第二节 函数的单调性与最值
[必备知识]
1．定义法
设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1(1)f(x)在区间D上是增函数 f(x1)(2)f(x)在区间D上是减函数 f(x1)>f(x2)．
2．导数法
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递减．
[必备知识]
单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
[必备知识]
函数的最值
(1)函数最大(小)值的几何意义：函数的最大值对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应图象最低点的纵坐标．
(2)利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)．
基础盘查一 函数的单调性
(一)循纲忆知
1．理解函数的单调性及其几何意义．
2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性( )
(2)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)( )
(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”( )
(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)( )
(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
2．(人教A版教材习题改编)函数y＝x2－2x(x∈[2,4])的增区间为________．
答案：[2,4]
3．若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则k的取值范围是________．
答案：
基础盘查二 函数的最值
(一)循纲忆知
1．理解函数最大值、最小值及其几何意义．
2．会运用函数图象理解和研究函数的最值．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)所有的单调函数都有最值( )
(2)函数y＝在[1,3]上的最小值为( )
答案：(1)× (2)√
2．(人教A版教材例题改编)已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，则函数的最大值为________．
答案：2
[题组练透]
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
解析：选C 当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；
当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．故选C.
2．讨论函数f(x)＝(a＞0)在x∈(－1,1)上的单调性．
解：设－1＜x1＜x2＜1，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵－1＜x1＜x2＜1，a>0，
∴x2－x1＞0，x1x2＋1＞0，(x－1)(x－1)＞0.
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)>f(x)2，
故函数f(x)在(－1,1)上为减函数．
[类题通法]
对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：
(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．
(2)可导函数则可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断．
[典题例析]
求下列函数的单调区间：
(1)y＝－x2＋2|x|＋1；
(2)y＝log(x2－3x＋2)．
解：(1)由于
y＝
即y＝
画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝logu与u＝x2－3x＋2的复合函数．
令u＝x2－3x＋2＞0，则x＜1或x＞2.
∴函数y＝log(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝，且开口向上．
∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．
而y＝logu在(0，＋∞)上是单调减函数，
∴y＝log(x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．
[类题通法]
求函数的单调区间与确定单调性的方法一致
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
[演练冲关]
1．若将典例(1)中的函数变为“y＝|－x2＋2x＋1|”，则结论如何？
解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．
由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－，1)和(1＋，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－)和(1,1＋)．
2．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝取函数f(x)＝2－|x|.当k＝时，求函数fk(x)的单调递增区间．
解：由f(x)>，得－1由f(x)≤，得x≤－1或x≥1.
所以f(x)＝
故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．
[多角探明]
高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中.
函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值.
角度一：求函数的值域或最值
1．函数f(x)＝的最大值为________．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.
故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小
2．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：选B ∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，
∴当x1∈(1,2)时，f(x1)当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，
即f(x1)<0，f(x2)>0.
角度三：解函数不等式
3．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( )
A．(8，＋∞) B．(8,9]
C．[8,9] D．(0,8)
解析：选B 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有
解得8＜x≤9.
角度四：利用单调性求参数的取值范围或值
4．已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B.
C．(－∞，2] D.
解析：选B 由题意可知，函数f(x)是R上的减函数，
于是有
由此解得a≤，
即实数a的取值范围是 .
[类题通法]
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．
一、选择题
1．(2014·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
解析：选A 显然y＝是(0，＋∞)上的增函数；y＝(x－1)2在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；y＝2－x＝x在x∈R上是减函数；y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数，故选A.
2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )
A．[1,2] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[2，＋∞)
解析：选A 由于f(x)＝|x－2|x＝
结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．
3．(2015·黑龙江牡丹江月考)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则( )
A．fC．f解析：选B 由题设知，当x<1时，f(x)单调递减，当x≥1时，f(x)单调递增，而x＝1为对称轴，∴f＝f＝f＝f，又<<<1，
∴f＞f>f，即f>f>f.
4.定义新运算 ：当a≥b时，a b＝a；当aA．－1 B．1
C．6 D．12
解析：选C 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，
当1∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
5．已知函数f(x)＝则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若函数f(x)在R上递增，则需log21≥c＋1，即c≤－1.由于c＝－1 c≤－1，但c≤－1 / c＝－1，所以“c＝－1”是“f(x)在R上递增”的充分不必要条件．故选A.
6．(2015·长春调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x1＋x2<0且x1x2<0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．可能为0 B．恒大于0
C．恒小于0 D．可正可负
解析：选C 由x1x2<0不妨设x1<0，x2>0.
∵x1＋x2<0，∴x1<－x2<0.
由f(x)＋f(－x)＝0知f(x)为奇函数．
又由f(x)在(－∞，0)上单调递增得，f(x1)二、填空题
7．已知函数f(x)为R上的减函数，若f解析：由题意知f(x)为R上的减函数且f则>1，即|x|<1，且x≠0.故－18．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________．
解析：函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．
由图象可知，函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)
9．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
解析：由题意知g(x)＝函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．
答案：[0,1)
10．使函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________________．
解析：由y＝log3(x－2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．
又函数y＝＝＝2＋，
使其在(3，＋∞)上是增函数，
故4＋k<0，得k<－4.
答案：(－∞，－4)
三、解答题
11．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：任设x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)任设1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.
综上所述知a的取值范围是(0,1]．
12．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
解：(1)令x1＝x2>0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，
故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则>1，由于当x>1时，f(x)<0，
所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，
因此f(x1)所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．
∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．
由f＝f(x1)－f(x2)得，
f＝f(9)－f(3)，
而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.
∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.第二节 函数的单调性与最值
[必备知识]
1．定义法
设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1(1)f(x)在区间D上是增函数 f(x1)(2)f(x)在区间D上是减函数 f(x1)>f(x2)．
2．导数法
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递减．
[必备知识]
单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
[必备知识]
函数的最值
(1)函数最大(小)值的几何意义：函数的最大值对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应图象最低点的纵坐标．
(2)利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)．
基础盘查一 函数的单调性
1．判断正误
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性( )
(2)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)( )
(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”( )
(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)( )
(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)( )
2．(人教A版教材习题改编)函数y＝x2－2x(x∈[2,4])的增区间为________．
3．若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则k的取值范围是________．
基础盘查二 函数的最值
1．判断正误
(1)所有的单调函数都有最值( )
(2)函数y＝在[1,3]上的最小值为( )
2．(人教A版教材例题改编)已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，则函数的最大值为________．
[题组练透]
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
2．讨论函数f(x)＝(a＞0)在x∈(－1,1)上的单调性．
[类题通法]
对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：
(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．
(2)可导函数则可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断．
[典题例析]
求下列函数的单调区间：
(1)y＝－x2＋2|x|＋1；
(2)y＝log(x2－3x＋2)．
[类题通法]
求函数的单调区间与确定单调性的方法一致
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
[演练冲关]
1．若将典例(1)中的函数变为“y＝|－x2＋2x＋1|”，则结论如何？
2．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝取函数f(x)＝2－|x|.当k＝时，求函数fk(x)的单调递增区间．
[多角探明]
高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中.
函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值.
角度一：求函数的值域或最值
1．函数f(x)＝的最大值为________．
角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小
2．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
角度三：解函数不等式
3．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( )
A．(8，＋∞) B．(8,9]
C．[8,9] D．(0,8)
角度四：利用单调性求参数的取值范围或值
4．已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B. C．(－∞，2] D.
[类题通法]
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．
一、选择题
1．(2014·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )
A．[1,2] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[2，＋∞)
结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．
3．(2015·黑龙江牡丹江月考)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则( )
A．fC．f4.定义新运算 ：当a≥b时，a b＝a；当aA．－1 B．1
C．6 D．12
5．已知函数f(x)＝则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．(2015·长春调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x1＋x2<0且x1x2<0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．可能为0 B．恒大于0
C．恒小于0 D．可正可负
二、填空题
7．已知函数f(x)为R上的减函数，若f8．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________．
9．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
10．使函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________________．
三、解答题
11．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
12．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
