门头沟区2022-2023学年度第一学期期末调研试卷
九 年 级 数 学 2022.12
考生须知 1．本试卷共8页，三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟。2．请将条形码粘贴在答题卡相应位置处。3．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。请使用2B铅笔填涂，用黑色字迹签字笔或钢笔作答。4．考试结束后，请将试卷和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．如果，那么的值是
A． B． C． D．
2. 已知⊙O的半径为4，如果点P在⊙O内，那么OP的长可能是
A．3 B． 4 C．5 D．6
3．在Rt△ABC中，∠C = 90°，如果AC= 3，BC = 4，那么sin A的值是
A． B． C． D．
4．如果将抛物线向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是
A． B． C． D．
5．如图，AD，BC相交于点O，且 AB∥CD．如果AO=CO=2，BO=1，那么OD的值是
A．3 B． C． D．6
6．如图，线段AB是⊙O的直径，如果∠CAB = 30°，那么∠ADC的度数是
A．45° B．50° C．55° D．60°
7．二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．一元二次方程的近似解为，
8．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是
A．圆的面积y与它的半径x
B．正方形的周长y与它的边长x
C．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x
D．小明从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．如果，那么锐角= 度．
10．如果一个扇形的圆心角为90°，半径为2，那么该扇形的面积为 （结果保留）．
11．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点A（，），B（，），那么与的大小关系是 （填“>”，“=”或“<”）．
12．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E是网格线的交点，那么
△ADE的面积与△ABC的面积的比是 ．
13．写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②当时，y随x的增大而增大．这个二次函数的表达式可以是 ．
14．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．
其意思是：“如图，有一根竹竿AB不知道有多长，量出它在太
阳下的影子BC长150寸，同时立一根15寸的小标杆DE，它
的影子EF长5寸，则竹竿AB的长为多少？”．
答：竹竿AB的长为 寸．
15．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．
如图，已知某公园石拱桥的跨度AB=16米，拱高CD=4米，那么
桥拱所在圆的半径OA= 米．
16．如图1，在等边△ABC中，D是BC中点，点P为AB边上一动点，设AP=x，DP=y，如果y与x的函
数关系的图象如图2所示，那么AB= ．
图1 图2
三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：．
18．如图，在△ABC中，点D在AB上，连接CD．
请添加一个条件 ，使得△ACD∽△ABC，然后再加以证明．
19．下面是小李设计的“作圆的内接等边三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O．
求作：等边△ABC，使得等边△ABC内接于⊙O．
作法：①如图2，作半径OM； 图1
②以M为圆心，OM长为半径作弧，交⊙O于点A，B，连接AB；
③以B为圆心，AB长为半径作弧，交⊙O于点C；
④连接AC，BC．
∴△ABC就是所求作的等边三角形．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题： 图2
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB，MA，MB．
由作图可知MA=MB=OM =OA=OB，
∴△OAM，△OBM是等边三角形．
∴∠AOM=∠BOM= °．
∴ ∠AOB=120°．
∵，
∴∠ACB=∠AOB=60°．（ ）（填推理的依据）
∵BC=BA，
∴△ABC是等边三角形．
20．已知二次函数
（1）求此二次函数图象的顶点坐标；
（2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标；
（3）当时，直接写出x的取值范围．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点D在AB上，CA= CD，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E．
（1）求证：△ABC∽△DBE；
（2）如果BC = 5，BE= 3，求AC的长．
22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象的一个交点为A（，n）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，对于x的每一个值，一次函数
（）的值大于反比例函数（）的值，
直接写出k的取值范围．
23．定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”的一道新景观．为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动．
他们利用无人机在点P处测得定都阁顶端A的
俯角α为45°，定都阁底端B的俯角β为60°，
此时无人机到地面的垂直距离PC为米，
求定都阁的高AB．（结果保留根号）
24．某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为x（单位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m），现测得x与y的几组对应数据如下：
水平距离/m 0 1 2 3 4 5 6 …
垂直高度/m 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 …
请根据测得的数据，解决以下问题：
（1）在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为 m；
（3）求所画图象对应的二次函数表达式；
（4）公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高1.6m的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石
柱顶端，则石柱距喷水枪的水平距离为 m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素）
25．如图，在等腰△ABC中，AB = AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC ，垂足
为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果，DE = 1，求AB的长．
26．在平面直角坐标系xOy中，点M（，），N（，）在抛物线 （）上，其中，设抛物线的对称轴为．
（1）当时，如果，直接写出，的值；
（2）当，时，总有，求t的取值范围．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC上，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交AC于点F．
（1）如图1，当AC=BC时，
① 依题意补全图1，猜想∠ADC与∠CAE之间的数量关系，并证明；
② 用等式表示线段BF，EF的数量关系，并证明．
（2）如图2，当AC=mBC(m>0)时，直接用含m的等式表示线段BF，EF的数量关系．
图1 图2
28．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的等积点．
已知点M（1，2）．
（1）在(6，3)，(，)，(，)中，点M的等积点是__________；
（2）如果点M的等积点N在双曲线上，求点N的坐标；
（3）已知点P（6，2），Q（2，a），⊙Q的半径为1，连接MP，点A在线段MP上．如果在⊙Q上
存在点A的等积点，直接写出a的取值范围．
以下为草稿纸
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九年级第一学期期末数学试卷 第7页（共8页）门头沟区2022-2023学年度第一学期期末调研
九年级数学答案及评分参考 2022.12
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C B D A C
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
题号 9 10 11 12 13 14 15 16
答案 略 450 10 4
三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）
17．（本小题满分5分）
解：原式………………………………………………………………4分
．……………………………………………………………………………5分
18．（本小题满分5分）
解：添加条件正确；…………………………………………………………………………2分
证明过程正确．…………………………………………………………………………5分
19．（本小题满分5分）
解：（1）作图正确；…………………………………………………………………………3分
（2）依据正确．…………………………………………………………………………5分
20．（本小题满分5分）
解：（1），
∴抛物线的顶点坐标为（1，）．……………………………………………2分
（2）令，则.
解得．
∴抛物线与轴的交点坐标为(，0) ， (，0) ． …………………………4分
（3）．……………………………………………………………………5分
21．（本小题满分5分）
（1）证明：∵ CA=CD，
∴ ∠A =∠ADC ．
∵∠ADC =∠BDE，
∴ ∠A =∠BDE ．……………………………………………………………1分
∵∠ACB = 90°，BE⊥CD，
∴ ∠ACB =∠E = 90°．…………………………………………………………2分
∴ △ABC∽△DBE．…………………………………………………………3分
（2）解：在Rt△BCE中，∠E = 90°，BC = 5，BE = 3．
∴ 由勾股定理得 CE=4．…………………………………………………………4分
∵ △ABC∽△DBE，
∴ ．
∵ AC=DC，
∴ ．
∴ ．………………………………………………………………………5分
22．（本小题满分5分）
解（1）∵A(，n)在一次函数（）的图象上，
∴n=. …………………………………………………………1分
∴点A的坐标为(，).
∵点A在反比例函数（）的图象上，
∴.………………………………………………………………………………2分
∴反比例函数的表达式为. ………………………………………………3分
（2）.…………………………………………………………………………………5分
23．（本小题满分6分）
解：过点A作AD⊥PC于D. …………………………………………………………………1分
根据题意，得∠PAD=α=45°，∠PBC=β=60°.
在Rt△PBC中，PC=，，
∴.
∴.
∴. ………………………………………3分
∵∠ABC=∠ADC =∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
∴AB=DC，AD=BC=46. …………………………………………………………………4分
在Rt△PAD中，∠PDA=90°，∠PAD=45°，
∴∠PAD=∠APD=45°.
∴PD=AD= 46. ……………………………………………………………………………5分
∴AB=DC=.
答：定都阁的高为（）米. …………………………………………………6分
24．（本小题满分6分）
解：（1）略；…………………………………………………………………………………1分
（2）3.2；…………………………………………………………………………………2分
（3）设二次函数表达式为（）.
∵ 该抛物线经过点（0，0.7），
∴.
解得.……………………………………………………………………3分
∴二次函数表达式为.…………………………………4分
（4）1或9．……………………………………………………………………………6分
25．（本小题满分6分）
解：（1）连接.
∵DE⊥AC，
∴．………………………………1分
∵AB = AC，
∴∠B=∠C．
∵OB = OD，
∴∠B=∠ODB．
∴∠C=∠ODB．…………………………………………………………………2分
∴OD∥AC．
∴．
∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线．……………………………………………………………3分
（2）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴．
∵AB = AC，
∴∠B=∠C，BD=CD．
∵，
∴．
在Rt△CDE中，，DE = 1，
∵，
∴．………………………………………………………………………4分
由勾股定理得：．
∴．
在Rt△ABD中，，，
∴．……………………………………………………………………5分
由勾股定理得：．………………………………………………………6分
26．（本小题满分6分）
解：（1），．…………………………………………………………………2分
（2）当时，．
当时，．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴
∴．即：．…………………………………………………………4分
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴
∴．即：．
∴．……………………………………………………………………6分
27．（本小题满分7分）
解：（1）① 依题意，补全图1． ………………………………………………………1分
猜想：∠ADC = ∠CAE． ……………………………………………………2分
证明：∵∠ACB=90°，AE⊥AD，
∴∠ADC +∠DAC = 90°，∠CAE +∠DAC = 90°．
∴∠ADC = ∠CAE． …………………………………………………3分
② 线段BF，EF的数量关系：BF=EF．
证明：过点E作EM⊥AC于M．……………………………………………4分
∴∠AME = ∠ACB=90°．
又∵∠ADC = ∠CAE，AE=AD，
∴△AME≌△DCA．
∴ME = AC．………………5分
又∵AC = BC，
∴ME = BC．
又∵∠MFE = ∠CFB，
∠FME = ∠ACB=90°，
∴△EMF≌△BCF．
∴BF = EF．……………………………………………………………6分
（2）线段BF，EF的数量关系：EF=mBF． …………………………………………7分
28．（本小题满分7分）
解：（1），． …………………………………………………………………………2分
（2）设N（m，n）．
∵点N是点M（1，2）的等积点，
∴m=2n． …………………………………………………………………………3分
∵点N在双曲线上，
∴．
解得：，．
∴N（2，1），N（，）．…………………………………………………5分
（3）．……………………………………………………………7分
说明：
若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。
九年级第一学期期末数学答案与评分参考 第 4 页（共 5 页）
