第八章 平行线的有关证明专项训练 平行线问题常见辅助线——过“转折点”作平行线（含答案）

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专项训练
平行线问题常见辅助线——过“转折点”作平行线
类型① 平行线的性质
1.如图,AB∥DE,∠A=30°,∠ACE=110°,则∠E的度数为( )
A.30° B.150° C.100° D.120°
2.如图,直线a∥b,∠1=45°,∠2=30°,则∠P= .
3.如图，直线 ∥,∠1=20°,则∠2+∠3= .
4.如图,已知AB∥CD,那么∠B=140°,则∠D+∠BED= .
5.根据下列叙述填依据.
(1)已知如图1,AB∥CD,求∠B+∠BFD+∠D的度数.
解:过点F作FE∥AB.
所以∠B+∠BFE=180°( ),
因为AB∥CD,FE∥AB(已知),
所以 ( ),
所以∠D+∠DFE=180°( ),
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°.
(2)根据以上解答进行探索.如图2，3，AB∥EF,∠D与∠B,∠F有何数量关系(请选其中一个简要证明)
(3)如图4,AB∥EF,∠C=90°,则∠α与∠β,∠γ的数量关系为 .
类型② 平行线的判定
6.如图,已知∠C=110°,∠2=∠1+70°,则AB与DE的位置关系为 .
7.如图,已知∠B+∠D=∠BED,试说明AB∥CD.
8.如图,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗 请说明理由.
9.如图，这是一根断裂的木条，爱好数学的小明用量角器量得∠B=120°,∠C=110°,∠D=130°,于是小明得出木条的对边AB∥ED，小明的判断对吗 为什么
参考答案
1.C 2.75° 3.200° 4.220°
5.解:(1)过点F作FE∥AB,如图,
∴∠B+∠BFE=180°(两直线平行,同旁内角互补),
∵AB∥CD,FE∥AB(已知)
∴FE∥CD(平行于同一直线的两直线平行)，
∴∠D+∠DFE=180°(两直线平行,同旁内角互补),
∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°;
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；FE∥CD，平行于同一直线的两直线平行；
两直线平行，同旁内角互补；
(2)选图2,∠D与∠B,∠F的数量关系为:∠D+∠B=∠F;
理由如下：
过点D作DC//AB,∴∠B=∠BDC,
∵AB∥EF,DC∥AB,∴DC∥EF,∴∠CDF=∠F,
∴∠BDF+∠BDC=∠F,即∠BDF+∠B=∠F;
选图3,∠D与∠B,∠F的数量关系为:∠D+∠B=∠F;
过点D作DC∥AB,∴∠B=∠BDC.
∵AB∥EF,DC∥AB,∴DC∥EF,∴∠CDF=∠F,
∴∠BDF+∠BDC=∠F,即∠BDF+∠B=∠F
(3)∠a+∠β-∠γ=90°.
6.AB∥DE
7.解:过点E
做EF,使得EF∥AB,如图.
∵EF∥AB, ∴∠BEF=∠B. 又∵∠B+∠D=∠BED,∠BEF+∠FED=∠BED.
∴∠D=∠FED.∴EF∥CD.
又∵EF∥AB,∴AB∥CD.
8.解:AB∥CD,理由如下:
过点E做EF,使得EF∥AB,如图.
∵EF∥AB, ∴∠ABE+ ∠BEF =180°.
∴∠BEF=180°-∠ABE=60°.
又∵∠BEC=95°,∴∠FEC=95°-60°=35°.
∴∠FEC=∠DCE=35°.∴EF∥CD.
又∵EF∥AB,∴AB∥CD.
9.解：小明的判断对，理由如下：
过点C作CM∥AB,
∴∠B+∠BCM=180°,
∵∠B=120°,∴∠BCM=60°,
∵∠BCD=110°,∴∠DCM=∠BCD-∠BCM=50°,
∵∠D=130°,∴∠D+∠DCM=180°,∴CM∥DE,
∵CM∥AB,∴AB∥ED.
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