3.2.1.1 函数的单调性（PDF版含答案）

3．2　函数的基本性质
3．2.1　单调性与最大(小)值
第 1 课时　函数的单调性
知识点一　增函数与减函数的定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D I：
(1)如果 x1，x2∈D，当 x1它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．
(2)如果 x1，x2∈D，当 x1f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间 D 上单调递减，特别地，当函数 f(x)在
它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
知识点二　函数的单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫
做 y＝f(x)的单调区间．
特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于
定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间 D 定义域 I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
【题型目录】
题型一、定义法判断或证明函数的单调性
题型二、求函数的单调区间
题型三、单调性的应用
命题点 1 已知单调区间求参数
命题点 2 与分段函数有关的单调性问题
命题点 3 根据函数的单调性解不等式
题型一、定义法判断或证明函数的单调性
1．已知函数 f x ax 1 ，且 f 2 3 .
x 2
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)判断函数在区间 0, 上的单调性并用定义法加以证明.
2．已知函数 f (x)
1
.
x2 4
(1)求函数 f (x) 的定义域；
(2)判断函数 f (x) 在 (2, ) 上的单调性，并用定义加以证明.
2x 1
3．已知函数 f x x 0
x 1
(1)证明： f x 在区间 0, 上为增函数；
(2)若 0,2 m在上存在实数 x0 ，使得 f x0 1成立，求正数m 的取值范围.3
题型二、求函数的单调区间
x
4．函数 f x 的单调增区间是（　　）
1 x
A． ，1 B． ，1 1，
C． ，1 ， 1， D．（ ， 1）（， 1， ）
1
5．函数 y 的单调增区间为（ ）
4 3x x2
3
A． ,

B

． 1,
3 3
C． , 4 和 4,
3
D． , 1 1,

2 2 2 2
6．已知函数 f x x 2 x a 1 .
(1)当 a 4时，写出 f x 的单调区间（不需要说明理由）；
(2)若存在 x 3,5 ，使得 f x 5，求实数 a的取值范围.
题型三、单调性的应用
命题点 1 已知单调区间求参数
f x ax 17．函数 在区间 2, 上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）
x 2
0, 1 1A． B． ,

C． 2, D2 ． ,1 1, 2
8．已知函数 f x 3x a 的增区间是 2, ，则实数 a 的值为___________.
9．函数 y x2 2mx 3在区间 1,3 上具有单调性，则 m 的取值范围为_______.
10．已知函数 f (x) x
a
在区间 (0,1]上单调递减，则实数 a的取值范围为___________.x
11．已知函数 f (x) mx2 3x 1在区间 1, 上是增函数，求实数m 的取值范围．
命题点 2 与分段函数有关的单调性问题
x2 ax 5, x 1 f x f x
12．已知函数 f (x)
1 2 a 满足对任意 x x ，都有 0成立，则 a 的范围是（ ）
, x 1
1 2 x
x 1
x2

A． 3,0 B． 3, 2 C． ( , 2] D． ( ,0]
x 3a , x 013．已知函数 f x 2 是 , x ax 1, x 0 上的减函数，则实数
a的取值范围是（ ）

A．0≤ a
1
≤ B． a 0
3
1
C． a 0 D．0 a
3
tx
2 x 2, x t
14．已知函数 f x 且 f x 在定义域上是单调函数，则实数 t 的取值范围为（ ）
x 1, x t
A． ( , 1] B． 1,5 C． 1,2 D． ( 1, )
x2 mx 5, x 1

15．已知函数 f(x)＝ m ，对任意 x1，x2∈R 且 x1≠x2，都有 x1 x2 f x1 f x2 0，则实数 m 的

, x 1
x
取值范围是___________.
命题点 3 根据函数的单调性解不等式
16．已知 f x 是定义在 1,1 上的增函数，且 f x 2 f 1 x ，则 x 的取值范围为（ ）
3 3 3 3
A． , B． 1, C． , 2 D． 0, 2 2 2 2
17．已知函数 f x 对 x1、 x2 R ，总有 x1 x2 f x1 f x2 2 0，若不等式 f 3a x f x a 对 x a 1, a
恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 1, 2 B． 0,1
C． ,0 1, D． , 1 2,
18．设函数 f (x) 是 R 上的减函数，若 f (m2 2) f (2m 5)，则实数 m 的取值范围是____.
19．已知 f (x) 为定义在 R 上的增函数，满足 f (1) 2， f (x) 0，且对任意 x，y R ，有 f (x y) f (x) f (y) .
(1)求 f (0)和 f (3)的值；
(2)若 2 f (a) f (2 a)，求实数 a的取值范围.
20．定义在 R 上的函数 f x ，满足对任意的实数 x ， y 总有 f x y f x f y 4，若 x 0时， f x 4且
f 2 10 .
(1)求 f 2 的值；
(2)求证 f x 在定义域 R 上单调递减；
(3)若 f k 2 f 2k 3时，求实数 k 的取值范围.
1．已知函数 f x 满足： f x 1 x 3
(1)求 f x 的解析式；
f x 2x(2)判断函数 g x 在区间 2, 上的单调性，并证明．
x
2．已知函数 f x ax b x 2 1， f 0 ， f 1 1.
x 2 2
(1)求实数 a b 的值，并确定 f x 的解析式；
(2)试用定义证明 f x 在 , 2 上单调递减.
3．函数 f x x2 1的单调递增区间是（ ）
A． , 3 B． 0, C． 3,3 D． 3,
4．函数 f x x2 6 x 8的单调减区间是______．
5．画出函数 y x x 2 2 ，（ x 1,5 ）的图象，并根据图象指出函数的单调区间和最大、最小值.
6．已知函数 f x 的图象如图所示，若 f x 在 m,m 1 上单调递增，则m 的取值范围为___________.
7．已知函数 f x x2 2a 1 x 3在区间 1, 4 上单调递增，则实数 a取值范围是___________.
8．已知函数 f x ax2 2 a 1 x 2 .若 f x 的减区间为 ( , 4) ，则实数 a 的值为___________；若 f x 在区间
( , 4) 上是减函数，则实数 a 的取值范围为___________.
a 5 x 2, x 2 f (x1) f (x9 2
)
．函数 f (x) 2 ，若对任意 x1, x2 R(x1 x2 ) ，都有 0
x 2 a 1 x 3a, x 2 x x
成立，则实数 a 的取值范
1 2
围为（ ）
A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]
x2 2ax, x 2
10．已知函数 f x 1 ，若 f x 在 R 上单调递增，则实数 a的取值范围是（ ）
3a, x 2 2x
15 , 1 A． B． 2,
4
C． , 2 D
15
． , 2

4 2 15 4
11．函数 f x 是 R 上的增函数， A 0, 1 ，B 3,1 是其图象上的两点，则 1 f x 1的解集是（ ）
A． 1,0 0,1 B． 0,3
C． , 1 3, D． 0,1
12 2．已知函数 f x 是 R 上的增函数，且 f x x f a x 对一切 x∈R 都成立，则实数 a 的取值范围是________.
13．已知函数 y f x 是定义在 0, 上的减函数，且 f 2x 3 f 5x 6 ，求 x 的范围．
14．已知函数 f x ，对任意的 a，b R，都有 f a b f a f b 2，且当 x 0时， f x 2．
(1)求证： f x 是 R 上的增函数；
(2)若 f 4 5 2，解不等式 f m m 7 ．2
15．函数 f x 对任意的 a，b R，都有 f (a b) f a f b 1，并且当 x 0时， f x 1．
(1)求证： f x 在 R 上是增函数；
(2)若 f 4 5，解不等式 f (3m 2) 3．
16．定义在 (0, )上的函数 f (x) 满足 f (mn) f (m) f (n)(m ， n 0) ，且当 x 1时， f (x) 0 ．
(1)求证： f (x) 在 (0, )上是增函数；
(2)若 f (2) 1 ，解不等式 f (x 2) f (2x) 2；
m n f (m) f (n)
(3)比较 f ( )2 与 的大小．2
1．已知函数 f x x2 2ax 4在[0, ) 上是增函数，则实数 a的取值范围为（ ）
A． , 1 B． 1, C． 0, D． ,0
2．已知函数 f (x) x2 kx 6在[2，8]上单调递减，则 k 的取值范围是（ ）
A． (4,16) B．[4,16] C．[16, ) D． ( , 4] [16, )
3．“ a 2 ”是“函数 f x x a 在区间 2, 上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
f x
3x 1, x 1 f
x x x f x 4．已知函数 ，满足对任意的实数 1 1 2 0 a a 1 x, x 1 2 ，都有 成立，则实数 的取值范围为 x1 x2
（ ）
A． 1,3 B． 1,3 C． 1,3 D． 1,3
p 1
5．函数 f (x) x

在 , 上为增函数，则 p 的取值范围为（2 ）x
p 1 0 p 1A． B． C． p 0
1 1
或 p D．0 p
4 4 4 4
6．（多选）关于函数 f x x2 2x 3的结论，下列说法正确的有（ ）
A． f (x) 的单调增区间是 1,1 B． f (x) 的单调减区间是 1,
C． f (x) 的最大值为 2 D． f (x) 没有最小值
bx a
7．（多选）已知函数 f x 在区间 2, 上单调递增，则 a，b 的取值可以是（ ）
x 2
A a 3． 1，b B． a 4，b 2
2
C． a 1，b 2 D． a 2，b 1
x2 2ax 3, x 1
8．（多选）已知函数 f (x)

a 在 R 上单调递减，则 a 不可能等于（ ）
, x 1 x
1 5A． 2 B．1 C． D．22
9．已知函数 f x x x 2x 的单调增区间为_______．
10．函数 f x x 1 a x 在R 上为增函数，则a ___________．
11．设函数 f (x) 2x
a
b ，其中 a 0，b R .若 f (x) 在[1, 2]上不单调，则实数 a的一个可能的值为______.
x
12．若函数 f x x a 1 1在区间 ,1 2 上单调，则实数 a 的取值范围是______．2
13 2．（1）若函数 f x x 2 a 1 x 2的单调递减区间是 , 4 ，则实数 a的取值范围是______.
（2）若函数 f x x2 2 a 1 x 2在区间 , 4 上单调递减，则实数 a的取值范围是______.
x2 4ax, x 1
14．已知函数 f (x) ，若 f x 在R 上是增函数，则实数 a的取值范围是___________.
(2a 3)x 4a 5, x 1
15．已知 f x 是定义在 0, 单调递减函数，若 f 2a 1 f 1 ，则实数 a的取值范围是__________.
3
16．已知函数 y f (x) 是定义在 R 上的增函数，且 f (3 2a) f (2)，那么实数 a 的取值范围为________．
17．判断 f x x 4 在 0，2 ， 2， 的单调性.
x
x218 2x a．已知函数 f x .
x
a 1(1)当 时，先用定义法证明函数 f x 在 1, 上单调递增，再求函数 f x 在 1, 上的最小值；
2
(2)若对任意 x 1, ， f x 0恒成立，求实数 a的取值范围.
3x 5, x 0
f x f x 19．已知函数 的解析式 x 5,0 x 1.

2x 8, x 1

(1)求 f f
1
；
2


(2)若 f a 2，求 a的值；
(3)画出 f x 的图象，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）.
20．已知函数 f x x x a （ a R ）.
(1)当 a 2时，求 f x 的单调增区间；
2
(2)当 x 0,1 时， f x a的最大值为 ，求实数 a 的取值范围.
4
x2 1, 1 x 2,
21．已知函数 f x
f x 3 , 2 x 5.
(1)在所给的直角坐标系内画出 f x 的图象并写出 f x 的单调区间；
(2)求不等式 f (x) 1 0 的解集.
22．已知函数 f (x) x [x]， x [ 1,2) ，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，例[ 3.05] 4 ，[2.1] 2 .
(1)将 f (x) 的解析式写成分段函数的形式；
(2)作出函数 f (x) 的图象；
(3)根据图象写出函数的值域和单调区间.
23．已知函数 f (x) 是定义域为 R 的单调增函数．
(1)比较 f (a2 2) 与 f (2a)的大小；
(2)若 f (a2 ) f (a 6)，求实数 a的取值范围．
24．已知函数 f (x) 对任意 x, y R ，都有 f (x y) f (x) f (y) 1，且当 x 0时， f (x) 1．
(1)求证： f (x) 在R 上是增函数；
(2)若关于 a 的方程 f (a2 7a 5) 2的一个实根是 1，求 f (6)的值；
(3)在（2）的条件下，已知m R ，解关于 x 的不等式 f (mx) f (x 2) 3．3．2　函数的基本性质
3．2.1　单调性与最大(小)值
第 1 课时　函数的单调性
知识点一　增函数与减函数的定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D I：
(1)如果 x1，x2∈D，当 x1它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．
(2)如果 x1，x2∈D，当 x1f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间 D 上单调递减，特别地，当函数 f(x)在
它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
知识点二　函数的单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫
做 y＝f(x)的单调区间．
特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于
定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间 D 定义域 I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
【题型目录】
题型一、定义法判断或证明函数的单调性
题型二、求函数的单调区间
题型三、单调性的应用
命题点 1 已知单调区间求参数
命题点 2 与分段函数有关的单调性问题
命题点 3 根据函数的单调性解不等式
题型一、定义法判断或证明函数的单调性
f x ax 11．已知函数 ，且 f 2 3 .
x 2
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)判断函数在区间 0, 上的单调性并用定义法加以证明.
【分析】（1）直接根据题意代入求值即可；
（2）根据定义法判断函数在区间 0, 上的单调性即可.
【详解】（1）因为 f 2 2a 1 3 1 ，所以 a 1，所以 f x x .
2 2 x
（2）函数在 0, 上单调递增，证明如下：任取 x1, x2 0, ，且 x1 x2，所以
x x 1 x x
f x 1 1 1 1 2 f x1 x2 x1 x2 x1 1 2 2 1x x x x ，因为 x2 x1 0 ，所以 2 1 1 2 x1x2
x2 x1 0，x1x2 0所以 f x2 f x1 0，即 f x2 f x1 ，所以 f x 在 0, 上单调递增.
2．已知函数 f (x)
1

x2
.
4
(1)求函数 f (x) 的定义域；
(2)判断函数 f (x) 在 (2, ) 上的单调性，并用定义加以证明.
【答案】(1){x R∣x 2}
(2)在 (2, ) 上单调递减，证明见解析
【分析】（1）根据分式的分母不为 0，即可得到答案；
（2）任取x1， x2 (2, ) ，设 x1 x2 ，证明 y2 y1，即可得到答案；
【详解】（1）要使函数有意义，当且仅当 x2 4 0 .
由 x2 4 0 得 x 2 ，
1
所以，函数 f (x) 2 的定义域为{x R∣x 2}.x 4
（2）函数 f (x)
1
2 在 (2, ) 上单调递减.x 4
证明：任取x1， x2 (2, ) ，设 x1 x2 ，则 x x2 x1 0
1 1 x x x xy y y 1 2 1 22 1 x2 2 4 x21 4 x21 4 x2 .2 4
∵ x1 2 2， x2 2 ∴ x1 4 0
2
， x2 4 0， x1 x2 0
又 x1 x2 ，所以 x1 x2 0，故 y 0，即 y2 y1，
因此，函数 f (x)
1
在 (2, ) 上单调递减.
x2 4
f x 2x 13．已知函数 x 0
x 1
(1)证明： f x 在区间 0, 上为增函数；
(2)若 0,2 在上存在实数 x0 ，使得 f x0
m
1成立，求正数m 的取值范围.
3
【分析】（1）利用函数单调性的定义，作差、定号即可证明；
（2）根据（1）中所证单调性，求得 f x 在 0,2 的最大值，再解关于m 的不等式，即可求得结果.
2x 1 1
【详解】(1)因为 f x 2 ，令 x1 x2 0，x 1 x 1
故可得 f x1 f x
1 1 x1 x2
2 x2 1 x1 1 x1 1 x2 1 ，
因为 x1 x2 0，故可得 x1 x2 0， x1 1 0, x2 1 0，
故可得 f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ，
故 f x 在 0, 是单调增函数.
(2)由（1）可知， f x 是 0, 的单调增函数，故 f x 0,2 f 2 5在 上的最大值为 ，
3
0,2 x f x m 5 m若 在上存在实数 0 ，使得 0 1成立，则 1，3 3 3
解得m 2，故正数m 的取值范围为 0, 2 .
题型二、求函数的单调区间
4．函数 f x x 的单调增区间是（　　）
1 x
A． ，1 B． ，1 1，
C． ，1 ， 1， D．（ ， 1）（， 1， ）
【答案】C
【分析】分离常数，然后根据图像平移得到函数图像，继而求出单调增区间.
1 x 1
【详解】 f x 1 1 1 1;
1 x 1 x x 1
（f x）的图象是由 y
1
的图象沿 x 轴向右平移1个单位，然后沿 y 轴向下平移1个单位得到， 如下图
x
（f x）的单调增区间是（－ ，1），（1，＋ ）．
故选：C.
1
5．函数 y 的单调增区间为（ ）
4 3x x2
3 3 3A． , B． 1, C． , 4

和 4,
3
D ． , 1 1,
2 2 2 2
【答案】C
【分析】由 4 3x x2 0可得 x 1且 x 4，然后求出 y 4 3x x2 的减区间即可.
【详解】由 4 3x x2 0可得 x 1且 x 4，
3
因为 y 4 3x x2 开口向下，其对称轴为 x ，
2
3
y 4 3x x2 , 4 所以 的减区间为 和 4, 2
1 3
所以 y 2 的单调增区间为 , 4 和 4, 4 3x x 2
故选：C
6．已知函数 f x x 2 x a 1 .
(1)当 a 4时，写出 f x 的单调区间（不需要说明理由）；
(2)若存在 x 3,5 ，使得 f x 5，求实数 a的取值范围.
11
【答案】(1)增区间为 ,3 、 4, ，减区间为 3,4 ；(2) a 或 a 6
3
【分析】（1）当 a 4时，化简函数 f x 的解析式，利用二次函数的单调性可得出函数 f x 的增区间和减区间；
4 4
（2）由参变量分离法可知， a x 或 a x 在 x 3,5 上有解，利用函数单调性或基本不等式可求得实
x 2 x 2
数 a的取值范围.
x
2 6x 9, x 4
【详解】(1)解：当 a 4时， f x x 2 x 4 1 2 ，
x 6x 7, x 4
所以，函数 f x 的增区间为 ,3 、 4, ，减区间为 3,4 .
(2)解：因为存在 x 3,5 ，使得 f x 5，
等价于存在 x 3,5 ，使得 x 2 x a 4 4 成立，即 x a ，
x 2
x a 4 x a 4所以， 或 在 x 3,5 上有解，
x 2 x 2
a x 4 4即 或 a x 在 x 3,5 上有解，
x 2 x 2
a x 4 a x 4所以，

x 3,5
x 2
或 x 2 ， . max min
因为 y x y
4 4
、 在 3,5 上均为增函数，则 y x 在 3,5 上为增函数，
x 2 x 2
a 4 11所以， x

x 2 3 ， max
当 x 3,5 时， x 2 1,3 ，
4 4
由基本不等式可得 x x 2 2 2 x 2 4 2 6，x 2 x 2 x 2
当且仅当 x 4时，等号成立，则 a 6 .
a 11综上所述， 或 a 6 .
3
题型三、单调性的应用
命题点 1 已知单调区间求参数
ax 1
7．函数 f x 在区间 2, 上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）
x 2
1 1
A． 0, B． ,

C． 2, D． ,1 1,
2 2
【答案】B
1 2a
【分析】当 a 0时，可直接得不符合；当 a 0时，变形得 f (x) a ，结合反比例函数的单调性，列不等式
x 2
求实数 a 的取值范围.
【详解】当 a 0时， f x 1 在区间 2, 上单调递减，舍去；
x 2
当 a 0时， f (x)
ax 1 a(x 2) 1 2a a 1 2a
x 2 x 2 x 2
y 1 ax 1因为 在区间 2, 上单调递减，函数 f x 在区间 2, 上单调递增，
x 2 x 2
a 1 1 2a 0，即 .
2
故选：B.
8．已知函数 f x 3x a 的增区间是 2, ，则实数 a 的值为___________.
【答案】6
【分析】去绝对值将 f x 3x a 转化为分段函数，再根据单调性求解 a 的值即可.

3x a, x
a

3
【详解】因为函数 f x a ， 3x a, x
3
a a
故当 x 时， f x 单调递减，当 x 时， f x 单调递增.
3 3
因为函数 f x 3x a 的增区间是 2, ，
a
所以 2，所以 a 6 .
3
故答案为：6 .
9．函数 y x2 2mx 3在区间 1,3 上具有单调性，则 m 的取值范围为_______.
【答案】m 1或m 3
【分析】利用二次函数的单调性直接列式计算作答.
【详解】二次函数 y x2 2mx 3的对称轴为 x m ，因函数 y x2 2mx 3在区间 1,3 上具有单调性，
所以m 1或m 3
故答案为：m 1或m 3
10．已知函数 f (x) x
a
在区间 (0,1]上单调递减，则实数 a的取值范围为___________.x
【答案】 ( , 1] [1, )
【分析】分类讨论 a，根据函数解析式得到函数在 (0, )上的单调性，再根据已知列式可得结果.
【详解】当 a 0时， f (x) | x |在 (0, )上单调递增，故在区间 (0,1]上单调递增，不合题意；
当 a 0时， f (x) x
a

x 在区间 (0, a ]上单调递减，在区间[ a , )上单调递增，若
f (x) 在区间 (0,1]上单调递减，
则 a 1， a 1；
当 a 0时， f (x) x
a

x 在区间 (0, a ]上单调递减，在区间[ a , )上单调递增，若
f (x) 在区间 (0,1]上单调递减，
则 a 1， a 1；
综上，实数 a的取值范围为 ( ,1] [1, ) .
故答案为： ( ,1] [1, ) .
11．已知函数 f (x) mx2 3x 1在区间 1, 上是增函数，求实数m 的取值范围．
3
【答案】 m 0 .
2
【分析】根据给定条件按m 0与m 0 讨论 f (x) 的单调性作答.
【详解】因函数 f (x) mx2 3x 1在区间 1, 上是增函数，则当m 0时， f (x) 3x 1在 R 上单调递增，即
m 0，
当m 0 时，若 m 0，有 f (x) 在 (
3 , )上单调递增， 1, 3 3 3 ( , )，则有 1，解得 m 0，
2m 2m 2m 2
若 m 0，有 f (x) 在 (
3 , )上单调递减， f (x) 在 1, 上不可能递增，
2m
3
所以实数m 的取值范围是 m 0 .
2
命题点 2 与分段函数有关的单调性问题
x2 ax 5, x 1 f x f x
12．已知函数 f (x)

x x 1 2 a 满足对任意 1 2 ，都有 0成立，则 a 的范围是（x x ） , x 1x 1
2

A． 3,0 B． 3, 2 C． ( , 2] D． ( ,0]
【答案】B
【分析】由题得函数在定义域上单调递增，列出不等式组得解.
f x f x
【详解】因为对任意 x1 x
1 2
2 都有 0，x1 x2
所以函数在定义域 R 上单调递增，
a 0
a
所以 1 ， 解得 3≤a≤ 2，
2
a 1 a 5
所以 a 的范围是 3, 2
故选：B
f x x 3a , x 013．已知函数 2 是 , ax ax 1, x 0 上的减函数，则实数 的取值范围是（ ）
1
A．0≤ a≤ B． a 0
3
1
C． a 0 D．0 a
3
【答案】A
【分析】由题意可得出关于实数 a的不等式组，由此可解得实数 a的取值范围.
【详解】由于函数 y f x 是 , 上的减函数，
则函数 y x2 ax 1在 ,0 a上为减函数，所以，对称轴 x 0，解得 a 0 .
2
a 1且有3a 1，解得 .
3

综上所述，实数 a的取值范围是 0,
1
3
.

故选：A.
tx2 x 2, x t
14．已知函数 f x 且 f x 在定义域上是单调函数，则实数 t 的取值范围为（ ）
x 1, x t
A． ( , 1] B． 1,5 C． 1,2 D． ( 1, )
【答案】A
【分析】先判断 f x 的单调性，然后对 t 进行分类讨论，由此求得 t 的取值范围.
【详解】由于函数 y x 1在定义域上单调递增，所以函数 f x 在定义域上是单调递增函数．
x 2, x 0
当 t 0时，函数 f x x 1, x 0 在定义域上不单调，不符合题意；
1
当 t 0时，函数 y tx2 x 2图象的对称轴为 x ，
2t
1
当 t 0 时，函数 y tx2 x 2在区间 , 上单调递减，不符合题意，
2t
1
当 t 0时，函数 y tx2

x 2在区间 , 上单调递增，
2t
t 1 t3 t 2

要使函数 f x 在定义域上单调递增，则需 1 ，解得 t 1．
t 2t
故实数 t 的取值范围为 ( , 1]．
故选：A
x2 mx 5, x 1

15．已知函数 f(x)＝ m ，对任意 x1，x2∈R 且 x1≠x2，都有 x1 x2 f x1 f x , x 1 2
0，则实数 m 的
x
取值范围是___________.
【答案】 2,3
【分析】根据单调性的定义可知，函数 f x 在R 上递减，即可利用分段函数的性质解出．
【详解】不妨设 x1 x2，所以由 x1 x2 f x1 f x2 0可得： f x1 f x2 ，
m
12
所以函数 f x 在R 上递减，故 m 0 ，解得： 2 m 3．

1 m 5 m

故答案为： 2,3 ．
命题点 3 根据函数的单调性解不等式
16．已知 f x 是定义在 1,1 上的增函数，且 f x 2 f 1 x ，则 x 的取值范围为（ ）
, 3 1, 3 3 ,2 3 A． B．2 2
C．
2
D． 0, 2
【答案】B
1 x 2 1

【分析】由题意可得 1 1 x 1 ，解不等式组可求得答案

x 2 1 x
【详解】因为 f x 是定义在 1,1 上的增函数，且 f x 2 f 1 x ，

1 x 2 1 1 x 3

所以 1 1 x 1
3
，即 0 x 2 ，解得1 x ，
2
x 2 1 x x 3
2
3
所以 x 的取值范围为 1, 2
，

故选：B
17．已知函数 f x 对 x1、 x2 R ，总有 x1 x2 f x1 f x2 0，若不等式 f 3a x f x a2 对 x a 1, a
恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 1, 2 B． 0,1
C． ,0 1, D． , 1 2,
【答案】D
【分析】分析可知函数 f x 是R 上的增函数，可得出3a a2 2x 在 a 1,a 上恒成立，可得出关于实数 a的不等式，
进而可求得实数 a的取值范围.
【详解】不妨设 x1 x2，由 x1 x2 f x1 f x2 0可得 f x1 f x2 ，
所以，函数 f x 是R 上的增函数，
2
由不等式 f 3a x f x a 在 a 1,a 上恒成立可得到3a x x a2在 a 1,a 上恒成立，
3a a2 2x a 1,a 3a a2所以 在 上恒成立，故有 2 a 1 ，即 a2 a 2 0，
解得 a 1或 a 2 .
故选：D.
18．设函数 f (x) 是 R 上的减函数，若 f (m2 2) f (2m 5)，则实数 m 的取值范围是____.
【答案】 1,3
【分析】根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，再解一元二次不等式即可；
【详解】解：因为函数 f (x) 是 R 上的减函数，则 f (m2 2) f (2m 5)等价于m2 2 2m 5，即m2 2m 3 0 ，即
m 1 m 3 0，解得 1 m 3，即m 1,3 ；
故答案为： 1,3
19．已知 f (x) 为定义在 R 上的增函数，满足 f (1) 2， f (x) 0，且对任意 x，y R ，有 f (x y) f (x) f (y) .
(1)求 f (0)和 f (3)的值；
(2)若 2 f (a) f (2 a)，求实数 a的取值范围.
1
【答案】(1) f (0) 1， f (3) 8；(2) a
2
【分析】（1）令 x y 0 ，即可求得 f 0 ，再根据 f 3 f 2 1 f 2 f 1 f 1 1 f 1 f 1 f 1 f 1 即可求
得 f 3 ；
（2）根据 f (1) 2，可得 2 f (a) f (2 a)，即为 f (1 a) f (2 a)，再根据函数的单调性即可得出答案.
【详解】(1)解：由对任意 x，y R ，有 f (x y) f (x) f (y)，
令 x y 0 ，则 f 0 f 0 f 0 ，
又因 f (x) 0，所以 f (0) 1，
f 3 f 2 1 f 2 f 1 f 1 1 f 1 f 1 f 1 f 1 2 2 2 8，
所以 f (0) 1， f (3) 8；
(2)解：因为 f (1) 2，
则 2 f (a) f (2 a)，即为 f 1 f (a) f (2 a)，即 f (1 a) f (2 a)，
又因 f (x) 为定义在 R 上的增函数，
1
所以1 a 2 a，解得 a .
2
20．定义在 R 上的函数 f x ，满足对任意的实数 x ， y 总有 f x y f x f y 4，若 x 0时， f x 4且
f 2 10 .
(1)求 f 2 的值；
(2)求证 f x 在定义域 R 上单调递减；
(3)若 f k 2 f 2k 3时，求实数 k 的取值范围.
【分析】（1）利用赋值法求出 f 2 的值；
（2）证明见解析；
（3）先把不等式转化为 f k 2 f 2k 1 ，利用函数的单调性即可求解.
【详解】(1)因为对任意的实数 x ， y 总有 f x y f x f y 4，
所以取 x y 0 ，有 f 0 0 f 0 f 0 4，解得： f 0 4 .
取 x 2, y 2，有 f 2 2 f 2 f 2 4，因为 f 2 10，解得： f 2 2 .
(2)任取 x1, x2 R , 且 x1 x2，记 t x2 x1 0，
则 f x2 f x1 f t x1 f x1 f t f x1 4 f x1 f t 4 .
因为 x 0时， f x 4，所以 f x2 f x1 f t 4 0，即 f x2 f x1 ，
所以 f x 在定义域 R 上单调递减.
(3)因为对任意的实数 x ， y 总有 f x y f x f y 4，
所以取 x y 1，有 f 1 1 f 1 f 1 4，解得： f 1 1.
所以 f k 2 f 2k 3可化为 f k 2 f 2k f 1 4 f 2k 1
因为 f x 在定义域 R 上单调递减.
所以 k 2 2k 1，解得 k 3 .
即不等式的解集为 , 3
1．已知函数 f x 满足： f x 1 x 3
(1)求 f x 的解析式；
f x 2x
(2) 判断函数 g x 在区间 2, 上的单调性，并证明．
x
【分析】（1）换元法求解析式即可，注意中间变量的范围；
（2）利用（1）中结果求得 g(x)，按照定义法证明函数单调性的基本步骤进行即可：取值，作差，化简变形，定号，
下结论.
【详解】(1)令 x 1 t ，则 x (t 1)2 ， t 1，
代入 f x 1 x 3，得 f (t) (t 1)2 3, t 1，
即 f (x) (x 1)2 3, x 1
f x 2x
(2) 1 g x (x 1)
2 3 2x 4
由（ ）可得： x ，
x x x
g(x)在区间 2, 上单调递增，证明如下：
4 4 4 4
x1, x2 [2, ) ，且 x1 x2，则 g(x1) g(x2 ) x1 (xx 2
) (x1 x2 ) ( )
1 x2 x1 x2
(x x ) 4(x1 x2 ) (x x )(x x 4) 1 2 1 2 1 2x1x2 x1x2
因为 2 x1 x2 ，所以 x1 x2 0, x1x2 4 ，所以 g(x1) g(x2 ) 0 ，即 g(x1) g(x2 )
所以 g(x)在区间 2, 上单调递增.
2．已知函数 f x ax b x 2 1 ， f 0 ， f 1 1.
x 2 2
(1)求实数 a b 的值，并确定 f x 的解析式；
(2)试用定义证明 f x 在 , 2 上单调递减.
1
【分析】(1)根据 f 0 ， f 1 1列出关于 a、b 的方程组即可求解；
2
(2)设 x1 x2 2，作差判断 f x1 、f x2 的大小即可.
b 1 ＝ ，
f 0 1

f 1 1 2 2 b 1 2x 1【详解】(1)由 ， ，得 a 2 a b 解得 ， ，∴ f x .2 ＋ 1 x 2＝ ，
1
2
(2) f x x 2 3 2 3 ，
x 2 x 2
3 x x
设 x1 x2 2，则 f x f x
3 3
1
2 1
2 x1 2 x2 2 x
，
1 2 x2 2
∵ x1 2 x2 2 0， x2 x1 0，
∴ f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ，
∴ f x 在 , 2 上单调递减.
3．函数 f x x2 1的单调递增区间是（ ）
A． , 3 B． 0, C． 3,3 D． 3,
【答案】B
【分析】直接由二次函数的单调性求解即可.
2
【详解】由 f x x 1知，函数为开口向上，对称轴为 x 0的二次函数，则单调递增区间是 0, .
故选：B.
4．函数 f x x2 6 x 8的单调减区间是______．
【答案】 0,3 ， , 3
【分析】根据绝对值的定义去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数单调性求得单调递减区间．
x2 6x 8 x 0
【详解】去绝对值，得函数 f (x)
x
2 6x 8 x 0
当 x 0 时，函数 f (x) x2 6x 8 的单调递减区间为 0,3
当 x 0 时，函数 f (x) x2 6x 8的单调递减区间为 , 3
x2 6x 8 x 0
综上，函数 f (x) 2 的单调递减区间为 0,3 ， , 3
x 6x 8 x 0
故答案为： 0,3 ， , 3
5．画出函数 y x x 2 2 ，（ x 1,5 ）的图象，并根据图象指出函数的单调区间和最大、最小值.
【答案】图象见解析；递减区间是：[ 1,0]，[2,5]，递增区间是：[0,2]；最大值为 4，最小值为 5 .
【分析】化给定函数为分段函数，再画出其图象，结合图象即可求解作答.
x2 , 1 x 2
【详解】原函数化为： y 2 ，在平面直角坐标系内作出其图象，如图：
x 4x, 2 x 5
观察图象得，函数 y x x 2 2 的单调递减区间是：[ 1,0]，[2,5]，递增区间是：[0,2]，
当 x 2时， ymax 4，当 x 5时， ymin 5，
所以原函数最大值为 4，最小值为 5 .
6．已知函数 f x 的图象如图所示，若 f x 在 m,m 1 上单调递增，则m 的取值范围为___________.
【答案】 0,1
【分析】由图象建立不等式组，求解即可.
m 0,
【详解】解：由图可知， f x 的单调递增区间为 0,2 .由题意得
m 1 2,
即0 m 1.
故答案为： 0,1 .
7 f x x2．已知函数 2a 1 x 3在区间 1, 4 上单调递增，则实数 a取值范围是___________.
, 3 【答案】
2
【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的性质求出 a的范围即可.
1
【详解】函数 （f x）的对称轴是 x a ，
2
若函数 （f x）在区间 1，4 上单调递增，
1 3
则 a 1，解得： a ，
2 2
3
故答案为： ,

. 2
8 2．已知函数 f x ax 2 a 1 x 2 .若 f x 的减区间为 ( , 4) ，则实数 a 的值为___________；若 f x 在区间
( , 4) 上是减函数，则实数 a 的取值范围为___________.
1 1
0, 【答案】
5 5
【分析】根据函数的单调性的定义及对参数进行分类讨论，结合一次函数和二次函数的单调性即可求解.
a 0
1
【详解】由题意知 1 a ，解得 a ，
4 5 a
1
所以实数 a 的值为 .
5
当 a 0时， f x 2x 2 在区间 ( , 4) 上是减函数，所以 a 0满足题意；
当 a 0时，因为 f x 在区间 ( , 4) 上是减函数，
a 0
1
所以 1 a ，解得0 a .
4 5 a
1
综上所述，实数 a 的取值范围为 0, . 5
1 1
故答案为： ； 0, .5 5
a 5 x 2, x 2 f (x ) f (x )
9．函数 f (x) 1 2 x2
x , x R(x x )
2 a 1 x 3a, x 2，若对任意 1 2 1 2 ，都有
0
x x 成立，则实数 a 的取值范 1 2
围为（ ）
A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]
【答案】D
【分析】由函数的单调性可求解．
f (x1) f (x2 )
【详解】因为对任意 x1, x2 R(x1 x2 ) ，都有 0 f (x)x1 x
成立，所以 是减函数，
2
4 4(a 1) 3a 2(a 5) 2

则 a 5 0 ，解得1 a 4．

a 1 2
故选：D．
x2 2ax, x 2

10．已知函数 f x 1 ，若 f x 在 R 上单调递增，则实数 a的取值范围是（ ）
3a, x 2 2x
15 , 1 2, 4 , 2 15A． B． C． D． , 2

4 2 15 4
【答案】D
【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数 a的不等式组，由此可解得实数 a的取值范围.
2
【详解】由题意可知，函数 f x x 2ax 在 2, 上为增函数，则 a 2，
1 15
且有 3a 4 4a，解得 a .
4 4
15
因此，实数 a的取值范围是 , 2 4
.

故选：D.
11．函数 f x 是 R 上的增函数， A 0, 1 ，B 3,1 是其图象上的两点，则 1 f x 1的解集是（ ）
A． 1,0 0,1 B． 0,3
C． , 1 3, D． 0,1
【答案】B
【分析】由题意将 1 f x 1，转化为 f (0) f (x) f (3)，再根据函数的单调性可求得解集
【详解】因为 A 0, 1 ，B 3,1 是 f x 图象上的两点，所以 f (0) 1, f (3) 1，
所以 1 f x 1，转化为 f (0) f (x) f (3)，
因为函数 f x 是 R 上的增函数，所以0 x 3，所以不等的解集为 0,3 ，
故选：B
12．已知函数 f x 2是 R 上的增函数，且 f x x f a x 对一切 x∈R 都成立，则实数 a 的取值范围是________.
【答案】 , 1
【分析】根据函数的单调性化简不等式，结合分离常数法以及二次函数的性质求得 a的取值范围.
【详解】由于 f x 是 R 2上的增函数， f x x f a x ，
所以 x2 x a x ，即 a x2 2x对任意 x R 恒成立.
x2 2x x 1 2 1 1，所以 a 1，
所以 a的取值范围是 , 1 .
故答案为： , 1
13．已知函数 y f x 是定义在 0, 上的减函数，且 f 2x 3 f 5x 6 ，求 x 的范围．
3
【答案】 ,
2
【分析】依题意根据函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，需注意函数的定义域，即可得到不等式
组，解得即可；
2x 3 0
3
【详解】解：由题意可知， 5x 6 0 ，解得 x .
2
2x 3 5x 6
x 3∴ 的取值范围为 ,

.
2
14．已知函数 f x ，对任意的 a，b R，都有 f a b f a f b 2，且当 x 0时， f x 2．
(1)求证： f x 是 R 上的增函数；
(2)若 f 4 5，解不等式 f m2 m 7 ．2
7
【分析】（1）赋值法证明抽象函数单调性；（2）先根据 f 4 5，用辅助法求出 f 2 ，再利用第一问求出的函
2
数单调性解不等式.
【详解】(1)由 f a b f a f b 2可得： f a b f a f b 2，令 a x2 ，b x1 x2 ，且 x1 x2 ，则
f x1 f x2 f x1 x2 2，因为当 x 0时， f x 2，所以 f x1 x2 2， f x1 f x2 f x1 x2 2 0，
即 f x1 f x2 ，由于 x1, x2 的任意性，故可证明 f x 是 R 上的增函数；
7 7
(2) 2令 a b 2得： f 4 2 f 2 2 ，因为 f 4 5，所以 f 2 ，故 f m m f 2 ，由第一问得到 f x 2 2
是 R 上的增函数，所以m2 m 2，解得： 1 m 2，故不等式解集为 1,2 .
15．函数 f x 对任意的 a，b R，都有 f (a b) f a f b 1，并且当 x 0时， f x 1．
(1)求证： f x 在 R 上是增函数；
(2)若 f 4 5，解不等式 f (3m 2) 3．
【分析】（1）先任取 x1 x2 , x2 x1 0．由当 x 0时， f x 1．得到 f x2 x1 1 ，再按照 f (a b) f a f b 1
变形，即可得到结
（2）由 f 4 f 2 f 2 1，求得 f 2 3，再将 f (3m 2) 3转化为 f (3m 2) f (2)，利用单调性求解即
可．
【详解】(1)证明：设 x1, x2 R，且 x1 x2，则 x2 x1 0,
因为当 x 0时， f x 1，所以 f (x2 x1) 1
∴ f x2 f x1 f [(x2 x1) x1] f x1 f (x2 x1) f x1 1 f x1 f (x2 x1) 1 0．
∴ f x2 f x1 ．
故 f x 在R 上是增函数．
(2)解：∵ f 4 f (2 2) f 2 f 2 1 5，∴ f 2 3．
∴原不等式可化为 f (3m 2) f (2)．
∵ f x 4在R 上是增函数，∴ 3m 2 2，解得m ．
3
4
故不等式的解集为 ,

．
3
16．定义在 (0, )上的函数 f (x) 满足 f (mn) f (m) f (n)(m ， n 0) ，且当 x 1时， f (x) 0 ．
(1)求证： f (x) 在 (0, )上是增函数；
(2)若 f (2) 1 ，解不等式 f (x 2) f (2x) 2；
m n f (m) f (n)
(3)比较 f ( )2 与 的大小．2
【分析】（1）抽象函数单调性证明，第一步定义域下取值，第二步作差，第三步比大小，第四步结论.
（2）抽象函数解不等式，利用定义的运算及函数的性质列式求解即可.
（3）利用函数性质及基本不等式列式求解即可.
x x
【详解】(1)证明：设0 x1 x
2
2 ，则 1，则 f (
2 ) 0
x x ，1 1
f (x ) f (x ) x2 1 f ( 2 x1) f (x1) f (
x2 ) 0，即 f (xx x 2 ) f (x1)，1 1
则 f (x) 在 (0, )为增函数．
(2)若 f (2) 1，则 f （2） f （2） f （4） 2，
则不等式 f (x 2) f (2x) 2等价为 f (x 2) f (2x) f (4)；
即 f (x 2) f (2x) f (4) f (8x) ；

x 2 0 x 2

则满足 2x 0 ，即 x 0 x
2
，解得 0, ．
7
x 2 8x 2

x
7
(3)因为 f (mn) f (m) f (n) f (
m n) f (m n) f ((m n 2，所以 ) )2 2 2 ，
2 f (m n) f ((m n )2 ) f (( mn)2 ) f (mn) f (m) f (n)
2 2 ，
m n
f ( ) f (m) f (n)
2 2 ．
1．已知函数 f x x2 2ax 4在[0, ) 上是增函数，则实数 a的取值范围为（ ）
A． , 1 B． 1, C． 0, D． ,0
【答案】D
【分析】利用二次函数单调性，列式求解作答.
【详解】函数 f x x2 2ax 4的单调递增区间是[a, )，依题意，[0, ) [a, )，
所以 a 0，即实数 a的取值范围是 ,0 .
故选：D
2．已知函数 f (x) x2 kx 6在[2，8]上单调递减，则 k 的取值范围是（ ）
A． (4,16) B．[4,16] C．[16, ) D． ( , 4] [16, )
【答案】C
【分析】利用二次函数的单调性可得答案.
k
【详解】因为函数 f (x) x2 kx 6的对称轴为 x
2
k
所以要使函数 f (x) x2 kx 6在[2，8]上单调递减，则有 8，即 k 16
2
故选：C
3．“ a 2 ”是“函数 f x x a 在区间 2, 上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求出函数 f x x a 在区间 2, 上为增函数的 a的取值范围，结合与 a 2的关系求出答案
【详解】 f x x a 的图象如图所示，要想函数 f x x a 在区间 2, 上为增函数，必须满足 a 2，因为 2 是
a a 2 的子集，所以“ a 2 ”是“函数 f x x a 在区间 2, 上为增函数”的充分不必要条件.
故选：A
3x 1, x 1 f x f xf x x x 1 2 4．已知函数 ，满足对任意的实数 1 2 ，都有 0 a 1 x, x 1 成立，则实数
a的取值范围为
x1 x2
（ ）
A． 1,3 B． 1,3 C． 1,3 D． 1,3
【答案】C
a 1 0
【分析】根据题意可知函数为增函数，然后列出式子 a 计算即可. 1 3
1 1
f x1 fx x x 2 【详解】由题可知：任意的实数 1 2 ，都有 0成立x1 x2
a 1 0所以函数 f x 为 R 上的增函数，所以 1 ，得到1 a 3，即 a 1,3
a 1 3 1
故选：C
1
5．函数 f (x) x
p
在 ,

上为增函数，则 p 的取值范围为（2 ）x
p 1 0 p 1 p 0 p 1 0 p 1A． B． C． 或 D．
4 4 4 4
【答案】A
【分析】根据 p 的正负性结合对勾函数的单调性进行求解即可.
1
【详解】当 p 0时，函数 f (x) x显然在 , 上为增函数，故符合题意； 2
当 p 0
p 1
时，根据函数单调性的性质可知：函数 f (x) x 在 ,
x
上为增函数，故符合题意；
2
当 p 0 f (x) x
p
p , 1 时，函数 在 上单调递增，因此要在 , 上为增函数，x 2
p 1 1 1只需 p ，即 0 p ，
2 4 4
p 1综上所述： ，
4
故选：A
6．（多选）关于函数 f x x2 2x 3的结论，下列说法正确的有（ ）
A． f (x) 的单调增区间是 1,1 B． f (x) 的单调减区间是 1,
C． f (x) 的最大值为 2 D． f (x) 没有最小值
【答案】AC
【分析】通过研究函数的定义域、单调性及单调区间可以对选项判断正误.
【详解】要使函数有意义，有 x2 2x 3 0 ，解得 1 x 3，可知选项 B 错误，
当 x 1或 x 3时 x2 2x 3 0，此时函数有最小值 0 ，可知选项 D 错误，
令 y x2 2x 3 (x 1)2 4，根据复合函数的单调性可知选项 A 正确，
根据函数的单调性及定义域，可知 f x f (1) 2max ，从而选项 C 正确.
故选：AC
bx a
7．（多选）已知函数 f x 在区间 2, 上单调递增，则 a，b 的取值可以是（ ）
x 2
A 3． a 1，b B． a 4，b 2
2
C． a 1，b 2 D． a 2，b 1
【答案】AC
【分析】分离常数得 f x a 2b b ，若 f x 在 2, 单调递增，则满足 a 2b 0，检验选项即可求解.
x 2
bx a
【详解】 f x =b a 2b 在 2, 上单调递增,则满足: a 2b 0 ,即 a 2b ,故 a 1 3，b 满足， a 1，
x 2 x 2 2
b 2 满足，
故选:AC
x2 2ax 3, x 1

8．（多选）已知函数 f (x) a 在 R 上单调递减，则 a 不可能等于（ ）
, x 1 x
A 1
5
． 2 B．1 C． D．22
【答案】ACD
【分析】分段函数 R 上单调递减，不仅每一段递减，并且左边一段的最小值不小于右边一段的最大值，列不等式求
解即可.
x2 2ax 3, x 1

【详解】 函数 f (x) a 在 R 上单调递减
, x 1 x
a 0
a 1 1 a 4 1 5 解得 . 则 a 不可能等于 2 , ，2. 3 2
1 2a 3 a
故选：ACD.
9．已知函数 f x x x 2x 的单调增区间为_______．
【答案】 ， 1 和 1， .
【分析】分 x 0 和 x 0 分别求出函数的单调增区间即可得答案.
2
【详解】解析: x 0 时， f x x 2x，对称轴 x 1，开口向上，在 1， 递增，
x 0 时， f x x2 2x，对称轴 x 1，开口向下，在 ， 1 递增，
函数的递增区间是 ， 1 和 1， .
故答案为： ， 1 和 1， .
10．函数 f x x 1 a x 在R 上为增函数，则a ___________．
【答案】1
【分析】根据 f a f 1 ，即可求出 a的值，再代入检验即可；
【详解】解：∵ f x x 1 a x ，
∴ f a 0 f 1 ，又函数为增函数，
∴ a 1
x 1
2
，x 1
当 a 1时， f x x 1 1 x 2 在R 上为增函数，符合题意，
x 1 ，x 1
∴ a 1．
故答案为：1
11．设函数 f (x) 2x
a
b ，其中 a 0，b R .若 f (x) 在[1, 2]上不单调，则实数 a的一个可能的值为______.
x
【答案】 a 2,8 内的任意一个数.
【分析】由对勾函数的性质判断出函数的单调区间，假设 f (x) 在[1, 2]上单调，即可求出 a的取值范围，其补集即为
f (x) 在[1, 2]上不单调时实数 a的取值范围.
【详解】函数 f x 的定义域为 ,0 0, ，
a a
由对勾函数的性质可得函数 f x 在 , 和 ,
2 2
上是单调递增，

a
在 ,0 和 0,
a
2 上是单调递减， 2
若 f (x) 在[1, 2] a a上单调，则 2或 1，
2 2
解得 a 8或 a 2，
则 f (x) 在[1, 2]上不单调，实数 a的范围是 2,8 ,
故答案为： a 2,8 内的任意一个数.
a 1
12．若函数 f x x 1 在区间 ,12 上单调，则实数 a 的取值范围是______．2
【答案】 , 2 3,
【分析】利用此绝对值函数的对称轴不在所给区间可得结论．
【详解】因为函数 f x 1在区间 ,1 a 12 上是单调的，且其图象的对称轴为直线 x ， 2
a 1 1 a 1
所以 或 1，解得 a 2或 a 3．所以实数 a 的取值范围是 , 2 3, ．
2 2 2
故答案为： , 2 3,
13 2．（1）若函数 f x x 2 a 1 x 2的单调递减区间是 , 4 ，则实数 a的取值范围是______.
（2）若函数 f x x2 2 a 1 x 2在区间 , 4 上单调递减，则实数 a的取值范围是______.
【答案】 3 , 3
【分析】（1）函数 f x 的图象的对称轴为直线 x 1 a ，根据函数 f x 的单调递减区间为 , 4 ，由1 a 4 求解；
（2）函数 f x 的图象的对称轴为直线 x 1 a ，根据函数 f x 在区间 , 4 上单调递减，由1 a 4求解.
【详解】（1）因为函数 f x 的单调递减区间为 , 4 ，
且函数 f x 的图象的对称轴为直线 x 1 a ，
所以1 a 4 ，即 a 3 .
（2）因为函数 f x 在区间 , 4 上单调递减，且函数 f x 的图象的对称轴为直线 x 1 a ，
所以1 a 4，即 a 3 .
故答案为： 3 ； , 3
x2 4ax, x 1
14．已知函数 f (x) ，若 f x 在R 上是增函数，则实数 a的取值范围是___________.
(2a 3)x 4a 5, x 1
1 , 3 【答案】 2 2
【分析】根据分段函数的两段都单调递增， x 1时 f x 最大值小于或等于 x 1时 f x 的下界列不等式组，解不等
式组即可求解.
【详解】当 x 1时， y x2 4ax 对称轴为 x 2a，
x2 4ax, x 1
因为函数 f (x) 在R 上是增函数，
(2a 3)x 4a 5, x 1
2a 1

则 1 4a 2a 3 1 4a 5 1，解得 a 3 ，
2 2
2a 3 0
1 , 3 故答案为： 2 2
.

1
15．已知 f x 是定义在 0, 单调递减函数，若 f 2a 1 f ，则实数 a的取值范围是__________.
3
1 2
【答案】 ,2 3
【分析】根据函数的单调性与定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
2a 1 1
【详解】解：因为 f x 是定义在 0, 单调递减函数，则 f 2a 1 f 1 1 等价于 3 ，解得 a
2
，
3
2a 1 0
2 3
a 1 2即

, ； 2 3
1 , 2 故答案为：
2 3
16．已知函数 y f (x) 是定义在 R 上的增函数，且 f (3 2a) f (2)，那么实数 a 的取值范围为________．
1
【答案】 ,

2
【分析】利用函数单调性的定义求解即可.
1
【详解】由已知条件得3 2a 2，解得 a ，
2
1
则实数 a的取值范围为 , .
2
1 , 故答案为： .
2
4
17．判断 f x x 在 0，2 ， 2， 的单调性.
x
【答案】函数在 0，2 内单调递减，在 2，＋ 内单调递增．
【分析】根据单调性的定义，假设自变量的大小，作差比较函数值的大小，进而可判断单调性.
【详解】设0 x1 x2 ，
4 4 x x
则 y1 y2 x1 x
4
2 x
4 4 4
1 x2 x x 2 11 2 x1 x2 1
x

1 x2 x1 x2 x1x2 x1x2
（1）假如0 x1 x2 2 ，则0 x1 x2 4 1
4
0
x1x2
又 x1 x2 0 ，所以 y1 y2 0 y1 y2，故函数单调递减；
4 4
（2）假如 2 x1 x2 ，则 x1 x2 4 1 1 0x1x2 x1x2
又 x1 x2 0 ，所以 y1 y2 0 y1 y2，故函数单调递增；
所以函数在 0，2 内单调递减，在 2，＋ 内单调递增．
2
18．已知函数 f x x 2x a .
x
a 1(1)当 时，先用定义法证明函数 f x 在 1, 上单调递增，再求函数 f x 在 1, 上的最小值；
2
(2)若对任意 x 1, ， f x 0恒成立，求实数 a的取值范围.
【分析】（1）利用定义，设1 x1 x2 ，证明 f x1 f x2 0即可，再结合函数图像及单调性，即可得出最小值；
2
（2 2）利用不等式的性质，用分离参数法得到 a x 1 1，则不等式恒成立等价于 m x 1 1 ，此时
max
利用函数单调性求 x 1 2 1的最大值，即可得到答案.
2 1
【详解】(1)由题， x 1, a 1 x 2x ， ，所以
2 f x 2 x
1
2 ，
x 2x
令1 x1 x2 ，所以 f x1 f x2
1 1
x1 2 x2 2 x1 x2 1
1
，
2x 1 2x2 2x1x2
1
因为 x1 x2 0， 1 0，所以 f x1 f x2 02x ，1x2
故函数 f x 在 1, 上单调递增， f x 在 1, 7上的最小值为 f 1
2
2
(2) x 1, x 2x a由题 ， 0 x x2 2x a 0 x2 2x a 0，x
所以 a x2 2x x 1 2 1 2，由二次函数的单调性易得，当 x 1时， x 1 1取得最大值为 3，故 a 3 .
3x 5, x 0
19．已知函数 f x 的解析式 f x x 5,0 x 1.

2x 8, x 1

(1)求 f f
1
；
2
(2)若 f a 2，求 a的值；
(3)画出 f x 的图象，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）.
【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得；
（2）根据分段函数解析式，分类讨论，列出方程求解 a即可．
（3）直接利用分段函数作图法，作出分段函数的图象，写出单调区间以及函数的值域即可；
3x 5, x 0

【详解】（1）解： 函数 f (x) 的解析式 f x x 5,0 x 1．

2x 8, x 1
f 1 1 11 1 11 11 5 f f
f ， 2 8 3；
2 2 2 2 2 2
3x 5, x 0
（2）解：因为 f x x 5,0 x 1且 f a 2，

2x 8, x 1
3a 5 2
所以 a 0 ，解得
a 1，

a 5 2
，解得 a 3（舍去），
0 a 1
2a 8 2
a 1 ，解得
a 3，

综上 a 1或 a 3．
（3）解：画出函数的图象如图：
由图可知，函数的单调递增区间 ,1 ，单调递减区间为 (1, )，函数的值域 ,6 ．
20．已知函数 f x x x a （ a R ）.
(1)当 a 2时，求 f x 的单调增区间；
a2(2)当 x 0,1 时， f x 的最大值为 ，求实数 a 的取值范围.
4
【答案】(1)增区间为 ,1 和 2, ；(2) 2 2 2,2 2 2 2
【分析】（1）当 a 2时，分 x 2和 x 2 两种情况去绝对值，再根据二次函数的单调区间分析即可；
（2）分 x≥a 和 x a两种情况去绝对值，再分 a 0和 a 0两种情况，结合二次函数的最值分析即可
x
2 2x, x 2
【详解】(1)当 a 2时， f x x x 2 2 ，
2x x , x 2
因为 f (x) x2 2x (x 1)2 1的对称轴为 x 1，当 x 2时，此时函数单调递增，
因为 f (x) 2x x2 (x 1)2 1对称轴为 x 1，当 x 1时，此时函数单调递增，
所以增区间： ,1 和 2, ；
2
(2) f
x ax, x a
x x x a ，
ax x
2 , x a
2
①若 a 0 f (x) f (1) 1 a a，则 max a 2 2 2 ；4
②若 a 0，则
a 2 2
（i）当 1时，即 a 2，所以 f (x)max f (1)
a a
a 1 a 2 ，因为 a 2，所以舍去；
2 4 4
2
当 x a时， f (x) x(x a) a x 1 2 a，
4 2
a 1 2 2
（ii）当 1 a 时，即当 a 2 2 2,2
a a
时， f (x)max f ，符合题意；2 2 2 4
2 2
（iii）当1 1 2 a 时，即当0 a 2 2 2时， f (x)max f (1)
a 1 a a a 2 2 2 ，所以无解，不符
2 4 4
合题意，
综上： a 2 2 2,2 2 2 2 .
x2 1, 1 x 2,21．已知函数 f x
f x 3 , 2 x 5.
(1)在所给的直角坐标系内画出 f x 的图象并写出 f x 的单调区间；
(2)求不等式 f (x) 1 0 的解集.
【答案】(1)图象见解析，单调递增区间为 0,2 , 3,5 ，单调递减区间为 1,0 , 2,3 ；
(2)[ 1, 2) [2,3 2) 5 .
【分析】（1）根据解析式得到函数图象的坐标列表，在坐标系中描点画出函数图象，结合图象确定单调区间即可.
（2）求 f (x) 1对应自变量值，再结合图象求不等式的解集.
【详解】(1)由解析式知：
x 1 0 1 2 3 4 5
f (x) 0 1 0 0 1 0 0
f (x) 的图象如下图所示：
由图象知， f (x) 的单调递增区间为 0,2 , 3,5 ，单调递减区间为 1,0 , 2,3 .
(2)令 x2 1 1，解得 x 2 或 2 ，
结合 f (x) 图象知: f (x) 1 0 的解集为[ 1, 2) [2,3 2) 5 ．
22．已知函数 f (x) x [x]， x [ 1,2) ，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，例[ 3.05] 4 ，[2.1] 2 .
(1)将 f (x) 的解析式写成分段函数的形式；
(2)作出函数 f (x) 的图象；
(3)根据图象写出函数的值域和单调区间.
x 1, 1 x 0
【答案】(1) f (x)

x,0 x 1 ；

x 1,1 x 2
(2)图象见解析；
(3)值域为 [0,1) ，单调增区间为 ( 1,0) ，( 0, 1)， (1, 2)，无单调减区间.
【分析】（1）根据 x 的定义，结合 f x 的解析式，即可写成分段函数的形式；
（2）根据（1）中所求函数解析式，数形结合画出函数图象即可；
（3）根据（2）中所求函数图象，数形结合即可求得函数值域和单调区间.
【详解】(1)当 1 x 0时，[x] 1，所以 f (x) x 1，
当0 x 1时，[x] 0，所以 f (x) x，
当1 x 2时，[x] 1，所以 f (x) x 1，
x 1, 1 x 0

综上， f (x) x,0 x 1 .

x 1,1 x 2
(2) f (x) 图象如图所示：
.
(3)由图象可得 f (x) 的值域为 [0,1) ，
单调增区间为 ( 1,0) ，( 0, 1)， (1, 2)，无单调减区间.
23．已知函数 f (x) 是定义域为 R 的单调增函数．
(1)比较 f (a2 2) 与 f (2a)的大小；
(2)若 f (a2 ) f (a 6)，求实数 a的取值范围．
【答案】(1) f (a2 2) f (2a)；(2) , 2 3,
【分析】（1）先判断 a2 2 2a，再借助增函数判断函数值大小；
（2）由增函数得到不等关系 a2 a 6，求解即可.
【详解】(1)因为 a2 2 2a (a 1)2 1 0，所以 a2 2 2a，由已知， f (x) 是单调增函数，所以
f (a2 2) f (2a)．
(2)因为 f (x) 是单调增函数，且 f (a2 ) f (a 6)，所以 a2 a 6，解得 a 3或 a 2 ．
所以 a 的取值范围为 , 2 3,
24．已知函数 f (x) 对任意 x, y R ，都有 f (x y) f (x) f (y) 1，且当 x 0时， f (x) 1．
(1)求证： f (x) 在R 上是增函数；
(2)若关于 a 的方程 f (a2 7a 5) 2的一个实根是 1，求 f (6)的值；
(3)在（2）的条件下，已知m R ，解关于 x 的不等式 f (mx) f (x 2) 3．
【分析】（1）根据单调性的定义证得 f x 在R 上递增.
（2）先求得 f 3 的值，然后求得 f 6 的值.
（3）根据已知条件化简不等式 f (mx) f (x 2) 3，对m 进行分类讨论，解一元一次不等式求得不等式的解集.
【详解】(1)依题意 f (x y) f (x) f (y) 1，且 x 0时， f x 1，
令 x y 0 ，则 f 0 f 0 f 0 1, f 0 1，
f x x f x f x 1, f x f x 2，
任取 x1 x2， f x1 f x2 f x1 f x2 x1 x1
f x1 f x2 x1 f x1 1 f x2 x1 1，
由于 x2 x1 0，所以 f x2 x1 1，
所以 f x1 f x2 0, f x1 f x2 ，所以 f x 在R 上递增.
(2)由（1）知， f x 在R 上递增，
f 12 7 5 f 3 2 ，
f 6 f 3 3 f 3 f 3 1 3 .
(3)依题意 f (x y) f (x) f (y) 1， f x 在R 上递增， f (mx) f (x 2) 3 .
f (mx) f (x 2) 1 2， f mx x 2 2, f mx x 2 f 3 ，
mx x 2 3, m 1 x 5，
当m 1时，不等式的解集为空集.
m 当 1时，不等式的解集为 x | x
5
.
m 1
5
当m 1时，不等式的解集为 x | x .
m 1