课件37张PPT。对高考数学命题的认识和
高三数学教学的思考湖南省教科院 黄仁寿 410005
Hrsh@3126.com反思——05年高考数学试题的“做后感”
感悟——06年数学命题的“新期望”
调研——高三数学教学的现状分析
建议——让高三数学教学更加和谐有序
反思——
05年高考数学试题的“做后感”1.立足基础,让考生有良好的第一感觉
2.提升坡度,为不同层面上的区分设置台阶
3.引入新概念,重视学习潜能的综合考查
4.关注教材新点,积极支持课程改革
5.数学应用题,走向和谐和自然 创新是高考数学命题的源头活水.
“立足基础”是创新活动的生长点.
. .. 1.立足基础,让考生有良好的第一感觉 这题目的答案几乎是显然的.高考命题中有一些这种低起点试题，特别将这类题置于试卷前面，可为不同层次考生找到良好的第一感觉.这种“门槛效应”有利于稳定考生情绪，实现考场的正常发挥.
… …. ….. 这些题目虽然十分基础,但命题形式生动活泼.例3须要认识数列的周期性规律,方能快速给出答案. 例4中“取值范围可以是”的设问使选择支的设定有了更大的自由度,突破了常规的命题立意,增大了对学生个性心理品质的考查. 例5作为文、理科的一道“姊妹题”，其实是“同源异构”的，考查功能也各有侧重，因而十分有趣.2.提升坡度,为不同层面上的区分设置台阶 “起点基础，坡度平缓，拾级登
高,有能力考查的至高点”应当成为
高考数学命题落实选拔功能的一项
基本要求.
(6) 从算法的角度分析,首先要根据“4位同学的总分为0”将得分情况分为三类考察，其次要对每一类的数目进行计算.
第一类：4位同学全部选甲题且二对二错；
第二类：4位同学全部选乙题同样二对二错；
第三类：4位同学两人选甲题且一对一错，另两人选乙题同样一对一错.
当然是有较大难度的.(7) 在新教材保留的传统内容中，如函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何等都是初等数学的主要知识内容，是高中数学知识体系的主干. 对这些主干知识的考查, “提升坡度,建立能力立意的高层次台阶”,应该是合情合理的． (8,9) 解题过程没有固定的模式可套，需要灵活运用反函数的概念和性质.我们认为此题对学生的能力要求也是很高的. 立意于数学与生产、生活的最自然的结合.问题结构步步登高.数学的合情推理、探究猜测、严谨论证贯穿于问题的分析与解答的全过程.是高水平考生展现数学能力的好题材.3.引入新概念,重视学习潜能的综合考查 命题中多处引进了中学数学教学中未曾见过的一些“新概念”.
这些新概念有着高等数学的背景. 10 ,11 例10和例11中的许多“名词”都是考生在高三迎考复习中难于见到的新概念.这种题海战术覆盖不到的“新概念题型”，对综合考查学生的学习潜能和创新能力，有着很好的效能.高考命题队伍中高校教师占有了较大的比例.这样的命题人员结构,又为高等数学的思想和方法,经过改造后进入高考数学试卷成为高考数学命题创新的一条重要途径.4.关注教材新点,积极支持课程改革 新一轮的高中数学课程改革已经启动.新的数学课程理念、新课程教材的内容和方法，必然对高考数学命题产生深远的影响.和“传统大纲本”教材比较，“试验修订本”的内容和方法向新课标要求靠近.
这些新增内容是新课程的活力和精髓，是近、现代数学在高中的有机渗透.2004年高考数学命题特别关注这些新增内容—理科和文科的六道解答题中分别有四道和五道与新增内容相关（选择题和填空题中也没少占份额）. 2005年的高考数学命题中继续保持了这一特色.理科的第4、6、11、13、17、18、19、21题都新增内容相关，其分值约占全卷的50%；文科的第9、12、18、19、20、21题都新增内容相关，其分值约占全卷的43%.
高考命题要有利于课程改革的稳步推进.高考数学命题对新增内容的重视是有其深刻背景的，新增内容也将是2006年命题关注不变的热点.5.数学应用题,走向和谐和自然 无论是数学课程改革还是高考命题改革,数学的应用意识都得到了高度的重视,—自上世纪九十年代中期至今, 数学应用题一直是高考数学试卷中最稳定的题型.立足数学内容(反对“去数学化”),建立和生产、生活的最和谐和自然的结合（有实践背景）是评价数学应用题的重要标准.12，13 例12不难解答(此处略),人工编造的痕迹也十分明显,但它却是实实在在的对“概率统计”的知识和方法的综合考查,问题情境是携载相关内容的一个精美的包装.
2005年湖南省高考数学理科第20题,即前面的例9,更是一道背景公平、不偏不怪、既有数学内涵又有实践背景的优美试题.问题本身也是一个描划“可再生资源”的开发和利用的重要数学模型.感悟—— 06年数学命题的“新期望” 2004年是全国共有十一个省第一次拥有了真正意义上的自主命题权。这些省当年的命题特点可概括“以继承为主要特色的发展创新”。
因为2004的谨慎尝试，为2005年的深化改革打下了很好的的基础。2005年的高考数命题的成功实践，预示着2006年高考数学命题有着更加稳健的发展。本人对此寄予很高的期望。1．增加基础的份额 统计表明，2005年高考数学的许多省的平均份不高，—和理想中的分值相距甚远，不尽湖湘学子之意(附表)。基础的份额的份额太少恐怕是造成这一局面的最主要原因。
基础题型是得分的重要平台。这个平台“宽敞”一些，平均分值自然就高了。宽敞的的基础平台加上在创新理念下筑起的能力“塔尖”，既不影响高级层面上的区分，为重点名牌大学输送合格新生，又有利于专科学校学生的合理选拔。
因此，我认为增大基础的份额或许是“保持区分度，提高平均分”的一条根本出路。 和“传统大纲本”教材比较，“试验修订本”的内容和方法向新课标要求靠近.这些新增内容是新课程的活力和精髓，是近、现代数学在高中的有机渗透.2005年高考数学命题特别“关注教材中新增内容的考查力度”.可以想见，2006年将继续保持这一特征。
平面向量属于工具性内容，在高考试卷中既使用选择题、填空题考查，也使用解答题考查。一般使用选择题、填空题考查平面向量的基本概念和基本运算，而使用解答题则与解析几何相结合，以体现平面向量的工具性．
2．关注教材新点
概率、统计的内容在新课程卷中几乎每年都考，并且使用三种题型．在一份试卷中往往是一道选择题、一道填空题和一道解答题．试题所涉及的知识内容几乎包括了必修内容的概率和选修内容的概率与统计中可以不使用计算器进行考查的全部内容．
极限与导数的内容是新增内容的又一个重点．命题中突出考查导数的几何意义及导数的应用，选择题、填空题和解答题都有可能出现．其中选择题、填空题以考查基本方法和基本应用为主，而解答题则重点体现导数的工具性，用导数的方法研究函数的单调性和最大小值，确定切线的方程等．
2．关注教材新点 3．难度的匹配要和谐 就单个题目而言， 2005年高考数学命题的确是优秀的。
但对其中某些试卷的整体印象，又似乎有一点“异样的感觉”。诸如试卷难度结构是否协调匹配？创新题是否优美自然，表述简洁？老实说来，这些方面的确差强人意。 10 此题是一道优美的创新题，是一道“考生在高三迎考复习中难于见到的新概念题型”，但就和整卷试题的匹配而言还是感觉到跨度太大了一点。如果将三角形特殊化为正三角形来研究，则既保持了创新的思路，又降低了难度，和其它题目组合得更加和谐了。
4．将创新进行到底 创新是高考数学命题的源头活水，但创新的思路要更开阔一些。“采天地之灵气，以济命题”，—立足于数学和生活的最自然的结合点，命题创新的空间十分广阔。创新是高考数学命题的不变的主题。高考数学命题从来就没有停顿改革的步伐，发展是主旋律。数学命题常考常新，走向成熟，趋向更高层次。
继2005年高考数学命题的成功实践，2006年的改革应当有更加走向稳健。调研—— 高三数学教学的现状分析1.学科的重要地位得到了广泛的认可
2.校本教研已深入高三数学教学实践
3. “投入与产出的时效比”有下降之势
4.解题训练已成为影响学生发展的双刃剑1.学科的重要地位得到了广泛的认可 任何一个国家,数学和本国语言都是学生的主课。数学是高考中分数的权重最大的科目之一，也是区分度最大的一科。因此，家长对学生数学成绩的提高寄予了很大的期待；学校为数学课程安排了更多的课时；老师为数学教学倾注了大量的心血；学生为学好数学付出了不懈的努力。
数学成绩对高考总分的影响力最大；数学学科最受学生重视；数学教师当校长的最多！
数学的学科地位得到了广泛的认可！
重视也有负面效应：无限制加课，“全员家教”，老师、学生不堪重负……，也应引起重视！2.校本教研已深入高三数学教学实践 校本教研是学校教育科研的主要形式，是教育教学质量的重要保障。指向高三数学教学的校本教研要重点关注如下方面：
第1，研究学生。学生的发展是教学的出发点和归宿；（见附件1）
第2，研究《考试大纲》。这是关于命题的指导性文件；（见附件2）
第3，研究上一年的全国各省、市高考命题和高三后期模拟试题；（见例14、例15、例9）
第4，研究教学。教学有法，而无定法；（见附件3）
第5,改造成题,推陈出新。（见例16、例17、例18、例19 ）
3. “投入与产出的时效比”有下降之势
高三学生的紧张程度堪称中国之最，在学习数学方面尤其消耗了更多的时间和精力。
高三学生有做不完的数学习题；考不完的模拟试卷；攻克不尽的数学疑难！
然而，“高付出”的条件下，学生的数学能力并不一定能得到很好的发展。“高考数学考哭优等生”的现象“年有发生”，而且这种“事件”发生的概率随着学生紧张程度的加剧而增大。近年来，学生数学学习表现出“投入与产出的时效比”有下降之势！
4.解题训练已成为影响学生发展的双刃剑 “高考数学命题能力立意”，“任何能力都要在训练中养成的发展”，数学能力也不例外！因此，解题训练已得到了高三数学教学的高度重视！
然而，解题训练也是“双刃剑”——并非所有的训练都能带来数学能力的高层次发展。相反，“低层次的大运动量的重复训练”往往扼杀学生的创造力，至使面对有创新背景高考新题束手无策。恐怕这就是不少高三学生“投入与产出的时效比”有下降之势的根本原因！
“选题随意化,题量扩大化,教法简单化,操作机械化”，这就是目前流行于高三数学教学“低层次的大运动量的重复训练”的表现形式。
建议——
让高三数学教学更加和谐有序1.构建和和谐有序高三数学课堂
2.倡导高三数学学习的求真务实
3.突破应考中的一个“老大难”
4.让应试技术成为能力的卓越表现1.构建和和谐有序高三数学课堂 目标明确，内容充实，精讲精练，点拨到位，融会贯通。这就是和谐有序的高三数学课堂的一个基本特征。
高三数学教学以适应高考数学要求为目标，因而对高考数学的主干知识、热点板块应重点教学，对高中数学的枝节内容特别是“新教材”已删去的内容（如三个或三个以上正数的平均值不等式），则应当淡化或不要涉及。
高考数学命题能力立意,任何能力教要在训练中养成和发展,数学学科能力也不例外。因此，高三数学迎考教学中，科学的训练是十分重要的一项工作。立足基础，选材经典，启导得法，指向高考，拾级登高，有能力发展的至高点，所有这些均要落实到高三训练的每一个环节。只有这样，方能使学生融会贯通高考数学的解题思想和方法。
2.倡导高三数学学习的求真务实 求真务实之风比争分夺秒重要，求真务实之风的学习品质包括：
严格的计划性；解题过程的调控能力；严谨而务实的学习态度；积极主动的总结反思工作；健康向上的积极心态；持久的注意力和不畏艰难的意志力。
“学习札记”和“纠错本”是值得借鉴的方式。3.突破应考中的一个“老大难” 会而不对，对而不全，这是应考中的一个老大难问题！高考数学中常见下列错误：
（1）数学概念模糊不清
（2）解题方法“对错了位
（3）思考游离于问题之外
（4）并非偶然的粗心大意
（5）可以避免的隐含失分
3.突破应考中的一个“老大难” 优化选题，严格训练，积极反思，是突破“老大难”问题的重要策略！
写“做后感”和做”纠错本“是十分有效的方式！
4.让应试技术成为能力的卓越表现 （1）高能一定高分
能力立意下的高考命题,低能者岂有高分;
以最少的时间投入争取高额的分数回报,也是一个能力问题;
高考高分=成熟的智能结构+良好的临堂发挥
高三后期,应考技术训练应成为学生能力发展的一个组成部分。
4.让应试技术成为能力的卓越表现 （2）高分策略参考
立足中下题目,争取高上水平：中下题占得分大头，做好中下题目，“高上水平”必成。
克服简单错误,解题一次成功：“小错=大错”—从得分角度来说，要注意克服“简单错误”。
坚持“一慢加一快”的解题策略：审题慢，解题快，总体上加快解题速度，提高命中率。
明确解题步骤，踩准得分点：高考评卷实行分步记分或踩点给分。步骤到位，结论明确，是数学能力的一种表现，更何况阅卷老师特定的任务、要求决定了只有解题“步骤到了位，踩准了得分点”方能得到理想的分数。
4.让应试技术成为能力的卓越表现 （3）应考操作指南
细心大方，以优秀考生的“角色心理”武装自已；坚持由易到难的解题程序；操作分步到位，踩准得分点；寻思“相关因素”，以最大限度“争取”分值。谢谢2006年高考数学应考策略
湖南省教科院 欧阳新龙
怎样在短暂的时间内搞好总复习，提高复习效率减轻师生负担，在高考中考出优异成绩，是每个老师和同学们所关心的问题，也是众多数学研究人员多年来一直探讨的问题。每到高考前的总复习大多是“一本资料治天下”，教师讲是“满堂灌”，学生练是“题海战”，每天都是不停地讲题、做题，搞得疲倦不堪，高考成绩与付出的汗水并不成正比。这是什么原因造成的呢？
通过多年的不断思考、探索和总结，我们认为：要适应高考，尤其是数学新课程高考，必须有一套切实可行的复习方案，讲究临场应试策略，掌握高考得高分的一些秘诀，方能出奇制胜，使学生顺利进入自己期望的高等学府。
关于2005年湖南高考数学试题
去年高考数学试题，有选择题10道，填空题5道，大题6道，共150分。客观题占46.7%，共70分。主观题65.33%，共80分。21道题知识点分布广泛，不到考试大纲知识点的75%，按易、中、难度分布，试题稍难。比例设为3:4:3。
1、去年高考数学试题具有以下特点：
（1）试题题型稳中有变，重点考查新增内容
2005年湖南的文、理科试题内容仍是学科基础知识为主，体现了源于教材又高于教材的特点，保持了“选择题平衡，填空题难度适中，解答题层次分明”的格局，试题结构注重人文关怀，让全体考生都有“跳一跳均可摘到桃子”的感觉，当然不同考生摘的桃子数量不同罢了。全卷没有偏题、怪题，没有脱离教学实际，不少题目考生可从不同知识点入手，多角度切入，解法多样。
试题更加关注高中数学课程改革的进展，融入课程改革的教育理念，关注新教材新增内容的热点，而且加大了考查力度，共中理科第6、9、11、13、18、21题共计46分，占30%；文科第9、12、19、20题，共计37分，占26%，与教材占课时的比例基本吻合，这也为高等数学的学习作了铺垫，使高考数学科的考查更加反映了数学教育改革的发展方向。
（2）立足基础，坚持对数学思想方法的考查
去年的数学试题立足数学主干知识，注重对思维能力和数学思想方法的考查。理科第10、15题重视了对逻辑思维能力、计算能力、分析问题和解决问题能力等核心数学能力的考查。理科第16题、18题考查了“函数方程思想”；理科第21题考查了“分类讨论思想”、“转化与化归思想”于关键处均可觅得，试卷注重在知识的交汇处设计，如理科第13、17、19、21题。
（3）试题循序渐进，凸现阶梯，变考试为展示
去年的数学试题在设计上独具匠心，多数大题都设立了具有梯度的几个不同，不同程度地从整体上降低了难度，让不同层次的考生都有展示的机会，使试题也体现了很好的区分度。如理科第15、17、18、19、20、21题，文科第15、16、18、19、20、21题。
（4）试题新颖别致，体现改革创新
去年的数学试题采取“一题两法”的设计方式考查立体几何内容。新课程的立体几何有（A）、（B）两种不同版本，这两种版本在湖南省都有学校采用。理科第17题、文科第18题是一个立体几何题，但分数不同。考生可根据自己的情况，选择自己熟悉的方法。但在阅卷中我们发现，用向量方法比较规范简捷，体现了新课程的数学理念与新课改的改革方向。
2、数学试卷中存在的问题：
（1）去年高考数学湖南卷，大部分试题都是由课本习题加工、拓展和演变而得，题型老化。如果试卷在研究性试题、开放性试题方面有新的突破，则更能体现创新要求。我认为改革创新的程度还可增强一点，从题型、设问、情境和思维量等方面还大有可挖掘的地方。
（2）去年的高考数学湖南卷应用题设计仍出现在概率题中，我认为不必要重复考，可换成其他背景的应用题或在创新题上下大功夫。
（3）去年的高考数学湖南卷理科第20题是设计得不成功的。一是题型过于老化，没有创新成分；二是解法单调，我们的评卷教师苦干了两天，查阅了考生的试卷，也只有一种解法。这不利于培养学生的探究能力和数学思维。
3、高考数学课题对中学数学教学的启示：
（1）课改新增内容与传统基础知识并重
中学教师应正确处理好课改新增知识与传统基础知识的关系，落实新课改要以扎实的基础为前提，不能一味追求新增内容，基本数学思想方法原理都要掌握。
①要把握新课改方向，深刻领会新教材的理念和精神，试题中考察新增内容，与大学接轨的知识的比重较大，而这部分内容正是教师生疏的部分，对于考察的方向，重点都无法充分把握，例如平面几何题中的法向量解法很多教师都理解不深。
②要注重基础知识与基本技能的培养。例如文科选择题10题以及立体几何题对学生的计算能力要求较高，在答卷中许多计算较简便的题也出现了计算错误，选择题、填空题难度不是很大也有很多学生做得不理想。
③要将新教材中的新内容、新方法教好的同时也要与传统的基本原理知识相结合。例如在空间向量的教学过程中很多教师都认为向量法只注重公式是死的，而事实上将其与传统几何相结合是能擦出美丽的火花的。另外概率题按理说应是得分较高的题，但由于许多同学对组合中的两个基本原理没理解透，无法应用排列、组合知识解决古典概率问题，造成了得分率较低。许多重要例题和习题反映相关数学理论的本质属性，蕴含着数学的重要的思维方法和思想精髓，对这类数学问题，应通过类比、延伸迁移，培养学生数学能力，发挥教材的扩张效应。
（2）注重数学思想数学方法的教学
①要注重数学知识的学习过程，对概念要深入理解，不能只记结论而忽略推导结论的数学思想和方法，例如得分率最低的理21题，很多学生对于求异仅仅只是记住了几个公式，用求导的方法来解决具体的问题就无从下手。
②要在教学中渗透数学思想和方法。例如理19、文21题是一道直线与圆锥曲线的位置关系的问题，中间揉合了向量，对称关系。在解题过程中需运用数形结合的思想和分类讨论的思想。
③要注重研究解题的方向和策略。学习数学的过程与数学解题紧密相关，而数学能力的提高在于解题的质量而非解题的数量，解题要重在研究解题时方向和策略，要善于从题目的条件和求解（或求证）过程中提取有用的信息，多层次多角度思考问题，选取最简便的路径，得到题目的最优解法。
（3）注重培养学生探究能力
选择题填空题的最低得分题，理10题、15题（2）均是创新题，学生面对不熟悉的题型，缺乏应变的能力，在平时教学中应注意培养学生的创新思维和探究精神。
①充分发挥变式教学的优势，通过一题多解或一解多变开发学生的创新思维，培养其思维的广阔性、灵活性。
②在教学过程中多注重问题情境的引入，帮助学生建立基本的数学模型。
③在教学中渗透数学的应用意识，充分激发学生学习数学的热情，培养学生对难题、新题的探究意识。
（4）强调学生书写规范，答题准确。
在阅卷过程中，很多教师都为一些学生的书写不规范而失分感到可惜。另外，在解答题的答题过程中，教师一定要强调学生解答既要简单又要准确，要紧扣关键步骤，当然也要思路清晰明了，在考卷中有大量的学生该写的部分没有写，不该写的却写上了很多，自己没得到应得的分。
备考时应讲究的策略
好成绩是通过平时的刻苦训练以及科学的学习方法换来的，企图通过碰运气而不努力学习是不现实的，真才实学才是考场制胜最重要的武器。在数学备考时，应注意以下几个方面。
1、重视课本，强化基础知识
纵观近几年的高考数学试题，我们不难发现，有相当数量的基本题是课本上的基本题目的直接引用或稍作变形而得的，即使是综合题也是基础知识的组合、加工和拓展，充分体现了教材的基础作用和示范性。教育部考试中心在2005年的数学试题评价报告中指出：“为了保持稳定，命题应更加注重开发教材，研究教材，挖掘知识的考查价值和功能，更充分地发挥教材的功能。使高考命题更有利于引导正确的教学方向，使广大教师和学生从繁重的复习资料中跳出来，支持课程教材的改革，全面推进素质教育。”这是一个非常重要的提示！
不少师生在高考总复习时把课本扔到了一边，每天抱着一本资料“埋头”做题、做题，还是做题，这是不妥的。
首先，课本不仅仅是内容上的统一，而且定义、定理、公式等叙述上的规范，符号上的使用也是统一的。无论资料上、参考书中怎样叙述，如何使用符号，但教材是根本依据。
其次，许多高考试题在教材中都有原型，即由教材中的例题、习题引申、变化而来，如2004年湖南高考卷中，理科第（2）题、文科第（4）就是将教材第二册（上）P114习题第8题的第（1）小题改变数字而来：
高考试题：如果双曲线上一点P到右焦点的距离等于，那么点P到右准线的距离是（ ）
（A） （B）13 （C）5 （D）
教材中题：如果双曲线上一点P到右焦点的距离等于8，那么点P到右准线的距离是（ ）
（A）10 （B） （C） （D）
由教材例题、习题加工改造而来的还有2004年理科的第（1）、（4）、（7）、（8）、（14）、（15）、（17）、（18）、（19）等，文科的第（1）、（2）、（5）、（7）、（8）、（9）、（14）、（15）、（18）、（19）题等。2005年理科的第（1）、（2）、（4）、（5）、（7）、（12）、（14），文科的第（1）、（2）、（3）、（4）、（8）、（11）、（13）题，由此可见脱离教材的复习是不可取的，我们应该以教材为根本，重视教材中的基础知识和基本方法，复习时将教材中的题目加以引申、拓宽、变化，做到举一反三，触类旁通，使学生打好基础。
因此，在高考数学复习过程中，要排除各种复习资料的干扰，充分发挥教材中知识形成过程和例题的典型作用，训练、练习也要以课本的习题为主要素材，深入浅出，举一反三地加以推敲、延伸和适当变形，一定要克服“眼高手低”的毛病，不好高骛远，即使在复习的后阶段进行综合训练时，也要不断联系基础知识，强化基本训练，做到基础知识和基本训练常抓不懈。基础知识和基本训练的复习，不只是简单的重复和记忆，重要的是深化知识，从本质上发现数学知识之间的内在联系，从而加以分类、整理、综合、构造，形成一个完整的知识结构系统。
2、看做结合，二者相得益彰
有两类人，一类人只做题目不看书，另一类人只看书不做题目。这是误区。科学的方法是应把两者结合起来，以课本知识为主，以练习为辅。变的是题目，不变的是基础知识、基本方法和基本技能，扎实的基础才是复习的要本。但这并不是说不再做题，因为应试能力是有惯性的，不要把考试的习惯中断。
对于正在紧张复习应考的学生来说，处理好分类练习和综合练习、专题练习和自选练习的关系还是有好处的。综合性的练习不宜太多，过多做模拟题，大拼盘式地上复习课，效果并不见得好，要针对自己的弱项进行单项练习，应该集中时间，各个击破。同时，老师指定的练习要做，要求学生也还要有选择地做些练习，特别是平时易错的部分要多练。这样才能在较短的时间内将自己调整到最佳状态。可以说，综合练习是诊断，专题练习是治病，自选练习是保健。
3、反思总结，提高练习质量
题目要做，但未必做得越多越好，尤其是后阶段的复习练习多，一定要把握练习的“度”。每次练习后要求学生都必须及时进行反思总结，反思总结解题过程的来龙去脉；反思总结此题和哪些题类似或有何联系；反思总结做错题的原因：是知识掌握不准确，还是解题方法不好，是审题不清还是计算错误，是隐含条件没有发现还是推理不合理等等。反思总结的过程是再思考再认识的过程，是不断完善认知结构，把感性认识上升到理性认识的过程，因此及时的反思总结，胜过做百道同类题。
4、加强研究，积极主动学习
高考题是不会和模拟题完全一样的，即使是模拟题中有很好的题目，值得采用，也要被大加改造，基本面貌发生变化。实际上，创设新的试题情景，转换题目的设问角度，使考生在新的情景中实现知识的迁移、创造性地解决问题，真正考查出考生的学习潜力是高考命题的一个指导思想。这对广大考生是公平、公正的，也是对死记硬背、单纯靠大量、重复做习题取胜的同学的一记耳光。对此，我们应该有足够的认识。
我们应该明白，这些新情景试题其本身并不复杂，只不过由于情景新颖让人看上去感到“困难”罢了，所以我们平时的复习要注意有意识地创设新的情景，比如，进行变式训练，多方位、多角度思考问题（改变题目的条件，会导出什么新结论；保留题目的条件，结论能否进一步加强；条件作类似变换，结论能否扩大到一般。像这样富有创造性的全方位思考，常常是我们发现新知、认识新知的突破口，也是克服“题海”战术、应对新情景试题的有效途径之一。例如，“三个和尚没水喝”，其条件是“三个和尚都很懒”。如果改变条件“三个和尚都尽职”，结论就可以变为“三个和尚可以建一座小水库了”。如果保留条件“三个和尚都很懒”可以加结论“三个和尚可能都会渴死”。条件作类似变换“一个人如果好吃懒做”，则结论可扩展到一般“这个人将一事无成”。当然，就这个例子，老师和学生还可以一同提出更有创造性的问题。）积极主动地学习，特别要加强自学能力的培养，因为自学时常能碰到新问题，进而积极地解决新问题，在这个学习过程中自然而然就提高了应对新问题的能力了；解题训练时也要选择一些自己感到陌生的题目，锻炼自己应对新情景问题的能力，其实后阶段各地模拟题有不少就是新情景试题。另外，还要注意联系实际，进行一些社会实践，多用数学的眼光看问题、处理问题。更重要的是在解决这些新问题的过程中可以不断地提高自己的聪明才智，提高自己的能力。
备考时须处理的关系
“高考数学会考些什么？”“考到什么难度？”要了解这些问题，最好的方法就是把近两三年的高考试卷找来，认真加以研究。与以往的高考不同的是，近两年数学高考命题不仅融入了课程改革的理念，而且题材广阔，形式多样，并由我们湖南省自行命题。形式有图表、估算、猜测、设计，内容涉及到社会领域的各个方面，有环保、农业、金融、住房、用电、旅游等，注意从不同角度考查学生的数学素养与能力，因此，高考数学总复习要处理好以下三个关系：
1、正确处理好课本与资料的关系
由于高考题中有许多常规题的类型源于课本，因此，第一轮复习时，我们以教材为本，结合资料，每复习完一章，我们可以精选教材上每章有代表性的例题和习题作为一套试卷，检查自己对教材重要例题、习题的掌握程度，然后根据实际情况进行必要的补充，做到有的放矢。
2、正确处理好课内与课外的关系
要真正减轻学生学习数学的负担，必须提高课堂40分钟的效率，切实做到“时间花在课堂上，功夫显在课堂外”，我们要求老师在课内，例题讲解前，留给学生思考时间，让师生都能显露出自己的思维过程，尽量做到一题多解，一题多用。事实已经证明，满堂灌，不仅老师讲得累而且学生不轻松，效果也差。在课外，我们要求学生除了正常每天布置的作业（学生一般在45分钟内完成）外，还要力求做好培优补差工作，每天布置一到两个较难的题目作为选做题给学有余力的学生。从高三第一学期开始，每星期安排一次课内辅导课（约60分钟），用于对数学复习情况进行检测。并要求学生制定数学学科的错题集。对作业、试卷要坚持人人做好，做到及时交卷、订正。把一系列措施落到实处，课内课外结合。
3、正确处理好高能与高分的关系
有些平时数学成绩优秀的学生在高考中不能考出满意的成绩来，因此，我们在应考时应处理好以下四个方面：
（1）审题与解题的关系。有的学生对审题重视不够，匆匆一看就急于下笔，以至题目的条件和要求都没有吃透。其实在解题过程中有可能会遇到三次审题：第一次是拿到题目对，耐心仔细地审题，把握条件的关键词，包括括号内一些不起眼的条件，从中获得尽可能多的信息，迅速找出解题方向；第二次是在解题受阻时，应再次审题，有没有漏看什么条件，想想有什么隐含条件，再去考虑解题策略；第三次是在解完题后，再次回顾题目，看看所得解答与题目要求是否吻合，是否合理。
（2）会做与得分的关系。正确的解题策略转化为得分点，主要靠准确完整的数学语言的表述。但这一点往往被一些考生所忽略，因此在卷面上常常出现“会而不对”、“对而不全”的现象，考完后自己的估分与实际得分差之甚远，原因常常在此。
（3）快与准的关系。既快又准当然最好，但是在当前高考数学试卷题量偏大、难度偏高的情况下，“准”字就显得尤为重要。因为只有“准”，才可以不必考虑再花时间检查。而“快”是平时训练的结果，不是考场上可以解决的问题。我们在高考阅卷中曾遇到这样的一个情况：一个应用题列出函数式求最值并不困难，但是不少考生一开始列式时就把二次函数的系数算错，后面尽管有正确的解题思路，又花了不少时间，也基本上得不到多少分。其实只要把速度稍稍慢下来，大多数学生都会得出正确结果。所以，适当地放慢一点，就会准一点，尤其是选择题、填空题的得分方式，不是全分就是0分，更应强调一个“准”字。
（4）难题与容易题的关系。拿到试卷后一般是按题目顺序作答，遇到“卡壳”题时，不要打“持久战”，先放一下，等后面能做的题做完后再回头考虑。在考试中要做到“看到容易题不放松，看到稍难题要做好，看到高难题不胆怯”，冷静解答，争取得分，发挥出最佳水平。
备考时应掌握的做法
高三数学复习面广量大，任务繁重，如何使自己变被动为主动，以达到事半功倍的效果，这是我们每个高三数学教师和同学们渴望和追求的目标。要达到这一目标，我们认为找准目标、提高效率是关键。现将我们综合几所中学的具体做法和肤浅体会介绍如下：
1．层次分明，任务明确
高三数学复习周期长、任务重，合理安排好复习时间至关重要。我们一般都把高三数学复习分为三个阶段：9月~来年2月底（俗称第一轮复习）；3月初~4月初（俗称第二轮复习）；4月初~5月底（俗称第三轮复习）。三个阶段的复习内容分为三个层次，每个阶段的任务各有侧重。
第一轮复习阶段，根据教学大纲，结合考试大纲，以课本为本，系统地整理、优化知识结构和思维结构，通过月考及周练的手段，使基础知识网络化，达到提高学生素质，并为高考打下坚实的基础。要求所练作业以小题和中档题为主。
学生通过第一轮复习，已有了一定的数学基础，因此第二轮的复习应以高考为目标，以单元块的纵向复习为主到综合性的横向发展为主。为此，我们可以选好一套第二轮复习资料，分专题进行复习。一是对数学方法和数学思想的系统介绍，主要是：配方法、换元法等，以及函数与方程思想、分类讨论思想、等价转换思想和数形结合思想等；二是根据《教学大纲》列出高中数学教材中的重点内容；三是根据《考试大纳》和近几年的高考试卷列出频率较高的热点问题。与此同时，还要掌握如何利用排除法、特例法、估算法、图象法、逆推验证法等方法准确、快速地解答选择题和填空题，并对自己提出较高要求：选择、填空题平均只能错2.5个之内，在这个阶段，除完成正常布置的作业外，每周完成一次以选择、填空题为主的课堂练习和一次综合练习，并做到师生互评，生生互评，迅速反馈。
如何使学生在高考中最大限度地发挥水平，这是我们在高考前最后阶段所要做的主要工作。而这一阶段如何复习很值得探讨，以往很有学校主要是搞几套外地试卷进行练习评讲，效果不太理想。为此，我们应加大力度，力争在前两轮的基础上有所升华。因此，我们可以自编或自拼模拟试卷8套，精练精思。精练力求做到精心选择题目，精心研究每题的训练能力和评分标准，做到以少胜多，不盲目地搞题海战术，影响自己宝贵的复习时间；精思则力求做到对共性问题分析透彻，对个别问题不能轻易放过，同时把握数学的考试技巧。总之，通过测试要能反映出问题，找出自己存在的差距，提高学生驾驭问题的能力，并逐步适应高考的氛围环境。
2、普遍撒网，重点捞鱼
老师指导学生复习，一般是一种全面的、普遍的复习。这是由于《考试大纲》所给出的内容均为必考内容，出于课时所限，老师总是指导学生一遍遍的全面复习，即便是讲一些专题，也是针对学生测试中出现的问题授课。因此，在平时，要做好以下两点：
（1）进行诊断性练习，找出问题早日补缺。
学校进行的测试，一般都是让学生做成套完整的模拟题，在这种测试中解错的题目很难说明出现的错误具有普遍性。我们只有将10套题中的选择题、10套题中的填空题、10套题中的解答题放在一起比较，才能诊断出学生是哪一类题容易做错，这就是诊断性练习。只有找出错误和不足，才能及时进行查漏补缺，使学生将问题解决在高考前。
（2）注意知识的交叉点和结合点
数学知识之间存在着纵向和横向的有机联系，这些联系的交叉点和结合点往往是高考命题的“热点”，同时也可能是平时学习中的“弱点”，例如，函数和不等式，函数与导数，函数与方程，函数与数列；又如，三角函数与数列、三角函数与立体几何；再如，平面向量与函数、平面向量与解析几何、平面向量与物理等等。我们在复习时要有意识地挑选一些此类试题，让学生逐渐积累解此类题的方法与经验。
3、把握特点，关注试题
（1）增加对个性品质的要求。
《考试大纳》中增加了对“个性品质”的考查要求，主要是指考生个体的情感态度和价值观。
（2）突出对主干知识的把握。
高考数学试题突出对高中数学重点内容和主干知识的考查。《考试大纲》对知识的要求由低到高分为三个层次，且高一级层次的要求包含低一级的要求。考生必须对每个层次的知识要求十分明了，还必须对每个知识点属于哪个层次的必须要清清楚楚，以增强最后阶段复习的针对性。
（3）以能力立意作为命题指导思想。
依据《考试大纳》，高考全面考查思维能力、运算能力、空间想像力、实践能力和创新意识，强调探究性、综合性和开放性，注重通性通法，淡化特殊技巧。为此，我们要注重提高解答数学问题的运算效率，要能够以图助算，通过识图和绘制草图，列出表格，将精算与估算有效地结合来提高解题速度。
（4）强化数学思想和数学方法。
《考试大纲》引导强化数学思想方法的复习，营造自主探究环境。数学思想和方法的考查分三个层面：首先具体方法的考查，如配方法、换元法、消去法、割补法、待定系数法、数学归纳法（理工类要求）；然后是一般的逻辑方法，如分析法、综合法、类比法、归纳法、演绎法、反证法等；最高层次是数学思想，如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转换与化归思想、运动与变换思想等。
（5）注重理性思维的考查。
《考试大纲》倡导理性思维，以甄别数学素养。要注意培养空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表达、运算推理、演绎证明和模式构建等能力，形成和发展理性思维能力。
如2003年理工类（21）题，这是一个存在性和惟一性的问题，以向量作为问题切入点的解析几何问题，从条件为定值启发学生联想到椭圆，在存在性的悬念中较深刻地考查了学生的理性思维能力，从平面向量的概念和计算入手，先求出点P坐标满足的方程，再判断是否存在两定点，使得点P到这两个定点距离的和为定值。
本题考查平面向量的概念和计算、求轨迹方法、椭圆的方程和性质、利用方程判定曲线性质、曲线与方程关系等，从中考查考生的理性思维和综合解题能力。
（6）突出考查实践能力，增加应用型和能力型的试题。
如2001年理工类（12）题：
如图，小圆圈表示网络的结点，
结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现在结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是（ ）
（A）26 （B）24 （C）20 （D）19
这道信息流的应用题时代感很强，并没有涉及具体的数学知识，而是考查考生的实践能力。
重视研究性、探索性和开放性问题，要注意对研究性学习课题、实习作业、数学实验的复习。
如2003年文史类（15）题：
在平面几何里，有勾股定理“设的两边互相垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则 。”
这是一个将勾股定理拓展到空间的探究式问题。考查学生的空间想象能力和探究能力，检查了研究性学习的开展情况和效果。这道题得分率很低。
设在平面前射影为，则为和垂心。延长交于，连，则有。
。
（基于此题为填空题，亦可设。把图形变成特殊图形进行求解。）
这样就较深入地考查了学生的探究能力。这种能力就是研究性学习的成果。
4、关注改革，重竖重点
对比新老两种数学课本的教学内容，不难看出简易逻辑、平面向量、线性规划、空间向量、简单几何体中的正多面体、概率与统计、极限、导数均为新内容，由2004年和2005年湖南卷不难看出，这部分内容已占有32%和30%的分值。因此，要重视此类题目的复习。
值得一提的是，从2004年和2005年高考试题中不难分析出，函数、不等式、平面向量、圆锥曲线、概率统计、直线、平面、简单几何体、数列极限和导数正在成为高考的新重点。复习中应将这些内容作为载体，将常见的数学解题通法（配方法、待定系数法、归纳法、换元法、代入法和特值法、数形结合法）和数学思想（数形结合、函数与方程、变换与转化等思想方法）融合贯通地应用于解题过程中，形成熟练的解题思路和规范的书面表达能力。
所以，一定要了解新课程、新高考的新重点，掌握科学的复习方法，在全面复习的基础上，抓住重点，有效提升自身的答题能力和得分能力。
临场解题应讲究的策略
考试成绩与临场发挥有很大的关系，水平相当的两个人可能由于临场状态不同造成分数相差巨大，因此，怎么样在高考时发挥出自身水平，是每个考生都应关注的问题，根据历年高考情况，我们总结出如下高考数学临场得分要领，供同学们参考。
1、坦然面对，相信自己能成功
考试的成败，不但与学习因素密切相关，而且在很大程度上受心理因素的影响和制约。学得好不一定考得好，要考好必须心理素质好。
进入考场，要很快进入角色，防止情绪涣散或者焦虑，尽快静下心来，平心静气地面对一切。因为高考是一项复杂而紧张的心智活动，它需要灵活的思维、积极的联想、畅通的记忆，考生要适度的紧张，又不能过分紧张，维持一种适当的唤醒水平，才能保证最大限度地发挥潜能，考出理想的成绩。
通览全卷，发现试卷较难时，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难。通过这种暗示，确保情绪稳定。
考试中，要克服满不在乎的自负心理，要抛弃“在此一举”的负重心理，要克服畏首畏尾的胆怯心理，总之，要有充足的自信心，相信自己能取得好的成绩。
2、按步就班，合理地分配时间
试卷发下来以后，首先按要求填涂好姓名、准考证号码等栏目，这时一定要小心细致，填涂号码要准确无误，避免填错耽误时间。完成以上工作以后，估计还未到考试时间，可先把试卷快速浏览一遍，对试题的内容、难易、要求有一个大概的了解，做到心中有数，考试开始的铃声一响，马上开始答题。
120分钟的时间里面争取得150分，这是一个效率的竞争，因此时间分配相当重要。大多数考生可用45分钟的时间完成选择题、填空题，用约60分钟时间完成解答题，然后检查有疑问的试题，最后尽力完成前面未能解答的试题。
3、循序渐进，控制好解题节奏
解题的顺序对考试成绩影响很大，试想考生如果先做最难的综合题，万一做不出，不但白白浪费了时间，还会对后面的考试产生不良的影响。
考试时最好按照以下的顺序：
（1）从前到后。高考数学试卷前易后难，前面选择题、填空题信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过。从前往后做，先把基本分拿到手，就能心里踏实，稳操胜券。
（2）先易后难。先做简单题，再做综合题，遇到难题时，一时不会做，做个记号，先跳过去，做完其他题再来解决它。但也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，影响情绪。
（3）先熟后生。先做那些题型结构熟悉、解题思路清晰的题目。这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中高档题目的目的。
（4）先点后面。近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气呵成，应该会一步做一步，前面问题的解决往往为后面问题准备了思维基础和解题条件。
4、根据特点，寻找不同的解法
高考数学试题类型有选择题、填空题、解答题三种，各种类型试题有各自解题的方法和规律。
（1）解选择题的方法：
直接求解法：从题目的条件出发，通过正确的运算或推理，直接求得结论，再与选择支对照来确定选择支。筛选排除法：在几个选择支中，排除不符合要求的，剩下符合要求的。运用此法时又常常用特殊化方法，就是取满足条件的特例（包括取特殊值、特殊点、以特殊图形代替一般图形等）得到结论，并将得出的结论与四个选项进行比较，若出现矛盾，则否定该选项。
例1 （2003年全国高考题）设函数 若的取值范围是（ ）
（A）（－1，1） （B）（－1，+∞）
（C）（－∞，－2）∪（0，+∞）
（D）（－∞，－1）∪（1，+∞）
解 （取特殊值排除法）取，则有，不满足题意，而排除（A）（B）（C），故选（D）。
点评 对于求变量的取值范围，往往运用特殊值法比较简捷。
例2 （2004年北京春季高考题）已知sin，则下列不等关系中必定成立的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
解 （取特殊值法）由诱导公式知在第二象限，取可排除（A）（C），再取，又排除（D），故选（B）。
点评 几乎每年高考都有一道关于三角不等关系的选择题，其入口很宽（如三角变换、函数线、图象法等），但取特殊角是简解此类题通法。
（2）解填空题的方法：
解填空题大多数情形用直接求解法，当有的填空题较难，答案是一个“定值”时，可以用特殊化方法分析特殊位置，特殊图形等来确定这个定值。特别是带有“多选”性的填空题，更要慎重把握，切忌因填空题无须书写规范过程而马虎对待。
例3 已知，则的最小值为 。
思路1 由于已知条件中的地位均等，则可以看作是对称的两个量，因此我们猜测当且仅当时，取得最小值。
解法一 令，则，所以。因为，所以。故猜想的最小值为，以下工作只是“补全手续”。
思路2 若将看作为一个整体变元，问题则变更为设法消去项，怎样消去项呢？
解法二 因为，所以，所以，得，或（舍去）。故当且仅当时，的最小值为。
思路3 “数离形难直观”，用图形
刻画，可以更加形象生动。
解法三 如右图，方程
表示双曲线的一支，设则，它表示一条斜率为-1的平行直线，所以问题变更为求直线与曲线有公共点时截距的最小值，故当且仅当直线过点时最小，最小值为。
（3）解解答题的方法：
高考解答题有单纯的知识叠加型试题与知识、方法和能力综合型试题两种，前一类试题难度较小，较好解决，后一类试题难度较大，我们重点研究它的解法。
综合题具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点。解综合题时要会转化，把普通语言转换成数学语言，把数量关系转化成数学关系式，把数（形）的问题转化成形（数）的问题来研究，力图在代数与几何的结合上找到解题思路。解综合题时要会联系、联想，联系相关知识、相似问题，联想类似问题的解题方法。要从题目中挖掘隐含条件、启发解题思路，准确地把握题目中的关键词与量，如“至少”，“”，自变量的取值范围等等，从中获取尽可能多的信息，迅速找到解题方向。解题困难时，可将问题具体化，如抽象函数用具有相同性质的具体函数作为代表来探索，参数用常数代替来研究等等，即把题目中所涉及的各种概念或概念之间的关系具体明确，利用特殊情形寻找解题的一般规律。也可将问题简单化，即把综合问题分解为与各相关知识相联系的简单问题，把复杂的形式转化为简单的形式。不太会做的题目要尽可能挖掘条件，写出能得的结论。
5、明确目标，掌握得高分秘诀
考试，对考生来说，就是努力实现得分取最大值，扣分取最小值。但从高考阅卷情况和考完后同学们的反映来看，不少考生本可以得分的题目却没有得到，出现这一现象的原因主要有：
（1）会做却丢分。要将解题策略转化为得分点，主要靠准确完整的数学语言表达，这一点往往被一些考生所忽视，因此，卷面上大量出现“会而不对”“对而不全”的情况，考生自己的估分与实际得分差之甚远。如立体几何论证中的“跳步”，使很多人丢失了1/3以上的得分，代数论证中的“以图代证”，尽管解题思路正确甚至很巧妙，但是由于不善把“图形语言”准确地转译为“文字语言”，得分少得可怜。只有重视解题过程中的语言表述，会做的题才能“得分”。
（2）忽视分类讨论或讨论不全，从而失去“半壁江山”。
（3）挖掘不出隐含条件，往往中途“卡壳”。
（4）由于粗心造成中间过程的“跑偏”，致使无法正确继续进行。实际上，评卷时将错就错的得分是很少的。
如2005年高考湖南卷理科第16题、文科第17题：
已知在中，求角A、B、C的大小。
全省平均分5.75分，零分率约为10%，满分率约为25%。本题作为解答题的第一题，起点不高，然而，从整体上说，学生做得不理想，考生主要错误有：
1、公式记忆不清，如等。
2、找不到隐含条件，或者找到了也不能正确使用。
3、A、B、C三个变量不能明确消去一个量，算来算去，总还是有三个量，得不出结果。
4、同名三角函数值相等，误以为其对应角也相待，或者不注意A、B、C为三角形内角，即为区间角，如：
得
5、写出解题目标不明确的式子，求不出角，胡乱猜一下，如：求出后，由或由错误地猜出C。
（5）有的考生草稿纸上已算对了，抄到试卷上去却又错了！这种低级的失误是很不应该的，建议学生草稿纸也要按顺序来用，以便题目做完以后进行检查。
这就要求考生在平时的学习过程中，应刻苦磨练本领，把作业题或模拟题当作高考题一样来训练。有的考生平时对解答题就害怕，考场上如何解得好？再如挖掘题目中的隐含条件，平时就应掌握挖掘的途径：从关键词中挖掘，从定义或性质中挖掘，从表达式（数学符号、方程或不等式等）中挖掘，从公式的使用中挖掘，从图形的特征中挖掘，从实际上生活中挖掘，等等。
6、步步为营，学会处理好难题
拿到试卷后，应将全卷通览一遍，一般来说应按先易后难、先简后繁的顺序作答。近年来考题的顺序并不完全是按照从易到难的顺序，况且有些问题可能对你来说较容易，对别人来说可能很困难，因此在答题时要合理安排时间，不要在某个卡住的题上打“持久战”，那样既浪费时间又拿不到分，会做的题又被耽误了。这几年，数学试题都设置了层次分明的“台阶”，入口宽，入手易，但是深入难，解到底难，因此看似容易的题也会有“咬手”的关卡，看似难做的题也有可得分之处。所以考试中看到“容易题”不可以掉以轻心，看到新面孔的“难题”不要胆怯，冷静思考、仔细分析，定能得到应有的分数。
7、学会舍弃，笑傲遇到的困难
一般来说，高考试卷设计了四个层次的题目：一是送分题，主要是基础性的试题，目的是淘汰那些极差的学生；二是中档题，主要是方法、技巧性的试题，要求能够进分数线的考生都能较好地完成；三是高档题，主要是思维、综合、创新、开放性的试题，是为了拉开进分数线的考生的距离，基本上是重点与非重点的区别；四是压轴题，是为了那些能够考上北大、清华等一流学校的考生准备的。对大部分考生而言，得满分是很难的，因此不会做的某个题或某个小题要注意放弃，否则，得不偿失。学会舍弃，这是一门艺术，是高效得分的保障，当然这个舍弃是符合自己实际情况的舍弃。
老师们，在心慌意乱的高考复习的后半段，能否心平气和、认认真真地过好每一分钟，是高考复习得失成败的分水岭。只有热情和愿望是不够的，还必须有信心和勇气，这也是《考试大纲》所要求的个性品质。其实，好多考生的“压力”都是自己给自己添加的，把考上大学定为终为终级奋斗目标是燕雀的小家子气做法，在当前这样的时代，面临高考还没有树立鸿鹄之志，已经是很落伍了，不读到研究生、博士、博士后，将来在社会上能立足吗？要使学生知道：从眼前看高考是很重要，但若放入整个求学道路中，乃至坎坷的一生中，不也就是一小步。遥想当年初中考上高中，也没有因过分的喜出望外而成了中举的范进，那么这一次也应一如既往坚守平平淡淡才是真这块阵地，如果是这样，你还会紧张兮兮吗？
请记住，“困难是我们的恩人，有了困难，才能拦住与淘汰掉一切不如我们的竞争者，而使我们得到胜利。”希望高三考生遇刚则强，以迫切的心情渴望遇到困难，成为高考中的强者，更要成为今后社会中的强者。
关于函数、三角函数的命题与复习
常德市一中 严定刚 詹长刚
一、关于函数的考查情况，请看下列两个函数解答题统计表
04年
类型
分布
分值
内容
全国（一）
第三题
12
导数单调区间
全国（二）
第六题
14
函数（导数）＋不等式
全国（三）
第三题
12
应用、最值
全国（四）
第二、六题
12/14
最值、导数＋数列
北京
第四题
14
函数性质、图象
天津
第五题
12
函数＋数列
上海
第三题
14
定义域、集合
辽宁
第四题
12
应用
江苏
第六题
14
函数＋不等式
浙江
第四题
12
切线、最值
福建
第五题
12
函数＋不等式
湖南
第四题
12
函数（导数）最值
广东
第五题
12
函数（导数）方程
重庆
第四题
12
导数（极值）＋不等式
05年
类型
分布
分值
内容
全国Ⅰ
第六题
12
函数＋导数＋归纳法
全国Ⅱ
第一题
12
函数＋不等式
全国Ⅲ
第六题
12
函数＋导数＋不等式
北京
第一、六题
13/14
函数（导数）函数＋不等式
上海
第五题
16
解析式、值线及探索性
天津
第四、六题
12/14
应用、导数＋不等式
重庆
第三题
13
函数＋导数＋分类讨论
浙江
第二题
14
函数＋不等式
福建
第三题
12
切线、性质
湖北
第一题
12
函数＋导数
湖南
第六题
14
函数（导数）
广东
第五题
14
函数性质、方程根
江苏
第四题
14
函数（导数）最值、方程
山东
第三题
12
函数（导数）
江西
第一题
12
函数＋不等式
辽宁
第六题
12
函数（导数）＋不等式
另外：小题（选择与填空）一般有1~3题，往往涉及到集合，反函数连续性，极限等基本知识。
从表中可以看出下列一些信息：
1、题量：大部分是一道解答题外加若干个小题，但有时也会出现两道大题，而分值从二十至三十多分不等。
2、考查内容：几乎所有的知识点都考过，如果说其他知识章节还有重点内容一说，函数却是全面开花，给人万紫千红处处春的感觉，这也体现了函数在整个知识体系中的主导地位。
3、关于难度：从表中可以看出，函数解答题的位置从第一到第六题应有尽有，这就从一个侧面可以看出，题目的难易程度变化之大，这也是其他知识块所没有的，一般来看，仅涉及函数自身内容如定义域、值域、单调性与奇偶性、图象、反函数等知识点的以低档难度居多，而中高档难度题多为与其他知识点的结合，如导数应用、不等式知识、参变量讨论、向量、方程根及数列与点列等。或思想方法的渗透。
需要提出的是湖南卷走的是高档题思路。
4、特点：命题虽然立足于课本，但不排斥或者说积极进行拓展，如由特殊的对称到一般对称到非三角函数的周期性，由最值到变量分离而确定参量的范围与恒成立问题，等与不等的转换与相互印证。尤其是重视导数工具参与多类型函数的综合题的解决。有一个现象值得注意：05年的函数题无一例外的没有采用应用题，而湖南卷连续两年都是导数的应用，且难度较高。
另一特点：注意创设新情景，在新的背景下的函数思想的考查受到重视，加大了探索题、开放题、信息题的考查力度对学生的多种能力包括阅读理解、表述、信息处理及新背景下的学习能力的考查。
二、关于三角函数的考查情况
关于解答题的情况见下表
04年
类型
分布
分值
内容
全国（一）
第一题
12
化简周期最值
全国（二）
第一题
12
三角形内三角函数
全国（三）
第一题
12
求值
全国（四）
第一题
12
求值
北京
第一题
13
解三角形
天津
第一题
12
求值
江苏
第一题
12
求值
浙江
第二题
12
三角形内三角函数
福建
第三题
12
三角函数+向量
湖北
第一题
12
求值
湖南
第六题
12
求值
广东
第五题
12
三角函数+数列
重庆
第四题
12
化简基本性质
05年
类型
分布
分值
内容
全国Ⅰ
第一题
12
图象性质+导数
全国Ⅱ
第三题
12
三角形+向量+数列
天津
第一题
12
三角形内求值
重庆
第一题
13
求值
浙江
第一题
14
求值
福建
第一题
12
求值
湖北
第二题
12
解三角形
湖南
第一题
12
三角形中变形求角
广东
第一题
12
化简、求周期
山东
第一题
12
向量+三角
江西
第二题
12
三角+向量+导数
辽宁
第二题
12
应用
注：有个别试卷没有单独成解答题
1、从表中可以看出，一般地，三角函数在试卷中基本上是一个大题加上一至二个小题，分值在十五至二十分左右，但有个别时候没有独立的解答题。
2、从表中可以看出：三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题，说明基本上以中低档难度为主，估计这一态式不会有大的改变。
3、特点：由于三角函数中和差化积与积化和差公式的淡出，考查主体亦发生了变化，特别是三角函数的图象性质和三角形内的三角函数函数成为了主角，另外与向量的有关知识与运算的联系也成了另一个趋势。
再有，与函数相比，三角函数试题更加注重立足于课本，注重考查基本知识、基本公式及学生的演绎推理能力，与思维的缜密性，对三角变换的要求有所降低。三角化简，同角与和、差、倍角知识，探求单调性、同期性、图象与最值为考查热点。
三、关于函数与三角函数（含导数）的教学与复习建议
首先，谈谈关于函数（含导数）方面。
由于前面所说的命题特点，函数复习最好做到：
1、面面俱到：无论是作为基本知识点的诸如定义域、值域、性质、图象（包括图象变换）、反函数、求导等内容的熟练掌握，还是拓展型的如表达式（包括待定系数法、变量替换法、赋值法等）、性质的综合运用、求最值的多种方法、单调性及单调区间、讨论参变量、方程根的分布与个数、函数背景下的不等式问题与数列问题，尤其是在导数参与下的高次函数、分式函数、混合复合函数、带参变量函数的讨论，同时具有指导意义的数形结合、分类讨论、函数思想、主参变量的互化替换等内容都要力争做到无一遗漏，一网打尽，尽量要做到多层次多角度的设问，最好不要太过分拘泥于考纲，对学生的思维训练要尽量达到较高水平与层次。
2、难度的掌握：由于受惯性思维的影响，我们平时考练时，一般都会将函数题特别是解答题的难度定得较高，这使得这一部分内容对很大一部分学生成了摆设，实际上，在平时的教学中应特别注意难度的准确定位，由于命题者的出发点不同，同时考虑整套试卷总体的难度把握，函数试题的区别是很大的，所以平时的训练应该难易均有所体现，不能一味追高。
几类应引起高度重视的题目类型：
①以函数解析式、定义域、值域、性质的基本证明方法、求基本函数解析式及基本运算能力为主的题目类型，其中要特别注意分段函数的处理，此类题难度一般不会太高。
②以函数极值、最值、单调区间为主线，加以考查学生导数的应用能力，参变量的讨论能力，此类题以中档题为多。
③函数的图象为主线，包括对称性、图象性质的代数化体现与处理、及数形结合能力。另外，多个函数的图象位置关系的判定与证明，有关切线问题，相交与交点个数问题等。此类题型很热门，一般以中高档题为主。
④以函数性质为主线，综合对称性、单调性、奇偶性、周期性等，着重考查思维推理能力。此类题还可能包括抽象函数的处理，是一类典型的立足基本、注意开拓型试题。
⑤以导数应用为主线，考查求导尤其是综合复合函数求导、分类讨论、及高层次思维能力，以及对高次函数、分式函数、多类型复合混合函数的处理方法与技功，一般以高档题为主。
⑥函数思想方法的考查，一般以函数背景下的不等式问题、数列尤其是递推数列问题、点列问题、方程根的分布与个数问题，强调函数知识与其他知识的沟通与联系，体现函数在整个知识结构中的“统治”地位，考查学生处理综合问题的高层次智力与思维能力，转化及化归能力。
⑦以函数知识为主干及依托，创造性的设立新背景、新定义、新运算、新信息，此类题力求摆脱“题海战术”以考查学生的学习能力及思维敏捷性，创新意识，此类题越来越受命题者青睐，而且对基本知识的要求不高，但对学生的智力与思维品质却是严峻考验，此类题的难易程度不好确定。
⑧将函数知识运用于实际问题，以期考查学生的建模水平解决实际问题的能力，但需要指出的是，由于概率统计加入知识体系。05年除了湖南省有一个例外（数列应用）之外，其他十几套试卷却不约而同的将解决应用题交给了概率统计，函数应用题是否会卷土重来，是一个很大的疑问。
总之，函数知识的复习要求多变、灵活、不拘一格，多考练各种类型，多种难度的创新题目，将学生的思维训练放在首要位置。
下面，谈谈三角函数的教学与复习
尽管三角函数也属于函数范畴，但毕竟有其独特性。
1、与函数讲究灵活变化拓展有所不同，三角函数的复习应尽量立足于课本，讲究基本公式、基本知识与技能的扎实，图象基本性质的应用，同时注意思维的严谨性。如角的范围讨论、函数值的正负确定等等。强调基本解题技巧，如角的变换，边角互化，通过分析已知与未知的区别来寻找解题突破口，升降次与辅助角的使用，重视隐含条件的挖掘。
2、三角函数的考练一般以低中档难度为主，不宜过分追求难度与技巧，对学生的思维品质要求也不提倡过高层次，解决基本类型题目是主要训练目标，同时兼顾与其他知识如向量、解几的综合。
3、几类热点类型：
①以基本性质、图象为主线，突出基本知识与重点内容的考查，主要涉及单调性（区间），奇偶性、周期、宏观把握函数图象等。主要方法是利用公式将函数化归为一种（函数）的一次式。
②化简，求值类问题的考查，主要涉及到角的变换，种类转换（化弦或化切）同角的函数值转换，分式的公因式提取与约去，特殊角的三角函数值，恒等变形以及熟练运用公式的能力。
③最值类问题，主要是单调性、有界性、倒数关系的应用，也要注意与其他类型函数（特别是二次函数）的复合及导数的参与，尤其要注意取最值的条件是否具备。
④三角形中的三角函数问题，主要涉及到用正、余弦定理完成边角互化，三内角关系与面积公式的适时使用，平几知识应用与数形结合。相对来说，这类问题的难度要稍高一些。
⑤以三角函数为主线，同时涉及到与其他知识的联系，如向量、数列、不等式、解析几何、导数等的沟通，突出三角函数的应用性、工具性。
⑥实际应用问题，考查学生将实际问题转化成数学问题的建模、对信息进行收集加工、分析整理与解决问题能力。此类题归根到底往往也就是解三角形问题。
总之，三角函数教学与复习讲究扎实，要注意帮助学生归纳常见类型与解题方法，同时树立解决此类问题的信心。
四、关于函数与三角函数命题的猜测
这是一个相当困难的工作，只能是明知不可为而为之。
首先看函数题，由于“惯性”的影响，今年的函数可能还是中高难度题为主，由于湖南省的05年卷函数题难度已经是“登峰选极”，对绝大多数考生来说成为放弃的首选目标，所以，难度可能比05年应有降低。否则，将会成为一般人可有可无的摆设。
其次，04年考到过导数求单调性及区间的最值，05年主要考查单调性图象与图象切线问题。如果从考虑避免雷同出发，那么函数+导数+不等式应成为较大热点，类似于05年全国卷（Ⅲ）、天津卷、辽宁卷等。如果考虑有向上海学习的因素，函数解析式及探索性也是一个热点，不过此类题的难度通常偏低，为加大区分度，可以使用抽象函数或函数方程。另一个出题的热点可考虑函数背景下的方程问题，数列或点列问题。还有一点考虑到湖南省的命题主要以高校教师为主导，所以割舍不下的导数情绪可能会继续发挥作用，注意湖南卷对应用题的偏爱，加之05年是数列应用，不宜再重复。所以，导数参与下的函数应用题也应为一个出题方向。
关于三角函数问题，难度应为中低档。由于04年是关于三角函数的化简与求值。05年是三角形中的三角函数问题。所以，我们觉得06年三角函数的基本性质与图象（包括化简）考查应该是第一热点。其次，靠近三角+向量类型题也极有可能。第三个考虑因素也应该是应用题，只是一般来说这类题目的难度不易降下来，比前二种类型的可能性要似乎小一些。
以上，只是个人观点，仅供参考，不当之处，请各位不吝赐教。
课件22张PPT。关于函数、
三角函数的命题与复习常德市一中 严定刚 詹长刚一、关于函数的考查情况(解答题) 1、题量：大部分是一道解答题外加若干个小题，
但有时也会出现两道大题，而分值从二十至三十
多分不等。2、考查内容：几乎所有的知识点都考过，如果
说其他知识章节还有重点内容一说，函数却是全
面开花，给人万紫千红处处春的感觉，这也体现
了函数在整个知识体系中的主导地位。另外：小题（选择与填空）一般有1~3题，往往涉及到集合，反函数连续性，极限等基本知识。3、关于难度：从表中可以看出，函数解答题的位置从第一到第六题应有尽有，这就从一个侧面可以看出，题目的难易程度变化之大，这也是其他知识块所没有的，一般来看，仅涉及函数自身内容如定义域、值域、单调性与奇偶性、图象、反函数等知识点的以低档难度居多，而中高档难度题多为与其他知识点的结合，如导数应用、不等式知识、参变量讨论、向量、方程根及数列与点列等。或思想方法的渗透。
需要提出的是湖南卷走的是高档题思路。 4、特点：命题虽然立足于课本，但不排斥或者说积极进行拓展，如由特殊的对称到一般对称到非三角函数的周期性，由最值到变量分离而确定参量的范围与恒成立问题，等与不等的转换与相互印证。尤其是重视导数工具参与多类型函数的综合题的解决。有一个现象值得注意：05年的函数题无一例外的没有采用应用题，而湖南卷连续两年都是导数的应用，且难度较高。 另一特点：注意创设新情景，在新的背景下的函数思想的考查受到重视，加大了探索题、开放题、信息题的考查力度对学生的多种能力包括阅读理解、表述、信息处理及新背景下的学习能力的考查。二、关于三角函数的考查情况(解答题) 1、从表中可以看出，一般地，三角函数在试卷中基本上是一个大题加上一至二个小题，分值在十五至二十分左右，但有个别时候没有独立的解答题。 2、从表中可以看出：三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题，说明基本上以中低档难度为主，估计这一态式不会有大的改变。3、特点：由于三角函数中和差化积与积化和差公式的淡出，考查主体亦发生了变化，特别是三角函数的图象性质和三角形内的三角函数函数成为了主角，另外与向量的有关知识与运算的联系也成了另一个趋势。再有，与函数相比，三角函数试题更加注重立足于课本，注重考查基本知识、基本公式及学生的演绎推理能力，与思维的缜密性，对三角变换的要求有所降低。三角化简，同角与和、差、倍角知识，探求单调性、同期性、图象与最值为考查热点。 三、关于函数与三角函数（含
导数）的教学与复习建议 函数（含导数）方面 1、面面俱到：无论是作为基本知识点的诸如定义域、值域、性质、图象（包括图象变换）、反函数、求导等内容的熟练掌握，还是拓展型的如表达式（包括待定系数法、变量替换法、赋值法等）、性质的综合运用、求最值的多种方法、单调性及单调区间、讨论参变量、方程根的分布与个数、函数背景下的不等式问题与数列问题，尤其是在导数参与下的高次函数、分式函数、混合复合函数、带参变量函数的讨论，同时具有指导意义的数形结合、分类讨论、函数思想、主参变量的互化替换等内容都要力争做到无一遗漏，一网打尽，尽量要做到多层次多角度的设问，最好不要太过分拘泥于考纲，对学生的思维训练要尽量达到较高水平与层次 2、难度的掌握：由于受惯性思维的影响，我们平时考练时，一般都会将函数题特别是解答题的难度定得较高，这使得这一部分内容对很大一部分学生成了摆设，实际上，在平时的教学中应特别注意难度的准确定位，由于命题者的出发点不同，同时考虑整套试卷总体的难度把握，函数试题的区别是很大的，所以平时的训练应该难易均有所体现，不能一味追高。几类应引起高度重视的题目类型：①以函数解析式、定义域、值域、性质的基本证明方法、求基本函数解析式及基本运算能力为主的题目类型，其中要特别注意分段函数的处理，此类题难度一般不会太高。②以函数极值、最值、单调区间为主线，加以考查学生导数的应用能力，参变量的讨论能力，此类题以中档题为多。③函数的图象为主线，包括对称性、图象性质的代数化体现与处理、及数形结合能力。另外，多个函数的图象位置关系的判定与证明，有关切线问题，相交与交点个数问题等。此类题型很热门，一般以中高档题为主。
④以函数性质为主线，综合对称性、单调性、奇偶性、周期性等，着重考查思维推理能力。此类题还可能包括抽象函数的处理，是一类典型的立足基本、注意开拓型试题。⑤以导数应用为主线，考查求导尤其是综合复合函数求导、分类讨论、及高层次思维能力，以及对高次函数、分式函数、多类型复合混合函数的处理方法与技功，一般以高档题为主。⑥函数思想方法的考查，一般以函数背景下的不等式问题、数列尤其是递推数列问题、点列问题、方程根的分布与个数问题，强调函数知识与其他知识的沟通与联系，体现函数在整个知识结构中的“统治”地位，考查学生处理综合问题的高层次智力与思维能力，转化及化归能力。
⑦以函数知识为主干及依托，创造性的设立新背景、新定义、新运算、新信息，此类题力求摆脱“题海战术”以考查学生的学习能力及思维敏捷性，创新意识，此类题越来越受命题者青睐，而且对基本知识的要求不高，但对学生的智力与思维品质却是严峻考验，此类题的难易程度不好确定。 ⑧将函数知识运用于实际问题，以期考查学生的建模水平解决实际问题的能力，但需要指出的是，由于概率统计加入知识体系。05年除了湖南省有一个例外（数列应用）之外，其他十几套试卷却不约而同的将解决应用题交给了概率统计，函数应用题是否会卷土重来，是一个很大的疑问。多变、灵活、不拘一格，多考练各种类型，多种难度的创新题目，将学生的思维训练放在首要位置 三角函数的教学与复习1、与函数讲究灵活变化拓展有所不同，三角函数的复习应尽量立足于课本，讲究基本公式、基本知识与技能的扎实，图象基本性质的应用，同时注意思维的严谨性。如角的范围讨论、函数值的正负确定等等。强调基本解题技巧，如角的变换，边角互化，通过分析已知与未知的区别来寻找解题突破口，升降次与辅助角的使用，重视隐含条件的挖掘。2、三角函数的考练一般以低中档难度为主，不宜过分追求难度与技巧，对学生的思维品质要求也不提倡过高层次，解决基本类型题目是主要训练目标，同时兼顾与其他知识如向量、解几的综合。 3、几类热点类型：①以基本性质、图象为主线，突出基本知识与重点内容的考查，主要涉及单调性（区间），奇偶性、周期、宏观把握函数图象等。主要方法是利用公式将函数化归为一种（函数）的一次式。②化简，求值类问题的考查，主要涉及到角的变换，种类转换（化弦或化切）同角的函数值转换，分式的公因式提取与约去，特殊角的三角函数值，恒等变形以及熟练运用公式的能力。③最值类问题，主要是单调性、有界性、倒数关系的应用，也要注意与其他类型函数（特别是二次函数）的复合及导数的参与，尤其要注意取最值的条件是否具备。 ④三角形中的三角函数问题，主要涉及到用正、余弦定理完成边角互化，三内角关系与面积公式的适时使用，平几知识应用与数形结合。相对来说，这类问题的难度要稍高一些。⑤以三角函数为主线，同时涉及到与其他知识的联系，如向量、数列、不等式、解析几何、导数等的沟通，突出三角函数的应用性、工具性。 ⑥实际应用问题，考查学生将实际问题转化成数学问题的建模、对信息进行收集加工、分析整理与解决问题能力。此类题归根到底往往也就是解三角形问题。讲究扎实，要注意帮助学生归纳常见类型与解题方法，同时树立解决此类问题的信心。 四、关于函数与三角函数命题的猜测首先看函数题，由于“惯性”的影响，今年的函数可能还是中高难度题为主，由于湖南省的05年卷函数题难度已经是“登峰选极”，对绝大多数考生来说成为放弃的首选目标，所以，难度可能比05年应有降低。否则，将会成为一般人可有可无的摆设。 其次，04年考到过导数求单调性及区间的最值，05年主要考查单调性图象与图象切线问题。如果从考虑避免雷同出发，那么函数+导数+不等式应成为较大热点，类似于05年全国卷（Ⅲ）、天津卷、辽宁卷等。如果考虑有向上海学习的因素，函数解析式及探索性也是一个热点，不过此类题的难度通常偏低，为加大区分度，可以使用抽象函数或函数方程。另一个出题的热点可考虑函数背景下的方程问题，数列或点列问题。还有一点考虑到湖南省的命题主要以高校教师为主导，所以割舍不下的导数情绪可能会继续发挥作用，注意湖南卷对应用题的偏爱，加之05年是数列应用，不宜再重复。所以，导数参与下的函数应用题也应为一个出题方向。关于三角函数问题，难度应为中低档。由于04年是关于三角函数的化简与求值。05年是三角形中的三角函数问题。所以，我们觉得06年三角函数的基本性质与图象（包括化简）考查应该是第一热点。其次，靠近三角+向量类型题也极有可能。第三个考虑因素也应该是应用题，只是一般来说这类题目的难度不易降下来，比前二种类型的可能性要似乎小一些。 个人观点 欢迎大家批评指正 谢谢！平面向量和解析几何专题复习探讨
湘潭凤凰中学 徐建光
平面向量是高中数学新增内容，它具有代数形式和几何形式的双重身份，能融数形于一体，能与中学数学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点。
解析几何是高中数学的重点内容，也是高考中的重头戏，而平面向量与解析几何交汇命题是近两年来新高考的一个亮点。
一、近两年全国和各省、市高考试卷中的平面向量和解析几何交汇试题考查统计
卷别
2004年
湖南卷
全国卷（Ⅰ）
全国卷（Ⅱ）
天津卷
辽宁卷
江苏卷
题次
分值
理（21）文（22）
12分/14分
理（21）文（22）
12分/14分
理（21）文（22）
12分/14分
理（21）文（22）
14分
理（19）
12分
理（21）
14分
考点
直线与抛物线，圆
已知：抛物线方程，点关于点对称，定比分点
证明：向量垂直
求：圆的方程。
直线和双曲线
已知：双曲线方程，直线方程，向量共线
求：离心率e的范围及双曲线方程。
直线和抛物线
已知：抛物线方程，直线的斜率，向量共线
求：向量的夹角，直线在y轴上截距的范围。
直线和椭圆
已知：椭圆的几何性质，向量垂直，共线
求：椭圆方程，直线方程，证明向量共线。
直线和椭圆
已知：椭圆方程，向量的坐标表示
求：动点的轨迹方程，距离的最值。
直线和椭圆
已知：椭圆的几何性质，向量的数量积.
求：椭圆方程，直线的斜率。
卷别
2005年
湖南卷
全国卷（Ⅰ）
全国卷（Ⅱ）
福建卷
重庆卷
题次
分值
理（19）文（21）
14分
理（21）文（22）
12分/14分
理（21）文（22）
12分/14分
理（21）文（22）
12分/14分
理（21）文（22）
12分
考点
直线和椭圆
已知：椭圆的几何性质，点关于直线对称，向量共线
证明：恒等式，求椭圆方程，求参数的取值范围.
直线和椭圆
已知：椭圆几何性质，直线斜率,向量共线
求：椭圆离心率，证明定值。
直线和椭圆
已知：椭圆方程，向量共线，向量垂直
求：四边形面积的最值。
直线和椭圆
已知：直线的方向向量，椭圆方程，向量的数量积，点关于直线对称
求：椭圆方程，直线方程。
直线与椭圆与双曲线
已知：椭圆方程，双曲线的几何性质，向量的坐标运算
求：双曲线方程，直线的斜率K的范围。
卷别
天津卷
辽宁卷
全国卷（Ⅱ）
江西卷
上海卷
理（21）文（22）
12分/24分
理（19）文（19）
14分
理（9）文（14）
9分
理（16）
4分
理（3）文（4）
6分/4分
考点
直线和抛物线
已知：抛物线，直线的斜率，向量共线
求：抛物线方程，求参数的取值范围。
直线和椭圆
已知：椭圆方程，向量垂直
证明：恒等式，求动点轨迹方程，角的正切值。
双曲线的标准方程，向量垂直。
圆锥曲线的定义，动点的轨迹，向量的长度，中点坐标公式。
向量的数量积，求轨迹方程。
二、考点分析
1、以平面向量为背景的解析几何命题趋势逐渐显现。
回顾近几年来平面向量与解析几何交汇命题可以说经历了三个阶段：2002年天津（21）题只是数学符号上的混合，2003年新课程卷（20）题用平面向量的语言描述解析几何中元素的关系，可谓是知识点层面上的整合。2004年有6份试卷，2005年有10份试卷涉及平面向量与圆锥曲线交汇综合，考查层面上升到应用层面，考查的综合程度、难度逐年加大。
2、试题设计理念——突出知识的交汇和融合。
基于高考数学重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，平面向量与解析几何融合交汇的试题便应运而生，试题以解析几何为载体，以探讨直线和圆锥曲线的位置关系为切入点，以向量为工具，着重考查解析几何中的基本的数学思想方法和综合解题能力。近两年，这类试题情境新颖，结合点的选取恰到好处，命题手法日趋成熟。
如（2003年新课程高考题）已知常数a＞0，向量 =（0，a）, =(1,0), 经过原点O以+λ为方向向量的直线与经过定点A（0，a），以-2λ 为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值，若存在，求出E、F的坐标，若不存在说明理由。
本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判断曲线的性质。曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及综合解题能力，本题在2002年高考平面向量试题的基础上又有新的突破和发展，它不再仅仅局限于平面向量的基本计算，它更需要对平面向量知识的深入理解和运用，是一道融合平面向量与解析几何的好题。
又如：湖南理（19）文（21）如图，过抛物线x2＝4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0），作直线与抛物线交于A、B两点，点P是点Q关于原点的对称点。
①设P分的比为λ，证明： ⊥（-λ ）。
②设直线AB的方程是x－2y＋12＝0，过A、B两点的圆与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。
本题尽管第（1）（2）问没有任何联系，且排列顺序值得商榷，但此题将直线和圆、抛物线、向量、线段定比分点等许多内容结合得天衣无缝，方程思想、函数思想、化归思想和数形结合思想贯穿于问题分析和解答的全过程，不失为一道综合考查学生理性思维的优美试题。
3、试题考查方向、题型及难度。
由上述统计表便知，近两年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为：
（1）考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积及学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。
（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。
（3）试题主要涉及：轨迹问题，范围问题、最值定值问题、证明问题、对称问题，试题有时也会是开放探究问题，是高考中的把关题或压轴题，能力要求高、难度大、得分率不高。如2005年湖南该题理科平均得分2.81分，零分率约为34.43%，难度系数0.2.；文科该题平均得分0.82分，零分率约为60%，难度系数约为0.05。
三、复习备考建议和策略
1、吃透考试说明、纵横梳理知识、系统整合。
作为高三教师，对于高考“考什么”（知识、要求、能力要求）、“怎样考”（命题者的思路、近三年高考命题的规律和难度）应了如指掌，只有这样，才能对高考数学科的要求把握准确，复习到位，对于平面向量和解析几何专题的复习，应把握好三条线。
第一条线：向量的相关知识——向量的概念及几何表示，向量的加法和减法及几何意义、向量的数量积、向量的坐标运算、向量共线、向量垂直、线段定比分点、向量平移、平面两点间的距离公式。
第二条线：曲线方程、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质。
第三条线：向量和平面解析几何整合，以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题。
如:OA⊥OB,O在以AB为直径的圆上，可以转化为=0，将=λ转化为坐标关系。
2、深刻领会新教材的理念和精神，渗透向量思想，培养学生向量意识。
复习中以近几年相关内容的高考试题和教材中的例习题为载体，换一个思维角度（用向量方法）去解决这些问题，让学生去品味、去领悟向量的工具作用、逐渐形成应用向量的意识。
例1：（2000全国）椭圆 =1 的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的范围是____________
[分析]应用向量知识，把角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式得P的范围（-，），简洁明了。
例2：已知一个圆的直径的端点是A（x1，y1），B（x2，y2），
求证：圆的方程是（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0（高二上P82/3）
[解析]在圆上任取一点P（x，y），则⊥=0，容易推出上述方程。
3、专题探讨，形成能力。
直线和圆锥曲线的综合问题是高考必考内容，通常以解答的形式出现，且题目有一定的广度和难度，因此复习备考时要把此作为重点内容，且要达到必要的深度，可以设计相关专题进行深入系统地探讨，提高学生解此题的能力。
专题包括以下内容：
3.1 利用向量知识处理共线、垂直、夹角问题。
例3：（2004年全国），给定抛物线C，y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，设l的斜率为1，求与 夹角的大小。
[分析]利用向量的夹角公式处理。
[解答]抛物线的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1.
将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0
设A(x1,y1),B(x2,y2）,则有x1+x2=6,x1x2=1.
·=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3
∣∣∣∣=
∴cos(,)==,向量夹角的大小为π-arccos.
例4：（2004年重庆）设P＞0是常数，过点Q（2P，0）的直线与抛物线y2＝2PX交于相异两点A、B以线段AB为直径作圆H（H为圆心），试证：抛物线的顶点在圆H的圆周上。
[分析]证抛物线顶点在圆H的圆周上，即证OA⊥OB ·=0
[解答]由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x-2p
设A(xA,yA),B(xB,yB),则其坐标满足 ky=x-2 p
y2=2x
消去x得y2-2pky-4p2=0，则 yA+yB=2pk
yA·yB=-4p2
xA+xB=4p+k(yA+yB)=（4+2k2）p
xA·xB=
因此·= xAxB+ yAyB=0，即OA⊥OB，故O必在圆H的圆周上。
例5：（2004年全国）设双曲线C，-y2＝1（a＞0），与直线x＋y＝1相交于两个不同的点A、B，设直线l与y的轴的交点为P，且= ,求a的值。
[分析]设A、B两点的坐标，由=就得到了A、B两点坐标的等量关系，再利用韦达定理，通过解方程组得a的值。
[解答]由双曲线与直线相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0 ①
∴ 解得0
设
，由此得
由于都是方程①的根，且1-a20，
所以，由a>0,所以a=
3.2 把向量作为工具去探讨直线和圆锥曲线的综合问题。
例6：设双曲线-=1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2。
（1）求此双曲线的渐近线l1l2的方程。
（2）点A、B分别为l1，l2上的动点，且2|AB|=5| F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线。
（3）过点N（1，0）能否作 出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且·=0，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）依题得c2=a2+3, ,∴a=1,c=2,曲线方程为y2-=1, ∴渐近方程为y=±
（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y).2∣AB∣=5∣F1F2∣,
∴∣AB∣=∣F1 F2∣=×2c=10.
∴.
，
即M的轨迹是中心在原点、焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为的椭圆；
（Ⅲ）假设存在直线l,设l：x=my+1(mR)，设P（x1,y1）,Q(x2,y2)
,
,由
得
∴m不存在，即所求直线l不存在。
4、重视教学反思，帮助学生缩短悟的过程。
如在一次测试中有这样一道题，已知O为坐标原点，B（-1，0），C（1，0），点A、P、Q运动时，满足|-|=2||, ∥,·=0, =，
（1）求运点P的轨迹E。
（2）过点B作直线l动点P的轨迹E相交于M、N两点，且点B分向量的比为2：1，求直线l的方程。
[解答]（1）由题意可知, y A
故P的轨迹是以B、C为焦点长轴长为4的椭圆，
设其方程为 P
B O C x
（2）
设直线e：联立得
∴l的方程为
测试结果：该题的得分率不到20%，而本题的绝对难度并不太，运算量也适中，那么，问题出在何处？从答卷来看，一部分学生不能从众多的数学符号和式子中理出个头绪来，无力解答此题，还有一部分学生不去分析图形特征,而过早地把向量符号坐标化，由于设元太多，而陷于复杂的运算，从而迷失了方向。其实求解解析几何题首先要对几何图形的性质作全面细致的分析，如度量、位置及对称性等。对图形的把握越透彻，解题的目标就越清晰，运算量也就相应地得到控制，本题的叙述方式以向量语言为主，这就要求解答者先把这些信息转化为图形语言，再对几何图形作出整体的分析，然后通过坐标化思想求解。
另外，解题后一定要引导学生进行三思，一思解决“对”，二思解决“优”，三思解决“通”。帮助学生总结解题规律。解答平面解析几何综合题，其实还是有规可循的：
联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布定范围，曲线定义不能忘，引参用参巧解题。分析关系思路畅，数形结合思路明，设而不求方法好，结合向量运算简，选好选准突破口，一点破译全局活。学生掌握了这些规律并加以实践，解答这类综合题也就不畏难了。
四、2006年平面向量和解析几何交汇命题趋势探讨。
平面向量和解析几何都涉及坐标表示和坐标运算，坐标法可以将二者有机结合起来。同时平面向量和解析几何包含着丰富的数学思想方法。因而，2006年高考数学命题必然会抓住这一契机，以下方向值得关注。
关注1：通过直线方程考查直线的斜率、方向向量
例7：已知直线l的方程为3x＋4y－2＝0，则与直线l的方向向量共线的一个单位向量是（ C ）
A.（，） B. （-，） C. （，-） D. （-，）
关注2：利用向量平行、垂直的的等量关系得到点坐标之间的关系。
例8：如图：在平面直角坐标系中，一定长为m的线段，其端点A、B分别在x、y轴上滑动，设点M满足=λ(0＜λ≠1，λ为常数） y
（1）试问，是否存在两个定点E、F得到||,||,||
成等差数列，若存在，求出E、F的坐标，若不存在，说明理由。 B
（2）已知直线l·y＝kx＋h（k，n≠0），与x轴相交于C点， M
与y轴相交于D点，且与动点M的轨迹没有公共点，试比较 λ
与m的大小。 O A x
[解答]（1）设存在两价目定点E、F，使成等
差数列。
则
M点轨迹应为以E、F为焦点，MB为半长轴的椭圆
设
（2）
直线<>
又直线，与y轴相交于点D（0，h），则
>
=
>m
关注3：以向量为载体，以求轨迹方程为命题切入点，综合考查平面向量知识及圆锥曲线的综合问题。
例9：已知，是x、y轴正方向上的单位向量，设=（x-）·+y·，
=（x+）·+y·，且满足||+||=4
（1）求点P（x、y）的轨迹C的方程。
（2）如果过点Q（O，m）且方向向量为=（1，1）的直线l与点P的轨迹交于A、B两点，当△AOB的面积取到最大值时，求m的值。
[解答]
（1）
点P（x,y）到点的距离之和为4，故点P的轨迹方程为
（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得
因此，SΔAOB=，当
关注4：平面几何，平面向量、解析几何综合题，特别注意三角形内心、外心、垂心、重心的几何性质。
例10：如图， 已知△ABC的三边分别为 P
a、b、c，A 为圆心，直径PQ=2R，问P、Q在什么位置时，
·有最大值。
Q
B
[解答] C
=
设∠BAC=α,PA的延长线与BC的延长线交于D，∠PDB=θ
则
所以a、b、c、α、r均为定值，只需，即AP∥BC时，最大。
课件26张PPT。平面向量和解析几何专题复习探讨 湘潭凤凰中学 徐建光平面向量和解析几何专题复习探讨 平面向量是高中数学新增内容，它具有代数形式和几何形式的双重身份，能融数形于一体，能与中学数学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点。
解析几何是高中数学的重点内容，也是高考中的重头戏，而平面向量与解析几何交汇命题是近两年来新高考的一个亮点。
一、近两年全国和各省、市高考试卷中的平面向量和解析几何交汇试题考查统计平面向量和解析几何专题复习探讨一、近两年全国和各省、市高考试卷中的平面向量和解析几何交汇试题考查统计平面向量和解析几何专题复习探讨平面向量和解析几何专题复习探讨一、近两年全国和各省、市高考试卷中的平面向量和解析几何交汇试题考查统计考点分析1、以平面向量为背景的解析几何命题趋势逐渐显现。 回顾近几年来平面向量与解析几何交汇命题可以说经历了三个阶段：2002年天津（21）题只是数学符号上的混合，2003年新课程卷（20）题用平面向量的语言描述解析几何中元素的关系，可谓是知识点层面上的整合。2004年有6份试卷，2005年有10份试卷涉及平面向量与圆锥曲线交汇综合，考查层面上升到应用层面，考查的综合程度、难度逐年加大。
考点分析2、试题设计理念——突出知识的交汇和融合。
如（2003年新课程高考题）已知常数a＞0，向量 =（0，a）, =(1,0), 经过原点O以 + λ 为方向向量的直线与经过定点A（0，a），以 - - 2λ 为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值，若存在，求出E、F的坐标，若不存在说明理由。
本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判断曲线的性质。曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及综合解题能力，本题在2002年高考平面向量试题的基础上又有新的突破和发展，它不再仅仅局限于平面向量的基本计算，它更需要对平面向量知识的深入理解和运用，是一道融合平面向量与解析几何的好题。
2、试题设计理念——突出知识的交汇和融合。考点分析又如：湖南理（19）文（21）如图，过抛物线x2＝4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0），作直线与抛物线交于A、B两点，点P是点Q关于原点的对称点。
①设P分 的比为λ，证明： ⊥（ –λ ）。
②设直线AB的方程是x－2y＋12＝0，过A、B两点的圆与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。 本题尽管第（1）（2）问没有任何联
系，且排列顺序值得商榷，但此题将直
线和圆、抛物线、向量、线段定比分点
等许多内容结合得天衣无缝，方程思想、
函数思想、化归思想和数形结合思想贯
穿于问题分析和解答的全过程，不失为
一道综合考查学生理性思维的优美试题。
3、试题考查方向、题型及难度。 由上述统计表便知，近两年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为：
（1）考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积及学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。
（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。
（3）试题主要涉及：轨迹问题，范围问题、最值定值问题、证明问题、对称问题，试题有时也会是开放探究问题，是高考中的把关题或压轴题，能力要求高、难度大、得分率不高。如2005年湖南该题理科平均得分2.81分，零分率约为34.43%，难度系数0.2.；文科该题平均得分0.82分，零分率约为60%，难度系数约为0.05。考点分析复习备考建议和策略1、吃透考试说明、纵横梳理知识、系统整合。
第一条线：向量的相关知识——向量的概念及几何表示，向量的加法和减法及几何意义、向量的数量积、向量的坐标运算、向量共线、向量垂直、线段定比分点、向量平移、平面两点间的距离公式。
第二条线：曲线方程、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质。
第三条线：向量和平面解析几何整合，以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题。
如:OA⊥OB,O在以AB为直径的圆上，可以转化为 =0， =
将 = λ 转化为坐标关系。
复习备考建议和策略2、深刻领会新教材的理念和精神，渗透向量思想，培养学生向量意识。 复习中以近几年相关内容的高考试题和教材中的例习题为载体，换一个思维角度（用向量方法）去解决这些问题，让学生去品味、去领悟向量的工具作用、逐渐形成应用向量的意识。
例1：（2000全国）椭圆 =1 的焦点为F1、F2，点P为其上
的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的范围是____________
[分析]应用向量知识，把角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐
标运算列出不等式得P的范围（ - ， ），简洁明了。
例2：已知一个圆的直径的端点是A（x1，y1），B（x2，y2），
求证：圆的方程是（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0（高二上P82/3）
[解析]在圆上任取一点P（x，y），则 ⊥ =0，容易推出上述方程。
复习备考建议和策略
3.1 利用向量知识处理共线、垂直、夹角问题。
例3：（2004年全国），给定抛物线C，y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，设l的斜率为1，求与 夹角的大小。
[分析]利用向量的夹角公式处理。
[解答]抛物线的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1.
将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0;
设A(x1,y1),B(x2,y2）,则有x1+x2=6,x1x2=1.
? =(x1,y1) ?(x2,y2）=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3
∣ ∣∣ ∣ =
∴cos( , )== = ∴ 与 夹角的大小是π-arccos 3、专题探讨，形成能力。复习备考建议和策略复习备考建议和策略[分析]设A、B两点的坐标，由 就得到了A、B两点
坐标的等量关系，再利用韦达定理，通过解方程组得a的值。
复习备考建议和策略3、专题探讨，形成能力。复习备考建议和策略3.2 把向量作为工具去探讨直线和圆锥曲线的综合问题。
例6：设双曲线 - =1的两个焦点分别为F1、F2，
离心率为2。
（1）求此双曲线的渐近线l1l2的方程。
（2）点A、B分别为l1，l2上的动点，且2|AB|=5| F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线。
（3）过点N（1，0）能否作 出直线l，使l与双曲线交于P、Q
两点，且 =0，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。复习备考建议和策略3.2 把向量作为工具去探讨直线和圆锥曲线的综合问题。
解：（Ⅰ）依题得c2=a2+3, ,∴a=1,c=2,曲线方程为y2- =1,
∴渐近方程为y=±
（Ⅱ）A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y).2∣AB∣=5∣F1F2∣,
∴∣AB∣= ∣F1-F2∣= ×2c=10. ∴
即M的轨迹是中心在原点、焦点在x轴上，长轴长为10 ，
短轴长为 的椭圆；
复习备考建议和策略3.2 把向量作为工具去探讨直线和圆锥曲线的综合问题。
（Ⅲ）假设存在直线l,设l：x=my+1(m∈R) ，设P（x1,y1）,Q(x2,y2)
,由
得
∴m不存在，即所求直线l不存在。
?
复习备考建议和策略4、重视教学反思，帮助学生缩短悟的过程。 如在一次测试中有这样一道题，已知O为坐标原点，B（-1，0），C（1，0），
点A、P、Q运动时，满足| - | = 2 | |,
∥ ， =0, = ，
（1）求运点P的轨迹E。
（2）过点B作直线l动点P的轨迹E相交于M、N两点，
且点B分向量 的比为2：1，求直线l的方程。[解答]（1）由题意可知
故P的轨迹是以B、C为焦点长轴长为4的椭圆，
设其方程为
（2）
设直线e： 联立得
∴l的方程为复习备考建议和策略 解题后一定要引导学生进行三思，一思解决“对”，二思解决“优”，三思解决“通”。帮助学生总结解题规律。解答平面解析几何综合题，其实还是有规可循的：
联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布定范围，曲线定义不能忘，引参用参巧解题。分析关系思路畅，数形结合思路明，设而不求方法好，结合向量运算简，选好选准突破口，一点破译全局活。学生掌握了这些规律并加以实践，解答这类综合题也就不畏难了。 2006年平面向量和解析几何交汇命题趋势探讨 平面向量和解析几何都涉及坐标表示和坐标运算，坐标法可以将二者有机结合起来。同时平面向量和解析几何包含着丰富的数学思想方法。因而，2006年高考数学命题必然会抓住这一契机，以下方向值得关注。
关注1：通过直线方程考查直线的斜率、方向向量
2006年平面向量和解析几何交汇命题趋势探讨 例8：如图：在平面直角坐标系中，一定长为m的线段，其端点A、B分别在x、y轴上滑动，
设点M满足 =λ (0＜λ≠1，λ为常数）
（1）试问，是否存在两个定点E、F得到
| |,| |,| |成等差数列，若存在，求出E、F的坐标，若不存在，说明理由。
（2）已知直线l·y＝kx＋h（k，n≠0），与x轴相交于C点,与y轴相交于D点，且与动点M的轨迹没有公共点，试比较 与m的大小。 关注3：以向量为载体，以求轨迹方程为命题切入点，综合考查平面向量知识及圆锥曲线的综合问题。例9：已知 ， 是x、y轴正方向上的单位向量，设
且满足| |+| |=4
（1）求点P（x、y）的轨迹C的方程。
（2）如果过点Q（O，m）且方向向量为 =（1，1）的直线l与点P的轨迹交于A、B两点，当△AOB的面积取到最大值时，求m的值。
[解答]
（1）
点P（x,y）到点 的距离之和为4，
故点P的轨迹方程为
（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得
因此，SΔAOB= ，当
2006年平面向量和解析几何交汇命题趋势探讨 关注4：平面几何，平面向量、解析几何综合题，特别注意三角形内心、外心、垂心、重心的几何性质。例10：如图， 已知△ABC的三边分别为a、b、c，
A 为圆心，直径PQ=2R，问P、Q在什么位置时，
有最大值。
[解答]
=
设∠BAC=α,PA的延长线与BC的延长线交于D，∠PDB=θ
则
所以a、b、c、α、r均为定值，只需cos =1 ，即AP∥BC时，
最大。
?
概率与统计复习探讨
长沙市长郡中学 陈 峰
一、高考中概率统计试题的特点
1、试题分布
年份
题号
总分
分数
上分比例
题型
考查内容
2005年
湖南(文)
150
12%
填空题
解答题
抽样方法
等可能事件概率
2005年
湖南(理)
150
12%
填空题
解答题
抽样方法 随机变量分布列与数学期望，独立事件的概率
2005年
全国卷Ⅰ(文)
20
150
12
8%
解答题
独立重复试验
2005年
全国Ⅰ(理)
20
15
12
8%
解答题
独立重复试验
随机变量分布列与期望
注：①2005年实行新课程卷单独命题的各省市的概率统计试题与湖南省基本相同。
②文科通过客观题考统计，理科一般在解答题中把概率与统计结合起来考查。
2、试题特点
（1）概率统计试题的题量一般省份为2道（一道客观题，一道解答题），分值占全卷的10％左右，试题属中等难度或中等偏易。
（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合，把原问题变换形式或适度拓展，从而加工为立意高，情境新，并赋予时代气息，贴近学生实际生活的问题，如湖南省2005年文理科试题以社会生活热点问题旅游为素材。让考生感到了问题的亲切，具有浓厚地湖南文化特色，而2005年全国文理试题，都以种子发芽这一常规生物现象为背景，立意朴素，贴近生产生活实际。
（3）概率统计题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率，互斥事件的概率，独立事件的概率，事件在n次独立重复试验中恰好发生K次的概率，离散型随机变量分布列和数学期望、方差、抽样方法等内容都进行了考查。
（4）概率统计解答题在试卷中的位置，逐年发生变化，2005年湖南省文科排在20题，而2004年排在18题，试验的难度由中等偏易向中等难度靠近，形成高考试题中的主流应用题。
二、对概率统计的复习探讨
1、重视对大纲、考试说明的理解
概率统计是新课程增加的内容，无论从知识体系还是题型把握上，不像旧课程内容那样理解彻透，把握准确。因此，在后一轮的复习中，一定要回归课本，通过对课本的温习，结合考试大纲，对各知识点考查能力的要求，应反复研究，提炼出解题规律，达到事半功倍的复习效果，为此须做到“七个了解，八个会用”即：
（1）了解随机事件的发生存在着规律性，了解随机事件概率的意义，了解等可能性事件的概率的意义，了解互斥事件、相互独立事件的意义；了解离散型随机变量的意义，了解离散型随机变量的期望值，方差的意义，了解正态分布的意义及主要性质；了解线性回归的方法和简单应用。
（2）会用排列组合基本模型及分步、分类的计数方法计算等可能事件发生的概率；会用互斥事件的概率加法公式计算事件的概率；会用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，会求出某些简单的离散性随机变量的分布列；会用公式计算离散型随机变量的分布列的期望与方差；，会用随机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法，从总体中抽出样本；会用样本频率分布去估计总体分布。
2、重视亲近教材，运用好教材的基础作用
教材是学习数学基础知识形成基本技能的“蓝本”，是高考命题的重要知识载体，近几年新课程卷的概率统计试题，大多数在教材上能找到“原型”，客观题大多数是把课本上习题适当改编而成的，解答题也是以教材原题为素材，通过加工、整合和拓展而成，这充分体现了教材的基础作用，因此很有必要按《考试大纲》和《考试说明》对本部分内容的要求，把课本上的例题和习题经类比，变式、拓展，产生与考试要求贴近的应用问题，训练学生。
3、重视数学思想与方法的渗透
数学思想方法作为数学的精髓，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的全过程，是高考能力考查的重点内容，而在概率统计这一内容中，更蕴涵着十分丰富的思想方法，如分类讨论，逆向思维等，概率的计算三类公式就是三个模型，运用过程中必须把握准确，形成模型思想。
恰当地选择模型进行计算是学好用好概率的基本要求。
例1、（2005年湖南卷文）某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的。
Ⅰ、求3个景区都有部门选择的概率；
Ⅱ、求恰有2个景区有部门选择的概率；
解析：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数34，由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等。
Ⅰ、3个景区都有部门选择可能出现的结果数为（从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组种分法，每组选择不同的景区共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A1，那么事件A1发生的概率为
（2）解法1、分别设“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择一个景区”为事件为A2和A3。
则事件A3的概率为，事件A2的概率为
解法2、恰有2个景区有部门选择可能结果数为；（先从3个景区任意选定2个，共有种选法，再让4个部门来选择2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另3个部门为一组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有种不同选法；第二种情况从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门另1个景区，共有种不同选法。
所以
点评：（2）的解答中，解法1运用逆向思维，考察对立事件的概率的计算，化难为易；解法2，对事件“恰有2个景区有部门选择”正面进行分类，体现了分类讨论的思想，所以，概率计算应强化这两种思想的运用。
例2、有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站，第1站，第2站…第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从k到k+1），若掷出反面，棋子向前跳二站（从k到k+2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束，设棋子跳到第n站的概率为。
（1）求、、的值；
（2）求及的值。
解：（1）棋子开始在第0站是必然事件，∴，第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，∴。
棋子跳到第2站分两种情况；
①前两次掷硬币都出现正面，其概率为。
②第一次掷硬币出现反面，其概率为，∴。
（2）棋子跳到第站的情况分两种；
①棋子选跳到第n-2站，又掷出反面，其概率为。
②棋子选跳到第n-1站，又掷出正面，其概率为。
∴
∴，又∵，
∴数列是首项为，公比为的等比数列。
∴。
分别令上式中，99，再将所得各式相加，得
∴，及，
∴
可见，这类涉及自然数n的概率问题，解题关键是从问题的背景中探究出概率问题的递推关系，同时还要注意区别题目中的相关条件，例2中“游戏结束的条件”等，因为这些条件往往涉及递推关系的首项与末项的取值，审题时要特别留心。
4、重视概率统计的应用功能
由于新课程强调数学教育的基础性、现实性、大众性，概率统计在现实生活中有很高的应用价值，在复习中要关注生活、社会、经济建设，现代科技等方面事实背景，并从中提炼具有社会价值的数学问题，编拟成生动活泼的数学问题来训练学生，培养学生将实际问题建模后转化为数学问题的能力。
例3、（2005年广东卷18），箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t,现从箱中每次任意敢以出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取一个球，但取球的次数最多不超过n次，以表示取球结束已取到白球的次数。
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望。
解析：随机变量的取值：，表示n次取出的全是白球，依题意
（Ⅰ）由于每次取球是独立的，所以有
，
的分布列如下：
O
1
2
…
n-1
n
P
q
qp
qp2
…
qpn-1
pn
将p、q代入即
O
1
2
…
n-1
n
p
（Ⅱ）的数学期望
设 ①
则 ②
①－②得
∴
＝
∴
点评：（Ⅱ）的解答在计算期望时与数列知识联系在一起，如同例2一样，体现了在知识交汇点设置能力试题的高考命题原则。
数学期望在决策型问题中有着广泛的应用，主要体现在如下方面：方案决策（如2004年湖北卷理21题），营销决策问题，投资决策问题（2005年天津卷18），风险决策问题，求职决策问题；决策优化问题，我们就最后一个问题的仅举一例，其余参阅2005年湖北中学数学第2期。
例4、在某地区进行某种疾病普查，为此要检验每一个人的血液，如果当地有N个人，若逐个检验就需要检验N次，现在要问：有没有办法减少检验的工作量？
分析：我们先把受检验进分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起进行检验，如果检验的结果为阴性，说明这k个人的血液全为阴性，因而这k个人总共只要检验一次就够了，检验的工作量显然是减少了，但是如果检验的结果为阳性，为了明确这k个人中究竟是谁为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人检验的总次数为k+1次，检验的工作量反而有所增加，显然，这时k个人需要的检验次数可能只要1次，也可能要k+1次，是一个随机变量，为了和老方法比较工作量的大小，应该求出它的平均值（也就是平均检验次数）。
在接受检验的人群中，各个人的检验结果是阳性还是阴性，一般都是独立的（如果这种病不是传染病或遗传病），并且每一个人是阳性结果概率为p，是阴性结果的概率为q=1-p，这时k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为，呈阳性结果的概率为。
解：设为k个人一组混合检验时每个人所需的检验次数，由上述讨论可知的分布列为
因此每个人所需检验次数的数学期望为。
而按原来的老方法每人应该检验1次，所以当即时，由分组的办法（k个人一组）就能减少检验的次数，如果q是已知的，还可以从中选取最合适的整数k，使得检验次数的数学期望达到最小值，从而使平均检验次数最少。
注：我国某医疗机构在一次普查中，由于采用了上述这种分组的方法，结果每100个人的平均检验次数为21，减少工作量达79％，当然减少的工作量的大小与p的数值有关，与每组人数k也有关。
例5、一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品为止所需次数的概率分布：（1）每次取出的产品不再放回。（2）每次取出的产品仍放回。（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中。
解：（1）由于总共有7件正品，3件次品，所以，的可能的取值是1，2，3，4。取这些值的概率分别为：
所以，的概率分布列为：
1
2
3
4
P
（2）由于每次取出的产品仍放回去，下列取时完全相同，所以，的可能取值是1，2，…，k，…，相应的取值概率是
所以，的概率分布列为：
1
2
3
…
k
…
P
…
…
（3）与情况（1）类似，的可能取值是1，2，3，4，而其相应概率为
所以，的分布列为
1
2
3
4
P
点评：解答本题要注意，“放回抽样”与“不放回抽样”的区别。
“放回抽样”与“不放回抽样”的区别主要体现在以下三个方面：
（1）放回抽样时总体个数不发生变化；不放回抽样时总体个数减少。
（2）放回抽样各次抽取是相互独立的；而不放回抽样各次抽取不是相互独立的。
（3）对放回抽样来说：事件A＝“有放回地逐个取k个产品”与事件B＝“一次任取k个产品”的概率一般是不相同的，即P(A)≠P(B)；而对不放回抽样来讲：事件A＝“不放回地逐个取k个产品”与事件B＝“一次任取k个产品”的概率相等，即P(A)＝P(B)
近两年湖南省高考不论文科还是理科，概率与统计都作为应用题大题出现，符合高考命题支持课程改革的原则，而且试题取材根植于课本，复习时应扎扎实实抓好基本模型的运用，引导学生学会将实际问题转化为概率模型或统计模型求解，发挥工具的作用。
2006届高考立体几何后阶段复习建议
长沙市明德中学数学组 郭文静
一、研究高考试题，把握高考导向
（一）、2004年、2005年高考各试卷立体几何考查情况统计
类 型
选择题
填空题
解答题
分值
考 点
全国I
10
16
20
21
点面距离、二面角、四面体的表面积
全国II
7
16
20
21
线面垂直、二面角、球面距离、直四棱柱的概念
全国III
9
13
20
21
线线垂直、线面角、三棱锥的体积、球的表面积
全国IV
7,10
11
20
26
四棱锥的体积、线线垂直、线线与线面平行、球的表面积与体积
北京
3
11
16
23
线线与线面平行、线段长度、二面角
天津
6,10
19
22
线面平行、垂直的判断，二面角、截面面积与体积
上海
13
21
21
正四面体的判定、二面角、等体积的直平行六面体的探索、线面平行垂直
江苏
4
18
17
线线垂直、线面角、点面距离、球体积
浙江
10
16
19
21
线面平行、二面角、点面距离、线面角、点到直线的距离
福建
5,10
16
19
26
线线与线面平行、线线垂直、二面角、点面距离、线面角、体积
湖北
11
18
17
正方体中动点位置的探求，使得线与面垂直，二面角、线面角
湖南
4,10
19
22
线面垂直、二面角、探索动点的位置，使线面平行、线面角
重庆
8,12
19
22
异面直线公垂线、线面角、三垂线定理
广东
7,
15
18
21
二面角、线线角、多面体的体积
辽宁
3,10
15
17
26
线面、面面垂直、平行的论证，二面角的计算
类 型
选择题
填空题
解答题
分值
考 点
全国I
3, 5
16
18
26
面面垂直、线线角、二面角、球的表面积、多面体的体积
全国II
2,12
16
20
26
截面问题、线面垂直、线面角、球与正四面体的接切、正三棱锥的概念
全国III
11,4
18
22
线面垂直、二面角、点面距离、四棱锥的体积
天津
4
12
19
21
线面角、线面平行、垂直、线线角、球的体积
福建
4,8
20
22
线面垂直、平行、二面角、点面距离、线线角
辽宁
4
14
17
21
线面垂直、平行、二面角、球面积、点面距离
浙江
6
12
18
23
线面与面面垂直平行、线面角、探索性问题、翻折问题
重庆
7,10
20
23
线面角、二面角、面面垂直、平行、三棱锥的体积
广东
7,4
16
24
线面垂直、二面角、面面平行、三棱锥的体积
江苏
8,4
21
24
线线角、线面与面面垂直、平行、二面角、点面距离
湖北
10
20
17
线面平行、线面角、线面垂直探索问题
山东
8
16
20
21
线线角、二面角、点面距离、球面距离
北京
6
16
19
线线垂直、二面角、线面与面面垂直、平行、线线角
湖南
5
文4
文15
17
文18
17
21
线面垂直、二面角、点面距离
上海
11
17
16
线线角、棱柱的全面积
江西
9
15
20
21
线面垂直、二面角、球面积、球的体积
（二）、从近几年的高考试题看，立体几何高考命题呈现如下几个主要特点：
1、题型、题量和难度相对稳定，我省题型一般为“一选一填一解答” 或“一大一小”，题量的分值基本控制在总分值的12%至15%之间，题目难度多见基本题和中档题，难度系数一般分布在0.5至0.8之间（文、理科有所区别），略低于全套试题的总设计难度。
2、高考试题的命制都以柱体、锥体为载体，在载体选择上以“方便建系”及“常规不难”为原则，让学生能自由选择解法，达到“一题两解”的目的。在题干一般以命题判断、“关系”证明，空间角、距离、截面面积、体积计算为求解目标。解答题在设问安排形式上，一般采用分步设问，以达到“分散解题难点，分层考查能力”的目的，同时，注重符号、文字和图形三种语言的综合运用。
3、高考立体几何试题在保持整体稳定的同时，也在积极的改革创新，试题保持稳定但年年变化，年年有新意，考查能力的探索性、开放性试题已稳步推出。如2005年浙江解答题，江西解答题等。
二、后阶段高考复习策略的探讨
（一）、以纲为纲，明晰考试要求?
《考试说明》是高考复习的指导性文件，复习效果的好坏，很大程度取决于对《考试说明》研究是否透彻。近年高考试题贯彻“总体保持稳定，深化能力立意、积极改革创新”的指导思想，兼顾教学基础、方法、思维、应用潜能方面的考查、形成平稳发展的稳定格局。?认真钻研《考试说明》，吃透精神实质，抓住考试内容和能力要求，关注高中数学课程改革进程，吸取新课程中的新思想、新理念，使复习把握教学教育改革的发展方向，就能做到既有针对性又避免做无用功，既减轻学生负担，又提高复习效益。同时，应及时了解考试中心以及中学教学期刊、高考数学培训会议等有关最新动态，并结合教学实践加以研究，从而转化为课堂教学的具体内容，使后阶段的复习有的放矢、事半功倍。? （二）、以本为本，把握通性通法?
近几年高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，强调“注意通性通法，淡化特殊技巧”。 “注意通性通法，淡化特殊技巧”，就是说高考最重视的是具有普遍意义的方法和相关的知识。第一轮复习许多学生往往抛开课本，因而，后阶段要指导学生回归课本，依“纲”固“本”。要突出课本基础知识的作用，突出课本例题中数学思想方法的挖掘和应用，重视课本习题潜在功能的挖掘与利用。只有吃透课本上的例题、习题，才能全面、系统地掌握基础知识和基本方法，构建数学的知识网络，以不变应万变。在求活、求新、求变的命题的指导思想下，高考数学试题虽然不可能考查单纯背诵、记忆的内容，也不会考查课本上的原题，但对高考试卷进行分析就不难发现，许多题目都能在课本上找到“影子”，不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合。
? 如课本P24练习第三题：如图，ABCD是矩形，PA⊥平面AC，连结PB、PC、PD，指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由。
这个题目当中的模型实质上是教室的一个墙角，这种模型
在高考中出现的频率非常高，仅2004年涉及的试题就有
天津卷、重庆卷、湖南卷、浙江卷、辽宁卷等5道试题之多。
又如课本P63习题9.9第5题：如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在直线CC1上求一点N，使MN⊥AB1。
将这一探索性问题进行变型、改造，可得如下几个高考试题：
1、（2004年湖北卷18）如图1，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F 是棱CD上的动点。试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；
2、（2004年浙江卷19）如图2，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60(。
3、（2005年湖北卷20）如图3，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点. 在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.
回归课本，不是要强记题型、死背结论，而是要抓纲悟本，对着课本目录回忆和梳理知识，把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进行强化训练、复习才有实效。
（三）、重视数学思想方法，提高解题能力
数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼，是适用于中学数学全部内部的通法，是高考考查的核心。如2005年全国各省市的各套试题中都能体现出注重通性通法，强调数学思想方法的特点。《考试说明》中规定高考命题时“要从学科整体意义和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度”。因此，在高考复习中，我们应当有意识地去挖掘和提炼数学知识本身所蕴涵着的丰富的数学思想和方法，使数学思想方法成为我们分析问题和解决问题的锐利武器，进而切实提高解决数学问题的能力。
1、（2002年全国卷）：正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜）。
（1）、求MN的长。
（2）、当a为何值时，MN的长最小？
分析一：由题目的条件，可作得PQ=MN，利用相似三角形、直角三角形勾股定理得MN=PQ=（0＜a＜）。通过配方，可知，当时，|MN|的最小值为。
分析二：以B点为原点建立直角坐标系，进一步由题目条件可得
M（a，0，1-a），N（a，a，0），
从而=（0，a，a-1）利用向量的模求得|MN|= (0＜a＜)。
该题利用函数的思想建立MN的长关于a的函数关系式是解决本题的关键。立体几何中的“运动问题”，“最值问题”等常常可以借助函数思想来解决，求异面直线间的距离也可以利用函数的最小值来解决。
立体几何中最常见、最重要的数学思想方法是转化与化归思想，在解答问题时，往往需要定理之间的相互转化，这当中，一个定理的结论，常常又是后续定理的前提条件。在对问题的证明或计算时，一般需要将立体图形化归为平面图形，把新的问题情景纳入到原有的认知结构中去，用我们熟悉的平面几何知识或三角方法实施解答。
2、（2005年湖南卷）如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。
（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；
（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小。
分析一 （I）、由题设可证得AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影。从而将证异面直线垂直转化为证明两相交直线垂直：OC⊥BO1 ，再由三垂线定理得AC⊥BO1。
（II）、由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC。设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，
连结O1F（如图3），则EF是O1F在平面AOC内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC。所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角。从而将求二面角的大小转化为求直角三角形中∠O1FE的大小。
分析二 （I）（如图4），以O为原点，OA、OB、OO1 所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，从而。所以AC⊥BO1。
（II）由条件求出平面O1AC的一个法向量，又是平面OAC的一个法向量
设二面角O—AC—O1的大小为，由、的方向可知，>，
所以cos，>=。即二面角O—AC—O1的大小是。
本题以一个折叠问题为载体，不落俗套，以图形变换的方式考查考生空间想象能力。两种解法均体现了化归与转化的思想，解法1体现了将空间问题转化为平面问题的降维思想，而解法2则是将几何问题的求解转化为空间向量的计算，体现了几何问题的代数化的思想。两种解法均充分体现了化归与转化的思想方法在解题中的威力！
在重视培养学生的解题能力时，也要重视培养学生研究与创新的能力。随着新一轮课改的逐步展开，研究性学习的理念已经广泛地受到学生、教师、专家的好评。我们在教学中要充分体现学生的主体地位，加强开放性、探索性问题的教学，给学生留足充足的思考时间，引导学生对问题观察，发现、猜想、证明，让他们在思索和感悟中主动的学习数学，领会数学思想方法，形成研究性学习的能力。高考命题已经和新的理念相呼应，如2002年文科第22题，要求将一个给定的正三角形和任意三角形，剪拼成一个正四面体或正三棱柱或直三棱柱，极富创意。注重于考查动脑和动手能力，带有明显的研究性学习的性质。
又如2004年重庆卷理科12题：若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与组成图形可能是：（ ）
该题注意学科内的综合，立足于“知识网络交汇点设计试题”。
再如2005年上海卷理科11题：有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是__________。
该题不仅考查了学生的观察能力、动手操作能力，也注意了学科内的综合考查。
(四)、与时俱进，深化新课程改革
近两年高考立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用向量方法处理，又可用传统的几何方法解决，并且向量方法比用传统方法解决较为简单，对中学数学教学有良好的导向作用，符合数学教材改革的要求，有力地支持了新课程的改革。因此，重视空间向量的教学，重视立体几何的基本题型，重视空间向量在立体几何中的应用，尤其是法向量的应用，是我们在高考复习中必须要做好的一项重要工作。如2003年全国卷理科第（16）、（18）题，湖南考生用几何法解决，很多考生在识图上感觉困难，做得不理想，而若用向量方法，则简洁易行。
(五)、加强针对性训练，增进数学素质
茫茫题海，只埋头演题是没有出路的。演题是一种训练，是训练同学们应用数学知识去分析问题、解决问题的能力，因此关键是思考总结，演题不在多而在精，要做到“一题多思，一题多得”，不断磨炼自己的数学思维，通过演题把知识串在一起，把知识揉在一起，使自己的数学知识系列化、网络化，这样才能派上用场。
立体几何中的重要题型为：
（1）平行、垂直位置关系的论证
（2）空间的角与距离的计算
（3）存在性与探索性问题
在后阶段的复习中可以有针对性地选择一些历年高考中的典型试题，在做题的过程中进行反思，在反思中总结、提炼，不断提高空间想象能力、分析问题和解决问题的能力。
1、(2005年山东卷20) 如图，已知长方体
,直线与平面所成的角为，
垂直于，为的中点.
（I）求异面直线与所成的角；
（II）求平面与平面所成的二面角；
（III）求点到平面的距离，
解法一：（I）以A点为原点建立空间直角坐标系。易求得，
所以= ，易知异面直线所成的角为。
（II）由条件求出平面的一个法向量，又平面的一个法向量，
∴，即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为。
（III）点到平面的距离=。
解法二：(I) 连结 ，过F作的垂线，垂足为K，可证得，
∴，∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角。在Rt△BKF中∠BFK=，
∴异面直线所成的角为。
(II) 由勾股定理的逆定理得AF⊥BF，又DA⊥面AA1B，由三垂线定理知BF⊥DF，
∴∠AFD即为平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角。∴，
即平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的大小为。
(III) 由(II)知面AFD⊥平面BDF，在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离。 由AH·DF=AD·AF得，即点到平面的距离为。
本题以长方体为载体，考查空间角与距离等知识，法向量的介入，降低了思维难度，体现了向量法的优点，可操性强。本题考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、以及计算能力，属于立体几何常规题。
2、(2004年湖南卷19) 如图, 在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，
,点E在PD上，
且PE : ED= 2 : 1。
(Ⅰ)证明：PA⊥平面ABCD。
(Ⅱ)求以AC为棱, EAC与DAC为面的二面角θ的大小。
(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论。
解：(Ⅰ)证明：因为底面ABCD是菱形, ∠ABC=60o, 所以AB=AD=AC=a，在△PAB中,
由知PA⊥AB， 同理, PA⊥AD, 所以PA⊥平面ABCD。
(Ⅱ)解:作EG∥PA交AD于G,由PA⊥平面ABCD知EG⊥平面ABCD，作GH⊥AC于H,连结EH,
则EH⊥AC，∠EHG为二面角θ的平面角。从而求出
(Ⅲ)解法一：当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.证明如下：
取PE的中点M,连结FM,则FM∥CE. 由知E是MD的中点，
连接BM、BD,设BDAC=O，则O为BD的中点。所以BM∥OE。∴平面BFM∥平面AEC.
(Ⅲ)解法二：当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.证明如下：
因为=
所以、、共面。又BF平面AEC,从而BF∥平面AEC。
(Ⅲ)解法三：以A为坐标原点, 建立空间直角坐标系如图。由题设条件，
设其中0<λ<1,则=令得
解得
即 即时,
共面.
又BF平面AEC,所以当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.
该题以四棱锥为载体，考查了线面垂直的证明、线面平行的证明、二面角的计算。第三问是探索性问题，可有三种解法，第一种解法是几何法，通过构造平行平面而证得线面平行；第二种、第三种解法是向量法，运用基底向量的运算关系和通过建立空间直角坐标系，运用向量的坐标运算两种形式解答的。两种运算各有所长，建立基底更为直接。该题考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力以及探索能力，是一个不可多得的好题。
(六)、强调学生解题规范，避免非智力因素失分
2005年湖南卷立体几何题评卷情况反馈：
1、书写证明过程时，因严谨性不够而失分，如证OC是直线AC在平面O1CBO内的射影，很多学生讲述不清甚至用“面面垂直”推出“线线垂直”。
2、立体几何B教材中已引入空间向量，就是用代数方法替代几何论证，但是较多的学生在“向量”或“数字”运算方面出现错误。
3、书写数字格式不规范，如向量“”写成AB ，“”也是AB。
4、二面角的两个半平面的法向量的夹角与其二面角的大小关系不清楚，不能用法向量的方向来确定两法向量的夹角与二面角的大小关系。
5、用传统的几何方法做的学生，对二面角的平面角的概念掌握不好，不能正确作出其二面角的平面角，如过O作OE⊥AC，连结O1E，就误认为∠O1EO为其平面角。
6、平面几何知识不过关，在证OC⊥BO1时，失分也较多。
由以上反馈，我们可知，在平时的立体几何解答题的训练中，要强调学生的解题规范，书写规范，尽量避免非智力因素的失分。
三、2006年高考命题趋势的预测
由于教材的变化，使得立体几何的数学课时比例略有下降，因此，在2006年的高考中，立体几何试题可能较多为“一选一填一解答”或“一大一小”的形式，并仍将继续保持“以常规几何体为载体，融推理和运算于一体”的命题风格，强调论证中有运算，运算中有推理，将突出空间图形中线线关系中的异面直线问题、线面关系中的线面角问题和面面关系中的二面角问题，注重考查“线面平行与垂直、面面平行与垂直”等知识点。为服从命题的“能力立意”需要，高考中的立体几何试题会体现如下特性：
1、基础性：线面位置关系的判定、证明，空间角与距离的计算，面积与体积的求法仍将是主体。
2、能力性：转化与化归思想贯穿于立体几何的始终，是处理立体几何问题的基本数学思想，空间问题转化为平面问题，位置关系的转换，度量关系的转换，等积变换、割补思想等也是考查的重点。
3、灵活性：变常见的静态命题形式为动态命题形式，让点、线、面在空间运动、变换，将研究性学习内容渗透进试题，增强试题的探究性意味，让考生在思考中猜想，在探索中推理。
4、综合性：以立体几何图形为载体，综合运用三角、排列组合方法等，以及与多面体（旋转体）有关的简单应用题也必须重视。
总之，只要我们能以先进的教学理念为指导，坚持“以学生为中心，以学生的思维活动为中心”，依
纲据本，正确把握导向，夯实基础，突出重点，重视能力培养，就一定能取得好的复习效果。
赤诚砺志图发展 斟字酌句谱华章
衡阳市衡东一中 廖湘楚
斗转星移，又是阳春三月。省教科院组织我们聚集一堂，共同探讨2006年高考数学备考策略，为我们广大一线数学教师提供了一个交流思想的大好机会。回顾2005年高考，我市的数学备考工作，在各兄弟地、市的支持下，取得了令人欣慰的成绩，也积累了一些基本经验。受衡阳市教科所的委托，下面，我就06年高考数学复习备考以及05年高考湖南卷的特点谈一谈我们一些肤浅的认识，以此抛砖引玉，请各位专家同行不吝赐教。
一、重视教研，小教研与大教研相结合
每年春节刚过，乍暖还寒的日子里，衡阳市教科所的领导和教研员就会到各县进行高三教学视导，深入高三课堂听课，与广大一线教师共同探讨第二轮复习课的备课、上课、训练等方面的策略，几乎每年的第一站就是衡东县，这也许是衡东县高考教学人平成绩在全市名列前茅的一个重要成因之一。衡东县每一届高三都成立了高三教研组，教研员和高三教研组组长随时关注着各校高三教学状况，并对收集的信息进行分析、整理，然后附以书面指导意见反馈到各校。每个学校都注重加强集体备课，分析高考的动向、学生的学习状态及对策，讨论教学内容的安排、教学的起点、训练题的选取等。集体备课时畅所欲言，在统一教学思想的前提下，对不同的班情采取的不同处理方式也要予以充分的讨论，在和谐的氛围中实现老教师的经验和年青教师的睿智互补。师生之间积极地开展思想交流，在这种交流中，师生教学相长。老师还可以从这些交流中捕捉新的信息，了解学生的双基疑点、学生双基迁移中的阻碍、学生的思维误区、学生的学习情绪，学生对数学复习课的建议等，为搞好第二轮数学复习课的备课准备好第一手资料。我们的感受是：以学情作为依据的教研，是最有成效的教研，它使备课不断出新，使课堂新意盎然，使训练效果更佳。学情了解得越清楚，讨论时的话题就越丰富，备课思路就越清晰。反之，缺乏学情依据的教研，将会使备课脱离实际，甚至是盲目拨高或陷入简单重复，课堂死水无波，老师费力不讨好，学生有苦难言。我们的理念是：无论是基础年级的教学还是高三的第二轮或第三轮复习，学生永远是教学的主体，教师的主导作用要在充分尊重学生这一主体的基础上才能凸显成效。因此，我们认为，学生的双基疑点和双基迁移的障碍重于闭门造车的热点；清除学生的思维误区重于解题技巧的训练；帮助学生克服烦燥不安的情绪重于布置训练任务。
二、重视基础，构建多层次立体教学模式
近几年来，随着高中办学规模的扩大，学生的数学平均水平有所下降，同一个班的学生学习基础参差不齐，就是到了高三后期，这种状况仍然存在。在这一阶段的复习中，怎样让所有学生都有相应的收获，使课堂总效益尽可能最大化呢？我们尝试了构建多层次立体教学模式。其基本思想是：让优秀生领悟数学思想方法的精髓，思维不断理性化；让中等生强化对“双基”的领悟，优化知识结构，提高“双基”迁移能力；让后进生听懂讲解，加深对“双基”认识，增加知识的积累。其具体要求是：1、例题的选取：①用较简单的例题承载较深刻的数学思想；②复杂综合题用分步设问的方式呈现；③用不同档次的题呈现相同的核心知识点；④用不同内含的问题承载相同的解题方法。2、例题的评析：①核心例题，重点讲解；相关类题，精当点拨。注重审题习惯和审题能力的培养，强化解题的目标意识，提升问题解决的构思能力。②疑点问题，互相讨论，反复思辨。③难点问题，巧设阶梯，类比启发。
三、张驰有度，有利于高效合作学习的开展
临近高考，学生最需要的是什么呢？是老师上课时更多的讲解吗？不是。是高强度大密度的训练吗？不是。他们需要的是时间，是用来总结反思的时间，是用来实现自我调整的时间，是用来查漏补缺的时间。到了这个时期，每个学生都还有自己的知识缺陷，都需要时间解决各自不同的问题。我们认为，在这个时段里，不管老师准备的教学内容如何充分翔实，对大多数适合的确实不多，而数学课堂的每一分钟都贵如黄金，如果上课时只是老师一味地讲热点、重点，在学生的眼里，老师所讲的有可能是他们非常熟悉的内容，属于简单重复；或者是难于接受，实在是高不可攀。而学生的疑点，可能根本没有时间涉及，没有时间解决，这样的课的效益低下是可想而知的。必做作业要减少，如果必做作业太多，学生几乎没有自我安排的时间，学生的疑点何时能及以解决呢？因此，在临近高考的日子里，要注重指导学生再一次解读教材，整理知识，时知识系统化，要充分信任学生，留时间让学生的自主安排，允许他们互相讨论问题，让他们通过相互交流解决疑点，在合作中攻克难点，通过独立思考领悟知识、方法的内含。
四、解读课本，化双基为能力
从05年的湖南卷上可以读出很多新的亮点，新概念、新情境、新思想都跃然纸上，让人为之耳目一新。但这些题有一个共同的特点——源于课本，高于课本。诚然，靠题海训练、靠猜题押题，不能从根本上解决问题，弄不好，把思维弄僵了，还可能会起反作用。例如，题1（理15）函数的图像与直线，及x轴所围成的面积称为函数在上的面积。已知函数在上的面积为（），则（Ⅰ）函数在上的面积为________.（Ⅱ）函数在上的面积为________. 问题的解决要过五关：第一关，概念解读关。这里要求学生解读“函数在上的面积”这一新的数学概念，考查学生的阅读习惯和新概念解读能力。假如学生在平时的学习过程中，不注重养成良好的阅读习惯，没有养成字斟句酌地解读数学概念的心理品质，是难以解读这里的新概念的。第二关，新情境解读关。要求学生对函数和的周期性和图象有足够的领悟，如果学生熟知函数的周期为，那么区间的长度不恰好是函数的半个周期吗？作出函数的图象（如右图），看到新情境，联想旧知识，不就把问题完全解读了吗？
第三关，“一般规律，特殊应用”关。在（I）中，“函数在的面积”，不就是“函数在上的面积”在时的情形吗？作出右图即可得到结论。第四关，图形解读关。“函数的图像关于点对称”，不就是源于教材吗？如果学生充分理解了教材，这一题不能算作难路虎。而仅靠在题海中摸爬滚打的学生，遇到这个问题时，就一味地在脑海里搜索曾经做过的题，如果没有找到，就只好束手无策了。
第五关，图形变换关。在（II）中，解读函数的图像，关键在于解读函数与函数的图像的关系：①两图像关于轴对称，②两图像关于轴对称，③将函数的图像向右平移个单位即得函数的图像。而将函数的图像向上平移1个单位就可得到函数的图像（如图）。这些知识点都在教材上出现过，只要学生深刻领悟了教本，就能够准确解读，问题就会迎刃而解了。
题2：（理14）设函数的图像关于点对称，且存在反函数，，则 ，问题的呈现方式让学生感到似曾相识，如果学生不能准确的把握相关的基础知识点，似很难成功解读并准确解决问题的。解决问题也需要过两关：第一关，概念解读关。由“函数的图像关于点对称， ”，可知点关于的对称点仍在的图像上，即.第二关，与的相互联系，，得，由这两个例子，我们可以读出05年湖南卷的特点：①背景翻新，改变知识的呈现方式，②背景似曾相识，改变题的外部结构，试题对学生的双基提出了下列要求，①双基熟练准确，联想丰富。②阅读习惯好，解读能力强，善于将问题回归到双基。当然湖南卷上有一些问题的解决对思维能力要求太高，但那是大多数学生难以攀登的高峰，只有少数学生才有解决这类问题的潜能，培养这种能力应以个别辅导为宜，当然也不宜在平时的教学中为了培养学生的这种高级思维能力而占用课堂教学时间。
既然05年湖南卷被人们称为好卷，那么06年的试题将会在此基础上更加完美，更加令人赞赏。在06年的高考备考的最后阶段，我们有必要引导学生认真解读教材，以此发展能力。
