石景山区2022-2023学年第一学期初三期末试卷
数 学
学校 姓名 准考证号
考生须知 1．本试卷共8页，共两部分，28道题。满分100分。考试时间120分钟。2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．如果，那么的值是
(A) (B) (C) (D)
2．如图，在中，．若，，则的长为
(A) (B) (C) (D)
3．如图，点，，在⊙上．若，则的度数为
(A) (B) (C) (D)
4．如图，在菱形中，点在上，与对角线交于点．若，，则为
(A) (B) (C) (D)
5．将抛物线向上平移个单位长度，平移后的抛物线的表达式为
(A) (B)
(C) (D)
6．若圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为
(A) (B) (C) (D)
7．若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是
(A) > (B) (C) < (D)
8．如图，线段，点在线段上（不与点，重合），以为边作
正方形．设，，正方形的面积为，则
与，与满足的函数关系分别为
(A) 一次函数关系，二次函数关系
(B) 反比例函数关系，二次函数关系
(C) 一次函数关系，反比例函数关系
(D) 反比例函数关系，一次函数关系
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9．如图，在中，，分别为，的中点．若的面积是，
则的面积是 .
10．如图，在中，，点在边上，点在边上且．
只需添加一个条件即可证明∽，这个条件可以是 （写出
一个即可）．
11．如图，，分别与⊙相切于，两点．若，，则
的长为 .
12．抛物线的对称轴为直线 ．
13．在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象
上，则 （填“>”，“=”或“<”）.
14．如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，则乙建筑物的高为 ．
15．如图，点，，在⊙上，.若点为⊙上一点（不与点，重合），则的度数为 .
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交
于，两点，对称轴是直线，下面四个结论中，
①
②当时，随的增大而增大
③点的坐标为
④若点，在函数的图象上，则
所有正确结论的序号是 .
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：．
18．如图，是直线上一点，，过
点作于点，过点作
于点．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．
19．已知：如图1，为⊙上一点．
求作：直线，使得与⊙相切．
作法：如图2，
1 连接；
2 以点为圆心，长为半径作弧，
与⊙的一个交点为，作射线；
3 以点为圆心，长为半径作圆，交
射线于点（不与点重合）；
4 作直线．
直线就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
由作法可知，
∴点在以为直径的⊙上.
∴ （ ）（填推理的依据）.
∴.
又∵是⊙的半径，
∴是⊙的切线（ ）（填推理的依据）.
20．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数
学的基本框架.其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的
问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长
一尺，问径几何？”
用现代的语言表述如下，请解答：
如图，是⊙的直径，弦于点，
寸，寸，求直径的长．
21．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），顶点为.
（1）直接写出点，点的坐标；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）若点，在此二次函数的图象上（点与点不重合），则的值为 .
22．如图，在中，，，，求的长.
23．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，
一次函数的图象与轴交于点.
（1）求反比例函数的表达式并直接写出点的坐标；
（2）当时，对于的每一个值，都有，直接写出的取值范围.
24．为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练.铅球被推出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手（点处）到落地的过程中，铅球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系.
小石进行了两次训练.
（1）第一次训练时，铅球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离
竖直高度
根据上述数据，求出满足的函数关系，并直接写出小石此次训练的成绩（铅球落地点的水平距离）；
（2）第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系
.记小石第一次训练的成绩为，第二次训练的成绩
为，则 （填“>”，“=”或“<”）.
25．如图，是⊙的直径，，是⊙上的点且，过点作
交的延长线于点.
（1）求证：是⊙的切线；
（2）连接.若，，
求的长.
26．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线与
轴有两个交点，，其中.
（1）当，时，求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点在抛物线上.若，求的取值范围.
27．如图，四边形是正方形，以点为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接，.
（1）求的度数；
（2）过点作于点，连接，依题意补全图形，用等式表示线段
与的数量关系，并证明.
28．在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为.对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”.
（1）如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则 .在点，，，中，矩形的“关联点”是 ；
（2）如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为.若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围；
（3）已知点，.图形是以为圆心，为半径的⊙.若线段上存在点，使点为⊙的“关联点”，直接写出的取值范围.
第2题图 第3题图 第4题图
第8题图
第9题图 第10题图 第11题图
第14题图 第15题图 第16题图
图1
图2
示意图
图1 图2
初三数学试卷 第9页（共8页）石景山区2022-2023学年第一学期初三期末
数学试卷答案及评分参考
阅卷须知：
1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。
2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。
3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C D A D B A
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9． 10．答案不唯一，如：
11． 12． 13．＞
14． 15．或 16．①④
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．解：原式 ………………………… 4分
. ………………………… 5分
18．（1）证明：∵，，
∴，
.
∵，
∴.
∴.
∴∽.
………………………… 3分
（2）解：在中，，，，
∴．
∵∽，
∴.
即.
∴. ………………………… 5分
19．解：（1）补全的图形如右图所示． ………………………… 2分
（2），直径所对的圆周角是直角；
经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ……… 5分
20．解：连接，如图. ………………………… 1分
设⊙的半径为寸.
∵是⊙的直径，，
∴.
在中，，
由勾股定理，得.
即 . ………………………… 4分
解得 .
∴直径的长为寸. ………………………… 5分
21．解：（1），． ……… 2分
（2）如右图所示． ……… 4分
（3）． ……… 5分
22．解：过点作于点，如图． …………………………1分
在中，，
∴，
设，，
则．
在中，，
∴． …………………………4分
∵，
∴． ………………………… 5分
∴． ………………………… 6分
23．解：（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴．
∴反比例函数的表达式为． ………………………… 2分
由题意可得点的坐标为． ………………………… 3分
（2）． ………………………… 5分
24．解：（1）由题意可知. ………………………… 2分
∵当时，，
∴． ………………………… 3分
解得．
∴函数关系为． ………………………… 4分
由题意可知小石第一次的训练成绩为． ………………………… 5分
（2）． ………………………… 6分
25．（1）证明：连接，如图1．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴∥．
∴．
又∵是⊙的半径，
∴是⊙的切线． ………………………… 3分
（2）解： 连接，如图2．
∵，
∴．
∵为⊙的直径，
∴．
∵四边形内接于⊙，
∴．
在中，，
∴．
∴． ………………………… 6分
26．解：（1）∵点在抛物线上，且，，
∴．
解得．
∴抛物线的表达式为，顶点坐标为． ……………… 3分
（2）由抛物线，可得抛物线开口向上且对称轴为轴．
∵抛物线与轴有两个交点，，且.
∴点在轴的负半轴上.
∵且，
∴点，在抛物线
的位置如右图（示意图）所示.
设点关于轴的对称点为点，
则．
∵，，
∴．
∴． ………………………… 6分
27．（1）解：∵在中，，，如图1，
∴.
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，.
∴.
∴. ……… 3分
（2）依题意补全图形，如图2．
线段与的数量关系：.
证明：过点作交的延长线于点．
∵，，
∴，．
∵四边形是正方形，
∴，．
∴．
∵在四边形中，，
∴．
又∵，
∴．
∴≌．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴． ………………………… 7分
28．解：（1）；，. ………………………… 3分
（2）依题意，正方形上任意两点间的距离的最大值.
直线交轴于点，交轴于点，如图，
则.
若，连接并延长交直线于点.
∵正方形的中心在原点，点的坐标为，
∴，.
∴.
当时，直线上的点是正方形的“关联点”.
在中，.
结合图形，的取值范围是. ………………………… 5分
（3）或. ………………………… 7分
图1
图2
图1
图2
第5页 （共6页）
初三数学试卷答案及评分参考
