3.3 幂函数
知识点一 幂函数的概念
一般地,函数 y=xα叫做幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数.
知识点二 五个幂函数的图象与性质
1
1.在同一平面直角坐标系内函数(1)y=x;(2)y= x 2 ;(3)y=x2;(4)y=x-1;(5)y=x3 的图象如图.
2.五个幂函数的性质
1
y=x y=x2 y=x3 y x 2 y=x-1
定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0}
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在[0,+∞) 上增, 在(0,+∞)上减,
单调性 增 增 增
在(-∞,0] 上减 在(-∞,0)上减
知识点三 一般幂函数的图象特征
1.所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1).
2.当 α>0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.
特别地,当 α>1 时,幂函数的图象下凸;当 0<α<1 时,幂函数的图象上凸.
3.当 α<0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.
4.幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线 y=x 对称.
5.在第一象限作直线 x=a(a>1),它同各幂函数图象相交,按交点从下到上的顺序,幂指数按从小到大的顺序排
列.
【题型目录】
题型一、幂函数的定义
题型二、幂函数的定义域
题型三、幂函数的值域
题型四、幂函数的图像
题型五、幂函数的单调性
题型六、幂函数的奇偶性
题型一、幂函数的定义
y 1
1
1.在函数① x ,② y x
2 ,③ y 2x ,④ y 2, y 2x2 ,⑥ y x 2 中,是幂函数的是( )
A.①②④⑤ B.③④⑥ C.①②⑥ D.①②④⑤⑥
2.下列结论中正确的个数有( )
(1)幂函数的图像一定过原点;
(2)当 a<0时,幂函数 y xa在其定义域上是严格减函数;
(3)当a>0时,幂函数 y xa在其定义域上是严格增函数;
(4)函数 y 2x2 既是二次函数,又是幂函数.
A.0 B.1 C.2 D.3
题型二、幂函数的定义域
3.分别写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性:
(1) y x5;
5
(2) y x 6 ;
4
(3) y x 5 ;
3
(4) y x 2 .
2
4.已知函数 y x 3
(1)求定义域;
(2)判断奇偶性;
(3)已知该函数在第一象限的图象如图所示,试补全图象,并由图象确定单调区间.
题型三、幂函数的值域
5.下列函数中,值域是 0, 的函数是( )
1
A. y x3 B. y x4 C. y x 2 D. y x 3
1
6.幂函数 y xa中 a 的取值集合 C 是 1,0, ,1, 2,3 的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合 C 为(2 )
A
1 1 1 1
. 1,0, 2
B. ,1, 2 C. 1, ,3 D. ,1, 2,3
2 2 2
题型四、幂函数的图像
7.幂函数 y xa,y xb,y xc,y xd 在第一象限的图像如图所示,则 a,b,c,d 的大小关系是 ( )
A. a b c d B. d b c a C. d c b a D.b c d a
1
8.给出幂函数:①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)= x ;⑤f(x)= .其中满足条件x
f x1 x2 f (x1) f (x 2 ) (x1>x2>0)的函数的个数是(2 2 )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
9.请把相应的幂函数图像代号填入表格.
2
① ;② y x 2
1
;③ ;④ y x 1y x 3 y x 2 ;
1 4 1 5
⑤ y x3 ;⑥ y x 3 ;⑦ y x 2 ;⑧ y x3 .
函数代号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
图像代号
题型五、幂函数的单调性
1
10.函数 y x 的单调递减区间是( )
A. 0, B. ,0 C. ,0 和 0, D. ,0 0,+
1
11.已知幂函数 f (x) x 2 ,若 f a 1 f 3 2a ,则实数 a 的取值范围是( )
A. 1,3 B . 1,
2
C. 1,0 D. 1,
2
3 3
题型六、幂函数的奇偶性
12.已知幂函数 f (x) 2m2 9m 4 xm 在 ( ,0)上为减函数.
(1)试求函数 f (x) 解析式;
(2)判断函数 f (x) 的奇偶性并写出其单调区间.
13.下列函数,既是幂函数,又是奇函数的是( )
A. f x x3 B. f x x C. f x 1 D 5. f x x
x4
14.若幂函数 y a2 a 5 xa 的图像关于 y 轴对称,则实数a ______.
15.已知幂函数 f (x) (m2 5m 7)xm 1为偶函数.
(1)求 f (x) 的解析式;
(2)若 g(x) f (x) ax 3在[1,3]上,①单调,②不单调,这两个条件中选择一个条件,求实数 a的取值范围.
1.下列函数中不是幂函数的是( )
A. y x B. y x3 C. y 3x D. y x 1
2.分别写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性:
(1) y x4 ;
1
(2) y x 4 ;
(3) y x 3;
2
(4) y x 3 .
2
3.函数 y x 3 定义域是_____,值域是_______;奇偶性:_______,单调区间________.
4.有下列四个幂函数,某同学研究了其中的一个函数,并给出这个函数的三个性质:(1)是偶函数;(2)值域是
{y|y∈R,且 y≠0};(3)在(-∞,0)上单调递增.如果给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则该同学研究的
函数是( )
A. y x 1
1
B. y x 2 C. y x3 D. y x3
5.图中C1,C2 ,C3分别为幂函数 y x 1 , y x 2 , y x 3 在第一象限内的图象,则 1, 2, 3 依次可以是
( )
A 1. 2 ,3, 1 B. 1,3
1
, 2 C
1
. 2 , 1,3 D
1
. 1, 2 ,3
6.函数 y x, y x2 y
1
和 x 的图象如图所示,有下列四个说法:
1
①如果 a a2 ,那么 0 a 1;
a
②如果 a 2 a 1 a ,那么 a 1;
③ 1如果 a 2 a ,那么 1 a 0a ;
④ 2 1如果 a aa 时,那么 a 1 .
其中正确的是( ).
A.①④ B.① C.①② D.①③④
7 f x m2 3 xm 1.已知幂函数 在 0, 内是单调递减函数,则实数m ______.
1
8 .已知幂函数 f x x 2 ,若 f a 1 f 10 2a ,则 a的取值范围为( )
A. 3,5 B. 5,3 C. 5, 3 D. 3,5
1
9.(多选)已知函数 f (x)
xa 的图象经过点 ,33
则( )
A. f (x) 的图象经过点 (3,9) B. f (x) 的图象关于 y 轴对称
C. f (x) 在 (0, )上单调递减 D. f (x) 在 (0, )内的值域为 (0, )
10.写出一个同时具有下列三个性质的函数: f x ___________.
① f x 为幂函数;② f x 为偶函数;③ f x 在 ,0 上单调递减.
1
11.设 a 1,2,3, , 1 ,则使函数 y xa的定义域为 R 且函数 y xa为奇函数的所有 a的值为(2 )
A. 1,3 B. 1,1 C.1,3 D. 1,1,3
3
12 k
1
k2
.已知函数 f x x 2 2 k Z .
(1)若 f x 为偶函数,且在 0, 是增函数,求 f (x) 的解析式:
(2)若 f x 在 0, 上减函数,求 k 的取值范围.
1.下列函数是幂函数的是( )
A. y 2x B. y x2 1
C. y x3 D. y 2x
3
2.下列四个图像中,函数 y x 4 的图像是( )
A. B. C. D.
1
3.已知实数集为R ,集合 A x y x 2
,则 R A ( ).
A. ,0 B. ,0 C. D. 0,
4.函数 y x 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
m
5.如图所示是函数 *y x n ( m、n N 且互质)的图象,则( )
m m
A.m、n是奇数且 1 B.m 是偶数, n是奇数,且 1
n n
C.m
m m
是偶数, n是奇数,且 1 D.m、n是偶数,且 1
n n
6.若幂函数 y xm 与 y xn 在第一象限内的图像如图所示,则( )
A. 1 n 0 m 1; B. n 1,0 m 1;
C. 1 n 0,m 1; D. n 1,m 1.
7 2 a 1.已知幂函数 f x a 3a 3 x 为偶函数,则实数 a的值为( )
A.3 B.2 C.1 D.1 或 2
8.用函数M (x) 表示函数 f (x) 和 g(x)中的较大者,记为:M (x) max{ f (x), g(x)},若 f (x) | x | (x 0),
g(x) x 2 ,则M (x) 的大致图像为( )
A. B.
C. D.
9.(多选)已知幂函数 f x 的图象经过点 9,3 ,则( )
A.函数 f x 为增函数 B.函数 f x 为偶函数
f x f x x x
C.当 x 4 f x 2 D x x 0 1 2时, .当 2 1 时, f 1 22 2
m
10.已知幂函数 f x 3 2m x 2 的定义域为 0, ,则实数m ______.
1
11 1 2 3.有四个幂函数:① f x x ;② f x x ;③ f x x ;④ f (x) x 2 某同学研究上述函数,他给出这个
函数的三个性质:(1)偶函数;(2)值域是{y | y R ,且 y 0 }:(3)在 (0, )上是减函数.如果他给出的三个性
质中,有两个正确,一个错误,则他研究的函数可能是__________.
12 2.幂函数 y= xm 2m 3(m∈Z)的图象如图所示,则实数 m 的值为________.
13.关于幂函数 y xa,下列命题正确的是___(填序号).
①当 a 0时,图象是一条直线; ②图象都过点 0,0 和 1,1 ;
③若是奇函数,则一定是增函数; ④图象不可能出现在第四象限.
14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f x ______.
① f x1x2 f x1 f x2 ;② f x f x ;③任取x1, x2 0, , x1 x2 且 f x1 f x2 x1 x2 0.
15.幂函数 f x xm 在 0, n上单调递增, g x x 在 0, 上单调递减,能够使 y f x g x 是奇函数的一
组整数 m,n 的值依次是__________.
16.已知幂函数 f x m2 3m 17 xm 2 的图像关于 y 轴对称.
(1)求 f x 的解析式;
(2) g x f 2x 4x2求函数 3在 1,2 上的值域.3.3 幂函数
知识点一 幂函数的概念
一般地,函数 y=xα叫做幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数.
知识点二 五个幂函数的图象与性质
1
1.在同一平面直角坐标系内函数(1)y=x;(2)y= x 2 ;(3)y=x2;(4)y=x-1;(5)y=x3 的图象如图.
2.五个幂函数的性质
1
y=x y=x2 y=x3 y x 2 y=x-1
定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0}
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在[0,+∞) 上增, 在(0,+∞)上减,
单调性 增 增 增
在(-∞,0] 上减 在(-∞,0)上减
知识点三 一般幂函数的图象特征
1.所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1).
2.当 α>0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.
特别地,当 α>1 时,幂函数的图象下凸;当 0<α<1 时,幂函数的图象上凸.
3.当 α<0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.
4.幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线 y=x 对称.
5.在第一象限作直线 x=a(a>1),它同各幂函数图象相交,按交点从下到上的顺序,幂指数按从小到大的顺序排
列.
【题型目录】
题型一、幂函数的定义
题型二、幂函数的定义域
题型三、幂函数的值域
题型四、幂函数的图像
题型五、幂函数的单调性
题型六、幂函数的奇偶性
题型一、幂函数的定义
1 1
1.在函数① y y x2 y 2x y 2 y 2x2 x ,② ,③ ,④ , ,⑥ y x 2 中,是幂函数的是( )
A.①②④⑤ B.③④⑥ C.①②⑥ D.①②④⑤⑥
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义可判断.
【详解】幂函数是形如 y x ( R , 为常数)的函数,①是 1的情形,②是 2的情形,⑥是
1
2
的情形,所以①②⑥都是幂函数;③是指数函数,不是幂函数;⑤中 x2 的系数是 2,所以不是幂函数;④是常函
数,不是幂函数.
故选:C.
2.下列结论中正确的个数有( )
(1)幂函数的图像一定过原点;
(2)当 a<0时,幂函数 y xa在其定义域上是严格减函数;
(3)当a>0时,幂函数 y xa在其定义域上是严格增函数;
(4)函数 y 2x2 既是二次函数,又是幂函数.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】A
【分析】根据幂函数的概念,及图象与性质,逐项判定,即可求解.
【详解】对于幂函数 y x 1,其图象不过原点,且在 ,0 , 0, 上为减函数,
所以(1)、(2)都不正确;
对于幂函数 y x2 ,在 ,0 是减函数,所以(3)不正确;
由幂函数概念,幂函数 y x ( R),可得系数必为 1,所以(4)不正确.
故选:A.
题型二、幂函数的定义域
3.分别写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性:
(1) y x5;
5
(2) y x 6 ;
4
(3) y x 5 ;
3
(4) y x 2 .
【答案】(1)奇函数;(2)非奇非偶函数;(3)偶函数;(4)非奇非偶函数;
【分析】首先求出函数的定义域,再利用函数的奇偶性定义即可求解.
【详解】(1) y x5,定义域为 R ,关于原点对称,
f x x 5 x5 ,函数为奇函数.
5
(2) y x6 6 x5 ,定义域为 0, ,不关于原点对称,
函数为非奇非偶函数.
4
y x 5 1(3) 定义域为 ,0 0, 5 4 ,x
关于原点对称,且 f x f x ,函数为偶函数.
3
1
(4) y x 2 3 定义域为 0, ,2 x
定义域不关于原点对称,函数为非奇非偶函数.
.
2
4.已知函数 y x 3
(1)求定义域;
(2)判断奇偶性;
(3)已知该函数在第一象限的图象如图所示,试补全图象,并由图象确定单调区间.
2
【答案】(1)定义域为 x , ;(2)偶函数;(3)图像见解析, y x 3 的单调增区间是 0, ,单调减区间
是 ,0
2
【分析】(1)将函数 y x 3 改写成 y 3 2 x ,即可判断定义域;
2
(2)令 f (x) x 3 = 3 x2 ,计算 f ( x) 并判断与 f (x) 的关系即可确定函数的奇偶性;
2
(3)根据 y x 3 的奇偶性补全图像,根据补全后的图像确定函数的单调区间;
2
【详解】(1) y x 3 = 3 x2 ,定义域为实数集 R;
2 2
(2)令 y x 3 = 3 x2 =f (x) f (x) x 3 = 3 x2
f ( x)= 3 x 2
2
= 3 x2 =f (x),且定义域关于坐标原点对称, 函数 y x 3 为偶函数.
2 2
(3)因为函数 y x 3 为偶函数,所以函数 y x 3 的图像关于 y 轴对称,
2
根据 y x 3 第一象限的图像补全图像如图所示:
2
根据图像可知,函数 y x 3 单调增区间是 0, ,单调减区间是 ,0 .
题型三、幂函数的值域
5.下列函数中,值域是 0, 的函数是( )
1
A. y x3 B. y x4 C. y x 2 D. y x 3
【答案】C
【分析】结合幂函数的表达式即可判断
【详解】A 中值域为 R ;B 中值域为 0, ;C 中值域为 0, ;D 中值域为 ,0 0,
故选:C.
【点睛】本题考查由幂函数的解析式判断值域,属于基础题
1
6.幂函数 y xa中 a 的取值集合 C 是 1,0, ,1, 2,3 的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合 C 为(2 )
A . 1,0,
1 1
B. ,1, 2
1
C
1
2 .
1, ,3 D. ,1, 2,3
2 2 2
【答案】C
【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域,得到答案.
【详解】当 a 1时, y x 1定义域和值域均为 ,0 0, ,符合题意;
a 0时, y x0 定义域为 ,0 0, ,值域为 1 ,故不合题意;
a 1 时, y x 定义域为 0, ,值域为 0, ,符合题意;
2
a 1时, y x 定义域与值域均为 R,符合题意;
a 2时, y x2 定义域为 R,值域为 0, ,不符合题意;
a 3时, y x3定义域与值域均为 R,符合题意.
故选:C
题型四、幂函数的图像
7.幂函数 y xa,y xb,y xc,y xd 在第一象限的图像如图所示,则 a,b,c,d 的大小关系是 ( )
A. a b c d B. d b c a C. d c b a D.b c d a
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质,在第一象限内, x 1的右侧部分的图像,图像由下至上,幂指数增大,即可判断;
【详解】根据幂函数的性质,
在第一象限内, x 1的右侧部分的图像,图像由下至上,幂指数增大,
所以由图像得:b c d a,
故选:D
1
8.给出幂函数:①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)= x ;⑤f(x)= .其中满足条件x
f x1 x2 f (x1) f (x2 ) (x1>x2>0)的函数的个数是(2 2 )
A.1 个 B.2 个
C.3 个 D.4 个
【答案】A
f x1 x2 f (x ) f (x )【分析】条件 1 2 (x1>x2>0)表明函数应是上凸函数,结合幂函数的图象可作答.
2 2
x x f (x ) f (x )
【详解】①函数 f(x)=x 的图象是一条直线,故当 x1>x2>0 时, f ( 1 2 )= 1 2 ;2 2
x x f (x ) f (x )
②函数 f(x)=x2的图象是凹形曲线,故当 x >x 1 2 1 21 2>0 时, f ( ) ;2 2
③在第一象限,函数 f(x)=x3的图象是凹形曲线,
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x )故当 x1>x2>0 时, 2 ;2 2
x x f (x ) f (x )
④函数 f(x)= x 的图象是凸形曲线,故当 x1>x 1 22>0 时, f ( ) 1 2 ;2 2
1
⑤在第一象限,函数 f(x)= 的图象是一条凹形曲线,
x
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 )故当 x1>x2>0 时, .2 2
x
故仅有函数 f(x)= x 满足当 x >x >0 时, f ( 1
x2 ) f (x1) f (x )1 2 2 ,2 2
故选:A.
9.请把相应的幂函数图像代号填入表格.
2 2 1① y x 3 ;② y x ;③ y x 2 ;④ y x
1;
1 4 1 5
⑤ y x3 ;⑥ y x 3 ;⑦ y x 2 ;⑧ y x3 .
函数代号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
图像代号
【答案】依次是 E,C,A,G,B,D,H,F.
【分析】利用幂函数图象的性质即可得到答案.
2
【详解】①函数 y x 3 的定义域为 R,排除图 C,G,H,
又函数为偶函数且在 0,+ 上单调递增,
在 1,+ 的图象在 y x 图象的下方,故是图 E,
4
同理⑥函数 y x 3 为偶函数且在 0,+ 上单调递增,
在 1,+ 的图象在 y x 图象的上方,是图 D.
1 5
⑤ y x3 和⑧ y x3 定义域为 R 且为奇函数,
1
在 0,+ 上单调递增, y x3 在 1,+ 的图象在 y x 图象的下方,故是图 B,
5
y x3 在 1,+ 的图象在 y x 图象的上方,是图 F.
1
③ y x 2 定义域为 0,+ ,在 0,+ 上单调递增,
1
y x 2 在 1,+ 的图象在 y x 图象的下方,是图 A.
② y x 2 ,④ y x 1
1
和⑦ y x 2 图象均不过原点,在 0,+ 上单调递减,
1
⑦ y x 2 的定义域为 0,+ ,故图是 H,图象均不过原点,在 0,+ 上单调递减,
② y x 2 是偶函数,图是 C,④ y x 1是奇函数,图是 G,
故依次为 E,C,A,G,B,D,H,F
题型五、幂函数的单调性
1
10.函数 y x 的单调递减区间是( )
A. 0, B. ,0 C. ,0 和 0, D. ,0 0,+
【答案】C
1
【分析】根据 y .x 的图象以及函数单调性的定义即可判断
1
【详解】函数 y x 的图象如图:所以
y 1 的减区间是 0, , ,0 ,不是 0, ,0 .x
函数 y
1
在 ,0 x 上是减函数,在 0, 上也是减函数,
1
但不能说函数 y 在 x ,0 0, x 上是减函数.
因为当 x1 1,x2 1时有 f x1 1 f x2 1,不满足减函数的定义.
故选:C
1
11.已知幂函数 f (x) x 2 ,若 f a 1 f 3 2a ,则实数 a 的取值范围是( )
A. 1,3 B . 1,
2
C. 1,0
2
D
3 .
1,
3
【答案】B
【分析】根据幂函数的单调性与定义域,结合题中条件,列出不等式组,求解,即可得出结果.
1
【详解】因为幂函数 f x x 2 是增函数,且定义域为 0, ,
a 1 3 2a
由 f a 1 f 3 2a 得 a 1 0 2,解得 1 a .
3
3 2a 0
2
所以实数 a 的取值范围是 1,
3
故选:B
【点睛】方法点睛:本题考查函数的单调性、奇偶性及含参不等式的解法,要设法把隐性转化为显性,方法是:
(1)把不等式转化为 f g(x) f h(x) 的模型;
(2)判断 f x 的单调性,再根据函数的单调性将“ f ”脱掉,得到具体的不等式组来求解,但注意奇偶函数的区别.
题型六、幂函数的奇偶性
12 2.已知幂函数 f (x) 2m 9m 4 xm 在 ( ,0)上为减函数.
(1)试求函数 f (x) 解析式;
(2)判断函数 f (x) 的奇偶性并写出其单调区间.
【答案】(1) f (x) x 5
(2)奇函数,其单调减区间为 ( ,0), (0, )
【分析】(1)根据幂函数的定义,令 2m2 9m 4 1,求解即可;
(2)根据幂函数的性质判断函数的单调性,继而可得其单调区间.
1
【详解】(1)由题意得, 2m2 9m 4 1,解得m 或m 5,
2
1 1
经检验当m 时,函数 f (x) x 2 在区间 ( ,0)上无意义,2
所以m 5,则 f (x) x 5 .
f (x) x 5 1(2) x5 ,
要使函数有意义,则 x 0,
即定义域为 ( ,0) (0, ),其关于原点对称.
f ( x) 1 1 5 5 f (x)( x) x ,
该幂函数为奇函数.
当 x 0时,根据幂函数的性质可知 f (x) x 5 在 (0, )上为减函数,
函数 f (x) 是奇函数, 在 ( ,0)上也为减函数,
故其单调减区间为 ( ,0), (0, ) .
13.下列函数,既是幂函数,又是奇函数的是( )
A. f x x3 B. f x x C. f x 1 4 D. f x x
5
x
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义排除 A;
f x x 是非奇非偶的函数,所以排除 B;
f x 1 4 是偶函数,所以排除 C;x
f x x5 ,既是幂函数,又是奇函数,所以选 D.
y xa【详解】根据幂函数的定义:形如 a R 的函数是幂函数,排除 A;
f x x 的定义域为[0, ) ,不关于原点对称,所以是非奇非偶的函数,所以排除 B;
f x 1 4 是偶函数,所以排除 C;x
f x x5 ,既是幂函数,又是奇函数,所以选 D.
故选:D.
14.若幂函数 y a2 a 5 xa 的图像关于 y 轴对称,则实数a ______.
【答案】 2
【分析】根据幂函数的概念和性质计算即可
【详解】由幂函数可得 a2 a 5 1,解得 a 3或 a 2 ,
又因为函数图像关于 y 轴对称,则 a 为偶数,所以 a 2 .
故答案为: 2
15.已知幂函数 f (x) (m2 5m 7)xm 1为偶函数.
(1)求 f (x) 的解析式;
(2)若 g(x) f (x) ax 3在[1,3]上,①单调,②不单调,这两个条件中选择一个条件,求实数 a的取值范围.
【答案】(1) f (x) x2
(2)选① a 2 或 a 6;选② 2 a 6
【分析】(1)根据幂函数 f (x) (m2 5m 7)xm 1为偶函数可得m2 5m 7 1且m 1为偶数,解之即可得出答案;
(2)选①,求出函数的对称轴,根据二次函数的单调性列出不等式,从而可得出答案;
选②,求出函数的对称轴,根据二次函数的单调性列出不等式,从而可得出答案.
【详解】(1)解:因为幂函数 f (x) (m2 5m 7)xm 1为偶函数,
所以m2 5m 7 1且m 1为偶数,解得m 3,
所以 f (x) x2 ;
a a
(2)解:选①时, g(x) f (x) ax 3 x2 ax 3在[1,3]
a
上单调,则二次函数的对称轴 x 满足 1或 3;
2 2 2
解得 a 2 或 a 6;
a a
选②时, g(x) x2 ax 3在[1,3]上不单调,则二次函数的对称轴 x 满足1 3,解得 2 a 6 .
2 2
1.下列函数中不是幂函数的是( )
A. y x B. y x3 C. y 3x D. y x 1
【答案】C
1
【详解】A 选项中, y x x 2 ,故它是幂函数.
B 选项是幂函数.
C 选项 x 的系数为 3,所以它不是幂函数.
D 选项是幂函数.
2.分别写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性:
(1) y x4 ;
1
(2) y x 4 ;
(3) y x 3;
2
(4) y x 3 .
【分析】直接观察出定义域,在根据 f x 和 f x 的关系来判断单调性.
【详解】(1) y x4 ,其定义域为 R,
f x x 4又 x4 f x ,
故 y x4 为定义域为 R 的偶函数;
1
(2) y x 4 ,其定义域为 0, ,其为非奇非偶函数;
(3) y x 3,其定义域为 ,0 0, ,
又 f x x 3 x 3 f x ,
故 y x 3为定义域为 ,0 0, 的奇函数;
2
(4) y x 3 ,其定义域为 R,
2 2
又 f x x 3 x 3 f x ,
2
故 y x 3 为定义域为 R 的偶函数.
2
3.函数 y x 3 定义域是_____,值域是_______;奇偶性:_______,单调区间________.
【答案】 {x|x≠0} {y|y>0} 偶函数 (﹣∞,0),(0,+∞).
【分析】把函数 y 化为根式的形式,求出它的定义域和值域;再根据函数奇偶性与单调性的定义进行判断,即可得
出正确的结论.
2
1
【详解】∵函数 y x 3 ,∴x2≠03 2 ,解得 x≠0,x
∴函数 y 的定义域是{x|x≠0};
又 y>0,∴函数 y 的值域是{y|y>0};
1 1
又对定义域内的任意 x,有 f(﹣x) 3 2 3 x2 f(x)x ,
∴y=f(x)是定义域上的偶函数;
2
又 y=f(x) x 3 ,
当 x>0 时,f(x)是减函数,
x<0 时,f(x)是增函数,
∴(﹣∞,0)和(0,+∞)是函数的单调区间.
故答案为:{x|x≠0};{y|y>0};偶函数;(﹣∞,0),(0,+∞).
4.有下列四个幂函数,某同学研究了其中的一个函数,并给出这个函数的三个性质:(1)是偶函数;(2)值域是
{y|y∈R,且 y≠0};(3)在(-∞,0)上单调递增.如果给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则该同学研究的
函数是( )
1
A. y x 1 B. y x 2 C. y x3 D. y x3
【答案】B
【分析】函数性质,需要对选项分析满足两个性质,一个不满足.
【详解】对于 A, y x 1是奇函数,值域是{y|y∈R,且 y
≠0},在(-∞,0)上单调递减,三个性质中有两个不正确;对于 B, y x 2 是偶函数,值域是{y|y∈R,且 y>0},在(-
∞,0)上单调递增,三个性质中有两个正确,符合条件;判断 C 选项,奇函数,值域为 R,在定义域下单调递增,不
符合条件;D 中的函数为奇函数,值域为 R 在定义域下单调递增,不符合条件.
故选:B.
5.图中C1,C2 ,C 分别为幂函数 y x 13 , y x 2 , y x 3 在第一象限内的图象,则 1, 2, 3 依次可以是
( )
A 1 1. 2 ,3, 1 B. 1,3, 2 C
1
. 2 , 1,3 D
1
. 1, 2 ,3
【答案】D
【分析】根据幂函数的图象,结合幂函数的性质判断参数的大小关系,即可得答案.
【详解】由题图知: 1 0,0 2 1, 3 1,
1所以 1, 2, 3 依次可以是 1, 2 ,3.
故选:D
6.函数 y x, y
1
x2和 y x 的图象如图所示,有下列四个说法:
1
① a a2如果 ,那么 0 a 1;
a
② a 2如果 a 1 ,那么 a 1a ;
③ 1 2如果 a a ,那么 1 a 0a ;
④如果 a 2 1 a a 1 .a 时,那么
其中正确的是( ).
A.①④ B.① C.①② D.①③④
【答案】A
【分析】结合函数 y x, y x2 y
1
和 x 的图象,逐项判定,即可求解
.
【详解】当三个函数的图象依 y
1
, y x和 y x2 次序呈上下关系时,可得0 x 1 ,
x
1
所以,若 a a2 ,可得 0 a 1,所以①正确;
a
1
当三个函数的图象依 y x2 , y x,和 y 次序呈上下关系时, 1 x 0或 x 1 x ,
2
所以,若 a a
1
a ,可得
a 1,所以②错误;
1
由于当三个函数的图象没有出现 y , y x2和 y x 次序的上下关系 ,所以③错误;
x
当三个函数的图象依 y x2 , y
1
和 y x 次序呈上下关系时, x 1 ,
x
2 1
所以,若 a aa 时,可得
a 1,所以④正确.
故选;A.
7.已知幂函数 f x m2 3 xm 1在 0, 内是单调递减函数,则实数m ______.
【答案】 2
【分析】由已知,函数 f (x) 为幂函数且在 0, 内是单调递减,可进行列式,即m2 3 1且m 1<0即可完成求解.
m2 3 1
【详解】由题意得,函数 f (x) 为幂函数且在 0, 内是单调递减,所以 ,解得m 2.
m 1 0
故答案为: 2 .
1
8 .已知幂函数 f x x 2 ,若 f a 1 f 10 2a ,则 a的取值范围为( )
A. 3,5 B. 5,3 C. 5, 3 D. 3,5
【答案】D
1
【分析】根据幂函数 f x x 2 的单调性与定义域可解不等式 f a 1 f 10 2a .
1
【详解】因为幂函数 f x x 2 的定义域为 0, ,且 f x 是定义域上的减函数,
a 1 0,
所以若 f a 1 f 10 2a ,则 10 2a 0, 解得3 a 5 .
a 1 10 2a,
故选:D.
1
9.(多选)已知函数 f (x) xa
,3 的图象经过点 则( )
3
A. f (x) 的图象经过点 (3,9) B. f (x) 的图象关于 y 轴对称
C. f (x) 在 (0, )上单调递减 D. f (x) 在 (0, )内的值域为 (0, )
【答案】CD
【分析】根据函数解析式和图象经过的点求出 a 1,结合选项可得答案.
1 ,3 a 1【详解】将点 的坐标代入 f (x) x ,可得 a 1,则 f (x) , f (x)的图象不经过点 3,9 ,A 错误; f (x) 在
3 x
(0, )上单调递减,C 正确;根据反比例函数的图象与性质可得 B 错误,D 正确.
故选:CD.
10.写出一个同时具有下列三个性质的函数: f x ___________.
① f x 为幂函数;② f x 为偶函数;③ f x 在 ,0 上单调递减.
2
【答案】 x2 (或 x4 , x 3 ,答案不唯一)
【分析】结合幂函数的图象与性质可得.
2
【详解】由幂函数 y xa,当函数图象在一二象限时就满足题意,因此 f (x) x2 ,或 f (x) x4 , f (x) x 3 等等.
2
故答案为: x2 (或 x4 , x 3 ,答案不唯一).
11.设 a 1,2,3,
1 , 1 ,则使函数 y xa的定义域为 R 且函数 y xa为奇函数的所有 a的值为(2 )
A. 1,3 B. 1,1 C.1,3 D. 1,1,3
【答案】C
1
【解析】本题考查的是幂函数的性质,将1,2,3, , 1分别代入判断函数 y xa的定义域与奇偶性即可.
2
【详解】 a 1时,函数解析式为 y x 满足题意; a 2时,函数解析式为 y x2 ,偶函数,不符合题意; a 3时,
1 1
函数解析式为 y x3满足题意; a 时,函数解析式为 2 ,定义域为 0, ,不符合题意; a 1时,函数解
2 y x
析式为 y x 1,定义域为 ( ,0) (0, ),不符合题意.
故选:C.
3 1 2
12 k k.已知函数 f x x 2 2 k Z .
(1)若 f x 为偶函数,且在 0, 是增函数,求 f (x) 的解析式:
(2)若 f x 在 0, 上减函数,求 k 的取值范围.
【答案】(1) f (x) x2 ;(2){ k k 1或 k 3且 k Z}.
【分析】(1)(2)根据幂函数的性质即可求解.
【详解】(1) f (x)在 0, 3 1上增函数, k k 2 02 2 ,解得 1 k 3.
又 k Z , k 0,1,2,
由 f (x) 为偶函数知 k 1, f (x) x2 ;
3 1
(2)若 f (x) 在 0, 2上减函数,则 k k 0,解得 k 1或 k 3 k Z 2 2 ,
即 k 的取值范围是{ k k 1或 k 3且 k Z}.
1.下列函数是幂函数的是( )
A. y 2x B. y x2 1
C. y x3 D. y 2x
【答案】C
【分析】由幂函数定义可直接得到结果.
【详解】形如 y x 的函数为幂函数,则 y x3为幂函数.
故选:C.
3
2.下列四个图像中,函数 y x 4 的图像是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】首先判断函数的定义域,再根据幂函数的性质判断即可;
3 3
【详解】解:因为 y x 4 ,即 y x 4 4 x3 ,所以 x
3 0,解得 x 0 ,即函数的定义域为 0, ,故排除 A、C、D,
且函数在定义域上单调递增,故 B 正确;
故选:B
A
1
3.已知实数集为R ,集合 x y x 2 ,则 R A ( ).
A. ,0 B. ,0 C. D. 0,
【答案】B
【分析】化简得 A [0, ) ,即得解.
【详解】由题得 A [0, ) ,所以 R A ,0 .
故选:B
4.函数 y x 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性,再根据幂函数的性质判断即可;
【详解】解:因为 y f x x 的定义域为R ,
又 f x x x f x ,故 f x 为偶函数,函数图象关于 y 轴对称,故排除 C、D;
当 x 0 时 f x x ,由幂函数的性质可知, f x 在 0, 上单调递增,但是增长趋势越来越慢,故 B 错误;
故选:A
m
5.如图所示是函数 y x n ( m、n N
*且互质)的图象,则( )
A.m
m
、n是奇数且 1 B.m
m
是偶数, n是奇数,且 1
n n
C.m
m m
是偶数, n是奇数,且 1 D.m、n是偶数,且 1
n n
【答案】C
【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可;
m
【详解】解: 函数 y x n = n xm 的图象关于 y 轴对称,故 n为奇数,m 为偶数,
m
在第一象限内,函数是凸函数,故 1,
n
故选:C.
6.若幂函数 y xm 与 y xn 在第一象限内的图像如图所示,则( )
A. 1 n 0 m 1; B. n 1,0 m 1;
C. 1 n 0,m 1; D. n 1,m 1.
【答案】B
【分析】利用幂函数的图象和性质判断.
【详解】由图象知; y xm 在 0, 上递增,所以m 0,
由 y xm 的图象增长的越来越慢,
所以m 1, y xn 在 0, 上递减,
所以 n 0 ,又当 x 1时, y xn 的图象在 y x 1的下方,所以 n 1,
故选:B
7 2.已知幂函数 f x a 3a 3 xa 1 为偶函数,则实数 a的值为( )
A.3 B.2 C.1 D.1 或 2
【答案】C
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质,得出结论.
f x a2【详解】 幂函数 3a 3 xa 1 为偶函数,
a2 3a 3 1,且 a 1为偶数,
则实数 a 1,
故选:C
8.用函数M (x) 表示函数 f (x) 和 g(x)中的较大者,记为:M (x) max{ f (x), g(x)},若 f (x) | x | (x 0),
g(x) x 2 ,则M (x) 的大致图像为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】利用特殊值确定正确选项.
【详解】依题意M (x) max{ f (x), g(x)},
f 2 2 2, g 2 2 2 1 M 2 2 1,排除 CD 选项.
4
f 2 2 2, g 2 2 2 1 M 2 2 1,排除 B 选项.
4
所以 A 选项正确.
故选:A
9.(多选)已知幂函数 f x 的图象经过点 9,3 ,则( )
A.函数 f x 为增函数 B.函数 f x 为偶函数
f x f x
C.当 x 4时, f x 2 1 2 f x1 xD.当 x2 x1 0 时, 2 2 2
【答案】ACD
【分析】设幂函数 f (x) 的解析式,代入点 (9,3),求得函数 f (x) 的解析式,根据幂函数的单调性可判断 A、C 项,根
f x f x
据函数 f (x) 的定义域可判断 B 项,结合函数 f (x) 1 2
x x
的解析式,利用平方差证明不等式 f 1 2
2 2
可判
断 D 项.
1
【详解】解:设幂函数 f x x ,则 f 9 9 3,解得 1 ,所以
2 f x x
2 ,
所以 f x 的定义域为 0, , f x 在 0, 上单调递增,故 A 正确,
因为 f x 的定义域不关于原点对称,所以函数 f x 不是偶函数,故 B 错误,
1
当 x 4时, f x f 4 42 2,故 C 正确,
2 2
f x1 fx x 0 x
2
2 f x1 x2 x1 x2 2 x1x2 x1 x2 2 x1x2 x1 x当 时, 22 1 x1 x2 ,
2 2 4 2 4
0
4
f x f x
又 f x
x
0 1 2 ,所以 f 1
x2
2 2
,D 正确.
故选:ACD.
m
10.已知幂函数 f x 3 2m x 2 的定义域为 0, ,则实数m ______.
【答案】1
【分析】由幂函数的定义列出方程,求出m 1或m 2 ,通过检验定义域可知m 1满足要求.
【详解】由题意得到 3 2m 1,解得:m 1或m 2 ,
当m 1时, f x x ,定义域为 0, ,符合题意;
当m 2 时, f x x,定义域为R ,不符合题意.
故m 1.
故答案为:1
1
11.有四个幂函数:① f x x 1;② f x x 2 ③ f x x3; ;④ f (x) x 2 某同学研究上述函数,他给出这个
函数的三个性质:(1)偶函数;(2)值域是{y | y R ,且 y 0 }:(3)在 (0, )上是减函数.如果他给出的三个性
质中,有两个正确,一个错误,则他研究的函数可能是__________.
【答案】①②
【分析】根据基本初等函数的定义与性质,判断是否满足条件即可.
【详解】解:对于①, f (x) x 1,是定义域 ( , 0) (0 , ) 上的奇函数,值域是{y | y R ,且 y 0},且在 (0, )
上是单调减函数,满足条件;
对于②, f (x) x 2 ,是定义域 ( , 0) (0 , ) 上的偶函数,值域是{y | y 0},且在 (0, )上是单调减函数,满
足条件;
对于③, f (x) x3 ,是定义域 R 上的奇函数,值域是 R ,且在 (0, )上是单调增函数,不满足条件;
1
对于④, f (x) x 2 ,是定义域为 0, ,值域是 0, ,且在 0, 上是单调增函数,不满足条件.
故答案为:①②.
12 2.幂函数 y= xm 2m 3(m∈Z)的图象如图所示,则实数 m 的值为________.
【答案】1
【分析】根据函数图象可判断单调性,进而可得m2 2m 3 0 ,m 为整数,由验证是否是偶函数即可求解.
【详解】有图象可知:该幂函数在 0, 单调递减,所以m2 2m 3 0 ,解得 1 m 3,m Z ,故m 可取0,1,2,
又因为该函数为偶函数,所以m2 2m 3为偶数,故m 1
故答案为:1
13.关于幂函数 y xa,下列命题正确的是___(填序号).
①当 a 0时,图象是一条直线; ②图象都过点 0,0 和 1,1 ;
③若是奇函数,则一定是增函数; ④图象不可能出现在第四象限.
【答案】④
【分析】当 a 0
1
时,化简函数 y x0 的解析式,可判断①;取 a 0,可判断②;取函数 y x 可判断③;利用函数
的定义可判断④.
【详解】对于①,当 a 0时,函数 y x0 的定义域为 x x 0 ,即 y 1 x 0 ,
故当 a 0时,图象是两条射线,①错;
对于②,当 a 0时,函数 y xa的图象不过点 0,0 ,②错;
1
对于③,函数 y 为奇函数,该函数在 ,0 、 0, x 上均为减函数,③错;
对于④,因为幂函数 y xa在第一象限有图象,若该函数在第四象限有图象,这与函数的定义相矛盾,
故函数 y xa图象不可能出现在第四象限,④对.
故答案为:④.
14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f x ______.
① f x1x2 f x1 f x2 ;② f x f x ;③任取x1, x2 0, , x1 x2 且 f x1 f x2 x1 x2 0.
【答案】 x2 (答案不唯一)
【分析】取 f x x2 ,利用幂函数的性质逐一验证即可.
2 2
【详解】取 f x x ,函数 f x 为幂函数,满足①; f x x f x ,则函数 f x 为偶函数,满足②;③表
2
示函数 f x 在 0, 上单调递增,由幂函数的性质可知 f x x 满足③.
故答案为: x2 (答案不唯一)
15.幂函数 f x xm 在 0, 上单调递增, g x xn在 0, 上单调递减,能够使 y f x g x 是奇函数的一
组整数 m,n 的值依次是__________.
【答案】1, 1(答案不唯一)
【分析】根据幂函数在 (0, )上的单调性得到m 0,n 0,再根据 y f x g x 是奇函数可以得到幂函数 f (x) 和
幂函数 g(x)都是奇函数,从而可得m,n的很多组值.
m
【详解】因为幂函数 f x x 在 0, 上单调递增,所以m 0,
g x xn因为幂函数 在 0, 上单调递减,所以 n 0 ,
又因为 y f x g x 是奇函数,所以幂函数 f (x) 和幂函数 g(x)都是奇函数,所以m 可以是1, n可以是 1 .
故答案为:1, 1(答案不唯一).
16 2 m 2.已知幂函数 f x m 3m 17 x 的图像关于 y 轴对称.
(1)求 f x 的解析式;
(2)求函数 g x f 2x 4x2 3在 1,2 上的值域.
【答案】(1) f x 11 x4 ;(2) , 243
4
【分析】(1)根据幂函数的定义和性质求出 m 的值即可;
(2)由(1)求出函数 g(x)的解析式,结合二次函数的性质即可得出结果.
(1) f x m2 3m 17 xm 2【详解】 因为 是幂函数,
所以m2 3m 17 1,解得m 6或m 3.
又 f x 的图像关于 y 轴对称,所以m 6,
故 f x x4 .
2
(2) 1 g x 16x4 4x2 3 16 x2 2 4x2 3 16 x2 1 11由( )可知, .
8 4
因为 x 1,2 2,所以 x 0,4 ,
1 2 11 1 1
又函数 y 16 x 在 ( , ) 上单调递减,在 ( , )上单调递增,
8 4 8 8
2
16 x2 1 11 11所以 , 243
8 4 4
.
故 g x 在 1,2 11 上的值域为 , 243 . 4