昌平区2022-2023学年第一学期初三年级期末质量抽测
数学试卷
2022.12
本试卷共9页，共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后将答题卡交回。
一、选择题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）
1.如图，在一块直角三角板ABC中，∠A=30°，则sinA的值是
（A） （B） （C） （D）
2.O为一根轻质杠杆的支点，OA=acm，OB=bcm，A处挂着重4N的物体.若在B端施加一个竖直向上大小为3N的力，使杠杆在水平位置上保持静止，则a和b需要满足的关系是4a=3b，那么下列比例式正确的是
（A） （B） （C） （D）
3.关于四个函数y=﹣2x ，y=x ，y=3x ，y=﹣x 的共同点，下列说法正确的是
（A）开口向上 （B）都有最低点 （C）对称轴是y轴 （D）y随x增大而增大
4.为做好校园防疫工作，每日会对教室进行药物喷洒消毒，药物喷洒完成后，消毒药物在教室内空气中的浓度y(mg/m3)和时间t(min)满足关系，已知测得当t=10min时，药物浓度y=5mg/m3，则k的值为
（A）50 （B）﹣50 （C）5 （D）15
5. 如图，AB是⊙O直径，AB=10，点C、D是圆上点，AC=6，，点E是劣弧BD上的一点（不与B，D重合），则AE的长可能为
（A）7 （B）8 （C）9 （D）10
6．怎样平移抛物线y=2x 就可以得到抛物线y=2（x+1） ﹣1
（A）左移1个单位长度、上移1个单位长度
（B）左移1个单位长度、下移1个单位长度
（C）右移1个单位长度、上移1个单位长度
（D）右移1个单位长度、下移1个单位长度
7．为测楼房BC的高，在距楼房30m的A处，测得楼顶B的仰角为α，
那么楼房BC的高为
（A）30tanα（m） （B） （m） （C）30sinα（m） （D）（m）
8．我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合 来的.正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固.如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF，若⊙O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为
（A）12 （B） （C） （D）
二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）
9．写出一个开口向上，过 (0，2)的抛物线的函数表达式 .
10． 在半径为 1 cm 的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是______cm.
11．如图，△ABC中，AC=AB，以AB为直径作⊙O，交BC于D，交AC于E.若∠BAD=25°，则∠EDC=_______°.
12．在直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点.若点，的纵坐标分别为，，则的值为 .
13．我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年》. 其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1寸，AB=10寸（注：1尺=10寸），则可得直径CD的长为 寸.
14．如图，在△ABC中，AB=3，，∠C=45° ，则AC的长为 ．
15．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为⊙O的直径，AC＝4， ∠C＝60°，则PA＝___________．
16. 某快递员负责为A，B，C，D，E五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量下表。
小区 需送快递数量 需取快递数量
A 15 6
B 10 5
C 8 5
D 4 7
E 13 4
（1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案_____（写出小区编号）；
（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案_________ （写出小区编号）．
三、解答题（本题共 52 分，第 17-20题，每小题 5 分，第 21-23题，每小题 6 分，第 24-25 题，每小题 7 分） 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17.计算．
18. 如图，矩形ABCD中，点P在边AD上，PD =2 AP,连接CP并延长，交BA的延长线于点E，连接BD交CP于点Q.
（1）写出图中两对相似的三角形(相似比不为1）__________________；
（2）求的值.
19．已知二次函数y=x ﹣2x﹣3．
（1）求二次函数y=x ﹣2x-3图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数 y=x ﹣2x﹣3的图象；
（3）结合图象直接写出自变量0≤x≤3时，函数的最大值和最小值.
20．我们在课上证明圆周角定理时，需要讨论圆心与圆周角的三种不同位置分别证明，下面给出了情形（1）的证明过程，请你在情形（2）和情形（3）中选择其一证明即可.
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 已知：如图，在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB. 求证：. （1） （2） （3）
情形（1）
证明：如图（1），当圆心O在∠ACB的边上时
∵OC=OB，
∴∠C=∠B.
∵∠AOB是△OBC中△COB的外角，
∴∠AOB=∠C+∠B.
∴∠AOB=2∠C.
即.
请你选择情形（2）或情形（3），并证明.
21.已知：如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切于点E.点F是BC与⊙O的交点，连接OB，OF，AF，点G是AB延长线上一点，连接FG，且∠G+∠BOF=90°.
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）如果正方形边长为2，求BG的长.
22. 小张在学校进行定点M处投篮练习，篮球运行的路径是抛物线，篮球在小张头正上方出手，篮球架上篮圈中心的高度是3.05米，当球运行的水平距离为x米时，球心距离地面的高度为y米，现测量第一次投篮数据如下：
x/m 0 2 4 6 ...
y/m 1.8 3 3.4 3 ...
请你解决以下问题：
根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
若小昊在小张前方1米处，沿正上方跳起想要阻止小张投篮（手的最大高度不小于球心高度算为成功阻止），已知小昊跳起时能摸到的最大高度为2.4米，请问小昊能否阻止此次投篮？并说明理由；
第二次在定点M处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，当篮球运行的水平距离是6.5米时恰好进球（恰好进球时篮圈中心与球心重合），问小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高多少米？
23.在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（3a， y2），C（2，y3）（点B， C不重合）在抛物线（a≠0）上.
(1) 当a=1时，求二次函数的顶点坐标；
(2) ①若，则a的值为___________；
②已知二次函数的对称轴为t，当y1＞y3＞y2时，求t得取值范围.
24.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，AD=AC，连接CD，点E是CB上一点，CE=DB，过点E作CD的垂线分别交CD、AB于F、G.
（1）依题意补全图形；
（2）∠BCD=α，求∠CAB的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段AG，AC，BC之间的数量关系，并证明.
25.已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C直线与⊙O交于点M，N，P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”
（1）若C（-2,0）
①点P1（0，0），P2（-1，1），P3（2，2）中是关于MN的“折弦点”的是_____________；
②若直线y=kx+上只存在一个关于MN的 “折弦点”，求k的值；
（2）点C在线段AB上，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围.昌平区2022—2023学年第一学期初三年级期末质量抽测
数学答案及评分标准
2022.12
一、选择题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C A C B A C
二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）
题号 9 10 11 12 13 14 15 16
答案 y=x2+2 (答案不唯一) 50° 0 26 （1）ABC（或ABE或ACE或ADE） （2）ABE
三、解答题（本题共 52 分，第 17-20题，每小题 5 分，第 21-23题，每小题 6 分，第 24-25 题，每小题 7 分） 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17.
解：原式=×+2×-（） ， ……………………………………………………………… 3分
=1+-，
=+. ……………………………………………………………………………………… 5分
18．解：（1）△EAP与△EBC；△EAP与△CDP；（或△EBC与△CDP；△EBQ与△CDQ； △PQD与△CQB）. ……………………… 2分
（2） ∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
即AE∥CD，
∴∠E=∠PCD，∠EAP=∠PDC，
∴△EAP∽△CDP， ………………… 3分
∴=，
∵PD=2AP，
∴==，即EA=CD …………………………………………………………… 4分
∵AB=CD，
∴BE=EA+AB=CD，
∴=. …………………………………………………………………………… 5分
19. 解：（1）∵y=x -2x-3，
=x -2x+1-4，
=（x-1） -4， ……………………………………………………………………………… 1分
∴二次函数y=x -2x-3图象的顶点坐标为(1，-4) . ………………………………………… 2分
（2）
……………………………………………………………………… 3分
（3）当自变量0≤x≤3时，
函数的最大值为0，最小值为-4. ……………………………………………………………… 5分
20.
情形（2） 情形（3）
证明：如图（2），当圆心O在∠ACB的内部时. …………………………………………………………1分
连接CO并延长交⊙O于点D， …………………………………………………………………………2分
利用情形（1）的结果，有
∠ACD=∠AOD，∠BCD=∠BOD. ……………………………………………………………………4分
∴∠ACD+∠BCD=（∠AOD+∠BOD）.
即∠ACB=∠AOB. … ………………………………………………………………………………………5分
证明：如图（3），当圆心O在∠ACB的外部时. …………………………………………………………1分
连接CO并延长交⊙O于点D， ………………………………………………………………………………2分
利用情形（1）的结果，有
∠ACD=∠AOD，∠BCD=∠BOD. ……………………………………………………………………4分
∴∠BCD-∠ACD=（∠BOD﹣∠AOD）.
即∠ACB=∠AOB. …………………………………………………………………………………………5分
21.（1）证明：
∵⊙O过正方形ABCD的顶点，
∴∠ABF=90°.
∴AF是⊙O的直径. ……………………………………………………………………………………………1分
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA.
∴∠BAF=∠BOF.
∵∠G+∠BOF=90°，
∴∠G+∠BAF=90°. ……………………………………………………………………………………………2分
∴∠AFG=90°.
∴FG是⊙O的切线. …………………………………………………………………………………………3分
（2）解：连接EO并延长交AB于点H.
∵⊙O与CD边相切于点E，
∴OE⊥CD.
∵正方形ABCD，
∴∠BAD=∠ABC=∠C =∠D=90°.
∴四边形ADEH是矩形.
∴EH=AD=2，OH⊥AB.
∴AH=AB=1. ……… …………………………………………………………………………………4分
设OA=OE=r，则OH=2-r.
在Rt△AOF中，1 +(2-r) =r ，
解得r=.…………………………………………………………………………………………………5分
∴AF=.
∵∠BAF=∠BAF，∠ABF=∠AFG=90°，
∴△ABF∽△AFG.
∴ .
AB·AG=AF
2AG=
AG=
∴BG=AG﹣AB= .……………………………………………………………………………………6分
22.
（1）如图所示：
……………………………………………………1分
（2）由表可设抛物线的表达式为：y＝a(x－4) ＋3.4，
将点(2，3)代入函数表达式得：4a＋3.4＝3，
解得：a＝－0.1， ………………………………………………………………………………………………2分
所以y＝－0.1 (x－4) ＋3.4，
当x＝1时，y＝2.5＞2.4，………………………………………………………………………………………3分
所以小昊不能阻止此次投篮.……………………………………………………………………………………4分
（3）设小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高h米，
则第二次篮球运行路径得抛物线表达式为y＝－0.1 (x－4) ＋3.4＋h.……………………………………5分
由题可知此抛物线过点(6.5，3.05) ，
将其代入函数表达式得：－0.1× (6.5－4) ＋3.4＋h ＝3.05，
解得：h＝0.275. …………………………………………………………………………………………………6分
答：小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高0.275米.
23. 解：（1）当a＝1时，
由题可知，y = x2－2x.
∵x==1， …………………………………………………………………………………1分
将x=1代入，y=－1，
∴抛物线的顶点坐标是（1，－1）.……………………………………………………………2分
（2） ① ∵，
∴B与C关于对称轴对称.
∵抛物线的对称轴为直线x==a，
∴.
∴a=－2 .………………………………………………………………………………… 4分
②由题意t=a
当3a <－1，即a <时
∵y1＞y3，
∴a <.
∵y3＞y2，
∴ .
即a <－2.
∴a <－2.
当－1< 3a <0，即 < a < 0时
∵y1＞y3，
∴a <.
∵y3＞y2，
∴ .
即a <－2.
∴此情况无解
当0< 3a <2，即0 < a <时，
∵y1＞y3，
∴a＞.
∵y3＞y2，
∴ .
即a＞－2.
∴< a <.
当3a＞2，即a＞时
∵y1＞y3，
∴a＞.
∵y3＞y2 ，
∴
即a <－2.
∴此情况无解.
综上：< a <或a <－2 . ………………………………………………………………… 6分
∴< t <或t <－2 .
24．（1）
………………………………………………………………………2分
（2）解：∵∠BCD=α，∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°－α. …………………………………………………………………………3分
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=90°－α.
∴ ∠CAB=180°－2（90°－α）=2α ………………………………………………………………4分
（3）BC= AC +AG ………………………………………………………………………………………5分
证明如下：
延长CA，EG交于点M
∵EG⊥CD，∠ADC=90°－α，
∴∠FGD=α.
∴∠AGM=∠FGD=α.
∵∠CAB=2α，
∴∠M=α=∠AGM.
∴AG=AM . ……………………………………………………………………………………6分
延长CD至点N，过点B作BN⊥CN
∴∠BDN=∠ADC=90°－α.
∵EG⊥CD，∠DCB=α，
∴∠CEF=90°－α.
∴∠CEF=∠BDN=90°－α.
∵CE=DB，
∴△BDN≌△ECF .
∴BN=CF.
∴△CMF≌△BCN .………………………………………………………………………………7分
∴BC=CM=AC+AM.
∴BC= AC+AG.
25. 解：（1）① P1 , P2 . …………………………………………………………………………………2分
② 根据题意，若C（－2,0），
则折弦点是以D（－1,0）为圆心，1为半径的圆上点的集合. ………………………………………3分
∵直线y=kx+上只存在一个 “折弦点”，
∴直线y=kx+与⊙D相切. ……………………………………………………………………………4分
设切点为点E，连接DE.
∵直线y=kx+与y轴交于点F（0, ），连接OF，
∴∠EFD=∠OFD=30°.
∴∠EFO=60°.
∴OA=OF·tan∠EFO=3.
∴y=kx+与x轴交于点（－3，0），
∴k=. ……………………………………………………………………………………………5分
（2）b. ………………………………………………………………………7分
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