2021-2022学年河南省周口市商水县实验高级中学高一下学期开学考试（含解析）

2021-2022学年河南省周口市商水县实验高级中学高一下学期开学考试
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，则( )
A. B. C. D.
2. 设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
3. 函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是( )
A. B.
C. D.
5. 函数，，中，周期是且为奇函数的所有函数的序号是( )
A. B. C. D.
6. 函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7. 已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 设函数且方程有三个不相等的实根，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若，，则( )
A. B. C. D.
10. 已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11. 下列命题是真命题的是( )
A. 若幂函数的图象过点，则
B. ，
C. ，
D. 命题“， ”的否定是“， ”
12. 已知函数，则有( )
A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称
C. 函数是奇函数 D. 函数的最小正周期为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 求值： ．
14. 求值： ．
15. 已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 ．
16. 用表示，中的较小者，则的最大值是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知：，：其中为常数，且，
若为真，求的取值范围；
若是的必要不充分条件，求的取值范围．
18. 本小题分
已知，且 ．
求 的值；求的值．
19. 本小题分
若幂函数在其定义域上是增函数．
求的解析式；
若，求的取值范围．
20. 本小题分
已知函数．
求的周期和单调递增区间；
将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍纵坐标不变，再把所得图象上的所有点向上平移个单位，得到函数的图象，当时，求的值域．
21. 本小题分
已知函数是定义在上的函数．
用定义法证明函数在上单调递减；
若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
22. 本小题分
设函数的图象关于直线对称，其中．
求的最小正周期；
若函数的图象过点，求在上的值域．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了诱导公式，属于基础题．
利用诱导公式即可计算．
【解答】
解：由，
可得．
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
根据指数函数和对数函数的性质将、、与进行比较，即可求出．
【解答】
解：，
，
又，
．
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数零点的判定定理，是一道基础题．
根据函数零点的判定定理进行判断即可．
【解答】
解：易得函数是上的增函数，且函数连续，
，，
可得，
函数的其中一个零点所在的区间是．
故选A．

4.【答案】
【解析】
【分析】
根据图象先求出，周期，利用五点对应法求出，即可．
本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件求出，和的值是解决本题的关键，是基础题．
【解答】
解：由图象知，，即，
即，得，
则，
由五点对应法得，得，
即，
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的奇偶性，诱导公式及三角恒等变换，正余弦函数的性质，属于基础题．
三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题，对三个函数化简后分别讨论即可．
【解答】
解：对于，，周期为，且不是奇函数；
对于，周期为；故是奇函数，符合题意；
对于，同推导过程可知：周期是且为奇函数，符合题意．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的判断，属于基础题．
由函数的奇偶性和特殊值的验证即可判断．
【解答】
解：该函数的定义域为，关于原点对称，
，
则函数为奇函数，图象关于原点对称，排除项，
又因为当时，，排除，项．
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘法”与基本不等式的性质，属于基础题．
【解答】
解：由得，
，
当且仅当且时，等号成立．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数及函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的思想，属于中档题
画出的图象，然后条件可转化为函数的图象与的图象有三个交点．
【解答】
解：的图象如下：
方程有三个不相等的实根等价于函数的图象与的图象有三个交点，
所以，即．
故选B．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的性质，涉及到幂函数的单调性以及作差比较大小的应用，属于中档题．
选项A，根据已知范围易判断，选项BC，可转化为幂函数和对数函数的单调性判断大小，选项D，作差比较即可求解．
【解答】
解：选项A：由已知可得，而，所以，故A正确，
选项B：因为，幂函数是递减函数，而，所以，B错误，
选项C：因为，所以函数是单调递减函数，所以，
所以，故C错误，
选项D：因为，
因为，，所以，，
所以，故D正确，
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合间的运算和关系，属于基础题．
利用集合间的交、并、补集运算即可求解．
【解答】
解：由题意知，，
．
又，
，，，
故选AB．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了幂函数，指数函数与对数函数及其性质，全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定，考查学生的推理能力，属于中档题．
对于将点代入幂函数即可得的值；
对于利用平面直角坐标系上画出与即可得
对于在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象即可判断
对于根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得．
【解答】
解：对于：若幂函数过点，则解得，不正确；
对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示
由图可知，，故B正确；
对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示
由图可知，当时，，当时，，当时，，故C错误；
对于：根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知，命题“，”的否定是“，”，故D正确．
故选BD．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二倍角公式和正切型函数的性质，属于基础题．
化简可得，，然后根据正切函数的性质逐项判断即可．
【解答】
解：，
A.函数不是轴对称图形，故A错误；
B.函数的对称中心为，，
函数的图象关于点对称，故B正确；
C.，则函数是奇函数，故C正确；
D.函数的最小正周期为，故D正确
故选BCD．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了诱导公式，逆用两角和与差的正弦公式，属于基础题．
利用诱导公式，逆用两角和与差的正弦公式即可计算求解．
【解答】
解：因为，
．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数和指数的运算性质，属于基础题．
根据对数和指数的运算性质计算即可
【解答】
解：
．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性，解题关键在于指数函数与对数函数互为反函数，属于基础题，
根据时的图象与函数的图象关于对称可知，即可求出，，再根据奇偶性求出，，即可求解．
【解答】
解：当时，因为的图象与函数的图象关于对称，
可知，
即当时，，，
又因为为奇函数，
所以，，
故．
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的最值，充分理解定表示，中的较小者和函数的图象是解题的关键属于基础题．
作出和的图象，根据表示，中的较小者，可得的图象，即可求解最大值．
【解答】
解：作出和的图象，
根据表示，中的较小者，可得的图象，如图
结合图象，可得最大值为．
故答案为．

17.【答案】解：由，得或，即命题是真命题是的取值范围是，
由得，
若，则，
若，则，
若是的必要不充分条件，
则对应的集合是对应集合的真子集，
若，则满足，得，
即实数的取值范围是．
【解析】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出，的等价条件是解决本题的关键．
根据不等式的性质进行求解即可
根据充分条件和必要条件的定义转化为不等式关系即可．
18.【答案】解：因为，
所以，
因为，解得，或舍去．
故．
．
【解析】由，可得，进而解方程即可求得的值．
利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：由函数是幂函数，
所以，解得或；
当时，，在定义域上是增函数，满足题意；
当时，，在定义域上不是增函数，不满足题意；
所以，．
由知，在定义域上是增函数，
所以不等式等价于，
化简得，
解得：或，
所以的取值范围是．
【解析】根据幂函数的定义列方程求出的值，再判断的值是否满足题意；
由在定义域上是增函数，把不等式化为，求出解集即可．
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了一元二次不等式的解法与应用问题．
20.【答案】解：
，
故周期；
令，
得，
故的增区间为；
将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍纵坐标不变得，
再把所得图象上的所有点向上平移个单位得，
因为，所以，
．

【解析】本题考查了辅助角公式和三角函数的平移变换、周期、单调性及值域，属于中档题．
根据辅助角公式先得到函数的表达式，再求周期和单调增区间即可；
根据三角函数图象的变换公式得到，即可求解．
21.【答案】解：任取，
，
，，
即，，
故在上是减函数．
已知函数在其定义域内是减函数，且
当时，原不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立，即，
当时，，
．
【解析】本题考查函数的单调性的应用，函数的恒成立条件的转化，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
用定义法直接证明函数的单调性；
利用函数的单调性，化简不等式，通过二次函数的性质求实数的取值范围．
22.【答案】解：函数的图象关于直线对称，
，，
，，
，
，
，
故的最小正周期为；
由可得，
函数的图象过点，
，
解得，
，
，
，
，
，
故函数的值域为．
【解析】本题主要考查正弦函数的对称性、周期性、值域，属于中档题．
根据三角函数的对称轴求出的值，即可求出最小正周期；
根据函数的图象过点，即可求出的值，再根据正弦函数的图象和性质即可求出．
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