2022-2023学年山东省菏泽市定陶区定陶区明德学校（山大附中实验学校）高二上学期期中数学试题（含解析）

2022-2023学年山东省菏泽市定陶区定陶区明德学校（山大附中实验学校）高二上学期期中数学试题
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2. 已知直线：与直线：垂直，则实数的值为．( )
A. B. C. D. 或
3. 直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
4. 设圆，圆，则它们公切线的条数是( )
A. B. C. D.
5. 椭圆上的点到直线的最短距离为( )
A. B. C. D.
6. 已知双曲线的焦点为、，其渐近线上横坐标为的点满足，则( )
A. B. C. D.
7. ，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点，若，且，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 关于曲线：，下列说法正确的是( )
A. 曲线围成图形的面积为
B. 曲线所表示的图形有且仅有条对称轴
C. 曲线所表示的图形是中心对称图形
D. 曲线是以为圆心，为半径的圆
10. 已知曲线的方程为，下列结论正确的是( )
A. 当时，曲线为圆
B. “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件
C. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
D. 存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为
11. 已知点在双曲线：上，，是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的有( )
A. 点到轴的距离为 B.
C. 为钝角三角形 D.
12. 如图，已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，，与抛物线的准线交于点，，则( )
A.
B.
C. 点到准线的距离为
D. 点为线段的中点
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 直线过定点 ，原点到直线的距离的最大值为 ．
14. 过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若线段中点的纵坐标为，则线段的长度为 ．
15. 已知、是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点不是顶点，过作的平分线的垂线，垂足为，是坐标原点若，则 ．
16. 在平面直角坐标系中，过轴上的点分别向圆和圆引切线，记切线长分别为、，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
双曲线的离心率，且过点．
求双曲线的标准方程；
求与双曲线有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程．
18. 本小题分
已知线段的端点，端点在圆上运动．
求直线被圆所截得的弦长；
点在线段上，且，求点的轨迹方程．
19. 本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求：
顶点的坐标；
直线的方程．
20. 本小题分
已知点坐标为，点，分别为椭圆的左右顶点，是等腰直角三角形，长轴长是短轴长的倍．
求椭圆的方程；
设过点的动直线与椭圆相交于，两点，当坐标原点位于以为直径的圆外时，求直线斜率的取值范围．
21. 本小题分
如图，已知动圆过点，且与圆内切于点，记动圆圆心的轨迹为．
求的方程；
过点的直线交于、两点，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
22. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于，两点．
若，求的值；
当时，直线是否过定点？若是过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
根据直线斜率即可得倾斜角．
【解答】
解：设直线的倾斜角为，
由已知得，
则直线的斜率，
由于，
．
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两直线垂直的性质，属于基础题．
由题意，利用两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于，计算求得的值．
【解答】
解：直线：与直线：垂直，
，
解得，
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线平行的坐标表示，是基础题．
首先求出直线的斜率为：，再利用平面向量共线平行的坐标表示即可得出答案．
【解答】
解：由题意可得：直线的斜率为，
所以直线的一个方向向量，或，
故选D．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆与圆的位置关系，考查了公切线，属于基础题．
求出圆与的圆心与半径，确定两圆的位置关系，根据两圆的位置关系即可求解．
【解答】
解：圆，圆心为，半径为；
圆化为标准方程，圆心为，半径为，
两圆的圆心距为，
，
两圆相交，
两个圆的公切线有条．
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系及两平行线间的距离，属于中档题．
设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立方程，求得的值，进而求得椭圆上的点到直线距离的最小值．
【解答】
解：设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，
联立方程，消去，
整理得，
所以，解得，
当时，两平行直线的距离为，
当时，两平行直线的距离为．
所以最小值为．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，向量的数量积与向量的垂直关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
根据题意求出的坐标，利用已知条件列出方程，化简求解即可．
【解答】
解：双曲线的焦点为，，
渐近线上横坐标为的点，
不妨取在第一象限，
可得
因为点满足，所以，
所以，
，
解得，将代入可得：，
解得．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆锥曲线中最值问题，考查椭圆的性质，属于中档题．
由椭圆定义得到，结合三角形三边关系得到，即可得到答案．
【解答】
解：椭圆，
则，，
且，
所以，
所以，
当且仅当，，在一条直线上，且位于，之间时等号成立，
由两点间距离公式得到，
所以的最小值为．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
可设，，由可得，运用双曲线的定义和勾股定理求得，再由勾股定理和离心率公式，计算可得所求值．
本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用直角三角形的勾股定理，属于中档题．
【解答】
解：可设，，
由可得，
由双曲线的定义可得，
，
由双曲线的定义可得，
在直角三角形中，可得，
即，
在直角三角形中，可得，
即为，即，
可得．
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查曲线与方程，属于中档题．
设是曲线上任意一点，曲线的方程为，根据、的范围进一步确定曲线方程，结合图形即可确定．
【解答】
解：设是曲线上任意一点，
由于曲线的方程为，
所以当，时，曲线的方程为，即
当，时，曲线的方程为，即
当，时，曲线的方程为，即
当，时，曲线的方程为，即，
故曲线的图形如图由图中实线部分及原点组成，
所以曲线关于轴对称、关于轴对称、关于原点对称故B错误，C正确．
由图可知，曲线所围成的图形是由一个边长为的正方形和四个全等的半圆组合而成的，
其中半圆的半径为，
故曲线所围成的图形的面积为，故A正确，D错误．
故选AC．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查曲线与方程的应用，椭圆以及双曲线的简单几何性质的应用，属于中档题．
通过的取值，判断曲线的形状，结合椭圆或双曲线的简单几何性质，求解即可．
【解答】
解：曲线的方程为，当时，曲线为，表示圆，所以A正确；
“”时“曲线为双曲线，即当时曲线不一定是焦点在轴上的椭圆”，反之，曲线为焦点在轴上的椭圆时，得，即一定成立，则“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要而不充分条件，所以不正确；
当时，曲线为双曲线：，其渐近线方程为，所以C正确；
存在实数使得曲线为双曲线，但是，所以其离心率不为，所以不正确．
故答案选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义及简单几何性质，同时考查余弦定理和三角形面积公式，属于一般题型．
由已知求出的坐标，然后逐一分析求解即可．
【解答】
解：由已知，，，
因为在双曲线上，、是双曲线的左、右焦点，的面积为，
所以，
所以，，
对于，点到轴的距离为，A错误
对于，由对称性，不妨设，因为，，
所以，即B正确
对于，由对称性，不妨设，由双曲线的定义有，结合，
解得，
所以在中，由余弦定理得，
所以为钝角，所以C正确
对于，由对称性，不妨设，
由判断过程知，，
则，
所以，所以，所以D错误．
故选BC．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，真假命题的判断方法，属于基础题．
设的坐标，由抛物线的性质可得的值，及直线的斜率可得及点的坐标，可得B正确，可得点的坐标，判断A正确，求出点的坐标，可得到准线的距离，判断不正确，并求出的中点坐标，可得D正确．
【解答】
解：由题意设直线的方程为，设，，，由抛物线的方程可得焦点，准线方程为，中，因为，由抛物线的性质可得，可得时，或时，舍，所以可得抛物线的方程为，，所以B正确；
中，这时直线的方程为：，令可得，即，所以，所以A正确；
联立，整理可得：，中，所以，可得，代入抛物线的方程可得，解得，即的坐标，所以的中点坐标为，即，所以的中点恰好为焦点，所以D正确；
中，由抛物线的性质可得点到准线的距离为：，所以不正确．
故选：．

13.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查直线过定点问题，点到直线的距离，属于基础题．
将化为可得直线所过定点；结合图形，可得原点到直线的距离的最大值．
【解答】
解：由可得，
由得故直线过定点．
如图，设定点为，当时，原点到直线的距离的最大．
理由：如图，设为过点的除外的一条直线，其到原点的距离为，
因为直角三角形，则，
故当时，原点到直线的距离最大，
此时最大距离为．
故答案为；．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义，抛物线中的弦长，属于基础题．
求出抛物线的焦点坐标，利用线段中点的纵坐标为，通过求解即可．
【解答】
解：抛物线的焦点为，
过抛物线焦点作直线交抛物线于、两点，
设，，
若线段中点的纵坐标为，可得．
则，
故答案为：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的标准方程，属于基础题．
不妨设点为双曲线的右支上一点不是顶点，延长、交于点，分析可知点为的中点，，利用中位线的几何性质以及双曲线的定义可得出、的等量关系，进而可求得的值．
【解答】
解：不妨设点为双曲线的右支上一点不是顶点，延长、交于点，如图．
平分，，
，，
，
，
为的中点．
为的中点，，
．
，
，
．
又，
．
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的切线长，直线与圆的位置关系中的最值问题，属于中档题．
设点，求出、的表达式，利用代数式的几何意义以及数形结合思想可求得的最小值．
【解答】
解：圆的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为．
设点，则过点向圆引的切线长为，
则的几何意义是点到点的距离，
同理可得，
则的几何意义是点到点的距离，
画图如图所示：
则，
当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，
故的最小值为．
故答案为．

17.【答案】解：离心率，则，
点在双曲线上，，
联立，解得，，
双曲线的标准方程为．
设所求双曲线的方程为，
所求双曲线经过点，则，即，
所求双曲线的方程为，其标准方程为．

【解析】本题考查双曲线的标准方程，双曲线的渐近线，属于基础题．
根据已知条件建立关于、的方程组可解；
巧设与已知双曲线同渐近线的双曲线方程为，代入点即可得解．
18.【答案】解：圆，圆心为，圆的半径为，
圆心到直线的距离为，
因此，直线被圆所截得的弦长为；
设点，，
由题意可得，即，即
点在圆上，，即，
化简可得，
故点的轨迹方程为．

【解析】本题考查直线与圆的位置关系、弦长，考查与圆有关的轨迹问题，属于中档题．
求出圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式可求得直线被圆所截得的弦长；
设点、，由题意可得出，利用平面向量的坐标运算可得出，将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程．
19.【答案】解：边上的高所在直线方程为，
，且，
．
的顶点，
直线的方程：，即．
联立方程 解得
顶点的坐标为．
所在直线方程为，
故设点的坐标为，
是的中点，，
．
在所在直线上，
，解得，
点坐标为，
由知点的坐标为，
故直线的方程为，即．

【解析】本题考查两直线垂直的应用，考查直线的点斜式方程，属于基础题．
先根据直线与直线垂直，斜率乘积为，得到，从而利用点斜式求出直线的方程，与所在直线联立求出点的坐标；
先设出点的坐标为，利用中点坐标公式表示出点坐标，再把点坐标代入所在直线，求出，从而求出点坐标，结合点的坐标，求出直线的方程．
20.【答案】解：由是等腰直角三角形，得，
由题意知，则，
故椭圆的方程为．
依题意得，直线的斜率存在，设直线的方程为．
联立消去并整理得
直线与椭圆有两个交点，即方程有两个不相等的实根，
故，解得．
设，，
由根与系数的关系得．
坐标原点位于以为直径的圆外，
，即，
即
，
解得，
综上可得，
则或．
则满足条件的斜率的取值范围是．

【解析】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题，属于基础题．
由等腰三角形得的值，再由已知关系得的值，从而得椭圆的标准方程；
设直线的方程为，代入椭圆方程，由判别式大于，得，设，，由根与系数的关系得，利用原点位于以为直径的圆外，即，代入，可得，从而得的取值范围．
21.【答案】解：圆的圆心，半径为，设圆的半径为，
由题意可得
，
则动点的轨迹是以、为焦点，以为长轴长的椭圆．
设椭圆的方程为，，
，，则，
故E的方程为．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设点、，
联立方程组得，
则，，
．
，
，
，
；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
联立方程组得，．
此时，，
．
综上，存在实数使得恒成立．

【解析】本题考查与椭圆有关的轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系及应用，属于较难题．
分析可知动点的轨迹是以、为焦点，以为长轴长的椭圆，求出、的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆的方程；
对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用弦长公式以及两点间的距离求出的值，即可得出结论．
22.【答案】解：由点坐标为，知直线的斜率为，，
由，得，且．
联立方程整理得，
则，即
设点，，
由根与系数的关系可得，，
，
结合，解得．
设，，
联立方程整理得，
由题意可得，，可得，
由根与系数的关系可得，，
若或中有一条直线垂直于轴，不妨设轴，则直线轴，
此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合题意，
所以直线，的斜率都存在且均不为零．
，
同理可得．
由，知，即，
，
即，
，可得，
直线的方程为，
因此，直线过定点．

【解析】本题考查抛物线中的弦长问题，抛物线中的定点问题，属于困难题．
分析可知，且，将直线的方程与抛物线的方程联立，根据根与系数的关系，结合弦长公式与判别式可求得的值；
设，，将直线的方程与抛物线的方程联立，根据根与系数的关系，结合，可得出、所满足的关系式，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标．
第1页，共1页