题的概率比较，谁大？
变式训练2：甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一零件，已知甲机床加工零件是一等品而乙机床加工零件不是一等品的概率为，乙机床加工零件是一等品而丙机床加工零件不是一等品的概率为，甲、丙机床加工零件都是一等品品的概率为。
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检测，求至少有一个一等品的概率。
题型三：概率知识的综合应用
例3、如下图，设每个电子元件能正常工作的概率均为p(0
变式训练：用A、B 、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B 、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作时且元件B 、C至少有一个正常工作时系统N2正常工作；已知元件A、B 、C正常工作的概率为0.80、0.90、0.90，分别求系统N1、N2正常工作的概率．
小结
思考：（05成都市二模）某种项目的射击比赛规则是：开始时在距离目标100米处射击，如果命中记3分，同时停止射击；若第一次射击未击中目标，可以进行第二次射击，但目标在150米处，这时命中记2分，同时停止射击；若第二次射击未击中目标，可以进行第三次射击，但目标在200米处，这时命中记1分，同时停止射击。若三次都未击中，则记0分，已知甲射手在距离目标100米处击中目标的概率为，他命中目标的概率与距离的平方成反比，且各次射击都是互相独立的。
（1）求射手甲在200米处命中目标的概率；
（2）设射手甲得K分的概率为PK，求P3，P2，P1， P0的值；
（3）求射手甲在三次射击中命中目标的概率。
四、课堂小结
1、应用公式时要注意前提条件,只有对 事件A,B来说,才能运用公式P（A·B）=P（A）·P（B）.
在解题过程中要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和互相独立事件的积,或其对立事件.
表格领会和记忆。
五、达标训练：
1、设每门高射炮命中飞机的概率为0.6，试求：
（1）两门高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机的概率；
（2）若今有一飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少99％的概率命中它？
2、某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张。甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张。（1）两人都抽到足球票的概率是多少？（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？
3、某种电子玩具按下按钮后，会出现红灯或绿灯，已知按钮第一次按下后，出现红灯或绿灯的概率都是，从按钮第二次按下后，若前次出现红灯，则下一次出现红灯、绿灯的概率分别是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯、绿灯的概率分别是；
第二次闭合后出现红灯的概率是多少？
三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率是多少？
课件23张PPT。相互独立事件同时发生的 概率涟源一中 何华清1、相互独立事件：一、基本知识概要：两个相互独立事件A、B同时发生的概率公式：
P（A·B）=推广：如果事件A1，A2，…，An互相独立，则2、事件的积：P（A）·P（B） A、B是两个事件，A与B同时发生的事件叫做事件的积，记作A·B。（此概念可推广到有限多个的情形）如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生
的概率没有影响，那么称事件A，B为相互独立事件。1.事件A与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率
可按下式计算：P(A+B)＝二、特别注意：特别地，当事件A与B互斥时，
P(AB)＝0，P(A+B)＝特别地，当事件A与B相互独立时， 2.事件间的“互斥”与“相互独立”的不同之处：P(A)+P(B)—P(AB)。 P(A)+P(B)不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件 .同一实验的两种不同结果对应的事件要点 本质概念对两种不同实验的两个不同结果所对应的事件两个事件不可能同时发生其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．两者比较三、例题分析：
题型一：基本概念
从一副扑克牌（５２张）中任抽一张，设Ａ＝“抽得老Ｋ”，
Ｂ＝“抽得红牌”，Ｃ＝“抽得Ｊ”，判断下列每对事件
是否独立？是否互斥？是否对立？
（１）Ａ与Ｂ；（２）Ｂ与Ｃ；（３）Ｃ与Ａ分析：Ａ与Ｂ有可能同时发生，故它们不是互斥事件，更加不是对立事件；抽得老Ｋ的概率抽得红牌的概率既抽得老Ｋ又抽得红牌的概率A、B是否独立，直接从定义难以理解，不妨用独立事件的概率乘法公式 来检验故Ａ与Ｂ相互独立．（２）Ｂ与Ｃ呢？（请学生回答）（３）Ｃ与Ａ呢？故Ａ与Ｃ不相互独立。小结：
1、判断A、B是否相互独立的办法有二：一则运用定义判断；二则通过计算检验是否符合独立事件的概率乘法公式。显而易见Ｃ与Ａ是互斥事件，但不是对立事件；
Ｃ与Ａ互相独立吗？2、互斥事件：
相互独立事件：对同一实验而言对两种不同实验而言根据相互独立事件的概率乘法公式得：
其概率为P1 = P(A·B·C)＝例２：甲、乙、丙3人各进行一次射击，如果甲、乙2人击中
目标的概率是0.8，丙击中目标的概率是0.6，计算： (1)3人都击中目标的概率； (2)至少有2人击中目标的概率； (3)其中恰有1人击中目标的概率； 题型二：互相独立事件乘法概率公式的直接应用（4）目标被击中的概率。解：记“甲、乙、丙各射击一次，击中目标”分别为事件A、B、C； A、B、C彼此独立，且P(A)=0.8;P(B)=0.8;P(C)＝0.6(1)三人都击中目标就是事件A·B·C发生，P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.8×0.6＝0.384(2)至少有2人击中目标包括两种情况：一种是３人都击中，
即 ；另一种是３人中恰有２人击中，有3种情形：而这3个事件又互斥，故所求的概率为：（4）目标被击中的概率可见分类较多，于是转换角度，从反面思考，目标被击中的对立事件是目标未被击中，即三人都未击中目标，它可表示为说明：(3)还可用逆向思考，先求出3人都未击中的概率是0.016，
得到(3)其中恰有1人击中目标的概率为1-0.832-0.016=０.152.小结之二：
求互相独立事件的和事件的概率时，由于它们一定不互斥，不能用互斥事件的概率加法公式，因此经常通过求对立事件的概率，这样把问题转化为求相互独立事件积的概率，其中常用的恒等式：当Ａ、Ｂ、Ｃ互相独立时当Ａ、Ｂ互相独立时小结之一：
把复杂事件转化为独立事件、互斥事件、对立事件的和、积来求概率是求复杂事件的概率的基本方法.
已知诸葛亮独自解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大独自解出问题的概率为0.5,老二独自解出问题的概率为0.45,老三独自解出问题的概率为0.4，问三个臭皮匠中至少有一人解出问题的概率与诸葛亮一人解出问题的概率比较，谁大？ 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为: 所以，合三个臭皮匠之力获胜的
可能性要大于诸葛亮!变式训练一:变式二:甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一零件，已知甲机床加工零件是一等品而乙机床加工零件不是一等品的概率为 ，乙机床加工零件是一等品而丙机床加工零件不是一等品的概率为 ，甲、丙机床加工零件都是一等品品的概率为 。
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检测，求至少有一个一等品的概率。解（１）设Ａ、Ｂ、Ｃ是甲、乙、丙三台机床各自加工同一零件
是一等品的事件。由题意有（２）记Ｄ为甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检测，
求至少有一个一等品的事件，则答：略．例3、如下图，设每个电子元件能正常工作的概率均为
p(0同理只有A3,与A4都通,下边的线才通．
记上边、下边的线通的事件为Ｍ，Ｎ∴ 甲电路正常工作的概率为题型三：概率知识的综合应用请你计算出： 乙电路能正常工作的概率为P2=[1－(1 － p) 2 ][1－ (1－ p)2］∴ P1－P2 =（2p2－ p4 ） －(4p2 －4p3+p4) = － 2p2+4p3－2p4 = － 2p2(1 －p) 2 <0∴ P1开始时在距离目标100米处射击，如果命中记3分，同时
停止射击；若第一次射击未击中目标，可以进行第二次
射击，但目标在150米处，这时命中记2分，同时停止射
击；若第二次射击未击中目标，可以进行第三次射击，
但目标在200米处，这时命中记1分，同时停止射击。若
三次都未击中，则记0分，已知甲射手在距离目标100米
处击中目标的概率为 ，他命中目标的概率与距离的平方
成反比，且各次射击都是互相独立的。
（1）求射手甲在200米处命中目标的概率；
（2）设射手甲得K分的概率为PＫ，
求P３，P２，P１，P０的值；
（3）求射手甲在三次射击中命中目标的概率。解（1）设射手甲在 处的命中目标的概率为 ，则思考还有没有其他方法？P(A)+P(B)P(A·B)=0P(A)·P(B)1－[P(A)+P(B)]P(A)+P(B)11－P(A)·P(B)四、课堂小结２、在解题过程中要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和互相独立事件的积,或其对立事件１、互斥事件：同一实验的两种不同结果对应的事件
独立事件：对两种不同实验的两个不同结果所对应的事件练习：某种电子玩具按下按钮后，会出现红灯或绿灯，已知按钮第一次按下后，出现红灯或绿灯的概率都是 ，从按钮第二次按下后，若前次出现红灯，则下一次出现红灯、绿灯的概率分别是 若前次出现绿灯，则下一次出现红灯、绿灯的概率分别是 ；
（１）第二次闭合后出现红灯的概率是多少？
（２）三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率是多少？解析（１）：
如果第一次出现红灯，接着出现红灯的概率是如果第一次出现绿灯，接着出现红灯的概率是第二次出现红灯的概率为（２）三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的共有下列三种方式：
三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率为①当出现绿、绿、红时的概率为
②当出现绿、红、绿时的概率为
③当出现红、绿、绿时的概率为谢谢指导！