一元二次不等式[上学期]
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文档简介
《一元二次不等式解法》教学设计
枝江市职教中心 曹新华
课 题：一元二次不等式解法
教学目的：
知识目标：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握用图象法解一元二次不等式的方法；
能力目标：培养学生数形结合的能力，培养学生分类讨论的思想方法，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；
情感目标：激发学生学习数学的热情，培养学生勇于探索的精神、勇于创新精神，同时让学生体会事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重点：用图象法解一元二次不等式。
教学难点：一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体辅助教学
内容分析：
1．本小节首先对照学生已经了解的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，利用二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法。
2．本节课学习一元二次不等式的解法，这是这小节的重点，关键是弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。
教学过程：
一、启导引入：
1、当x取什么值的时候，函数y=2x－7的值：（l）等于0；（2）小于0；（3）大于0
2、你可以用几种方法求解上题？
3、一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的有何关系？
4、像2x－7＞0或2x－7＜0这样的不等式，常用的有两种解法。
(1) 图象解法：利用一次函数y＝2x－7的图象求解。
注：①直线与x轴交点的横坐标，就是对应的一元一次方程的根。
②图象在x轴上面的部分表示2x－7＞0；
图象在x轴下面的部分表示2x－7＜0。
(2) 代数解法：用不等式的三条基本性质直接求解。
注 ： 这个方法也是对比一元一次方程的解法得到的
二、探究新知：
画出函数的图象，利用图象回答：
（1）方程＝0的解是什么；
（2）x取什么值时，函数值大于0；
（3）x取什么值时，函数值小于0
结合二次函数的对应值表与图象（表、图略），可以得出：
当x＝－2，或x＝3时，y=0，即＝0；
当x<－2，或x>3时， y>0，即＞0；
当－2 < x < 3时， y< 0，即＜0
上面结果表明，由一元二次方程＝0的解是x=－2，或 x=3，结合二次函数图象，就可以知道一元二次不等式>0的解集是{x|x<－2或x>3}；一元二次不等式<0的解集是{x|－2 一般地，怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
(1)抛物线与x轴交点的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况；
(2)抛物线的开口方向，也就是a的符号。
总结讨论结果：
（l）抛物线 （a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 =0的判别式三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0)来确定。因此，要分三种情况讨论
（2）a<0可以转化为a>0
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
三、知识应用：
例1 解不等式
解：作出函数的图像
因为.
所以，原不等式的解集是.
例2 解不等式
解：整理，得
因为.
所以，原不等式的解集是.
例3 解不等式
解：因为.
所以，原不等式的解集是.
例4 解不等式
解：整理，得
因为无实数解，
所以不等式的解集是.
从而，原不等式的解集是.
四、练习反馈 (课本第19页)练习1
五、归纳小结：
1、解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=>0或A=<0 (a>0)
② 计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ.>0时，求根<，
ⅱ.=0时，求根＝＝，
ⅲ.<0时，方程无解，
③ 写出解集.
2、一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题。
六、课后作业: 课本第21页 习题1.5 1
七、课外拓展：思考题：解关于x的不等式
枝江市职教中心 曹新华
课 题：一元二次不等式解法
教学目的：
知识目标：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握用图象法解一元二次不等式的方法；
能力目标：培养学生数形结合的能力，培养学生分类讨论的思想方法，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；
情感目标：激发学生学习数学的热情，培养学生勇于探索的精神、勇于创新精神，同时让学生体会事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重点：用图象法解一元二次不等式。
教学难点：一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体辅助教学
内容分析：
1．本小节首先对照学生已经了解的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，利用二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法。
2．本节课学习一元二次不等式的解法，这是这小节的重点，关键是弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。
教学过程：
一、启导引入：
1、当x取什么值的时候，函数y=2x－7的值：（l）等于0；（2）小于0；（3）大于0
2、你可以用几种方法求解上题？
3、一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的有何关系？
4、像2x－7＞0或2x－7＜0这样的不等式，常用的有两种解法。
(1) 图象解法：利用一次函数y＝2x－7的图象求解。
注：①直线与x轴交点的横坐标，就是对应的一元一次方程的根。
②图象在x轴上面的部分表示2x－7＞0；
图象在x轴下面的部分表示2x－7＜0。
(2) 代数解法：用不等式的三条基本性质直接求解。
注 ： 这个方法也是对比一元一次方程的解法得到的
二、探究新知：
画出函数的图象，利用图象回答：
（1）方程＝0的解是什么；
（2）x取什么值时，函数值大于0；
（3）x取什么值时，函数值小于0
结合二次函数的对应值表与图象（表、图略），可以得出：
当x＝－2，或x＝3时，y=0，即＝0；
当x<－2，或x>3时， y>0，即＞0；
当－2 < x < 3时， y< 0，即＜0
上面结果表明，由一元二次方程＝0的解是x=－2，或 x=3，结合二次函数图象，就可以知道一元二次不等式>0的解集是{x|x<－2或x>3}；一元二次不等式<0的解集是{x|－2
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
(1)抛物线与x轴交点的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况；
(2)抛物线的开口方向，也就是a的符号。
总结讨论结果：
（l）抛物线 （a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 =0的判别式三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0)来确定。因此，要分三种情况讨论
（2）a<0可以转化为a>0
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
三、知识应用：
例1 解不等式
解：作出函数的图像
因为.
所以，原不等式的解集是.
例2 解不等式
解：整理，得
因为.
所以，原不等式的解集是.
例3 解不等式
解：因为.
所以，原不等式的解集是.
例4 解不等式
解：整理，得
因为无实数解，
所以不等式的解集是.
从而，原不等式的解集是.
四、练习反馈 (课本第19页)练习1
五、归纳小结：
1、解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=>0或A=<0 (a>0)
② 计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ.>0时，求根<，
ⅱ.=0时，求根＝＝，
ⅲ.<0时，方程无解，
③ 写出解集.
2、一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题。
六、课后作业: 课本第21页 习题1.5 1
七、课外拓展：思考题：解关于x的不等式